第二章
波函数与Schrödinger方程
2.1设质量为的粒子在势场中运动。
（a）证明粒子的能量平均值为，（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）
（1）
（势能平均值）
（2）
其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此
（3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
（4）
且能量平均值。
（b）由（4）式，得
（：几率密度）
（定态波函数，几率密度不随时间改变）
所以。
2.2考虑单粒子的Schrödinger方程
（1）
与为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为
证：（a）式（1）取复共轭，得
（2）
（1）-（2）,得
（3）
即，此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积积分，得
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（），而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3
设和是Schrödinger方程的两个解，证明。
证：
（1）
（2）
取（1）之复共轭：
（3）
（3）（2）,得
对全空间积分：，（无穷远边界面上，）
即。
2.4）设一维自由粒子的初态，求。
解：
2.5
设一维自由粒子的初态，求。
提示：利用积分公式
或。
解：作Fourier变换：，（）
（指数配方）
令，则。
2.6
设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中
是的Fourier变换。
提示：利用。
证：根据平面波的时间变化规律，任意时刻的波函数为
（1）
当时间足够长后（所谓），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取，（2）
参照本题的解题提示，即得
（3）
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。
设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。
2.7
写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。
解：经典能量方程。
在动量表象中，只要作变换，所以在动量表象中，Schrödinger为：。
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