平行线的性质与判定综合提高题（模版）

第一篇：平行线的性质与判定综合提高题（模版）

二、填空题

1．如图，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB

等于．

C

A

E 3题图

B

D

2．如右上图将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____________。

3．如下图，已知直线AB//CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2=.4．如图，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB//CD，试写出符合要求的一个条件：。

l3 3 P

l2l

1（第5题）

5．如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=.三、(1)如图，AB∥DE ∥ CF，你能找到∠BCE.∠B和 ∠E之间的关系吗？

(2)如图，AB∥DE，你能找到∠BCE.∠B和 ∠E 之间的关系吗？(3)如图，AB∥DE，你能找到∠1.∠2和 ∠3 ∠4之间的关系吗？

(4)如图，AB∥DE，你能找到∠1.∠2.∠3 ∠4.∠5.∠6 ∠7之间的关系吗？B

A A B B

F

D DD

E EB

E

四、互助探索之旅

(1)如图，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝________度.(2)如图，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝________度.MA1 M

A

1A

2A

3N

A2N

(3)如图10，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_______度.(4)如图11，MA1∥NA5，则 ∠A1＋∠A2＋∠

A3＋∠A4＋∠A5＝_______度.M

A1

A2

M

A1

M

0A1

A2 A3

A3

A2 A3 A4 A5 A6

N

A

4N

A4 A

5N

An

(5)从上述结论中你发现了什么规律？如图，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝

______度.五、达标测试

1.推理填空.（基本题）⑴∵ ∠A=______(已知), ∴AC∥ED().⑵∵ ∠2=______(已知), ∴AC∥ED().⑶∵ ∠A+_____ =1800(已知), ∴AB∥FD().图 X ⑷∵ ∠2+_____ =1800(已知), ∴AC∥DE().2.（中档题）如图15，已知AB∥CD，∠130，∠290，则∠3等于_______ 3.（能力挑战题）

如图，AB∥CD，∠A =110°∠C =60°那么∠P =______





北

P

AC

BD

5０Ｂ

图1

5Ａ

南

4．如右上图，在Ａ，Ｂ两地之间要修一条笔直的公路，从Ｂ测得公路的走向是北偏东５０度，那么从Ａ点测得公路的走向是南偏西_______度。

5.一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行, 若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.6．如图，用吸管吮吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1＝74°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠2＝______度．

六、开放性题目探究

1.已知：AB‖CD，要使∠B = ∠D，还需要补充一个什么条件？

O

B

A

C

E

2.已知① ∠B＋∠D＝ 180°

② AB‖CD ③ CD‖DE

将其中两个作为条件，另一个做为由此得到的结论，你能写出几种情况？试一试。

第二篇：平行线性质判定提高讲义

【例题精讲】

例1.如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠E=37°，求：∠F

例2.如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA

例3．如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

E F

D

例4.如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．

A

B

例5.已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B=∠ADE，试说明∠1=∠2．

例6.如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α。

例7.如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β、γ有何关系。

例8.如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。求征：AB∥EF．

例9.探究：

（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；

（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？

（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？

【跟踪练习】

1.如图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．

2.如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，求∠BCD度数．

4．已知如图BHDBACA

C F

D

E

5.若直线AB∥ED

第三篇：平行线及其判定与性质练习题

平行线及其判定

1、基础知识

(1)在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作______．(2)在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：。

(4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．

(5)两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：

①两条直线被第三条直线所截，如果______，那么这两条直线平行，这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．

②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______． ③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：

2、已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么____________.(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________.(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________.(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________.(____________，____________)(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________.(____________，____________)(6)如果∠6＝∠3，那么____________.(____________，____________)

3、已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．(1)∵∠B＝∠3(已知)，∴______∥______.(______，______)(2)∵∠1＝∠D(已知)，∴______∥______.(______，______)(3)∵∠2＝∠A(已知)，∴______∥______.(______，______)(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，∴______∥______.(______，______)

4、作图：已知：三角形ABC及BC边的中点D，过D点作DF∥CA交AB于M，再过D点作DE∥AB交AC于N点．

5、已知：如图，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．（尝试用三种方法）

6、已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2，试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由．(1)问题的结论：DF______AE．

(2)证明思路分析：欲证DF______AE，只要证∠3＝______．(3)证明过程：

证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，()∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定义)又∠1＝∠2，()从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质)即∠3＝______.∴DF______AE．(___________，___________)

7、已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC． 证明∵∠ABC＝∠ADC，11ABCADC.2∴2()又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴111ABC,2ADC.22()∵∠______＝∠______.()∵∠1＝∠3，()∴∠2＝______．()∴______∥______.()

8、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，试确定直线a与直线c的位置关系，并说明你的理由．(1)问题的结论：a______c．

(2)证明思路分析：欲证a______c，只要证______∥______．(3)证明过程：

证明：∵∠1＝∠2，()∴a∥______，(_________，_________)① ∵∠3＋∠4＝180°

∴c∥______，(_________，_________)② 由①、②，因为a∥______，c∥______，∴a______c.(_________，_________)

9、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180°其中正确的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4

10、下列说法中，正确的是()．(A)不相交的两条直线是平行线．

(B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(C)从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离．

(D)在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．

11、如图5，将一张长方形纸片的一角斜折过去，顶点A落在A′处，BC为折痕，再将BE翻折过去与BA′重合，BD为折痕，那么两条折痕的夹角∠CBD＝ 度．

图6

12、图（6）是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°、72°、72°，则图中共有＿＿＿ 对平行线。

13、下列说法正确的是()（A）有且只有一条直线与已知直线垂直

（B）经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直（C）连结两点的线段叫做这两点间的距离

（D）过点A作直线l的垂线段，则这条垂线段叫做点A到直线l的距离

14、同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c

平行线的性质 1．基础知识

(1)平行线具有如下性质

①性质1：______被第三条直线所截，同位角______．这个性质可简述为两直线______，同位角______． ②性质2：两条平行线______，______相等．这个性质可简述为____________，______． ③性质3：____________，同旁内角______．这个性质可简述为____________，______．

(2)同时______两条平行线，并且夹在这两条平行线间的____________叫做这两条平行线的距离． 2．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．(1)如果AB∥EF，那么∠2＝______，理由是_____________________________________.(2)如果AB∥DC，那么∠3＝______，理由是____________________________________.(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______，理由是_______________________________.(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______，理由是________________________.3．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．(1)∵DE∥AB，()∴∠2＝______.(___________________)(2)∵DE∥AB，()∴∠3＝______.(___________________)(3)∵DE∥AB()，∴∠1＋______＝180°．(____________________)4．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4． 解题思路分析：欲求∠4，需先证明______//______.解：∵∠1＝∠2，()∴______//______.(__________________)∴∠4＝_____＝_____°.(__________________)5．已知：如图，∠1＋∠2＝180°，求证：∠3＝∠4． 证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______//______.证明：∵∠1＋∠2＝180°，()∴______//______.(_________________)∴∠3＝∠4．(_________，_________)6．已知：如图，∠A＝∠C，求证：∠B＝∠D．

证明思路分析：欲证∠B＝∠D，只要证______//______.证明：∵∠A＝∠C，()∴______//______.(_________，_________)∴∠B＝∠D．(_________，_________)7．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，求证：CD是∠BCE的平分线．

证明思路分析：欲证CD是∠BCE的平分线，只要证______//______.证明：∵AB∥CD，()∴∠2＝______.(_________，_________)但∠1＝∠B，()∴______＝______.(等量代换)即CD是____ ________.8．已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°，求∠A的度数． 解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大小． 解：∵CD∥AB，∠B＝35°，()∴∠2＝∠______=______°(_________，_________)而∠1＝75°，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。∵CD∥AB，()∴∠A＋______＝180°．(_________，_________)∴∠A＝______=______.9．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求∠D的度数． 分析：可利用∠DCE作为中间量过渡． 解：∵AB∥CD，∠B＝50°，()∴∠DCE＝∠______=______°(_________，_________)又∵AD∥BC，()∴∠D＝∠______=______°(_________，_________)想一想：如果以∠A作为中间量，如何求解? 解法2：∵AD∥BC，∠B＝50°，()∴∠A＋∠B＝______.(_________，_________)即∠A＝______-______=______°-______°=______.∵DC∥AB，()∴∠D＋∠A＝______.(_________，_________)即∠D＝______-______=______°-______°=______.10．已知：如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数． 解：过P点作PM∥AB交AC于点M． ∵AB∥CD，()∴∠BAC＋∠______＝180°()∵PM∥AB，∴∠1＝∠______，()且PM∥______。(平行于同一直线的两直线也互相平行)∴∠3＝∠______。(两直线平行，内错角相等)∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，()111______,4______22()11BACACD9022()14∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°()总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线______。

11．已知：如图，已知DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠E的度数．

12．问题探究：(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角的大小有何关系?举例说明．

(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小有何关系?举例说明．

13．已知：如图，AB∥CD，试猜想∠A＋∠AEC＋∠C＝?为什么?说明理由．

14．如下图，AB∥DE，那么∠BCD＝()．(A)∠2－∠1(B)∠1＋∠2(C)180°＋∠1－∠2(D)180°＋∠2－2∠1 15．如图直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2的度数是______．

（15题）（16题）

16．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFD的平分线相交于点P，且∠EFD＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝______度．

17．王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为______度．

18．已知：如图，AE⊥BC于E，∠1＝∠2．求证：DC⊥BC．

19．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB＝，则∠EFG等于()．(A)180°－(B)90°＋(C)180°＋(D)270°－

20．已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：∠FED＝∠BCD．

21．以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有()． ①对顶角的平分线 ②邻补角的平分线 ③平行线截得的一组同位角的平分线 ④平行线截得的一组内错角的平分线 ⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线(A)1个(B)2个(C)3个(4)4个

22．如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有()．(A)6个(B)5个

(C)4个(D)3个

23．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论正确的有()．

(1)∠C′EF＝32°(2)∠AEC＝148°

(3)∠BGE＝64°(4)∠BFD＝116°(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

24．如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠B＋∠D＝______．

25．如图，DC∥EF∥AB，EH∥DB，则图中与∠AHE相等的角有__________________.26．如图，BA⊥FC于A点，过A点作DE∥BC，若∠EAF＝125°，则∠B＝______.（24题）

（25题）

（26题）27．已知：如图，AC∥BD，折线AMB夹在两条平行线间．

图1 图2(1)判断∠M，∠A，∠B的关系；

(2)请你尝试改变问题中的某些条件，探索相应的结论。建议：①折线中折线段数量增加到n条(n＝3，4……)②可如图1，图2，或M点在平行线外侧．

28．已知：如图，∠B＝∠C，AE∥BC，求证：AE平分∠CAD． 证明：

26．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．

27．已知：如图，∠FED＝∠AHD，∠HAQ＝15°，∠ACB＝70°，∠CAQ＝55．求证：BD∥GE∥AH．

28．已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD．求证：AF∥EC．

29．已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，∠1＝∠2．求证：FG⊥AB．

30．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．判断BE与DE的位置关系并说明理由．

31．已知：如图，△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．

第四篇：平行线的性质和判定综合练习

初一数学通用版平行线的性质和判定综合练习

（答题时间：60分钟）

一、选择题

1.点到直线的距离是指

A.从直线外一点到这条直线的垂线

B.从直线外一点到这条直线的垂线段

C.从直线外一点到这条直线的垂线的长度

D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度

2.下图中，用数字表示的

1、

2、

3、4各角中，错误的判断是

A.若将AC作为第三条直线，则1和3是同位角

B.若将AC作为第三条直线，则2和4是内错角

C.若将BD作为第三条直线，则2和4是内错角

D.若将CD作为第三条直线，则3和4是同旁内角

3.如果角的两边有一边在同一条直线上，另一边互相平行，则这两个角

A.相等B.互补

C.相等且互补D.相等或互补

4.下列说法中正确的是

A.在所有连结两点的线中，直线最短

B.经过两点有一条直线，并且只有一条直线

C.内错角互补，则两直线平行

D.如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直

二、填空题

1.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝28°，则∠2＝_______。

2.已知直线AB∥CD，∠ABE60，∠CDE20，则∠BED度。



3.如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝60°，则∠2＝______度。

4.如图，直线MA∥NB，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝。

MN

P

AB

5.设a、b、c为平面上三条不同直线，（1）若a//b,b//c，则a与c的位置关系是_________；（2（若ab,bc，则a与c的位置关系是_________；（3）若a//b，bc，则a与c的位置关系是________。6.如图，填空：

⑴∵1A（已知）∴_____________（）⑵∵2B（已知）∴_____________（）⑶∵1D（已知）∴______________（）

三、解答题：

1.已知：如图，AOC与BOD为对顶角，OE平分 AOC，OF平分 BOD。请说明：OE、OF互为反向延长线。

2.已知：如图AB // CD，AD // BC。请说明：A＝C，B＝

D

3.已知；如图AB∥ED请说明：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°。

初一数学通用版平行线的性质和判定综合练习参考答案

一、选择题

1.D2.B3.D4.B

二、填空题 1.28°2.803.60°4.30°5.平行平行垂直 6.AB∥DE内错角相等，两直线平行AB∥DE同位角相等，两直线平行AC∥DF内错角相等，两直线平行

三、解答题

1.分析：要证OE、OF互为反向延长线，只要证明OE、OF在同一条直线上，也就是证明 EOF为180°即可。

解：∵AOC与BOD为对顶角（已知）∴  AOC＝BOD（对顶角相等）∵ OE平分AOC（已知）

∴ 1＝AOC（角平分线定义）

21同理2＝BOD

∴ 1＝2（等量的一半相等）∵ AB为直线（已知）

∴ AOF＋2＝180°（平角定义）有AOF＋1＝180°（等量代换）即EOF＝180°

∴OE、OF互为反向延长线。

说明：这是证明共线的常用方法。

2.分析：利用两直线平行同旁内角互补，由已知条件可推出A与B互补，C与B互补，于是A＝C，同理可证B＝

D

解：

∵AB//CD ∴C＋B＝180°（两直线平行同旁内角互补）∵AD //BC（已知）

∴A＋B ＝180°（两直线平行同旁内角互补）∴A＝C（同角的补角相等）

同理B＝D

3.分析一：欲求三个角的和为360°须将三个角的和分解出两对平行线的同旁内角，现只有一对平行线（这是已知条件），再添加一条直线即可构造出两对平行线。关键是这条线在哪里作更合适。再看求证三个角的三个顶点的位置，得到方法一：

解：方法一：过C点作

CF//AB

∵AB//ED（已知）∴FC//ED（平行于同一直线的两直线平行）B＋BCF＝180°（两直线平行同旁内角互补）FCD ＋D ＝180°（两直线平行同旁内角互补）∴B＋BCF＋∠FCD＋D＝360°（等量加等量和相等）即B＋BCD＋D＝360°

分析二：欲证三个角之和为360°，已知周角是360°，故须将这三个角转化为周角。方法二：过C点作

CF // AB

∴ABC ＝BCF（两直线平行内错角相等）∵ED//AB（已知）

∴ED//CF（平行于同一直线的两直线平行）∴EDC＝DCF（两直线平行内错角相等）∵DCB＋BCF ＋FCD＝360°（周角定义）∴DCB ＋ABC＋CDE＝360°（等量代换）即BCD＋B＋D＝360°

分析三：欲证三个角之和为360°，若转化为两个邻补角之和也是360°，这两个邻角要和三个角有紧密的联系才能解决问题。

方法三：延长AB、ED，过C点作

CF//AB

∴3＝4（两直线平行内错角相等）∵AB // ED（已知）

∴ED // CF（平行于同一直线的两直线平行）∴1＝2（两直线平行内错角相等）

∵1＋EDC＝180°（平角定义）4＋ABC＝180°（平角定义）

∴1＋4＋EDC＋ABC＝360°（等量加等量和相等）2＋3＋EDC＋ABC＝360°（等量代换）即DCB＋D＋B＝360°

说明：一题多解可以很好地训练数学思维能力，同学们在做题过程中应主动训练自己一题多解的能力。

第五篇：平行线的判定和性质(综合篇)

北 京 四 中

编 稿：史卫红

审 稿：张 杨

责 编：姚一民

平行线的判定和性质（综合篇）

一、重点和难点：

重点：平行线的判定性质。

难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分 ②掌握推理论证的格式。

二、例题：

这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。

上述类型题目大致可分为两大类。

一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。

例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7

分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。

法

（一）证明：∵d是直线（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定义）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的补角相等）

∴a//c（同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）

法

（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代换）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代换）

∴a//c（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。

例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。

分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而

∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC。

证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）

又∵∠2+∠1=180°（已知）

∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）

∴AE//FC（同位角相等两直线平行）

∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）

又∵∠A=∠C（已知）

∴∠EBC=∠A（等量代换）

∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）

∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）

∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）

又∵DA平分∠BDF（已知）

∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义）

∴∠EBC=∠DBC（等量代换）

∴BC平分∠DBE（角平分线定义）

说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。

把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。

三、小结：证明角相等的基本方法

1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：

（1）同角（或等角）的余角相等；

（2）同角（或等角）的补角相等；

（3）对顶角相等；

（4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。

以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。

例3，如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。

分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：

证明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代换）。

例

4、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。

分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：

证明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（两直线平行，同旁内角互补），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等），同理可证∠B=∠D。

例

5、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。

分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠

1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠

1、∠E；被AB所截，形成内错角∠

2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：

证明：∵ AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定义），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定义），∴∠ADC=∠EGD（等量代换），∴EG//AD（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等），∠2=∠3（两直线平行内错角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换）。

四、两条直线位置关系的论证。

两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。

1、学过证明两条直线平行的方法有两大类

（一）利用角；

（1）同位角相等，两条直线平行；

（2）内错角相等，两条直线平行；

（3）同旁内角互补，两条直线平行。

（二）利用直线间位置关系：

（1）平行于同一条直线的两条直线平行；

*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。

例

6、如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。

分析：要证明AB//CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC和∠DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，条件中又已知∠1=∠2，于是只要证明∠EBC=∠BCF。

证明：∵ BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）

∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性质），∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。

例

7、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：DG//BC。

分析：要证明DG//BC，只需证明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需证明∠2=∠DCB，∠2与∠DCB又是同位角，只需证明CD//EF。根据题设CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。

（1）（平行线的判定）

（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）

（3）∠1=∠DCBDG//BC（平行线判定）

在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。

证明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定义），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定义），∴∠CDB=∠EFB（等量代换），∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）

又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代换），∴DG//BC（内错角相等，两直线平行）。

说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。

2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：

（1）两直线垂直的定义

（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。）

例

8、如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。

分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。证明CD⊥AB，根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件EF⊥AB，只要证明EF//CD，要证EF//CD，结合图形，只要证明∠2=∠DCB，因为∠1=∠2，只需证明∠DCB=∠1，而∠DCB与∠1是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG//BC，要证明DG//BC根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次：

∠3=∠BDG//BC∠DCB=∠2

（1）平行线判定

（2）平行线性质

CD⊥AB

（3）平行线判定性质（4）垂直定义

证明：∵∠3=∠B（已知），∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠DCB=∠2（等量代换），∴DC//EF（同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法：

接DC//EF（同位角相等，两直线平行），又∵EF⊥AB（已知），∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。）

3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用

∠EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。

五、一题多解。

例

9、已知如图，∠BED=∠B+∠D。求证：AB//CD。

法

（一）分析：要证明AB//CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。能不能为此创造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和AB、CD中的一条平行，那么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得到AB//CD。根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以这样的直线是存在的。接下来的问题是：过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围绕着E点展开的，因而选择E点作AB的平行线是较为理想的位置。

证明：过点E作EF//AB，∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠BED=∠1+∠2（全量等于部分之和），∴∠2=∠BED-∠1（等式性质），又∵∠BED=∠B+∠D（已知），∴∠D=∠BED-∠B（等式性质）

∴∠2=∠D（等量代换）

∴EF//CD（内错角相等，两直线平行），∵EF//AB（作图），∴AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）。

说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时，在图中添置新的线，以构成一个条件充分的图形，从而得出所求证的结论，像这样添置的线叫做辅助线，在画图时，辅助线用虚线画出。

法

（二）分析：如果在E点的另一侧添置AB的平行线（如图），同样可以凭此证得结论，但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同。

证明：过点E作EF//AB（如图），∴∠B+∠1=180o（两直线平行，同旁内角互补），∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角定义），∠BED=∠B+∠D（已知），∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代换），∴∠D+∠2=360o-（∠B+∠1）（等式性质）

=360o-180o（等量代换）

=180o

∴EF//CD（同旁内角互补，两直线平行），∵EF//AB（作图），∴AB//CD（平行于同一直线的两条直线平行）。

注意：在添置辅助线EF时，只能过E点作直线EF平行于直线AB、CD中的一条，而不能同时平行于AB和CD。

从另一个方面考虑这个命题，仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分：即已知AB//CD，能否得到∠BED=∠B+∠D的结论，仍然像例16法

（一）那样添置AB的平行线EF，可得到∠B=∠BEF，又由于AB//CD，则EF//CD。于是又有∠D=∠DEF，很显然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED。可知，交换原命题的题设和结论部分，仍然得到一个真命题。

北 京 四 中

池塘中的水浮莲

有一种水生植物水浮莲，生长速度很快，每昼夜能长一个新的水浮莲。就是说，一昼夜能一变二，两昼夜后，就成4棵，这样一天一天地增多。有一个小的池塘，放进1棵水浮莲，20天后，就长满了整个池塘。如果开始时放进2棵水浮莲，几天可以长满池塘？是10天吗？

想一想，你会得出正确答案的！

答案：19天．因为水浮莲的繁殖速度是经过一天，就一变二，放进1棵，第二天就变成了2棵。现在第一天放进2棵，就相当于放1棵经过一昼夜繁殖后池塘中的棵数。经过19天后，池溏也同样满了。放进1棵到池塘，其生长状况是：1，2，4，8，16，32，64，…，放进2棵后的生长状况是2，4，8，16，32，64，128，…，从比较可以看出，放进2棵，只相当于提早了一天。

北 京 四 中

平行线的性质

考点扫描:

会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算．

名师精讲:

平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下，能够得到的与图形有关的位置及数量关系．平行线的性质有：

（1）平行线永远不相交（定义）；

（2）两直线平行，同位角相等（性质公理）；

（3）两直线平行，内错角相等（性质定理1）；

（4）两直线平行，同旁内角互补（性质定理2）．

平行线的判定和平行线的性质不能混淆，应分清定理（或公理）的条件结论：

（1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的．

（2）性质定理说的是如果两条直线平行，它具有什么性质．

由此可见，判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理（称为“互逆”定理）．

中考典例:

1．（北京海淀区）已知：如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD的度数等于（）

A、110°

B、70°

C、55°

D、35°

考点：平行线的性质，角平分线

评析：因为∠A与∠ACD是同旁内角，又AB∥CD，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可知

∠A+∠ACD=180°．当∠A＝110°时，∠ACD=70°．又CE平分∠ACD，所以∠ACE=∠ECD=∠ACD=35°，故应选D．

2．（福建福州）如图，已知：l1//l2，∠1=100°，则∠2=

．

考点：平行线的性质

评析：∠1与∠3是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”的性质：可知∠1=∠3=100°．又∠2与∠3是邻补角，所以∠2=180°–100°=80°

真题专练:

1．（山西省）如图，直线a、b被直线c所截，且a//b，若∠1=118°，则∠2的度数为_________．

⑴

2．（龙岩市）如图AB∥CD，若∠ACD=69°，则∠CAB= __________

3．（苏州市）如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF, 若∠1=72°，则∠2=_______

（3）

4．（仙桃市）如图直线L1∥L2、L3分别与L1，L2相交,则∠1与∠2的关系为（）

（4）

A、∠1=∠B、∠1+∠2=180°

C、∠1+∠2=90°

D、∠1+∠2=360°

5．（镇江市）如图l1∥l2, ∠α是∠β的2倍, 则∠α等于（）

A：60°

B：90°

C：120°

D：150°

6．（临沂市）如图AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3=（）

A、180°

B、360°

C、540°

D、720°

7．（呼和浩特市）如图DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（A、3个

B、2个

C、5个

D、4个

答案： 1、62°2、111°3、54°

4、B5、C）

6、B（提示：过E作EF∥AB（或连结AC）

利用平行线间的同旁内角互补可知∠1+∠AEF=180°∠3+∠CEF=180°

∴∠1+∠2+∠3=360°；

7、D（提示：图中∠

1、∠

2、∠

3、∠4都与∠BFE互补）．