第五章
力学量随时间的变化与对称性
5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明
证.若力学量不显含，则有,令
则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。
在束缚定态，有。
其复共轭为。
5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为
证：,证毕。
5.4）设表示的本征态（本征值为），证明
是角动量沿空间方向的分量的本征态。
证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参
钱..《剖析》.P327）
5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则。
是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。
证：
（）
又。
不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。
5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
（1）
证：式（1）左端
（2）
计算中用到了公式。
由于是厄米算符，有下列算符关系：
（3）
式（2）取共轭，得到
（4）
结合式（2）和（4），得
证毕。
5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点
两个参照系中的坐标满足下列关系：。
（1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
（2）
证明schrödinger方程在参照系中表为
在参照系中表为
其中
证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。
但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即
（6）
从（1）式有
（6’）
由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以
（7）
（7）
由（1）式，，（3）式变为：
（8）
将（7’）代入（8）式，可得
（9）
选择适当的，使得（9）（4）。
（10）
（10’）
从（10）可得。
（11）
是的任意函数，将（11）代入（10’），可得
积分，得。
为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到
（12）
代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：
（13）
逆变换为
（13’）
相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。
讨论：的函数形式也可用下法求出：
因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
（14）
据此，系和系中相应的平面波波函数为，（15）
（1）、（14）代入（15），即得
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
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