第一篇：不定方程和不定方程组的练习题
不定方程和不定方程组的练习题
二元一次方程具有无数多个解，但在一定条件下，如求整数解，存在有限个解的情况，这样的方程或方程组叫不定方程（组）。
1.写出方程x+2y=5的一个解。
2.写出方程x+2y=5的正整数解。
3.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
4.小明想用100元买15张邮票，现有4元，8元，10元三种面值。
（1）若他只想买4元和8元两种面值的邮票，怎样买？
（2）若这三种面值的邮票他都想买，又怎样买呢？
第二篇：小学奥数2-2-3 不定方程与不定方程组．教师版
不定方程与不定方程组
教学目标
1.利用整除及奇偶性解不定方程
2.不定方程的试值技巧
3.学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义
1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解
三、不定方程的试值技巧
1、奇偶性
2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）
3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）
例题精讲
模块一、利用整除性质解不定方程
【例
1】
求方程
2x－3y＝8的整数解
【考点】不定方程
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
方法一：由原方程，易得
2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：，其中k为任意数．说明
由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．
方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解
【巩固】
求方程2x＋6y＝9的整数解
【考点】不定方程
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．
说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解
【例
2】
求方程4x＋10y＝34的正整数解
【考点】不定方程
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得
2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……
x＝1时，17－2x＝15，y＝3，x＝6时，17－2x＝
5，y＝1，x＝11时，17－2x＝17
－22，无解
所以方程有两组整数解为：
【答案】
【巩固】
求方程3x＋5y＝12的整数解
【考点】不定方程
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……
y＝0时，12－5y＝12，x＝4，x＝3时，12－5y＝12－15，无解
所以方程的解为：
【答案】
【巩固】
解不定方程：（其中x,y均为正整数）
【考点】不定方程
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
方法一：2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数，即y为偶数，也可以化简方程，知道y为偶数，所以方程解为：
【答案】
模块二、利用余数性质解不定方程
【例
3】
求不定方程的正整数解有多少组？
【考点】不定方程
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
本题无论或是，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以也是7的倍数，则是7的倍数．
设，原方程可变为，可以为1，2，3，……16．由于每一个的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．
【答案】16组
【例
4】
求方程3x＋5y＝31的整数解
【考点】不定方程
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得
x＝，即
x＝10－2y＋，要使方程有整数解必须为整数．
取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2
当y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5
当y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3无解
所以方程的解为：
方法二：利用余数的性质
3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：
取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）
y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）
y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）
y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）
y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）
y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）
当y＞6时，结果超过31，不符合题意。
所以方程的解为：
【答案】
【巩固】
解方程，（其中x、y均为正整数）
【考点】不定方程
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
方法一：，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）
x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）
x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）
x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）
x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）
x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）
x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）
x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）
x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）
x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）
x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）
x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）
x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）
所以方程的解为：
方法二：利用欧拉分离法，由原方程，的取值为4的倍数即可，所以方程的解为：
【答案】
模块三、解不定方程组
【例
5】
解方程
（其中a、b、c均为正整数）
【考点】不定方程
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：，整理后得，根据等式性质，为偶数，20为偶数，所以为偶数，所以为偶数，当时，，所以，当时，，所以无解。所以方程解为
【答案】
【例
6】
解不定方程
(其中x、y、z均为正整数)
【考点】不定方程
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元思想与第二个式子相减得，根据等式的性质两边同时除以2得：，根据等式性质为4的倍数，100为4的倍数，所以为4的倍数，所以为4的倍数试值如下
【答案】
第三篇：八年级不定代词练习题
1.—Do you have______apples?
—No, I don't, but I have______oranges.(2004年广东省)
A.any, someB.some, any C.any, any D.some, some
第四篇：同余式与不定方程 教案1
梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
竞赛讲座03--同余式与不定方程
同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1.同余式及其应用
定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为
或
一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2
对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1)
若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则
;(2)
如果a=km+b(k为整数),则;(3)
每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4)
同余关系是一种等价关系： ①
反身性
；
②
对称性，则，反之亦然.③
传递性，则；
（5）如果，则
①； 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
②特别地
应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2+1能被3整除的一切自然数n.n解∵
∴
则2+1nn
∴当n为奇数时，2+1能被3整除； 当n为偶数时，2+1不能被3整除.例2
求2最后两位数码.解 考虑用100除2所得的余数.999
999n∵
∴
又
∴
∴
∴2的最后两位数字为88.例3
求证
31980999
+
4198
1能被5整除.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
证明
∵
∴
∴
∴2．不定方程
不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1)
不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4
证明方程2x-5y=7无整数解.证明
∵2x=5y+7，显然y为奇数.2
222①
若x为偶数，则
∴
∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
②
若x为奇数，则
但5y+72
∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5
(第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程
①
证明
如果有整数x，y使方程①成立，则
=知（2x+3y）+5能被17整除.2设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某
22222个数，但是这时（2x+3y）+5=（17n）+34na+（a+5）=a+5（mod17），而a+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7（第33届美国数学竞赛题）满足方程x+y=x的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对 解由x+y=x得y=x（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k(k为自然数),则
222322
3为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2)
不定方程的解法 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6
求方程解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13.2
22的整数解.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于213即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解
解得
例7
(原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c222及素数a满足方程a+b=c.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a+b=c，∴a=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a.22
2梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
于是得c=b+1及a=b+c=2b+1＜3b，2即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4 解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解 由(y-2)x=2y-7,得
分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数, ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为
例11
求方程x+y=x-xy+y的整数解.2
2梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
解（不等式法）方程有整数解
必须△=（y+1）-4（y-y）≣0，解得
22≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解
最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12
求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得
由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故
满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0（B）1（C）3（D）4（E）7 解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由 的不同
梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
得
62当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=2·31，故当且仅当x具有31t形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=
2∴由此可知：x必须具有31t形式，y必须
2具有31k形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十
1.选择题
(1)方程x-y=105的正整数解有().（A）
一组（B）二组
（C）三组
（D）四组
(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A）
3个（B）4个
（C）5个
（D）6个 2．填空题
（1）的个位数分别为_________及_________.4
5422(2)满足不________.等式10≢A≢10的整数A的个数是x×10+1，则x的值(3)
已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________.(4)
(全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足
23.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？
5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件能的值.的整数x，y的所有可8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、q＞1，试求p+q的值.练习二十 1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.、都是整数，并且p＞1，(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数.4.可仿例2解.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》
5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得
6.8888≡8(mod37),∴8888333
3222
2≡8(mod37).2222
27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22
3+7777
3333
≡(8+7)(mod37),而
237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数.222
229.易知p≠q,不妨设p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,则m＞n由此可得不定方程
第五篇：不定代词用法总结及配套练习题
不定代词用法总结
1)some, any的用法
some和any通常用于表示不定数或不定量，修饰复数可数名词或不可数名词。some表示“几个；一些；部分”，多用于肯定句；而any表示“一些；什么；任何；”，对用于否定句或疑问句中。如：
* He asked me some questions.(他问了我几个问题。)
* Some of the bread has been eaten.(面包已吃了一些。)
* Are there any stamps in this post office?(这个邮局里有邮票吗？)1.“Would you like _____ more coffee?”(some/any)-------“Yes, please.” 2.I wonder if _____ will show up at the meeting.(someone/anyone)3.Doesn't _____ know the answer to this question?(someone/anyone)
4.On TV _____ said that smoking does not cause lung cancer.(someone/anyone)5.(annoyed and emphatic)How can _____ tell such a pack of lies ?(someone/anyone)6.It must be difficult to live without _____ money.(some/any)
7.Have you seen my shoes? I can't find them _____.(somewhere/anywhere)8.-“Can you believe we've run out of milk!”
-“Would you like me to get _____ at the nearest shop?”(some/any)9._____ say the Internet is just a hype and that it will blow over.(Some/Any)10._____ day peace will come to Northern Ireland.(Some/Any)
2)复合不定代词的用法
a.不定代词some, any, no与-one,-body,-thing可以组成九个复合代词。它们是：
someone anyone no one somebody anybody nobody something anything nothing
这些复合不定代词只有名词的性质，可以作主语、宾语等。b.因为some一般用于肯定句，any一般用于否定句或疑问句，no表示完全否定，因此由some, any, no与-one,-body组成的复合代词的用法也一样。
c.第二部分为-one和-body的复合代词只用于表示人，它们的形式是单数形式，但有时可以用they或them指代。
* There is someone in your office.Can you hear them talking?(你办公室里有人。你听见他们说话了吗？)d.第二部分为-thing的复合代词只能用于指物。如：
* There was something wrong with the car so he had to stopped it.* He looked at me and didn’t say anything.* Nothing can be done to save her life.e.这些复合不定代词如果有其它的形容词修饰，形容词必须后置。如：
* Somebody important has arrived, I’m sure.(important修饰somebody)1．There isn't ____ water in the cup.A．any B．many C．some D．the 2．The bottle is empty.There is ____ in it.A．anything B．something C．nothing 3．There isn't ____ milk in the fridge.You'd better buy some.A．no B．any C．some 4.Everything ______ ready.We can start now.A.are
B.is
C.be
D.were 5.There’s ______ with his eyes.He’s OK.A.anything wrong
B.wrong something C.nothing wrong
D.wrong nothing 6.—The story is so amazing!It’s the most interesting story I’ve ever read.—But I’m afraid it won’t be liked by ______.A.everybody
B.somebody C.anybody
D.nobody 7.She listened carefully, but heard ______.A.anyone
B.someone C.everyone
D.nothing 8.I agree with most of what you said, but I don’t agree with ______.A.everything
B.anything C.something
D.nothing 9.—Everyone is here today, ______? —No, Han Mei isn’t here.She’s ill.A.isn’t it
B.isn’t he C.are they
D.isn’t everyone 10.Everything goes well, ______?
A.is it
B.isn’t it C.do they
D.doesn’t it 3)none 与no one 的用法区别
None和no one 都表示“三者或者三者以上的另一个”，但是用法不一样。None既指人也指物，它常与of 短语连用 None of us failed the exam.I have read none of the books.在回答以how many，how much 开头得疑问句时要用none。
No one 只能用来指人，不能指物，且不能与of短语连用，回答以who开头的疑问句时要用no one。No one knows the answer to the question.1._________of them can speak Russian.A.No one B.Noone C.None D.Nobody 2._______ can answer my question.A.No one B.Noone C.None D.No body 3.Who is in the classroom ? A.No one B.Noone C.None D.No body 4.How many hours does Jim play taiji every day? A.No one B.Noone C.None D.Nobody 5.How much water is in the cup？
A.No one B.Noone C.None D.Nobody 4)all, every, each, other, another, either, neither, both
a.every只有形容词的性质，在句中作定语。常用于修饰单数的可数名词。表示“每个；各个”，还可以表示“一切”。
* After the strong wind every flower in the garden was gone.every还可以和-one,-thing,-body构成复合不定代词，即：everyone, everything, everybody。其中，everyone和everybody用于指人，意思一样，都是“每人；大家”，形式上表示单数意思上可以表示单数也可以表示复数。everything用于指物，意思是“每件事；一切”，形式上表示单数意思上可以表示单数也可以表示复数。如：
* One can’t have everything.* Everything goes well with me.注意：在使用everyone时要注意和every one相区别。everyone是一个不定代词而every one是一个词组，前者只能指人而后者既可以指人也可以指物。请注意下列例句：
* Everyone will be here except Patrick.(everyone 指人)* Every one of the children will get a gift.(every one也指人)
*We played several matches against the visitors, but unluckily lost every one.(every one指物)b.each的意思是“每个；各自的”，可以指人，也可以指物。如：
* I leave home at 7 a.m.each day.* Each of them has received a letter.由于each和every的意思相近，都表示“每一个”，因此要特别注意它们的区别。each所描述的对象至少是两个数目中的每一个，而every所描述的对象至少是三个数目中的每一个；every着重强调整体的含义而each着重强调个别；every只能作形容词放于名词前而each可以作形容词、代词和副词。如：
(每一个人都知道应该做什么/他的工作。)
(在这两个句子中用every和each都可以)
*You can see a lot of new shops on each side of the street.(因为街道只有两边因此不能用every)
*Each has too coats.(each是代词不能换用every)c.other可以指人也可以指物，表示“另外的人或事物”，其后可以接单数或复数的名词；此外，other也有复数形式，是others。如：
* He has two brothers, one is a teacher, the other is a doctor.*Some children like milk chocolate, other children prefer plain chocolate.*We should not think only of ourselves, we should think of others first.d.another的意思是“另一个；再一个；又一个”，通常只能修饰单数的名词或代词，泛指“不定数目中的另一个”。* Would you like to try another kind of drink?
* I don't like this hat;please show me another.注意：other和another都有“另外的”意思，要注意它们的区别。
首先一般来说，两者中的“另一个”是the other，不定数目中的“另一个”是another。如：
* She has a book in one hand and a pen in the other.(这里表示两只手中的另一个因此用the other)* This cup is broken.Get me another, please.其次，other的后面可以接单数或复数的名词而another的后面只能接单数名词。如：
* He has other brothers.* I am not very well today.Tell them I will go and see them another day.第三，other有复数形式，泛指别人时通常不加冠词；而表示其他的人时常要加定冠词；而another没有复数形式。
* Some went to the People’s Park, others visited the zoo.* Could you tell the others that I’ll be late?
5)many, much, few, little, a few, a little, a lot of, lots of 这些词都可以用来表示数量，但它们的用法也应当注意。
a.many和much这两个词都表示“许多；大量”，它们的比较级和最高级是more和most。它们的不同在于：many只能指代或修饰可数名词的复数，much一般只能指代或修饰不可数名词。如：
* “Do you have any books on English grammar?” “Yes, but not many.”(这里的many指代上文的books)
* Much time will be saved if you plan your work very well.(time是不可数名词，因此用much)b.(a)few和(a)little
a few和a little是一对用作表示数量的不定代词的固定词组，它们具有名词和形容词的性质，它们的意思是“少数；少量”，都表示肯定的意思。它们的不同点是：a few指代或修饰可数名词的复数，a little指代或修饰不可数名词。如：
* Only a few of the children in this village can read.(因为children是可数名词的复数因此用a few)* There was a little rain just now and the air is fresh now.(rain是不可数名词因此要用a little)
few和little表示否定，意思是“几乎一点没有”，相当于not … many或not … much。和a few和a little一样，few指代或修饰可数名词的复数而little指代或修饰不可数名词指代或修饰不可数名词。如：
* Few visitors enjoyed the trip to London.(few修饰的是可数名词visitors)
* There is little to be done about it.(关于这件事没有什么可做的了。)(little指代索要做的事情)
few的比较级和最高级是：fewer，fewest；little的比较级和最高级是：less，least。c.a lot of和lots of
这两个词组的意思都是“大量的；许多的”，后面既修饰能可数名词复数也能修饰不可数名词，可以代替many和much使用。练习：1．I bought ________flowers on my way home.2._______ of them have left for England.3．I asked her for _______paper, but she didn’t have_____.4.________of the boys has a book.5.I’m busy and I have _______homework to do.6.________ student has an English-Chinese dictionary in our class.7.She can’t dance________.8.Tom didn’t finish homwork..______did his sister.9．_____of my parents are teachers.10._____of the students in Class 3 have gone out.11.I have got ten pencils.Two of them are red ,the _______ are blue.12.There is _________ in the room.13.________ of the students is afraid of difficulties.14.She held a pen in one hand and his notebook in the ________.15.I’m new here, so I have ________friends
16.We must be quick.We have ________time left.17．-A latest English newspaper, please!
-Only one copy left.Would you liketo have___? 18.The bag made in Shanghai is better than the _______ made in Guangzhou.
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