克莱姆法则的一个简易证明[合集5篇]

第一篇：克莱姆法则的一个简易证明

克莱姆法则的一个简易证明

(学员作业)范崇金(哈尔滨工程大学理学院)

在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式;又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则.由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑.特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立.在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理.用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件.虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的.引理线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2

(a)



axaxaxb

n22nnnnn11

可以通过消元变换(将一方程的k倍加到另一个上)变为同解方程组

b11x1b12x2b1nxnc1



b22x2b2nxnc2

(b)



bxc

nnnn

.证明首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组

b11x1b12x2b1nxnc1



b22x2b2nxnc2

(c).bn2x2bnnxncn

(1)若a110, 用i1乘第1个方程加到第i方程上, 方程组(a)就可以化为方程组(c)的形式;

a

(2)若a110, 但某个ai10(i1), 则先将第i个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行;

(3)若a11an10, 结论成立.对于方程组(c)的后n1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.克莱姆法则 若线性方程组(a)的系数行列式D|aij|n0, 则此方程组有唯一的一组解

x1

D1D,x2

D2D,,xn

DnD,这里Di是将D中的第i列a1i,,ani换成b1,,bn得到的行列式.证明由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即b11bnnD0.再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与

a1x1d1

a2x2d2

(c)



axd

nnn

同解, 且Da1an0.再由行列式的性质, 我们还有

d1

D1

d2dn

a2



an

d1a2an

a1

d1d2dn



an

a1d2an,D2,......,a1

d1



an1

dn1dn

a1an1dn

Dn

.于是

x1

d1d2D2dnDnD

1,x2,,xn.12nDDD

定理齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0

a21x1a22x2a2nxn0

(d)



an1x1an2x2annxn0

有非零解系数行列式|aij|n0.证明()设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实|aij|n0.假设|aij|n0, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解;又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组(d)无非零解.这与开始的假设矛盾.()此时, 以|aij|n0为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解.由引理知, 方程组(d)与方程组

b11x1b12x2b1nxn0

b22x2b2nxn0

(e)



bx0

nnn

同解, 且b11bnn|aij|n0.此刻, 至少有一个bii0.设b11,,bnn中第一个为0的是bkk.现在,取xk1,xk1xn0代入方程组(e), 方程组(e)化为

b11x1b12x2b1,k1xk1d1bxbxd22222,k1k1

(f).bk1,k1xk1dk1

此时, 方程组(f)的系数行列式等于b11bk1,k10.由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解.此解与

xk1,xk1xn0拼起来就是方程组(d)的一组非零解.

第二篇：克莱姆森大学 Clemson University

克莱姆森大学 Clemson University

学校地址:ClemsonUniversity, Clemson,South Carolina 29634

所在州: 南卡罗来纳州

在校学生:17165人

建校时间:1889年

学校网址:http://www.clemson.edu/

克莱姆森大学创办于1889年，1893年正式招收第一届446名学生。该校原名克莱姆森学院（Clemson College），是一所只招收男生的军事学校，直到1955年，该校才改为男女合校的普通非军事院校。1964年，由于其研究生项目和研究成就得到了州立法的认可，从而该校改名为克莱姆森大学。学校位于南卡罗来那州，现有在校学生人数为17，000余人，他们来自全美50个州和73个其他国家和地区。克莱姆森大学在US News 2008美国大学综合排名（本科）中排位第六十七。

学校一直把教学和实践的有机联系作为第一宗旨，优越的地理位置和便利的交通使得学生有机会到大城市实践自己的课堂所学。克莱姆森大学通过研究，推广和公共服务来提供教育和培养领导人、思想家和企业家解决实际问题的能力。

学校有超过半数的班级每班人数少于20人，这让克莱姆森大学的教授能充分了解他们的学生和探索创新的教学方法。这是克莱姆森大学的毕业率跻身全国最高的公立学校的原因之一，也是为什么克莱姆森能够持续吸引该国的一些最优秀的寻求挑战的学生。

学校鼓励学生积极参加各种课外活动来增长见识，开阔视野。该校共有各类学生社团与组织275个。克莱姆森大学高尔夫球队（2003－2004）是美国NCAA高尔夫球比赛历史上第一个在同一年同时获得地区和全国冠军的球队。

开设专业

克莱姆森大学最好的学系是电子工程，计算机工程的研究院课程，更是全美规模最大。化学系方面，自从总值12,000,000美元的全新实验室兴建完成后，更壮大了声势。大学的农科是历史最悠久和最优秀的学科。此外，建筑系也很有名气，挑选学生十分严格。如果学生成绩优异，可获选为荣誉学位生。克莱姆森大学设有农林和生命科学学院、建筑、艺术与人文学院、商业与公共事务学院、工程与科学学院健康、教育与人类发展学院等五个学院，提供70 多个学士学位项目和 100个硕士学位项目。该大学在创造艺术、健康、人类发展、人文和社会科学等学科领域具有很强的基础教学实力，特别注重发展学生的交际与批判思维能力、道德判断能力和全球意识以及科技知识的教育。研究一直是克莱姆森大学教育的重要部分，尤其是机械艺术与科学系的实验教学与培训驰誉美国。该校每年为约140名优秀研究生提供奖学金与助学金。

费用情况：

申请费：40美元学费：18640美元生活费：12100美元

入学要求

1)高中毕业证书（本科）或学位证书（研究生），在读学生需提供在读证明

2)学校成绩单

3)托福或雅思

4)GRE成绩或GMAT成绩-申请研究生

5）个人陈述6）三封推荐信8）财产证明

第三篇：克莱姆森大学留学

克莱姆森大学排名

克莱姆森大学留学

大学简介

克莱姆森大学是一所公立研究型大学，位于美国南卡罗来纳州克莱姆森时，是美国二十所顶尖的公立大学之一。克莱姆森大学成立于1889年，共分为五个学院：农林与生命科学学院，建筑艺术与人文学院，商业和行为科学学院，工程与科学学院，卫生教育与人类发展学院。目前，克莱姆森大学通过结合两种模式来重新确立自己“一流的研究型大学”的地位，这两种模式分别是专业研究的科学技术能力和将高度参与的学术和社会环境凝聚在小学院内。克莱姆森大学以独特的管理制度、促进稳定的领导、学院的独特结构，创造了无与伦比的合作气氛，并推动竞争精神，鼓励教师、学生及职工拥有大胆的目标。2012年，克莱姆森大学共有在校本科生16,562名，研究生4,206名，师生比例为16:1。

大学排名

在不断地加强自身的研究生教育实力的同时，保持着自己良好的本科生教育的质量，克莱姆森大学一直致力于成为一所全美排名前二十的公立大学。从2005年到2008年，克莱姆森在公立大学中的排名从34名稳步提升到30，27，22名。并在2013年被美国新闻与世界报道列在全美最佳的25所顶级公立大学名单之列。

2011年，《普林斯顿评论》将克莱姆森大学列为最佳与社区和睦相处的学校榜单的第1位；学生最快乐的学校的第2位；最适合运动员的学校的第2位；运动普及率最高的学校的第3位；校际运动最受欢迎的学校的第8位；最佳职业服务学校的第9位。

2012年，著名美国理财杂志Smart Money 将克莱姆森大学列为最高性价比学校的第7位。

【高校专业排名】

《美国新闻与世界报道》工业与制造工程专业排名 第30位；

《美国新闻与世界报道》环境与环境健康工程专业排名 第39位；

《美国新闻与世界报道》生物医学与生物工程专业排名 第42位；

《美国新闻与世界报道》土木工程专业排名 第47位；

《美国新闻与世界报道》机械工程专业排名 第52位；

《美国新闻与世界报道》化学工程专业排名 第57位；

《美国新闻与世界报道》教育学专业排名 第91位；

【国内MBA排名】

施强留学网http://教育网http://edu.strong-study.com

克莱姆森大学排名

全球教育商学院排名网国家商学院排名 第87位；

【国内高校排名】

《美国新闻与世界报道》全国综合性大学排名 第64位；

华盛顿周刊美国大学排名 第64位。

休闲娱乐

学生们喜欢在校外的克莱姆森郊区进行社会活动。学生们只需步行就可以到餐厅，咖啡厅，各种休闲吧和购物。大学校园紧挨克莱姆森郊区, 同时格林威尔离这里就只有大概45分钟的距离，很多学生喜欢在周末到那里去玩。Hartwell湖和附近的位于南北卡罗莱纳之间的蓝脊山，让学生们有了很多可以进行的户外活动，比如划船，阀运，皮船，滑雪，攀岩，山地自行车，徒步旅行，远足野营等。

校园生活

学校一直把教学和实践的有机联系作为第一宗旨，优越的地理位置和便利的交通使得学生有机会到大城市实践自己的课堂所学。学校鼓励学生积极参加各种课外活动来增长见识，开阔视野。该校共有各类学生社团与组织275个。

留学申请

【本科申请要求】

开学时间：每年8月、1月；

申请截至日：5月1日，10月1日；

留学费用：29,720.0 美元；

TOEFL分数要求：79.0；

【研究生申请条件】

开学时间：每年8月、1月、5月或7月；

申请截至日：秋季入学：每年12月1日；春季入学：每年12月15日；

留学费用：16,670.0 美元；

TOEFL分数要求：79.0；

【奖学金】

该校每年为约140名优秀研究生提供奖学金与助学金。

申请材料

申请费、申请表、SATI成绩单、托福成绩单、高中成绩单推荐人信息表、财力证明表。

施强留学网http://教育网http://edu.strong-study.com

第四篇：2017年克莱姆森大学校园生活

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校园生活

学校一直把教学和实践的有机联系作为第一宗旨，优越的地理位置和便利的交通使得学生有机会到大城市实践自己的课堂所学。学校鼓励学生积极参加各种课外活动来增长见识，开阔视野。该校共有各类学生社团与组织275个。

竞技体育

克莱姆森大学校队以老虎队闻名于世。自1953-1954赛季起，克莱姆森大学一直作为美国大学体育协会（NCAA）第一级别球队参加各项体育赛事，并在大西洋海岸联盟中具有很强的竞争力。男子体育包括了棒球、篮球、越野、橄榄球、高尔夫、足球、网球和田径，而女子包括了篮球、越野、高尔夫、赛艇、足球、游泳、网球、田径和排球。克莱姆森大学赢得过四次全国冠军，包括了一次橄榄球（1981），两次男足（1984和1987）以及男子高尔夫（2003）。其高尔夫球队（2003－2004）是美国NCAA高尔夫球比赛历史上第一个在同一年同时获得地区和全国冠军的球队。

虎爪

虎爪在1970年代替了老虎成为了克莱姆森大学的官方标志。现在，虎爪不仅已用于橄榄球头盔，保险杠贴纸和橄榄球场中，也用于校园的各个角落和路标中。

休闲娱乐

学生们喜欢在校外的克莱姆森郊区进行社会活动。学生们只需步行就可以到餐厅，咖啡厅，各种休闲吧和购物。大学校园紧挨克莱姆森郊区, 同时格林威尔离这里就只有大概45分钟的距离，很多学生喜欢在www.xiexiebang.com

周末到那里去玩。Hartwell湖和附近的位于南北卡罗莱纳之间的蓝脊山，让学生们有了很多可以进行的户外活动，比如划船，阀运，皮船，滑雪，攀岩，山地自行车，徒步旅行，远足野营等。

第五篇：线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案

线性代数培训之收获

——对“克莱姆法则”的一个新教案

有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n阶行列式在几何上表示“n维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。

对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。

§7克莱姆法则

一、教学内容

(1)克莱姆法则的证明(2)克莱姆法则的应用

二、教学要求

（1）理解克莱姆法则的证明

（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解

（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D≠0，方程组只有零解

教学过程

一、（定理1）克莱姆法则

若n×n线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2, ⑴ axaxaxbn22nnnnn11的系数行列式

a11a12a1n

D=

a21a22a2nan1an2ann0，则方程组⑴有唯一解：x1=

DD1D,x2=2,,xn=n.⑵ DDD其中Di(i=1,2,,n)是把系数行列式D中的第i列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即

a11a1,i1b1a1,i1a1n

Di=

a21a2,i1b2a2,i1a2nan1an,i1bnan,i1ann.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i个方程，如果左端也等于bi，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i个方程的左端，并把Di按照第i列展开，第i个方程的左端=ai1=

DD1D+ai22++ainn DDD1(aD1+ai2D2++ainDn)Di11=[ ai1(b1A11+b2A21++biAi1++bnAn1)+ D

ai2(b1A12+b2A22++biAi2++bnAn2)+



+

ain(b1A1n+b2A2n++biAin++bnAnn)]

1[b1(ai1A11+ai2A12++ainA1n)+ D

b2(ai1A21+ai2A22++ainA2n)+



+

bi(ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin)+



+

bn(ai1An1+ai2An2++ainAnn)] =根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系数是D，而其他bk(k≠i)的系数都是零，从而第i个方程的左端=ai1DD1D+ai22++ainn

DDD=1（bi D）=bi =第i个方程的右端, i=1,2,,n.D故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：

x1=c1 ，x2=c2 , , xn=cn

⑶ 只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得

a11c1a12c2a1ncnb1,a21c1a22c2a2ncnb2,

⑷ acacacbn22nnnnn11现在构造一个新的行列式

a11c1a12a1n

c1 D=a21c1a22a2nan1c1an2ann（即在D的第1列乘以c1）

给此行列式的第2，3，，n 列分别乘以c2，c3, ,，cn后都加到第1列，得

a11c1a12c2a1ncna12a1n

c1D= a21c1a22c2a2ncna22a2nan1c1an2c2anncnan2ann

根据⑷式，得

b1a12a1n

c1D=b2a22a2nbnan2annDD2,, cn=n.DD=D1, 因为 D≠0,所以 c1=

D1.D 同理可证，c2=

唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。，基于以上想法，本文给出克莱姆法则的一个简捷的证明.先证明了解的存在性，再证明了解的唯一性，在证明中充分应用了行列式的性质和行列式的展开定理，学生容易理解，而且具有一定意义的数学教育价值.另外，不足之处是，能否象李老师所说引导学生去自然而然的发现这个定理，而不是一开始直接给出这个定理，再去证明，本人目前还没有好的方法，有待继续考虑。）

例1 解线性方程组（现略）

（说明：这是一个含有4个未知数4个方程的非齐次线性方程组，其目的是熟悉克莱姆法则的内容和直接的、简单的应用，也使学生对克莱姆法则从一般到特殊有感性的认识，加深学生对克莱姆法则的理解和应用。）

定理1的逆否定理为：

定理1ˊ若线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式D=0

二、齐次线性方程组的克莱姆法则

若线性方程组（1）中的所有的常数项全为0，即b1=b2=„=bn=0, 若线性方程组（1）称为齐次线性方程组。

事实1：齐次线性方程组必有解，如x1=x2=„xn=0一定是它的解。这个解称为它的零解。如果有一组不全为0的数是它的解，则这个解称为它的非零解。

事实2：若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多解。

（说明：这2个事实不难证明，它们在后续的学习中反复遇到，而且可以以不同的形式出现：如零向量可以用任意一组向量线性表示，特别是事实2为后续学习齐次线性方程组的解的结构设下伏笔，正如李老师所说很多内容事实上是一回事，只是表现形式不同而已，这里讲透了以后可以少讲，这样使得学生精装上阵，减轻学生头脑的负担，先将书由薄读厚，再由厚读薄。）

定理2 若n×n齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则此齐次线性方程组只有零解。

定理2的逆否定理为：

定理2ˊ若n×n齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0。

证：用反证法。

假设D≠0，则由 克莱姆法则可知该齐次线性方程组线性方程组有唯一解x1=

DD1D,x2=2,,xn=n。而D1=D2=„DN=0,因此唯一解是零解，这与有非零解相矛盾。DDD故D=0。

注1：定理2ˊ的逆命题也成立，即若n×n齐次线性方程组的系数行列式D=0，则它一定有非零解。（第三章证明）

注2：关于更一般的m×n线性方程组的情况在本书第三章讨论。

例2 设齐次线性方程组

(5)x12x22x30,有非零解，问取何值？ 2x1(6)x20,2x(4)x031

解

由定理2ˊ可知，若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0，5即D=26020=5644446 4=528=0 22 从而得2或5或8。

（说明：齐次线性方程组的情形是线性方程组的特例，从而定理2和定理2ˊ分别是定理1和定理1ˊ的特例，分别由定理1和定理1ˊ演绎得到。数学教学中，归纳和演绎无处不在，我们要给学生强调一般化和特殊化的关系，这容易被忽视。特别是定理2ˊ的逆命题我们还没有证明，所以这里的例2是将原例题改变而成，原例题是问取何值时，此齐次线性方程组有非零解。这样，更符合逻辑，好让学生懂数学，让学生更好的掌握知识。因为李教授说我们不但要教数学，也要教学生，不但要懂数学，更要懂学生。）

兰州交通大学

李兴东

2007，11，22