《因式分解》图解教学设计

第一篇：《因式分解》图解教学设计

本文发表于《中学数学杂志》2003年第3期

《因式分解》图解教学设计

215006苏州市第一中学刘祖希

图解教学法是一种由来已久的教学形式，可以誉为数学结构化思想的缩影.图解通常呈现表格式、树图式、流程图式、统计图式、示意图式等.图解法较多地出现在单元复习和本章小结，也零星出现在教科书正文部分，如实数分类、三角形四边形分类等，其主要目的是将零散的知识进行疏理、精简、概括、形式化、结构化，以助理解记忆.是否可以突破目前图解对象仅仅限于数学基础知识的状况，将图解对象扩大为整个数学过程，包括认知规律、思想方法、学习技巧、操作要点，这是有待进一步探索的问题.因式分解是数学教学的难点之一，技巧性极强，因此愈发凸现方法的重要性.研究者们创造了多种教学方法，如变元思想串联法、仿造想象法、类比法[1][2]等等．本文运用传统图解法使因式分解教学条理化、系统化，达到分散难点、最终突破难点的目的,其主体是因式分解的知识系统图．《因式分解》在教材中的地位、联系

整式的加减整式的乘除 分式的运算

因式分解

2一级知识系统图

便于行文，将《因式分解》知识系统图分解为一级、二级两个层次.基本概念基本方法 因式分解一般步骤

主要用途

3二级知识系统图

3．1因式分解的基本概念

式整式整式整式因式分解的定义：多项律因式分解的依据：分配

乘积，与整式的乘法互逆整式代数和变为整式的因式分解后的变化：数原来的次数次数分散：各因式的次 因式分解基本概念次数2哪些多项式可能进行（继续）分解：各因式内部整理后项数3各因式内部化简、继续分解（与其他因式无关）分解，要求分解彻底加深理解，可类比因数

3．2因式分解的一般步骤

二项式平方差公式必要化简继续分解完全平方公式在各因式内部 因式分解一般步骤：多项式提公因式三项式分组继续分解必要化简分组四项以上式

3．3因式分解的主要用途

简便计算主要用途因式分解法解方程 因式分解分式的约分、化简灵活应用：可根据实际情况，采取局部、不彻底分解.

3．4因式分解的基本方法

低次字母：找相同字母的最找公因式的方法大公约数系数：找各项系数的最完全一样：型如A、A提公因式法公因式的类型相差倍数：型如A、kA互为相反数：型如A、A准确、彻底提公因式的要求程贯穿于因式分解的全过项”是关键识别多项式中的“平方一般方法运用公式法述，口到、心到、手到熟记三个公式的文字叙结合前两种基本方法分组是一种策略，紧密22”或“31”四项式：分成“因式分解基本方法32”或“221”分组分解法分组的技巧五项式：分成“六项式：分成“222”或“33”察能力、思维品质、科学精神分组可以锻炼学生的观）十字相乘法：（不举例待定系数法：如设x22x3分解为(xm)(xn)，展开比较系数，下略配方法：如x22x3(x22x1)4(x1)24(下略)特殊技巧422换元法：如x2x3，可令xy，下略添项法：如a44(a44a24)4a2(下略)32322拆项法：如a3a3a1(a2aa)(a2a1)(下略)

4教学注意事项

以上图解基本涵盖了教学全过程，但要实效性突破难点，还必须对几个教学要点进行强

化．此处文字较多暂不采用图解法.4．1 加强逆向思维训练

为什么“乘法公式”在《整式乘法》中的应用要比在《因式分解》中的应用自然流畅得多？说明我们的学生习惯运算、不习惯思维，长于聚合思维、弱于发散思维，教师应该有意识加强逆向思维、发散思维训练，不仅是在《因式分解》一章中，还必须在整个数学教学中．

4．2把握各种方法的关键

学习因式分解，要抓住关键，要让学生知道，方法有限，经过有限探索一定可以解决． “提公因式法”的关键是准确、彻底、及时，随时随地；

“运用公式法”的关键是善于识别“平方项”；

“分组分解法”的关键是勇于探索、迎难而上、永不气馁的意志品质．

4．3足量训练、注重总结

因式分解是每一代人学习的难点，会出现每一代人都要犯的错误，比如分解不彻底．这些错误完全可以通过足量训练，做到训练有素、熟能生巧．

总结经验，比如“轮换对称形式的多项式的分解结果也具有轮换对称性”这一不争事实，就可以帮助我们快速分解因式．

4．3紧贴课本、打好基础

充分使用课本习题，循序渐进，打好基础，防止任意拔高难度．尤其是接受较慢的学生可以要求他们对三个公式、三种方法的文字叙述做到“三个到”：口到、心到、手到，背得熟、想得到、写得出．

4．4设计题组、层层领悟

可以精心编选题组，使学生点滴进步、正反思考、逐步参悟．如：

提公因式法： 1(1)a2bab2； 2

11(2)a2bMab(N2b)，则MN 22

运用公式法：

(1)x22x1 1 4

1(3)2x22x 2(2)x2x

分组分解法：（略．可以按多项式的项数由四项到六项进行安排，也可以按分组时第一项和第二项、或第一项和第三项、或第一项和第四项搭配分别进行设计．）

因式分解及其方法的简单运用：

(1)若(x1)2(y2)20，则xy；

(2)若a2b24a2b50，则ab

(3)请你仿造(1)(2)自己编一个类似题目：

(4)若xy5,则6x6y；

(5)若xy5,xy6,则x2yxy2

(6)若xy5,xy6,则x3yxy3．（本题有意考察学生碰到阻碍怎么办）

参考文献：

[1]沈文选．中学数学思想方法．湖南师范大学出版社，1999、5

[2]朱成杰．数学思想方法教学研究导论．文汇出版社，2001、6

第二篇：因式分解教学设计)

因式分解教学设计

一、背景介绍

因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。

二、教学设计 【教学内容分析】

因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。

【教学目标】

1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学准备】

实物投影仪、多媒体辅助教学。【教学过程】 ㈠、情境导入

看谁算得快：（抢答）

(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。

【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。】

㈡、探究新知

1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2 =10000；

(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

【“与其拉马喝水，不如让它口渴”。探索最佳解题方法的过程，就是学生“口渴” 的地方。由此引起学生的求知欲。】

2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 =(a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)【利用教师的主导作用，把学生的无意识的观察转变为有意识的观察，同时教师应鼓励学生大胆描述自己的观察结果，并及时予以肯定。】

3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。）

【让学生自己概括出所感知的知识内容，有利于学生在实践中感悟知识的生成过程，培养学生的语言表达能力。】

板书课题：§6.1 因式分解

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也 叫分解因式。

㈢、前进一步

1、让学生继续观察：

2、(a+b)(a-b)= a2-b2 ,(a-b)2=a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？

（要注意让学生区分因式分解与整式乘法的区别，防止学生出现在进行因式分解当中，半路又做乘法的错误。）

【注重数学知识间的联系，给学生提供探索与交流的空间，让学生经历数学知识的生成过程，由学生发现整式乘法与因式分解的相互关系，培养学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。】

3、因式分解与整式乘法的关系：

因式分解

结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

整式乘法

说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

结论：因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。（多媒体展示学生得出的成果）

㈣、巩固新知

1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；

(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；

(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；(7)k2+ +2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac。

【针对学生易犯的错误，制造认知冲突，让学生充分暴露错误，然后通过分析、讨论，达到理解的效果。】

2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。

【学生出题热情、积极性高，因初一学生好表现，因而能激发学生学习兴趣，激活学生的思维。】

㈤、应用解释

例

检验下列因式分解是否正确：

22=(1)xy-xyxy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。

练习计算下列各题，并说明你的算法：(请学生板演)(1)872+87×13(2)1012-992 ㈥、思维拓展

1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 2．机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)(),且m= 【进一步拓展学生在数学领域内的视野，增强学生对数学的兴趣，使学生从小热衷于数学的学习和探索。通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。】

㈦、课堂回顾

今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。【课堂小结交给学生，让学生总结本节课中概念的发现过程，运用概念分析问题的过程，养成学生学习——总结——学习的良好习惯。唯有总结反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。】

㈧、布置作业

教科书第153的作业题。【设计思想】

叶圣陶先生曾说过课堂教学的最高艺术是看学生，而不是看教师，看学生能否在课堂中焕发生命的活力。因此本教学是按“投疑——感知——概括——巩固、应用和拓展”的叙述模式呈现教学内容的，这种呈现方式符合七年级学生的认知规律和学习规律，使学生从被动的学习到主动探索和发现的转化中感受到学习与探索的乐趣。本堂课先采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性，再把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。并在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式的教学方法，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原则。并改变了传统的言传身教的方式，恰当地运用了现代教育技术，展现了一个平等、互动的民主课堂。

第三篇：因式分解教学设计

13.5因式分解

喻屯二中张永超

因式分解（1）提公因式法

学习目标

1、了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的关系。明白

因式分解的结果可用式乘法来检验。

2、了解公因式的概念和提公因式的方法。

3、会用提公因式法分解因式。

学习重点：因式分解的概念，会用提公因式法分解因式。

学习难点：正确找出多项式各项的公因式，如何确定公因式以及提公因式后的另外一个因式。

课前诊断：

一﹑计算下列各题

（1）x（x+1）=（x2+x）÷x=

（2）-5a（a-5）=（-5a2+25a）÷（-５ａ）＝

（３）3a2b2（4a-3b2c）=（12a3b2-9a2b4c）÷3a2b2=

（4）ab（a-2b+1）=（a2b-2ab2+ab）÷ab=

导读思考：

一﹑因式分解

小明到超市购物，他分别买了苹果﹑香焦﹑葡萄各5千克。其中苹果

3.75元/千克﹑香焦2.13元/千克﹑葡萄4.12元/千克。小明一看价目表，立刻就知道花了多少钱，你知道小明是怎么算的吗？用的是什么数学方法？

若小明三种水果各买m千克，每千克分别为a ﹑b ﹑c元，则需多少钱？

ma+mb+mc=m（）从上面算式，你发现了什么？

等式左边特点：从左到右是把一个多项式化为因式分解与整式的乘法互为逆运算。可以用整式的乘法检验因式分解是否正确

判断下列各式哪些是因式分解，哪些是整式的乘法？

（1）8x-72=8（x-9）（2）（a+3）（a-3）=a2-9

（3）a2-ab=a（a-b）（4）y2-3y+1=y（y-3）+1

（5）25a2b-5ab=5ab（5a-1）（6）a2-2ab+b2=（a-b）2

二、提公因式法

1、公因式观察上式中的（1）（3）（5）（6）你发现了什么？

左边多项式中各项均含有一个＿＿＿＿＿ ＿＿，我们把它称为＿＿

＿＿＿。

思考：如何寻找公因式？并举例说明

2、提公因式法

如果多项式中各项均含有一个公因式，那么就把这个＿＿＿＿＿ ＿＿＿提出来，把这个多项式化成＿＿＿＿＿ 的形式，这种方法就叫提公因式法。试一试：把下列各式分解因式

（1）3 x+3y（2）-5a2+25a（3）a2b-2ab2+ab

（4）a（a-b）-b（a-b）（5）（2a+b）（2a-3b）+a（2a+b）

通过以上因式分解，你能总结出分解因式的关键所在吗？

精练反馈

一、把下列各式分解因式

（1）6ab-3a2b（2）24m2x16n2x

（3）4x3-6x2+2x（4）a（a-2）+2（2-a）

二、用提公因式法解下列各题

（1）972+97×3（2）3.7×3.8+3.7×6.2三、判断下列因式分解是否正确？若不正确请说明理由.(1)6x2y2z-9xy3=3xy(2xyz-3y2)

(2)9a2-6ab+3a=3a(3a-2b)

(3)-7ab-14abx+49aby=-7ab(1+2x+7y)

(4)4a2b+6ab2-8a=2ab(2a+3b)-8a

课外拓展:

1、把下列各式分解因式

(1)a+a2+a3(2)15x(a-b)2-3y(b-a)(3)-ab(a-b)2+a(b-a)

(4)(x-y)2-6x+6y2、先分解因式，再求值。

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=5,x=3

小节：

（1）因式分解的概念

（2）因式分解与整式乘法的联系与区别

（3）公因式的意义及找公因式的方法

（4）提公因式法分解因式及应注意的问题

第四篇：因式分解教学设计

因式分解——提示公因式的教学设计

新华中学数学教研组

【设计理念】

数学是培养学生思维能力，推理能力，计算能力等。本设计重在培养学生的思维能力、推理能力，通过问题引入、探究学习、应用归纳、练习巩固、拓展延伸，达到对知识的理解与掌握。

【教学目标】

（一）知识与能力

1、了解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的关系。

2、了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解。

（二）过程与方法

1、学会用提公因式法将多项式因式分解，通过逆变形探索新知识。

2、运用引导、观察、讨论、展示交流来明确提公因式的方法。

（三）情感态度价值观

在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法。

【教学重点】因式分解的意义及提公因式法进行因式分解。

【教学难点】正确找出多项式中各项公因式及因式分解与整式乘法的异同。

【教学流程】

一、了解因式分解的概念

1、创设情景引入新课：

填空：

①2(a+b)=①2a+2b=② x(x+1)=② x2+x=

③m(a+b+c)=③ma+mb+mc=

观察上面两组式子特点，引导学生归纳：

（1）因式分解的概念。

（2）因式分解与整式乘法的关系。

（3）公因式概念。

二、探索因式分解的方法（提公因式法）1指出下列各式的公因式。

• ①2x+4y8a+4b6a-12c

• ②X2y-ya3b2-abm4n4-m3n2c • ③3a2-9ab2ax2y+6x3yz4a3b-10a2b3c 归纳：找公因式的方法

• ①系数取各系数的最大公约数。

• ②相同因式的取最低次幂。

3、试着来分解因式：

•(1)x2-5xy

•(2)12mn-3n2

•(3)8a3b2+12ab3c

•(4)2a(b+c)－3(b+c)

想想：（1）提完公因式后怎样确定另一个因式？

（2）如何检验因式分解？

4、拓展延伸：

变式题：①2a(b－c)－2(c－b)②运用所学知识对此式进行化简

三、课堂小结： x1 2x-

11、因式分解的概念。

2、提取公因式法分解因式的方法。

第五篇：因式分解教学设计

《因式分解——提公因式法》教学设计

教学目标：

1、使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。

2、让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

3、通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。

教学重点、难点：

教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。教学难点：正确找出多项式中各项的公因式

教学过程：

一、温故知新

1、计算下列各式：

（1）x(x+1)= ；（2）(x+1)(x-1)= ； 运算：整式乘法

2、请把下列多项式写成整式乘积的形式：

（1）x2+x=()()；（2）x2−1=()()； 运算：因式分解

归纳：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

想一想：因式分解与整式乘法有何关系？

因式分解和整式乘法是方向相反的变形

二、小试牛刀

下列各式由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？

(1)x-（2y）=(x+2y)(x-2y);(2)2x(x-3y)=2x2-6xy;(3)2πR+2πr=2π(R+r);(4)x2+4x+4=x(x+2)+4;(5)x2+1=x(x+);x122(6)x2-4y2=(x+4y)(x-4y).讨论：如何判断是否是因式分解？

三、观察归纳，引出新知

1、想一想：

观察下列各式的结构特征：

2πR+2πr ma+mb cx-cy+cz 共同特征：各式中的各项都含有一个相同的因式。小结：在多项式中每一项都含有的相同的因式叫做公因式。

2、做一做

找出下面多项式的公因式：

3x2-6x3 y 正确找出公因式的关键：

定系数：多项式中各项系数的最大公约数；

定字母（或因式）：多项式中各项都有的相同字母（或因式）。定指数：相同字母（或因式）的最小指数。

2、练一练

四、新知应用

请用简便的方法计算下列式子：(1).3.8×5+5.3×5+1.9×5(2).20052-2004×2005 小结：把公因式提出来，这样的因式分解的方法叫提公因式法。

提公因式法分解因式的依据是：乘法的分配律。

五、巩固提高

例：把下列多项式分解因式：（1）7x2-21x（2）-8a3b2-12ab3c+ab ；（3）2a(b+c)-3(b+c)通过例题的学习，让学生讨论归纳用提公因式法进行因式分解的一般步骤：

第一步：找出多项式的公因式 第二步：提出公因式

讨论：如何检验因式分解的正确性？

设计说明：强调如何检验因式分解的正确性，再一次让学生体会因式分解和整式乘法的关系，同时也为以后学习整式的恒等变形做准备。

六、游戏中练习

七、课堂小结

1、什么叫公因式、提公因式法？

2、确定公因式的方法： 定系数、定字母（或因式）、定指数

3、提公因式法的一般步骤？

4、用提公因式法分解因式应注意的问题：

小心漏项 公因式可以是多项式形式

八、布置作业