广西南宁历年中考数学几何综合证明题(第25题)

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第一篇:广西南宁历年中考数学几何综合证明题(第25题)

历年中考数学几何综合证明题(第25题)2006年

BCD中,P是CD边上的一点,AP与BP分别平分DAB和CBA. 25.如图10,在A

(1)判断△APB是什么三角形,证明你的结论;(2)比较DP与PC的大小;

cm,(3)画出以AB为直径的O,交AD于点E,连结BE与AP交于点F,若AD

5AP8cm,求证△AEF∽△APB,并求tanAFE的值.

2007年

图10

25.如图12,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(2,0)B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD.(1)求C,M两点的坐标;

(2)连接CM,试判断直线CM是否与

P相切?说明你的理由;

(3)在x轴上是否存在一点Q,使得△QMC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

2008年 25.如图11,P与O相交于A,B两点,P经过圆心O,点C是P的优弧AB上

任意一点(不与点A,B重合),连结AB,AC,BC,OC.(1)指出图中与ACO相等的一个角;

(2)当点C在P上什么位置时,直线AC与O相切?请说明理由;(3)当ACB60时,两圆半径有怎样的大小关系?说明你的理由.(注意:在试题卷上作答无效).........

图1

12009年

25.如图13-1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AEEF,BE2.(1)求EC∶CF的值;

(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图13-2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;

(3)在图13-2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

P

FB E C B E C图13-1 图13-

22010年

25.如图11-①,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CECB.(1)求证:BC为⊙O的切线;

(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点(如图11-②所示).若ABAD2,求线段BC和EG的长.A D AB 图11-①

C B C 图11-② G

25.如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD,垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相交

于点B.

(1)求证:直线AB是⊙O的切线.

(2)当AC=1,BE=2,求tan∠OAC的值.

B

2012年

25.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.

(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;

(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC的中点;

(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.

25、如图13,在ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AB是O的直径,O交BC于点D,DEAC于点E,BE交O于点F,连接AF的延长线交DE于点P。

(1)求证:DE是O的切线。

(2)求tan∠ABE的值;

(3)若OA=2,求线段AP的长。

第二篇:广西南宁历年中考数学简单几何证明题

2006年

23.将图8(1)中的矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到图8(2)中的△ABC,除△ADC与△CBA全等外,你还可以指出哪几对全等的三...角形(不能添加辅助线和字母)?请选择其中一对加以证明.

B C

图8(2)

2007年

21.如图10,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE.

(1)请指出图中哪些线段与线段CF相等;

(2)试判断四边形DBCF是怎样的四边形?证明你的结论.

BF图10

2008年

21.如图8,在△ABC中,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F,BECF.

(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.

(注意:在试题卷上作答无效).........

E D 图8 C

2009年

23.如图11,PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线,点A、B分别为切点,APB60°,OP与弦AB交于点C,与⊙O交于点

D.

(1)在不添加任何辅助线的情况下,写出图中所有的全等三角形;(2)求阴影部分的面积(结果保留π).

图1

12010年

21.某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形),如图8所示,已知ACBC8m,A30°,CDAB,于点D.

(1)求ACB的大小.(2)求AB的长度.C A D 图8 B

23.如图10,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,ABCADE90°,BC与DE相交于

EB.点F,连接CD,(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举.(2)求证:CFEF.A DF B C 图10

2011年

23.如图,点B、F、C、E在同一直线上,并且BF=CE,∠B=∠C.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使得△ABC≌△DEF.

你添加的条件是:. F(2)添加了条件后,证明△ABC≌△DEF.

2012年

22.如图所示,∠BAC=∠ABD=90°,AC=BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点.

(1)图中有哪几对全等三角形?请写出来;

(2)试判断OE和AB的位置关系,并给予证明.

2013年

23、如图11,在菱形ABCD中,AC是对角线,点E、F

分别是边BC、AD的中点。C E

(1)求证:ABE≌CDF。

(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长。

图11

第三篇:中考数学几何证明题

中考数学几何证明题

在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;

(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;

第一个问我会,求第二个问。需要过程,快呀!

连接GC、BG

∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°

∴四边形ABCD为矩形

∵AF平分∠BAD

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°,DF∥AB

∴∠DFA=45°,∠ECF=90°

∴△ECF为等腰Rt△

∵G为EF中点

∴EG=CG=FG

∵△ABE为等腰Rt△,AB=DC

∴BE=DC

∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG

∴BG=DG

∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°

又∵∠DGC=∠BGE

∴∠BGE+∠DGB=90°

∴△DGB为等腰Rt△

∴∠BDG=45°

分析已知、求证与图形,探索证明的思路。

对于证明题,有三种思考方式:

(1)正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不同方向思考问题,探索解题方法,从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显,数学这门学科知识点很少,关键是怎样运用,对于初中几何证明题,最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了,几何学的不好,做题没有思路,那你一定要注意了:从现在开始,总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。例如:可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法,同学们一定要试一试。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,同学们可以结合结论和已知条件认真的分析,初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。

第四篇:中考数学经典几何证明题

2011年中考数学经典几何证明题

(一)1.(1)如图1所示,在四边形ABCD中,AC=BD,AC与BD相交于点O,E、F分别是AD、BC的中点,联结EF,分别交AC、BD于点M、N,试判断△OMN的形状,并加以证明;

(2)如图2,在四边形ABCD中,若ABCD,E、F分别是AD、BC的中点,联结FE并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论:;

(3)如图3,在△ABC中,ACAB,点D在AC上,ABCD,E、F分别是AD、BC的中点,联结FE并延长,与BA的延长线交于点M,若FEC45,判断点M与以AD为直径的圆的位置关系,并简要说明理由.B

A

ME

DB

(4)观察图

1、图

2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、EG、CH这样的线

段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.3.如图,△ABC是等边三角形,F是AC的中点,D在线段BC上,连接DF,以DF为边在DF的右侧作等边△DFE,ED的延长线交AB于H,连接EC,则以下结论:①∠AHE+∠AFD=180°;②AF=在线段BC上(不与B,C重合)运动,其他条件不变时

BC;③当D

2BH

是定值;④当D在线段BC上(不与B,C重合)BD

BCEC

运动,其他条件不变时是定值;

DC

(1)其中正确的是-------------------;(2)对于(1)中的结论加以说明;

F

C

F

图 1图2图

32.(1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD

于点H,试证明CH=EF+EG;

1D

DC

(2)若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;

(3)如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL上任一点, EF⊥BD于

点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;

F

H

BCD

E

4.在△ABC中,AC=BC,ACB90,点D为AC的中点.

(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连结CF,过点F作FHFC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.

A

A

F

D F

D

E

C B

C

1E

2H

5.如图12,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:DP=DQ.

证明.

8.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE

上,且AQ∥PC.(1)证明:PC=2AQ.

(2)当点F为BC的中点时,试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明.

6.如图。,BD是△ABC的内角平分线,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G。

探究:线段FG的长与△ABC三边的关系,并加以证明。

说明:⑴如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);⑵在你经历说明⑴的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。注意:选取①完成证明得10分;选取②完成证明得7分。①可画出将△ADF沿BD折叠后的图形; ②将CE变为△ABC的内角平分线。(如图2)

附加题:探究BD、CE满足什么条件时,线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系,并给出证明。

9.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放,其中∠ACB =∠DCE = 90°,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.

(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为______;

(2)如图2,若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;

(2)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.CH

G

A图3 图1 图

27.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.

(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.

(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.

(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予

10.已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放

在D处.

(1)如图①,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果).

(2)如图②,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E.设CF=x(x>1),重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

2、如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,若AB=kAC,试探究BE与CF的数量关系。

3、如图,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分别是AB、AC的中点,点P在直线BC上,连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系,并证明你的猜想,若证明有困难,则可选k=1证明之。

4、在△ABC中,O是AC上一点,P、Q分别是AB、BC上一点,∠B=45°,∠POQ=135°,BC=kAB,OC=mAO。试说明OP与OQ是数量关系,选择条件:(1)m=1,(2)m=k=1。

2011年中考几何经典证明题

(二)1、如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为CB延长线上一点,且∠EAB=∠BAD,设DC=kBD,试探究EC与EA的数量关系。

5、如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,∠CAD=∠B,AC=kAB,E在AD延长线上,∠CED=∠ADB,探究AE与AD的关系。

6、如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB, AB=kAC,探究BE与AE是数量关系。

第五篇:中考数学几何证明题「含答案」

重庆中考(往届)数学24题专题练习

1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE

(1)求证:BE=CE;

(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.

在BG上取BH=AB=CD,连EH,显然△ABE与△CDE全等,则∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC

又∠BEC=90°=∠BFC,对顶角∠BGE=∠CGF,故∠FBE=∠DCE,所以∠ABE=∠FBE

在BF上取BH=AB,连接EH,由BH=AB,∠ABE=∠FBE,BE=BE,故△ABE与△HBE全等

故∠AEB=∠HEB,AE=EH

而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°,∠AEB=∠DEC,∠BEC=90°

所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB

故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED

同理,∠DEG=45°=∠HEG

EH=AE=ED,EG=EG

故△HEG与△FEG全等,所以HG=DG

即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.

(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;

(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.

3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.

(1)当CE=1时,求△BCE的面积;

(2)求证:BD=EF+CE.

4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E

EF∥CA,交CD于点F,连接OF.

(1)求证:OF∥BC;

(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.

5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.

(1)求线段CD的长;

(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.

6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.

(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面积;

(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.

7、已知:如图,ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.

(1)求证:AE=ED;

(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.

8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.

(1)求证:∠DAE=∠DCE;

(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.

9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.

(1)求证:DP平分∠ADC;

(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.

10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;

(1)证明:EF=EA;

(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.

11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.

(1)求证:EB=EF;

(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.

12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.

(1)求证:AE=GF;

(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.

13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.

(1)求证:FC=BE;

(2)若AD=DC=2,求AG的长.

14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.

(1)求证:AD=BE;

(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.

15、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

(1)求证:AD=AE;

(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.

16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.

(1)求证:AE⊥BD;

(2)若AD=4,BC=14,求EF的长.

17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.

(1)求证:CD=BE;

(2)若AD=3,DC=4,求AE.

18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.

19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.

(1)求证:BF=EF﹣ED;

(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.

20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.

(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求

AE的长.

(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.

21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.

(1)求证:DH=(AD+BC);

(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.

22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.

(1)求证:△AGE≌△DAB;

(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.

23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.

(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;

(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;

(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.

24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.

(1)证明:△ABE≌△DAF;

(2)求∠BPF的度数.

25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.

(1)求∠ABC的度数;

(2)如果BC=8,求△DBF的面积?

26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.

(1)求证:△AGD为正三角形;

(2)求EF的长度.

27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.

(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.

(2)求证:ED=BE+FC.

28、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.

(1)求证:△BCE≌△AFE;

(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.

29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.

求证:

(1)△BFC≌△DFC;

(2)AD=DE;

(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.

30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.

(1)求证:四边形ABED是菱形;

(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.

参考答案

1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE

(1)求证:BE=CE;

(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.

证明:(1)已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,∴AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE;

(2)延长CD和BE的延长线交于H,∵BF⊥CD,∠HEC=90°,∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH,又∠BEC=∠CEH=90°,BE=CE(已证),∴△BEG≌△CEH,∴EG=EH,BG=CH=DH+CD,∵△BAE≌△CDE(已证),∴∠AEB=∠GED,∠HED=∠AEB,∴∠GED=∠HED,又EG=EH(已证),ED=ED,∴△GED≌△HED,∴DG=DH,∴BG=DG+CD.

2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.

(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;

(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.

(1)证明:∵HE=HG,∴∠HEG=∠HGE,∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,∴∠BEH=∠FGC,∵G是HC的中点,∴HG=GC,∴HE=GC,∵∠HBE=∠CFG=90°.

∴△EBH≌△GFC;

(2)解:∵ED平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°,∴AD=DF,∵DF=DC﹣FC,∵△EBH≌△GFC,∴FC=BH=1,∴AD=4﹣1=3.

3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.

(1)当CE=1时,求△BCE的面积;

(2)求证:BD=EF+CE.

(2)过E点作EM⊥DB于点M,四边形FDME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,△BME≌△ECB,BM=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.

(1)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴,∵DC∥AB,AD=BC,∴∠DAB=∠CBA=60°,∴∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=90°,∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°,∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°,∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°,在Rt△BCE中,BE=2CE=2,∴…(5分)

(2)证明:过E点作EM⊥DB于点M,∴四边形FDME是矩形,∴FE=DM,∵∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,∴△BME≌△ECB,∴BM=CE,∴BD=DM+BM=EF+CE…(10分)

4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E作EF∥CA,交CD于点F,连接OF.

(1)求证:OF∥BC;

(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.

解答:(1)证明:延长EF交AD于G(如图),在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∵EF∥CA,EG∥CA,∴四边形ACEG是平行四边形,∴AG=CE,又∵,AD=BC,∴,∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF,在△CEF和△DGF中,∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG,∴△CEF≌△DGF(AAS),∴CF=DF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OF∥BE.

(2)解:如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形.

证明:∵OF∥CE,EF∥CO,∴四边形OCEF是平行四边形,∴EF=OC,又∵梯形OBEF是等腰梯形,∴BO=EF,∴OB=OC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2BO.

∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.

5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.

(1)求线段CD的长;

(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.

(1)解:连接BD,由∠ABC=90°,AD∥BC得∠GAD=90°,又∵BF⊥CD,∴∠DFE=90°

又∵DG=DE,∠GDA=∠EDF,∴△GAD≌△EFD,∴DA=DF,又∵BD=BD,∴Rt△BAD≌Rt△BFD(HL),∴BF=BA=,∠ADB=∠BDF

又∵CF=6,∴BC=,又∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠BDF=∠CBD,∴CD=CB=8.

(2)证明:∵AD∥BC,∴∠E=∠CBF,∵∠HDF=∠E,∴∠HDF=∠CBF,由(1)得,∠ADB=∠CBD,∴∠HDB=∠HBD,∴HD=HB,由(1)得CD=CB,∴△CDH≌△CBH,∴∠DCH=∠BCH,∴∠BCH=∠BCD==.

6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.

(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面积;

(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.

解:(1)连AC,过C作CM⊥AD于M,如图,在Rt△ABC中,AB=6,sin∠ACB==,∴AC=10,∴BC=8,在Rt△CDM中,∠D=45°,∴DM=CM=AB=6,∴AD=6+8=14,∴梯形ABCD的面积=•(8+14)•6=66(cm2);

(2)证明:过G作GN⊥AD,如图,∵∠D=45°,∴△DNG为等腰直角三角形,∴DN=GN,又∵AD∥BC,∴∠BFH=∠FHN,而∠EFH=∠FHG,∴∠BFE=∠GHN,∵EF=GH,∴Rt△BEF≌Rt△NGH,∴BE=GN,BF=HN,∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE.

7、已知:如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.

(1)求证:AE=ED;

(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.

(1)证明:如图.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.

∵DF=CD,∴AB∥DF.

∵DF=CD,∴AB=DF.

∴四边形ABDF是平行四边形,∴AE=DE.

(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.

∴AC⊥BD.

∴∠COD=90°.

∵四边形ABDF是平行四边形,∴AF∥BD.

∴∠CAF=∠COD=90°.

8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.

(1)求证:∠DAE=∠DCE;

(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.

(1)证明:在△DAE和△DCE中,∠ADE=∠CDE(正方形的对角线平分对角),ED=DE(公共边),AE=CE(正方形的四条边长相等),∴△DAE≌△DCE

(SAS),∴∠DAE=∠DCE(全等三角形的对应角相等);

(2)解:如图,由(1)知,△DAE≌△DCE,∴AE=EC,∴∠EAC=∠ECA(等边对等角);

又∵CG=CE(已知),∴∠G=∠CEG(等边对等角);

而∠CEG=2∠EAC(外角定理),∠ECB=2∠CEG(外角定理),∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°,∴∠G=∠CEG=30°;

过点C作CH⊥AG于点H,∴∠FCH=30°,∴在直角△ECH中,EH=CH,EG=2CH,在直角△FCH中,CH=CF,∴EG=2×CF=3CF.

9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.

(1)求证:DP平分∠ADC;

(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.

(1)证明:连接PC.

∵ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.

∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.(SAS)

∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.

∴∠EAF=∠BAD=90°.

∵P是EF的中点,∴PA=EF,PC=EF,∴PA=PC.

AD=CD,PD公共,∴△PAD≌△PCD,(SSS)

∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;

(2)作PH⊥CF于H点.

∵P是EF的中点,∴PH=EC.

设EC=x.

由(1)知△EAF是等腰直角三角形,∴∠AEF=45°,∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°,∴EF=2x,FC=x,BE=2﹣x.

在Rt△ABE中,22+(2﹣x)2=(x)2解得

x1=﹣2﹣2(舍去),x2=﹣2+2.

∴PH=﹣1+,FD=(﹣2+2)﹣2=﹣2+4.

∴S△DPF=(﹣2+4)×=3﹣5.

10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;

(1)证明:EF=EA;

(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.

(1)证明:

∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.

∵E为CD的中点,∴ED=EC.

∴△ADE≌△FCE.

∴EF=EA.(5分)

(2)解:连接GA,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠DAB=90°.

∵DG⊥BC,∴四边形ABGD是矩形.

∴BG=AD,GA=BD.

∵BD=BC,∴GA=BC.

由(1)得△ADE≌△FCE,∴AD=FC.

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA.

∵由(1)得EF=EA,∴EG⊥AF.(5分)

11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.

(1)求证:EB=EF;

(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.

(1)证明:∵△ADF为等边三角形,∴AF=AD,∠FAD=60°(1分)

∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB(2分)

∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,(3分)

∵AE为公共边

∴△FAE≌△BAE(4分)

∴EF=EB(5分)

(2)解:如图,连接EC.(6分)

∵在等边三角形△ADF中,∴FD=FA,∵∠EAD=∠EDA=15°,∴ED=EA,∴EF是AD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.(7分)

由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°.

∵∠FAE=∠BAE=75°,∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,∴BE=BA=6.

∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,∴∠GEB=30°,∵∠ABC=60°,∴∠GBE=30°

∴GE=GB.(8分)

∵点G是BC的中点,∴EG=CG

∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°,∴△CEG为等边三角形,∴∠CEG=60°,∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°(9分)

∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2

∴CE=,∴BC=(10分);

解法二:过C作CQ⊥AB于Q,∵CQ=AB=AD=6,∵∠ABC=60°,∴BC=6÷=4.

12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.

(1)求证:AE=GF;

(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.

(1)证明:∵AB=DC,∴梯形ABCD为等腰梯形.

∵∠C=60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°.

∴∠DBC=∠ADB=30°.

∴∠BDC=90°.(1分)

由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分)

又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中点,∵F是DC的中点,∴EF∥BC.

∴EF∥AD.

∴四边形AEFD是平行四边形.(3分)

∴AE=DF(4分)

∵F是DC的中点,DG是梯形ABCD的高,∴GF=DF,(5分)

∴AE=GF.(6分)

(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,∵AE=1,∴AD=2.

在Rt△DGC中∠C=60°,并且DC=AD=2,∴DG=.(8分)

由(1)知:在平行四边形AEFD中EF=AD=2,又∵DG⊥BC,∴DG⊥EF,∴四边形DEGF的面积=EF•DG=.(10分)

13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.

(1)求证:FC=BE;

(2)若AD=DC=2,求AG的长.

解答:(1)证明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,∴∠ABC=∠AFE.

∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,∴△ABC≌△AFE,∴AB=AF.

∴AE﹣AB=AC﹣AF,即FC=BE;

(2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC,∴AF=AC=AE.

∴AG=CG,∴∠E=30°.

∵∠EAD=90°,∴∠ADE=60°,∴∠FAD=∠E=30°,∴FC=,∵AD∥BC,∴∠ACG=∠FAD=30°,∴CG=2,∴AG=2.

14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.

(1)求证:AD=BE;

(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.

(1)证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∵∠ABC=90°,∴∠BAD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEC=90°

∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∵∠DAE=∠EBC,AE=BC,∴△EAD≌△EBC,∴AD=BE.

(2)答:△ABF是等腰直角三角形.

理由是:延长AF交BC的延长线于M,∵AD∥BM,∴∠DAF=∠M,∵∠AFD=∠CFM,DF=FC,∴△ADF≌△MFC,∴AD=CM,∵AD=BE,∴BE=CM,∵AE=BC,∴AB=BM,∴△ABM是等腰直角三角形,∵△ADF≌△MFC,∴AF=FM,∴∠ABC=90°,∴BF⊥AM,BF=AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形.

15、(2011•潼南县)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

(1)求证:AD=AE;

(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.

解答:(1)证明:连接AC,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC,∴∠ACD=∠ACB,∵AD⊥DC,AE⊥BC,∴∠D=∠AEC=90°,∵AC=AC,∴,∴△ADC≌△AEC,(AAS)

∴AD=AE;

(2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC,设AB=x,则BE=x﹣4,AE=8,在Rt△ABE中∠AEB=90°,由勾股定理得:82+(x﹣4)2=x2,解得:x=10,∴AB=10.

说明:依据此评分标准,其它方法如:过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分.

16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.

(1)求证:AE⊥BD;

(2)若AD=4,BC=14,求EF的长.

(1)证明:∵AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形,已知E是BD的中点,∴AE⊥BD.

(2)解:延长AE交BC于G,∵BD平分∠ABC,∴∠ABE=∠GBE,又∵AE⊥BD(已证),∴∠AEB=∠GEB,BE=BE,∴△ABE≌△GBE,∴AE=GE,BG=AB=AD,又F是AC的中点(已知),所以由三角形中位线定理得:

EF=CG=(BC﹣BG)=(BC﹣AD)

=×(14﹣4)=5.

答:EF的长为5.

17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.

(1)求证:CD=BE;

(2)若AD=3,DC=4,求AE.

(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCE,而BE⊥AC,∴∠D=∠BEC=90°,AC=BC,∴△BCE≌△CAD.

∴CD=BE.

(2)解:在Rt△ADC中,根据勾股定理得AC==5,∵△BCE≌△CAD,∴CE=AD=3.

∴AE=AC﹣CE=2.

18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.

解:如图,过点D作DF∥AB,分别交AC,BC于点E,F.(1分)

∵AB⊥AC,∴∠AED=∠BAC=90度.

∵AD∥BC,∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度.

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=4,∴AC=BC•sin45°=4×=2(2分)

在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=45°,AD=1,∴DE=AE=.∴CE=AC﹣AE=.(4分)

在Rt△DEC中,∠CED=90°,∴DC==.(5分)

19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.

(1)求证:BF=EF﹣ED;

(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.

证明:∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,∴△FCE≌△F′CE,∴EF′=EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;

(2)解:∵AB=BC,∠B=80°,∴∠ACB=50°,由(1)得∠FEC=∠DEC=70°,∴∠ECB=70°,而∠B=∠BCD=80°,∴∠DCE=10°,∴∠BCF=30°,∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°.

20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.

(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求

AE的长.

(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.

解:(1)作EM⊥AB,交AB于点M.∵AE=BE,EM⊥AB,∴AM=BM=×6=3;

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°,∴四边形AMEF是矩形,∴EF=AM=3;

在Rt△AFE中,AE==5;

(2)延长AF、BC交于点N.

∵AD∥EN,∴∠DAF=∠N;

∵∠AFD=∠NFC,DF=FC,∴△ADF≌△NCF(AAS),∴AD=CN;

∵∠B+∠N=90°,∠BAE+∠EAN=90°,又AE=BE,∠B=∠BAE,∴∠N=∠EAN,AE=EN,∴BE=EN=EC+CN=EC+AD,∴CE=BE﹣AD.

.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.

(1)求证:DH=(AD+BC);

(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.

解:(1)证明:过D作DE∥AC交BC延长线于E,(1分)

∵AD∥BC,∴四边形ACED为平行四边形.(2分)

∴CE=AD,DE=AC.

∵四边形ABCD为等腰梯形,∴BD=AC=DE.

∵AC⊥BD,∴DE⊥BD.

∴△DBE为等腰直角三角形.(4分)

∵DH⊥BC,∴DH=BE=(CE+BC)=(AD+BC).(5分)

(2)∵AD=CE,∴.(7分)

∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6,∴.

∴梯形ABCD的面积为18.(8分)

注:此题解题方法并不唯一.

22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.

(1)求证:△AGE≌△DAB;

(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,DG∥BC,∴∠AGD=∠ABC=60°,∠ADG=∠ACB=60°,且∠BAC=60°,∴△AGD是等边三角形,AG=GD=AD,∠AGD=60°.

∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,∴△AGE≌△DAB;

(2)解:由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG.

∵EF∥DB,DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形.

∴EF=BD,∴EF=AE.

∵∠DBC=∠DEF,∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60°.

∴△AFE是等边三角形,∠AFE=60°.

23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.

(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;

(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;

(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.

解:(1)证明:∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;

(2)△DCF是等腰直角三角形,证明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF=(BC﹣AD)=1,∵DC=,∴由勾股定理得:DF=1,∴△DCF是等腰直角三角形;

(3)共四种情况:

∵DF⊥BC,∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,即PF=1,∴PB=1;

当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=2;

当PC=CD=(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3﹣;

当PC=CD=(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3+.

故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3﹣,PB=3+.(每个1分)

24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.

(1)证明:△ABE≌△DAF;

(2)求∠BPF的度数.

解答:(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB=CD,∵AD=DC,∴BA=AD,∠BAE=∠ADF=120°,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,∴△ABE≌△DAF(SAS).

(2)解:∵由(1)△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF.

∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE.

而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,∴∠BPF=120°.

25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.

(1)求∠ABC的度数;

(2)如果BC=8,求△DBF的面积?

解答:解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,∴∠DBC=∠ABD,∵在梯形ABCD中AB=DC,∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC,∵BD⊥DC,∴∠DBC+2∠DBC=90°

∴∠DBC=30°

∴∠ABC=60°

(2)过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵∠DBC=30°,BC=8,∴DC=4,∵CF=CD∴CF=4,∴BF=12,∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°,∠F=∠FDC

∴∠F=30°,∵∠DBC=30°,∴∠F=∠DBC,∴DB=DF,∴,在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DBF的面积为.

26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.

(1)求证:△AGD为正三角形;

(2)求EF的长度.

(1)证明:连接BE,∵梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD,可证△ABC≌△DCB,∴∠GCB=∠GBC,又∵∠BGC=∠AGD=60°

∴△AGD为等边三角形,(2)解:∵BE为△BCG的中线,∴BE⊥AC,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,∴EF=AB=5cm.

27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.

(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.

(2)求证:ED=BE+FC.

解:(1)∵∠BEC=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°,∵∠ECD=45°,∴∠DCF=60°,在Rt△DFC中:∠DCF=60°,FC=3,∴DF=3,DC=6,由题得,四边形ABFD是矩形,∴AB=DF=3,∵AB=BC,∴BC=3,∴BF=BC﹣FC=3﹣3,∴AD=DF=3﹣3,∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3,答:梯形ABCD的周长是9+3.

其实也还有一种方法的啦。

(2)过点C作CM垂直AD的延长线于M,再延长DM到N,使MN=BE,∴CN=CE,可证∠NCD=∠DCE,∵CD=CD,∴△DEC≌△DNC,∴ED=EN,∴ED=BE+FC.

28、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.

(1)求证:△BCE≌△AFE;

(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.

(1)证明:∵AD∥BC,E是AB的中点,∴AE=BE,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F.

∴△BCE≌△AFE(AAS).

(2)解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠ABC=90°.

∵AE=BE,∠AEF=∠BEC,∴△BCE≌△AFE.

∴AF=BC=4.

∵EF2=AF2+AE2=9+16=25,∴EF=5.

29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.

求证:

(1)△BFC≌△DFC;

(2)AD=DE;

(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.

(1)∵DC=BC,∠1=∠2,CF=CF,∴△DCF≌△BCF.

(2)延长DF交BC于G,∵AD∥BG,AB∥DG,∴四边形ABGD为平行四边形.

∴AD=BG.

∵△DFC≌△BFC,∴∠EDF=∠GBF,DF=BF.

又∵∠3=∠4,∴△DFE≌△BFG.

∴DE=BG,EF=GF.

∴AD=DE.

(3)∵EF=GF,DF=BF,∴EF+BF=GF+DF,即:BE=DG.

∵DG=AB,∴BE=AB.

∵C△DFE=DF+FE+DE=6,∴BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6.

∴AB+AD=6.

又∵AD=2,∴AB=4.

∴DG=AB=4.

∵BG=AD=2,∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3.

又∵DC=BC=5,在△DGC中∵42+32=52

∴DG2+GC2=DC2

∴∠DGC=90°.

∴S梯形ABCD=(AD+BC)•DG

=(2+5)×4

=14.

30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.

(1)求证:四边形ABED是菱形;

(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.

解答:解:(1)证明:∵AD∥BC,DE2=CD2+CE2=42+32=25,∴∠OAD=∠OEB,∴DE=5

又∵AB=AD,AO⊥BD,∴AD=BE=5,∴OB=OD,∴S梯形ABCD=.

又∵∠AOD=∠EOB,∴△ADO≌△EBO(AAS),∴AD=EB,又∵AD∥BE,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD

∴四边形ABCD是菱形.

(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DE=BE,

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