老教材定理与证明

第一篇：老教材定理与证明

----------[初中数学]---------

初中数学 经典教材系列 老人教版

定理与证明

教学目标

1使学生理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别

2使学生理解证明命题的思路、书写的格式，使学生对几何的重要内容之一——推理论证，有初步的认识，从而初步培养学生思维的条理性和逻辑性

教学重点和难点

重点是命题证明的一般步骤，难点是探索命题证明的思路以及思维方向

教学过程设计

一、复习命题，引入公理和定理

教师提问：学生思考后回答

1什么叫命题?请你说出一个数学命题

2什么叫真命题?什么叫假命题?请你分别举出两个实例

3在前面学过的真命题中，还有什么名称?

当学生回答完第三个问题后，教师再问

4公理和定理有什么区别?

先由学生随意回答，互相补充，然后教师与学生一起归纳总结

公理：它的正确性是人们长期实践中总结出来并作为判定其它命题真假的根据 定理：它是正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理

用幻灯投影命题与公理等关系

命题

真命题假命题(只需举一个反例)

公理(正确性由实践总结)

定理(正确性由推理证实)

二、证明的意义、过程和步骤

1证明的意义

请证明以下命题：三个连续奇数的和是3的整数倍

问：请学生们思考，怎样证明?

当三个连续奇数为3，5，7时，它们的和为3+5+7=15是3的整数倍，当三个数为7，8，9时，7+8+9=24，也对那么，我们能否这样试下去，能不能通过试具体数的方法，证明这个命题是真命题不能，如何证明呢?

设n为整数,三个连续奇数为2n+1,2n+3,2n+5,它们的积为(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因为n是整数,所以2n+3为整数,3(2 n+3)是3的整数倍。

这就是推理的过程

要判断一个命题的真假，必须要有推理论证的过程，也叫证明只有证明，才能区分命题的真假，否则就会得出错误的结论证明的意义就在于此

再问：“两个连续整数的平方差是一个奇数，这个命题是真还是假?怎样证明，学生分组讨论，选做出结果的同学板演或讲解 证明：设n为整数，n+1，n为两个连续整数

(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，因为2n+1为奇数，所以得证

2命题证明的一般步骤

例求证：同角的余角相等

已知：如图2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角

求证：∠2＝∠3

证明：因为∠2与∠1互为余角，(已知)

∠3与∠1互为余角，所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定义)

所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代换)

则∠2＝∠3(等量减等量差相等)

同学总结步骤：

1审题：分清命题的“题设”和“结论”

2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证

3想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法

4证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明

三、命题证明的练习

1证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直” 教师指导学生，按证明命题的四步，边讲边请学生回答如下问题：

(1)命题的“题设”和“结论”各是什么?学生回答后，教师板书：

已知：如图2—88，a∥b，a⊥c，求证：b⊥c

(2)以上译题时应注意：图形尽量准确，图中字母与译文要一致，不能随意添加或丢失条件或结论

(3)思维的逻辑路线是什么?

要证垂直，就是要证两条直线相交成90°的角，由第一条直线a与c垂直成90°角又a∥b，同位角相等，所以a与c的交角也为90°，所以b⊥c

(4)证明过程中有几对因果关系?(两对)

请学生写出证明过程，最好请两名证明顺序有所不同的学生到黑板上证，两种顺序如下证法

(一)：∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°(垂直的定义)

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)

∴∠2=90°，(等量代换)

∵b⊥c(垂直定义)

证法(二)：

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)

∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°，(垂直定义)

∴∠2=90°，(等量代换)

∴b⊥c(垂直定义)

2证明：“垂直于同一直线的两条直线平行”

教师给出命题后，让学生每人都在笔记本上自己做，然后找妯两个或三个学生，让他们在黑板上写出证明的过程在学生板演的过程中，教师提问：

(1)将此命题写成“如果„„，那么„„”的形式“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”

(2)已知，求证，及图形的画法，由学生分别写出和画出，并与板演的学生对照 已知：a⊥c，b⊥c，如图2—89，求证：a∥b

(3)师生共同探索证题的思考过程，然后找一位学生板演

证明：∵a⊥c，(已知)

∴∠1＝90°(垂直定义)

∵b⊥c，(已知)

∴∠2＝90°(垂直定义)

∴∠1＝∠2，(等量代换)

∴a∥b(同位角相等，两条直线平行)

以上过程也可以简写为：

∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°

(……)

四、总结

教师以提问形式，学生回答，教师纠正。

1命题，定理之间的关系是什么?(关系图)

2公理的正确性怎样判定?定理的正确性怎样判定?

3假命题应怎样判定?

4证明命题的一般步骤是什么?(审题、译题、想题、证题)

五、作业

1将第一章的定理、公理整理出来，将第二章的定理、公理、整理出来。2复习证明命题的一般步骤。

3如图2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，求证：∠C=∠2。

4如图2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥b，c∥d。

5(选作题)

证明：

(1)13个同学中必有2个或2个以上的同学在同一个月份出生。

(2)初一年级共有400人，必有2个或2个以上的同学的生日是同一天。

(注：以上证明可用抽屉原则。详细答案见“设计说明”。)

板书设计

定理与证明

一、公理与定理

三、证明练习

1公理例

12定理例

23关系图

四、总结

二、证明命题

五、作业

1意义例：

2一般步骤

课堂教学设计说明

1本教案的教学时间为1课时45分钟。

2关于真命题与定理的关系，可以告诉学生，在数学中经过推理论证是正确的真命题都可以作为定理。

2在前面的教学中，实际已经渗入了不少有关推理证明的问题，学生也已经熟悉。在这一节课中，对证明的过程再加以系统的总结和归纳，使学生在将来的证明中，书写和思考更加规范和合理。

3本节的例题内容和作业内容都比较简单。有些基础较好的学校和班级还可以适当补充难度大一些的题目。如抽屉原则的习题和某些代数证明题。以下几题可供参考：

(1)求证：对任意整数n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。

(提示：化简后原式=6(n+1))

(2)求证：任意两个连续整数的平方差是一个奇数。

(3)求证：无论a取何值，代数式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永远为0。4选作题答案：

(1)将12个月作为12个抽屉，13个学生当做13个苹果，根据抽屉原则：把多于n个苹果放到n个抽屉里，至少有一个抽屉有两个或两个以上的苹果，则13个同学中必有2个或2个以上的同学在同一个月份出生。

(2)一年365天看作365个抽屉，400个同学为400个苹果。

由抽屉原则可得到答案。

第二篇：定理与证明

定理与证明(一)

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

2、重点、难点分析

重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．

（二）教学建议

1、四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．

2、逐步渗透数学证明的思想：

（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为„„，所以„„”句式，“如果„„，那么„„”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．

（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．

（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．

教学目标：

1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．

2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．

3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．

教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．

教学过程：

一、复习提问

1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？

2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）

3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）

二、例题分析

例

1、证明：两直线平行，内错角相等．

已知：a∥b，c是截线．

求证：∠1＝∠2．

分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为

∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3＝∠2．

证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．

例

2、证明：邻补角的平分线互相垂直．

已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF．

分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．

三、课堂练习：

1、平行于同一条直线的两条直线平行．

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

四、归纳小结

主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．

五、布置作业

课本P143

5、（2）,7.六、课后思考：

1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线位置关系怎样？

第三篇：教材中一些定理的补充证明

人大龙永红编的教材中有一些推导省略了，为便于同学的学习，现补充如下：

一、超几何分布用二项分布做近似计算的证明：

M!

PXkCMCNM

CNnknkk!MNM!k!nk!NMnk!.N!

n!Nn!

n!

k!nk!N.N1.Nk1

k.M.M1.Mk1.NMNM1NMnk1NNk.Nk1Nn1CnM.M1.Mk1N.N1.Nk1

knk.NMM1NMnk1Nk.Nk1Nn1Cnpk1p

M

N，M.M1.Mk1N.N1.Nk1

1pnk这里p且M和N相对于n和k很大时,p,kNMNM1NMnk1

M!Nk.Nk1Nn1

注：第二个分式即M

Nk!N!，展开为n项的乘积，k！

N

第三个分式即M!k！

n！，展开为nk项的乘积。NMnk!NN

k二．泊松定理的证明 bk,n,pnCnpnk1

pnpnnknkn!k!(nk)!pnk1

nn1nk1npn

nkknpn1nnpn1nnk!k

n,npn,k固定，nn1nk1

n

kkk1nnpn

k!npn,1e（高数中重要极限k!nnpn1,11e）1,从而得证.xnxk

第四篇：定理与证明

《定理与证明》学案

【学习目标】

1．了解定理，证明的定义。

2．知定理必须证明是正确的命题后才可运用。(重点)

3．会用几何语言证明一个命题。(难点)

【问题导学】

1．阅读课本55页，写下并记忆五个基本事实。

1）两点确定一条直线；2）两点之间，线段最短；3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。

2．认真阅读课本56页后回答：

① 什么是定理？定理的作用是什么？

数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断他们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

作用：揭示客观事实的本质属性，作为进一步确认其他命题真假的依据。

② 认真完成“思考”的问题，参照云图中的提示，判断结论的正确与否：可知第一个结论不正确.23571113159509 第二个结论不正确.钝角三角形 第三个结论正确.对上面不正确的结论举反例说明。

③什么是证明？哪些可以作为证明的依据呢？

根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

3．阅读“直角三角形的两锐角互余”的证明后回答：

③ 写出这个命题的条件和结论，总结证明命题的步骤。

④ 仿照例题步骤证明定理“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”

4.阅读课本57页读一读，写出证明的依据有哪些？

定义、基本事实、已经学过的定理，等式的性质、等量代换

【课堂检测】

课本练习的第一题和第二题【学习小结】

第五篇：定理与证明

定理与证明(二)

一、教学目标

1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．

2．了解综合法证明的格式和步骤．

3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．

4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．

二、学法引导

1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．

2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．

三、重点·难点及解决办法

（－）重点

证明的步骤和格式是本节重点．

（二）难点

理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．

（三）解决办法

通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，点题，引入新课．

2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．

3．通过提问的形式完成小结．

七、教学步骤

（－）明确目标

使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整体感知

以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．

例1已知：如图1，是截线，求证： ．

证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．

∵（对项角相等），∴（等量代换）．

这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．

［板书］2.9定理与证明

探究新知

1．命题证明步骤

学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．

【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．

根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：第一步，画出命题的图形．

先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步，结合图形写出已知、求证．

把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．

学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．

【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．

反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．

（2）课本第112页A组第5题．

【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第一、二步．

2．命题的证明

例2证明：邻补角的平分线互相垂直．

【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．

（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．

邻补角用图2表示：

图2

添画邻补角的平分线，见图3：

图3

（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示：，角平分线用几何符号语言表示：，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： ．

（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．

有什么结论后可得（），由已知可以推导 吗？学生讨论思考．

【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．

已知：如图，，．

求证：

证明：∵（已知），又∵，（已知），∴ ．

∴（垂直定义）．

证明完成后提醒学生注意以下几点：

①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．

②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线，，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算．

③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．

反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”

【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．

3．判定一个命题是假命题的方法

师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？

【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．

根据学生说明，教师小结：

判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图，与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．

反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．

【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．

反馈练习

投影出示以下练习：

1．指出下列命题的题设和结论

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．

（3）对项角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．画图，写出已知，求证（不证明）

（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．

（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

3．抄写下题并填空

已知：如图，．

求证： ．

证明：∵（），∴（）．

∴（）．

【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．

总结、扩展

以提问的形式归纳出本节课的知识结构：

八、布置作业

（－）必做题

课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．

（二）思考题

课本第112页B组第l、2题．

作业答案

A组（略）

B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补）（同角的补角相等）．

2．已知：如图，、分别平分 与 ．求证： ．