阿波罗尼定理之逆定理的一个证明（合集5篇）

第一篇：阿波罗尼定理之逆定理的一个证明

阿波罗尼定理之逆定理的一个证明

宁夏回族自治区固原市五原中学马占山(756000)

阿波罗尼定理之逆定理 如果一个凸四边形的四边的平方和等于对角线的平方和，那么这个四边形是平行四边形．

笔者在数学中国几何天地网站论坛中得知该定理历史悠久，2004年李明波先生给出了证明． 本文给出这个定理的证明.为证定理,在此首先给出一个几何命题.命题在ABC中,点D是边BC的中点,则 ABAC2(AD

证明:过点D作DFBC于点F.在RtABE,RtADE,RtACE中

由勾股定理可得:AD2AE2DE2AB2BE2DE2AB2(BDDE)2DE2 2221BC2).4AB2BD22BDDE(1)

同样有:AD2AE2DE2AC2CE2DE2AC2(CDDE)2DE2 AC2CD22CDDE(2)

(1)+(2)得

2AD2AB2AC2(BD2CD2)AB2AC22(AD2

下面证明给出定理的证明.1BC2)4

已知:四边形ABCD中AC,BD是对角线,且满足AB2BC2CD2DA2AC2BD2 求证: 四边形ABCD是平行四边形.证明:

第二篇：勾股定理的逆定理的证明

用“勾股定理”证明“勾股定理的逆定理”——反证法

湛江市爱周中学伍彩梅

八年级数学学习的勾股定理，是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，内容是：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么abc”。

勾股定理的逆定理给出了一个用代数运算判定一个三角形是直角三角形的方法，内容是：“如果三角形的三边长a、b、c满足abc，那么这个三角形是直角三角形”。

这两大定理都来源于实践，并在实践中得到广泛的应用。

定理的证明，有助于加深对定理得理解，有助于实现从感性认识到理性认识的飞跃。教材中，勾股定理的证明采用了多种方法，学生容易理解。而

课本里用三角形全等证明了该定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”来证明，这种方法学生一时不易理解。实际上，我们也可以用“勾股定理”来证明“勾股定理的逆定理”——反证法。表述如下：

已知△ABC的三边长a、b、c满足abc，求证：△ABC是直角三角形。用反证法证明如下：

由abc，可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。

分两种情况进行。

（一）假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。如图（1）222222222222

B

图（1）

过B作BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。如图（2）

图（2）

在图（2）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

a1(bb1)2c2（1）

a1b1a2（2）

22由（1）得a1b12bb1bc（3）22222

把（2）代入（3）得a2b22bb1c2（4）

对比已知条件abc

可得b10

把b10代入（2）得a1a2，则a1a

因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

（二）假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。如图(3)2222

B

c a

A

b

图（3）C

过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。如图（4）

B

c a

a1

Ab

b D C b2

图（4）

其中BD=a1，AD=b1，DC=b2，b1b2b

在图（4）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

22a1b1c2（5）

a1b2a2（6）

把（5）-（6）得

2222c2a2b1b2(b1b2)(b1b2)b(b2b2)b22bb2

整理得

c2a2b22bb2（7）

对比已知条件abc

得b20

所以b1b

则点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

因此，勾股定理的逆定理得到证明。

2007-3-12 222

第三篇：弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角CAE=角ABC，求证AE是圆O的切线

证明：连接AO并延长交圆O于D，连接CD，则角ADC=角ABC=角CAE

而AD是直径，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE

所以角DAE=角DAC+角CAE=90度

故AE为切线

第四篇：三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀

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三垂线定理及逆定理

上海市同洲模范学校宋立峰

三垂线定理及逆定理

面内直线面外点，过点引出两直线； 斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。面内直线垂射影，该直线就垂斜线。面内直线垂斜线，垂直射影来作伴。

三垂线定理

影垂不怕线斜(形影不离)

即:垂直射影垂斜线

三垂线定理逆定理

斜垂影随其身(影随其身)

即:垂直斜线垂射影

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第五篇：柯西积分定理的一个简单证明

柯西积分定理的一个简单证明

摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。

本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。

柯西定理：假设D是C的一个开子集，是D中的一个环。假设是与零同源的，并且每个E中的D都是确定的。那么对于每一个D中解析函数f：

（1）f(z)dz0

1（2）对于任意与无关且属于D的w，有Ind(,w)f(w)(2i)

(zw)1f(z)dz

证明：考虑DDC的函数g，且对zw满足g(w,z)(f(z)f(w))/(zw)，g(w,w)f'(w)。可知g是连续的，并且对每个z,w，g(w,z)是解析的。给定h:CC，并且在D上h(w)g(w,z)dz，在E上h(w)(zw)1f(z)dz。假设CDE，由

于Ind(,w)0，则这两种h(w)的表示在DE是相等的。

那么可知h在D和E上都是可导的，所以h是整函数。由于的映射是有限的，并且E包含了的一个邻域，h(w)0时有w。这表明h是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D不依赖于。最后设u是D中g(w,z)dz=0。这样就证明了（2）

不依赖于的定点。将（2）用于函数zf(z)(zu)，计算wu的情况，便得到（1）。