第一篇:广西南宁历年中考数学几何综合证明题(第25题)
历年中考数学几何综合证明题(第25题)2006年
BCD中,P是CD边上的一点,AP与BP分别平分DAB和CBA. 25.如图10,在A
(1)判断△APB是什么三角形,证明你的结论;(2)比较DP与PC的大小;
cm,(3)画出以AB为直径的O,交AD于点E,连结BE与AP交于点F,若AD
5AP8cm,求证△AEF∽△APB,并求tanAFE的值.
2007年
图10
25.如图12,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(2,0)B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD.(1)求C,M两点的坐标;
(2)连接CM,试判断直线CM是否与
P相切?说明你的理由;
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得△QMC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2008年 25.如图11,P与O相交于A,B两点,P经过圆心O,点C是P的优弧AB上
任意一点(不与点A,B重合),连结AB,AC,BC,OC.(1)指出图中与ACO相等的一个角;
(2)当点C在P上什么位置时,直线AC与O相切?请说明理由;(3)当ACB60时,两圆半径有怎样的大小关系?说明你的理由.(注意:在试题卷上作答无效).........
图1
12009年
25.如图13-1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AEEF,BE2.(1)求EC∶CF的值;
(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图13-2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;
(3)在图13-2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
P
FB E C B E C图13-1 图13-
22010年
25.如图11-①,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CECB.(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点(如图11-②所示).若ABAD2,求线段BC和EG的长.A D AB 图11-①
C B C 图11-② G
25.如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD,垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相交
于点B.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线.
(2)当AC=1,BE=2,求tan∠OAC的值.
B
2012年
25.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.
(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC的中点;
(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.
25、如图13,在ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AB是O的直径,O交BC于点D,DEAC于点E,BE交O于点F,连接AF的延长线交DE于点P。
(1)求证:DE是O的切线。
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长。
第二篇:广西南宁历年中考数学简单几何证明题
2006年
23.将图8(1)中的矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到图8(2)中的△ABC,除△ADC与△CBA全等外,你还可以指出哪几对全等的三...角形(不能添加辅助线和字母)?请选择其中一对加以证明.
B C
图8(2)
2007年
21.如图10,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE.
(1)请指出图中哪些线段与线段CF相等;
(2)试判断四边形DBCF是怎样的四边形?证明你的结论.
BF图10
2008年
21.如图8,在△ABC中,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F,BECF.
(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.
(注意:在试题卷上作答无效).........
E D 图8 C
2009年
23.如图11,PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线,点A、B分别为切点,APB60°,OP与弦AB交于点C,与⊙O交于点
D.
(1)在不添加任何辅助线的情况下,写出图中所有的全等三角形;(2)求阴影部分的面积(结果保留π).
图1
12010年
21.某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形),如图8所示,已知ACBC8m,A30°,CDAB,于点D.
(1)求ACB的大小.(2)求AB的长度.C A D 图8 B
23.如图10,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,ABCADE90°,BC与DE相交于
EB.点F,连接CD,(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举.(2)求证:CFEF.A DF B C 图10
2011年
23.如图,点B、F、C、E在同一直线上,并且BF=CE,∠B=∠C.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使得△ABC≌△DEF.
你添加的条件是:. F(2)添加了条件后,证明△ABC≌△DEF.
2012年
22.如图所示,∠BAC=∠ABD=90°,AC=BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点.
(1)图中有哪几对全等三角形?请写出来;
(2)试判断OE和AB的位置关系,并给予证明.
2013年
23、如图11,在菱形ABCD中,AC是对角线,点E、F
分别是边BC、AD的中点。C E
(1)求证:ABE≌CDF。
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长。
图11
第三篇:中考数学几何证明题
中考数学几何证明题
在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
第一个问我会,求第二个问。需要过程,快呀!
连接GC、BG
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°
∴四边形ABCD为矩形
∵AF平分∠BAD
∴∠DAF=∠BAF=45°
∵∠DCB=90°,DF∥AB
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰Rt△
∵G为EF中点
∴EG=CG=FG
∵△ABE为等腰Rt△,AB=DC
∴BE=DC
∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°
∴△BEG≌△DCG
∴BG=DG
∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°
又∵∠DGC=∠BGE
∴∠BGE+∠DGB=90°
∴△DGB为等腰Rt△
∴∠BDG=45°
分析已知、求证与图形,探索证明的思路。
对于证明题,有三种思考方式:
(1)正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。
(2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不同方向思考问题,探索解题方法,从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显,数学这门学科知识点很少,关键是怎样运用,对于初中几何证明题,最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了,几何学的不好,做题没有思路,那你一定要注意了:从现在开始,总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。例如:可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法,同学们一定要试一试。
(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,同学们可以结合结论和已知条件认真的分析,初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。
第四篇:中考数学经典几何证明题
2011年中考数学经典几何证明题
(一)1.(1)如图1所示,在四边形ABCD中,AC=BD,AC与BD相交于点O,E、F分别是AD、BC的中点,联结EF,分别交AC、BD于点M、N,试判断△OMN的形状,并加以证明;
(2)如图2,在四边形ABCD中,若ABCD,E、F分别是AD、BC的中点,联结FE并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论:;
(3)如图3,在△ABC中,ACAB,点D在AC上,ABCD,E、F分别是AD、BC的中点,联结FE并延长,与BA的延长线交于点M,若FEC45,判断点M与以AD为直径的圆的位置关系,并简要说明理由.B
A
ME
DB
(4)观察图
1、图
2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、EG、CH这样的线
段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.3.如图,△ABC是等边三角形,F是AC的中点,D在线段BC上,连接DF,以DF为边在DF的右侧作等边△DFE,ED的延长线交AB于H,连接EC,则以下结论:①∠AHE+∠AFD=180°;②AF=在线段BC上(不与B,C重合)运动,其他条件不变时
BC;③当D
2BH
是定值;④当D在线段BC上(不与B,C重合)BD
BCEC
运动,其他条件不变时是定值;
DC
(1)其中正确的是-------------------;(2)对于(1)中的结论加以说明;
F
C
F
图 1图2图
32.(1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD
于点H,试证明CH=EF+EG;
图
1D
DC
(2)若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;
(3)如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL上任一点, EF⊥BD于
点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;
F
H
BCD
E
4.在△ABC中,AC=BC,ACB90,点D为AC的中点.
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连结CF,过点F作FHFC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.
A
A
F
D F
D
E
C B
C
图
1E
图
2H
5.如图12,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:DP=DQ.
证明.
8.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE
上,且AQ∥PC.(1)证明:PC=2AQ.
(2)当点F为BC的中点时,试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明.
6.如图。,BD是△ABC的内角平分线,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G。
探究:线段FG的长与△ABC三边的关系,并加以证明。
说明:⑴如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);⑵在你经历说明⑴的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。注意:选取①完成证明得10分;选取②完成证明得7分。①可画出将△ADF沿BD折叠后的图形; ②将CE变为△ABC的内角平分线。(如图2)
附加题:探究BD、CE满足什么条件时,线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系,并给出证明。
9.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放,其中∠ACB =∠DCE = 90°,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.
(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为______;
(2)如图2,若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;
(2)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.CH
G
A图3 图1 图
27.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.
(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.
(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予
10.已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放
在D处.
(1)如图①,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果).
(2)如图②,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E.设CF=x(x>1),重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
2、如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,若AB=kAC,试探究BE与CF的数量关系。
3、如图,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分别是AB、AC的中点,点P在直线BC上,连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系,并证明你的猜想,若证明有困难,则可选k=1证明之。
4、在△ABC中,O是AC上一点,P、Q分别是AB、BC上一点,∠B=45°,∠POQ=135°,BC=kAB,OC=mAO。试说明OP与OQ是数量关系,选择条件:(1)m=1,(2)m=k=1。
2011年中考几何经典证明题
(二)1、如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为CB延长线上一点,且∠EAB=∠BAD,设DC=kBD,试探究EC与EA的数量关系。
5、如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,∠CAD=∠B,AC=kAB,E在AD延长线上,∠CED=∠ADB,探究AE与AD的关系。
6、如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB, AB=kAC,探究BE与AE是数量关系。
第五篇:中考数学几何证明题「含答案」
重庆中考(往届)数学24题专题练习
1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE
(1)求证:BE=CE;
(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.
在BG上取BH=AB=CD,连EH,显然△ABE与△CDE全等,则∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC
又∠BEC=90°=∠BFC,对顶角∠BGE=∠CGF,故∠FBE=∠DCE,所以∠ABE=∠FBE
在BF上取BH=AB,连接EH,由BH=AB,∠ABE=∠FBE,BE=BE,故△ABE与△HBE全等
故∠AEB=∠HEB,AE=EH
而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°,∠AEB=∠DEC,∠BEC=90°
所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB
故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED
同理,∠DEG=45°=∠HEG
EH=AE=ED,EG=EG
故△HEG与△FEG全等,所以HG=DG
即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.
(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;
(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.
3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.
(1)当CE=1时,求△BCE的面积;
(2)求证:BD=EF+CE.
4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E
EF∥CA,交CD于点F,连接OF.
(1)求证:OF∥BC;
(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.
(1)求线段CD的长;
(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.
6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.
(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面积;
(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.
7、已知:如图,ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.
8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.
(1)求证:∠DAE=∠DCE;
(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.
(1)求证:DP平分∠ADC;
(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.
10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;
(1)证明:EF=EA;
(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.
11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.
(1)求证:EB=EF;
(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.
12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.
(1)求证:AE=GF;
(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.
13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.
(1)求证:FC=BE;
(2)若AD=DC=2,求AG的长.
14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.
(1)求证:AD=BE;
(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.
15、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.
(1)求证:AD=AE;
(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.
16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.
(1)求证:AE⊥BD;
(2)若AD=4,BC=14,求EF的长.
17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.
(1)求证:CD=BE;
(2)若AD=3,DC=4,求AE.
18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.
19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.
(1)求证:BF=EF﹣ED;
(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.
20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.
(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求
AE的长.
(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.
21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.
(1)求证:DH=(AD+BC);
(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.
22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.
(1)求证:△AGE≌△DAB;
(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.
23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;
(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.
24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)求∠BPF的度数.
25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.
(1)求∠ABC的度数;
(2)如果BC=8,求△DBF的面积?
26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.
(1)求证:△AGD为正三角形;
(2)求EF的长度.
27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.
(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.
(2)求证:ED=BE+FC.
28、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.
(1)求证:△BCE≌△AFE;
(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.
29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE;
(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.
30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.
(1)求证:四边形ABED是菱形;
(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.
参考答案
1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE
(1)求证:BE=CE;
(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.
证明:(1)已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,∴AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE;
(2)延长CD和BE的延长线交于H,∵BF⊥CD,∠HEC=90°,∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°
∴∠EBF=∠ECH,又∠BEC=∠CEH=90°,BE=CE(已证),∴△BEG≌△CEH,∴EG=EH,BG=CH=DH+CD,∵△BAE≌△CDE(已证),∴∠AEB=∠GED,∠HED=∠AEB,∴∠GED=∠HED,又EG=EH(已证),ED=ED,∴△GED≌△HED,∴DG=DH,∴BG=DG+CD.
2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.
(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;
(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.
(1)证明:∵HE=HG,∴∠HEG=∠HGE,∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,∴∠BEH=∠FGC,∵G是HC的中点,∴HG=GC,∴HE=GC,∵∠HBE=∠CFG=90°.
∴△EBH≌△GFC;
(2)解:∵ED平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°,∴AD=DF,∵DF=DC﹣FC,∵△EBH≌△GFC,∴FC=BH=1,∴AD=4﹣1=3.
3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.
(1)当CE=1时,求△BCE的面积;
(2)求证:BD=EF+CE.
(2)过E点作EM⊥DB于点M,四边形FDME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,△BME≌△ECB,BM=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.
(1)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴,∵DC∥AB,AD=BC,∴∠DAB=∠CBA=60°,∴∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=90°,∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°,∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°,∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°,在Rt△BCE中,BE=2CE=2,∴…(5分)
(2)证明:过E点作EM⊥DB于点M,∴四边形FDME是矩形,∴FE=DM,∵∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,∴△BME≌△ECB,∴BM=CE,∴BD=DM+BM=EF+CE…(10分)
4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E作EF∥CA,交CD于点F,连接OF.
(1)求证:OF∥BC;
(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
解答:(1)证明:延长EF交AD于G(如图),在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∵EF∥CA,EG∥CA,∴四边形ACEG是平行四边形,∴AG=CE,又∵,AD=BC,∴,∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF,在△CEF和△DGF中,∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG,∴△CEF≌△DGF(AAS),∴CF=DF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OF∥BE.
(2)解:如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形.
证明:∵OF∥CE,EF∥CO,∴四边形OCEF是平行四边形,∴EF=OC,又∵梯形OBEF是等腰梯形,∴BO=EF,∴OB=OC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2BO.
∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.
5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.
(1)求线段CD的长;
(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.
(1)解:连接BD,由∠ABC=90°,AD∥BC得∠GAD=90°,又∵BF⊥CD,∴∠DFE=90°
又∵DG=DE,∠GDA=∠EDF,∴△GAD≌△EFD,∴DA=DF,又∵BD=BD,∴Rt△BAD≌Rt△BFD(HL),∴BF=BA=,∠ADB=∠BDF
又∵CF=6,∴BC=,又∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠BDF=∠CBD,∴CD=CB=8.
(2)证明:∵AD∥BC,∴∠E=∠CBF,∵∠HDF=∠E,∴∠HDF=∠CBF,由(1)得,∠ADB=∠CBD,∴∠HDB=∠HBD,∴HD=HB,由(1)得CD=CB,∴△CDH≌△CBH,∴∠DCH=∠BCH,∴∠BCH=∠BCD==.
6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.
(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面积;
(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.
解:(1)连AC,过C作CM⊥AD于M,如图,在Rt△ABC中,AB=6,sin∠ACB==,∴AC=10,∴BC=8,在Rt△CDM中,∠D=45°,∴DM=CM=AB=6,∴AD=6+8=14,∴梯形ABCD的面积=•(8+14)•6=66(cm2);
(2)证明:过G作GN⊥AD,如图,∵∠D=45°,∴△DNG为等腰直角三角形,∴DN=GN,又∵AD∥BC,∴∠BFH=∠FHN,而∠EFH=∠FHG,∴∠BFE=∠GHN,∵EF=GH,∴Rt△BEF≌Rt△NGH,∴BE=GN,BF=HN,∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE.
7、已知:如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.
(1)证明:如图.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.
∵DF=CD,∴AB∥DF.
∵DF=CD,∴AB=DF.
∴四边形ABDF是平行四边形,∴AE=DE.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠COD=90°.
∵四边形ABDF是平行四边形,∴AF∥BD.
∴∠CAF=∠COD=90°.
8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.
(1)求证:∠DAE=∠DCE;
(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
(1)证明:在△DAE和△DCE中,∠ADE=∠CDE(正方形的对角线平分对角),ED=DE(公共边),AE=CE(正方形的四条边长相等),∴△DAE≌△DCE
(SAS),∴∠DAE=∠DCE(全等三角形的对应角相等);
(2)解:如图,由(1)知,△DAE≌△DCE,∴AE=EC,∴∠EAC=∠ECA(等边对等角);
又∵CG=CE(已知),∴∠G=∠CEG(等边对等角);
而∠CEG=2∠EAC(外角定理),∠ECB=2∠CEG(外角定理),∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°,∴∠G=∠CEG=30°;
过点C作CH⊥AG于点H,∴∠FCH=30°,∴在直角△ECH中,EH=CH,EG=2CH,在直角△FCH中,CH=CF,∴EG=2×CF=3CF.
9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.
(1)求证:DP平分∠ADC;
(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.
(1)证明:连接PC.
∵ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.
∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.(SAS)
∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.
∴∠EAF=∠BAD=90°.
∵P是EF的中点,∴PA=EF,PC=EF,∴PA=PC.
又
AD=CD,PD公共,∴△PAD≌△PCD,(SSS)
∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;
(2)作PH⊥CF于H点.
∵P是EF的中点,∴PH=EC.
设EC=x.
由(1)知△EAF是等腰直角三角形,∴∠AEF=45°,∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°,∴EF=2x,FC=x,BE=2﹣x.
在Rt△ABE中,22+(2﹣x)2=(x)2解得
x1=﹣2﹣2(舍去),x2=﹣2+2.
∴PH=﹣1+,FD=(﹣2+2)﹣2=﹣2+4.
∴S△DPF=(﹣2+4)×=3﹣5.
10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;
(1)证明:EF=EA;
(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.
(1)证明:
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.
∵E为CD的中点,∴ED=EC.
∴△ADE≌△FCE.
∴EF=EA.(5分)
(2)解:连接GA,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠DAB=90°.
∵DG⊥BC,∴四边形ABGD是矩形.
∴BG=AD,GA=BD.
∵BD=BC,∴GA=BC.
由(1)得△ADE≌△FCE,∴AD=FC.
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA.
∵由(1)得EF=EA,∴EG⊥AF.(5分)
11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.
(1)求证:EB=EF;
(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.
(1)证明:∵△ADF为等边三角形,∴AF=AD,∠FAD=60°(1分)
∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB(2分)
∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,(3分)
∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE(4分)
∴EF=EB(5分)
(2)解:如图,连接EC.(6分)
∵在等边三角形△ADF中,∴FD=FA,∵∠EAD=∠EDA=15°,∴ED=EA,∴EF是AD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.(7分)
由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°.
∵∠FAE=∠BAE=75°,∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,∴BE=BA=6.
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,∴∠GEB=30°,∵∠ABC=60°,∴∠GBE=30°
∴GE=GB.(8分)
∵点G是BC的中点,∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°,∴△CEG为等边三角形,∴∠CEG=60°,∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°(9分)
∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2
∴CE=,∴BC=(10分);
解法二:过C作CQ⊥AB于Q,∵CQ=AB=AD=6,∵∠ABC=60°,∴BC=6÷=4.
12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.
(1)求证:AE=GF;
(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.
(1)证明:∵AB=DC,∴梯形ABCD为等腰梯形.
∵∠C=60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°.
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∴∠BDC=90°.(1分)
由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分)
又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中点,∵F是DC的中点,∴EF∥BC.
∴EF∥AD.
∴四边形AEFD是平行四边形.(3分)
∴AE=DF(4分)
∵F是DC的中点,DG是梯形ABCD的高,∴GF=DF,(5分)
∴AE=GF.(6分)
(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,∵AE=1,∴AD=2.
在Rt△DGC中∠C=60°,并且DC=AD=2,∴DG=.(8分)
由(1)知:在平行四边形AEFD中EF=AD=2,又∵DG⊥BC,∴DG⊥EF,∴四边形DEGF的面积=EF•DG=.(10分)
13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.
(1)求证:FC=BE;
(2)若AD=DC=2,求AG的长.
解答:(1)证明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,∴△ABC≌△AFE,∴AB=AF.
∴AE﹣AB=AC﹣AF,即FC=BE;
(2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC,∴AF=AC=AE.
∴AG=CG,∴∠E=30°.
∵∠EAD=90°,∴∠ADE=60°,∴∠FAD=∠E=30°,∴FC=,∵AD∥BC,∴∠ACG=∠FAD=30°,∴CG=2,∴AG=2.
14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.
(1)求证:AD=BE;
(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.
(1)证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∵∠ABC=90°,∴∠BAD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∵∠DAE=∠EBC,AE=BC,∴△EAD≌△EBC,∴AD=BE.
(2)答:△ABF是等腰直角三角形.
理由是:延长AF交BC的延长线于M,∵AD∥BM,∴∠DAF=∠M,∵∠AFD=∠CFM,DF=FC,∴△ADF≌△MFC,∴AD=CM,∵AD=BE,∴BE=CM,∵AE=BC,∴AB=BM,∴△ABM是等腰直角三角形,∵△ADF≌△MFC,∴AF=FM,∴∠ABC=90°,∴BF⊥AM,BF=AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形.
15、(2011•潼南县)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.
(1)求证:AD=AE;
(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.
解答:(1)证明:连接AC,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC,∴∠ACD=∠ACB,∵AD⊥DC,AE⊥BC,∴∠D=∠AEC=90°,∵AC=AC,∴,∴△ADC≌△AEC,(AAS)
∴AD=AE;
(2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC,设AB=x,则BE=x﹣4,AE=8,在Rt△ABE中∠AEB=90°,由勾股定理得:82+(x﹣4)2=x2,解得:x=10,∴AB=10.
说明:依据此评分标准,其它方法如:过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分.
16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.
(1)求证:AE⊥BD;
(2)若AD=4,BC=14,求EF的长.
(1)证明:∵AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形,已知E是BD的中点,∴AE⊥BD.
(2)解:延长AE交BC于G,∵BD平分∠ABC,∴∠ABE=∠GBE,又∵AE⊥BD(已证),∴∠AEB=∠GEB,BE=BE,∴△ABE≌△GBE,∴AE=GE,BG=AB=AD,又F是AC的中点(已知),所以由三角形中位线定理得:
EF=CG=(BC﹣BG)=(BC﹣AD)
=×(14﹣4)=5.
答:EF的长为5.
17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.
(1)求证:CD=BE;
(2)若AD=3,DC=4,求AE.
(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCE,而BE⊥AC,∴∠D=∠BEC=90°,AC=BC,∴△BCE≌△CAD.
∴CD=BE.
(2)解:在Rt△ADC中,根据勾股定理得AC==5,∵△BCE≌△CAD,∴CE=AD=3.
∴AE=AC﹣CE=2.
18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.
解:如图,过点D作DF∥AB,分别交AC,BC于点E,F.(1分)
∵AB⊥AC,∴∠AED=∠BAC=90度.
∵AD∥BC,∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=4,∴AC=BC•sin45°=4×=2(2分)
在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=45°,AD=1,∴DE=AE=.∴CE=AC﹣AE=.(4分)
在Rt△DEC中,∠CED=90°,∴DC==.(5分)
19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.
(1)求证:BF=EF﹣ED;
(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.
证明:∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,∴△FCE≌△F′CE,∴EF′=EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;
(2)解:∵AB=BC,∠B=80°,∴∠ACB=50°,由(1)得∠FEC=∠DEC=70°,∴∠ECB=70°,而∠B=∠BCD=80°,∴∠DCE=10°,∴∠BCF=30°,∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°.
20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.
(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求
AE的长.
(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.
解:(1)作EM⊥AB,交AB于点M.∵AE=BE,EM⊥AB,∴AM=BM=×6=3;
∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°,∴四边形AMEF是矩形,∴EF=AM=3;
在Rt△AFE中,AE==5;
(2)延长AF、BC交于点N.
∵AD∥EN,∴∠DAF=∠N;
∵∠AFD=∠NFC,DF=FC,∴△ADF≌△NCF(AAS),∴AD=CN;
∵∠B+∠N=90°,∠BAE+∠EAN=90°,又AE=BE,∠B=∠BAE,∴∠N=∠EAN,AE=EN,∴BE=EN=EC+CN=EC+AD,∴CE=BE﹣AD.
.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.
(1)求证:DH=(AD+BC);
(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.
解:(1)证明:过D作DE∥AC交BC延长线于E,(1分)
∵AD∥BC,∴四边形ACED为平行四边形.(2分)
∴CE=AD,DE=AC.
∵四边形ABCD为等腰梯形,∴BD=AC=DE.
∵AC⊥BD,∴DE⊥BD.
∴△DBE为等腰直角三角形.(4分)
∵DH⊥BC,∴DH=BE=(CE+BC)=(AD+BC).(5分)
(2)∵AD=CE,∴.(7分)
∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6,∴.
∴梯形ABCD的面积为18.(8分)
注:此题解题方法并不唯一.
22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.
(1)求证:△AGE≌△DAB;
(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,DG∥BC,∴∠AGD=∠ABC=60°,∠ADG=∠ACB=60°,且∠BAC=60°,∴△AGD是等边三角形,AG=GD=AD,∠AGD=60°.
∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,∴△AGE≌△DAB;
(2)解:由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG.
∵EF∥DB,DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形.
∴EF=BD,∴EF=AE.
∵∠DBC=∠DEF,∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60°.
∴△AFE是等边三角形,∠AFE=60°.
23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;
(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;
(2)△DCF是等腰直角三角形,证明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF=(BC﹣AD)=1,∵DC=,∴由勾股定理得:DF=1,∴△DCF是等腰直角三角形;
(3)共四种情况:
∵DF⊥BC,∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,即PF=1,∴PB=1;
当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=2;
当PC=CD=(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3﹣;
当PC=CD=(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3+.
故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3﹣,PB=3+.(每个1分)
24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)求∠BPF的度数.
解答:(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB=CD,∵AD=DC,∴BA=AD,∠BAE=∠ADF=120°,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,∴△ABE≌△DAF(SAS).
(2)解:∵由(1)△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF.
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE.
而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,∴∠BPF=120°.
25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.
(1)求∠ABC的度数;
(2)如果BC=8,求△DBF的面积?
解答:解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,∴∠DBC=∠ABD,∵在梯形ABCD中AB=DC,∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC,∵BD⊥DC,∴∠DBC+2∠DBC=90°
∴∠DBC=30°
∴∠ABC=60°
(2)过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵∠DBC=30°,BC=8,∴DC=4,∵CF=CD∴CF=4,∴BF=12,∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°,∠F=∠FDC
∴∠F=30°,∵∠DBC=30°,∴∠F=∠DBC,∴DB=DF,∴,在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DBF的面积为.
26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.
(1)求证:△AGD为正三角形;
(2)求EF的长度.
(1)证明:连接BE,∵梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD,可证△ABC≌△DCB,∴∠GCB=∠GBC,又∵∠BGC=∠AGD=60°
∴△AGD为等边三角形,(2)解:∵BE为△BCG的中线,∴BE⊥AC,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,∴EF=AB=5cm.
27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.
(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.
(2)求证:ED=BE+FC.
解:(1)∵∠BEC=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°,∵∠ECD=45°,∴∠DCF=60°,在Rt△DFC中:∠DCF=60°,FC=3,∴DF=3,DC=6,由题得,四边形ABFD是矩形,∴AB=DF=3,∵AB=BC,∴BC=3,∴BF=BC﹣FC=3﹣3,∴AD=DF=3﹣3,∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3,答:梯形ABCD的周长是9+3.
其实也还有一种方法的啦。
(2)过点C作CM垂直AD的延长线于M,再延长DM到N,使MN=BE,∴CN=CE,可证∠NCD=∠DCE,∵CD=CD,∴△DEC≌△DNC,∴ED=EN,∴ED=BE+FC.
28、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.
(1)求证:△BCE≌△AFE;
(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.
(1)证明:∵AD∥BC,E是AB的中点,∴AE=BE,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F.
∴△BCE≌△AFE(AAS).
(2)解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠ABC=90°.
∵AE=BE,∠AEF=∠BEC,∴△BCE≌△AFE.
∴AF=BC=4.
∵EF2=AF2+AE2=9+16=25,∴EF=5.
29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE;
(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.
(1)∵DC=BC,∠1=∠2,CF=CF,∴△DCF≌△BCF.
(2)延长DF交BC于G,∵AD∥BG,AB∥DG,∴四边形ABGD为平行四边形.
∴AD=BG.
∵△DFC≌△BFC,∴∠EDF=∠GBF,DF=BF.
又∵∠3=∠4,∴△DFE≌△BFG.
∴DE=BG,EF=GF.
∴AD=DE.
(3)∵EF=GF,DF=BF,∴EF+BF=GF+DF,即:BE=DG.
∵DG=AB,∴BE=AB.
∵C△DFE=DF+FE+DE=6,∴BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6.
∴AB+AD=6.
又∵AD=2,∴AB=4.
∴DG=AB=4.
∵BG=AD=2,∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3.
又∵DC=BC=5,在△DGC中∵42+32=52
∴DG2+GC2=DC2
∴∠DGC=90°.
∴S梯形ABCD=(AD+BC)•DG
=(2+5)×4
=14.
30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.
(1)求证:四边形ABED是菱形;
(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.
解答:解:(1)证明:∵AD∥BC,DE2=CD2+CE2=42+32=25,∴∠OAD=∠OEB,∴DE=5
又∵AB=AD,AO⊥BD,∴AD=BE=5,∴OB=OD,∴S梯形ABCD=.
又∵∠AOD=∠EOB,∴△ADO≌△EBO(AAS),∴AD=EB,又∵AD∥BE,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DE=BE,