极限解法以及收敛性的判断小结

第一篇：极限解法以及收敛性的判断小结

极限解法以及收敛性的判断小结

摘要:极限作为分析学的基础，再数学中具有重要的地位。本文简述了一些极限的解法，和其敛散性判断的方法以及其中包含的一些概念。

关键词：分析；极限；敛散性；解法

A summarize of the solutions of the limit and the judgments

of convergent

HAO Sanqiang

(China University of GeosciencesCollege of EngineeringExperimental Class of Geo engineeringWu Han 430074)

Abstract: As the basement of the analysis, limit is very important in mathematics.This paper lists some solutions of the limit and some concepts of limit included.Some judgments of convergent is also included.Keyword: Analysis;Limit;Convergent;Solutions

1极限的解法

1.1定义：对与简单的函数，先假设极限值再通过利用定义的证明得出极限值。

1.1.1数列极限：limxna0,N0:nN有xnan1nlimsin 例：求nn4111nn 解：通过观察可假设其值为零，要使令 0,sinnn4 1n1n1limsin0。N，则当n>N时，就有sin即nn4n4n

1.1.2.函数极限：limf(x)a0,X0:xX有 f(x)axlimf(x)a0,X0:xXf(x)ax有 limf(x)a0,X0:xX有f(x)axlimf(x)A0,0:x:0xaf(x)axa有

limf(x)A0,0:x:0xa有 f(x)axa

limf(x)A0,0:x:xa0有 f(x)a

xa

例：设a是正常数，求limxa

x1aa0要使解：通过观察可假设其值为零，x即xxa∴取

1aa，则当时这说明limx0xXx0xXa

1.1.3特殊的极限：无穷大与无穷小（极限值为零）有f(x)limf(x)00,X0:xX

x

有 f(x)

limf(x)00,X0:xXx

limf(x)00,X0:xX有 f(x)x

limf(x)00,0:x:0xaf(x)xa有

limf(x)00,0:x:0xa有f(x)xa

limf(x)00,0:x:xa0有 f(x)

xa

1.2.两边夹定理：对数列（或函数）进行放缩（使两边极限值相等），分别对放缩的两边求极限，最后得值。定义1）：设limynlimzna，且当n充分大时xn收敛，ynxnzn，则数列

nn

且.limxna

n

定义2）：若在点a的某个去心邻域内limgxlimhxAgxfxhx，且

xaxa，则 limfxA

xa

lim4n5n55nlim4n5n5n5n52由两边夹定理 例：求解：nn

4n5n5可知 limn

1.3区间套准则：对于满足闭区间套条件的两数列，可用区间套定理得到极限值。定义1）：称满足下列两个条件的闭区间列an,bn为闭区间套，简称区间套：（1）a1,b1a2,b2an,bn（称an,bn是渐缩的）

（2）limbnan0

n

定义2）：设an,bn为实数轴上的闭区间套，则存在唯一的实数ξ，对任意正整数n，都有limanlimbnan,bn且.nn

1.4复合函数的极限运算法则：将函数中复杂部分替代为简单的部分，使函数形式简化得值。定义：设limxa，但在点τ的某去心邻域内limfxA，则复 ta，又

txa

t时极限也存在，且 limftlimfxA合函数ft当

txa

t1

1lime0x0t∴原式变为 t2当例：求解：设tlimex

xx0

1.5两个重要极限：利用重要极限进行函数形式的变化，计算极限值。x

sinx1 lim1lim1ex0xxx











例1）：

xn

x nnn1enlim1lim例2）： x

xxx



1.6等价无穷小：利用等价无穷小进行函数形式的变化，计算极限值。常用等价无穷小总结： x0

x1x2

sinx～xtanx～x1-cosx～～ log1xx1a

nlna2

ax1～xlna(1x)a1～axx113lim3lim例：（～x/2x3x～3x）x1x0x3xx03x6

1.7 洛必达法则：解决符合不定式形式的极限问题。定义1）：（关于0/0型）若函数f（x）、g（x）在点x0的某个空心邻域o0(x0)内 有定

limfx0,limgx0;xx0xx0义，且满足（1）（2）f（x）、g（x）在某个空心邻域o0(x0)

fx

limAx0gx内有导数，而且（其中A为有限值或为∞），则有gx0;（3）x

fxfx

limlimAxxxx 0gx0gx定义2）：（关于∞/∞型）与定义1）相似，故省略。

exexexexexex

例：求极限解：limlimlim3limlimlim

xxx4xx4x4xx12x2x24xx2

41.8泰勒公式：利用泰勒公式将函数合并同类项，求解极限。

fx0fnx02

泰勒公式：xx0xx0noxx0nf xfx0fx0xx0

2!n!nf02

马克劳林公式xf0xnoxnfxf0f0x

2!n!sinxxcosx

lim

例：求极限 x0ln1xx2sinx

xxox3sinxxx3ox3xcosxxx3ox3ln1xx 解：；； 3

xox3

sinxxcosx2limlim2x0x0x33xln1xsinxox3 1.9定积分求极限：利用定积分求解部分特殊极限。（运用定义与牛顿-莱布尼兹公式）

nbb

fxdxlimfixiFxaa0 p

12Pnpi1

例： 求 limp0p1nn

x

sinxnnsinx3lim3limxnxx0n3

3n











ppPp1p2p12n1n limlimp1nnnnnn n p1

11x1

xpdx0p10p1

2．极限敛散性的判断

2.1定义：通过定义的直接证明极限的敛散性。（数列、函数极限）

例：证明由limfx发散 fxx构成的极限

xn

证：求f（x）在点左右的极限值分别为n-1与n故可知f(x)在n处无极限。故limfx发散。

xn

2.2单调有界定理：通过证明数列既单调又有界可以证明数列极限收敛。（数列极限）2.3柯西收敛准则：通过证明满足准则可以证明极限收敛。（数列、函数极限）2.4海涅定理：证明函数不满足海涅定理来证明其发散（函数极限）

参考文献：

〔1〕赵晶、李宏伟.《工科数学分析》.中国地质大学出版社2010.9

第二篇：一元二次方程的解法小结

一元二次方程的解法小结

【学习目标】

1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；

2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法．

【前置学习】

一、自主学习（自主探究）：

1.独立思考·解决问题

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解决问题

通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？

知识汇总

（1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为，即

．

（2）.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

方法名称

理论根据

适用方程的形式

直接开平方法

平方根的定义

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0

（3）.一般考虑选择方法的顺序是：

法、法、法或

法

二、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.）

2.班级展示与教师点拨：

展示1：用直接开方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

选择适当的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：求极限的方法小结

求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外）须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C.极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内，E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值

1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）（这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因为（因为（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用导数的定义、极限与导数——（）6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在）在，不能得到原极限不存在）8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略)解释 中间的配凑略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小)都是无穷小 ∞(1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法，时上述方法就显得更简单了恩）函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩）9.利用洛比达法则 可转化

为 0/0, ∞/∞型)利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。（对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在极限中很少用，但可以解决一些特殊的高数上有哈）在极限中很少用，在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈）11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______

解:

=

12.利用柯西准则来求！12.利用柯西准则来求！利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N，使 得当 n>N 时，对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用单调有界必有极限来求 14.利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝。。。）存在极限 存在极限，证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在极限，并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夹逼准则求极限 15.利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值，然后再证明。求数列极限时，16.求数列极限时，可以先算出其极限值，然后再证明。17.利用级数收敛的必要条件求极限 17.利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18.利用幂级数的和函数求极限

第四篇：1-1求极限方法小结

求极限方法小结

求极限方法大概归结为：一 利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。二 转化为已知极限。这里通常利用如下手段进行转化。

（一）夹逼定理

（二）初等变形，如分解因式、有理化、换元等。其依据为极限的运算法则（四则运算法则、复合法则、有界乘无穷小、连续函数极限值等于函数值、将求数列极限有的可转化为求函数极限、泰勒公式）

（三）ana,等价无穷小替换

（四）洛必达法则及中值定理

（五）公式：limn

则limna1a2

ana；a

（六）转化为级数。三 转化nn

为定积分。另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。记

an0住以下极限是有好处的。limn

nxa

1；n1a

0；

1nsinx011lim11；lim，（型）；（型）1elim1ex0nxx0nx

一 利用单调有界数列定理求极限

例 1 x1

3，xn1limxn n

练习x1，xn1limxn n

2x111，xn11xn，求limxn n22

n 例 2 已知0x1，xn1sinxn，求limxn

练习limsinsinsinn n

n例3已知方程xnxn1x1(n2)在0,1内有唯一正根记为xn，证明limxn

存在并求limxn。n

二 转化为已知极限

（一）夹逼定理

例1 lim

n!，nnn



例limn

111

练习1 lim222 nn1n2nn

：n3

：

nx1lim(12例3(1)lim(2)xxx0

x

3).x

（二）初等变形

2n1)13

例1（1）lim(333n

nnn

)(1)(1练习1：lim(1

nx33x2

（2）lim x1x44x3

3161112)2：lim(12)(12)(12)n23nn(n1)

xx2x3xnn31

lim练习1：lim，2： 3

： 3x1x11xxx11x

（3）lim

x

2x1

x2

2exex2exexln(12x)

练习1：xlim，2：xlim 3:lim ex2exex2exxln(13x)例2

（有理化）n

练习1

：x1

：x0x)tanx 例3（换元）lim(1

x1



2sinx

例4（有界乘无穷小）lim xx

arctanx lim练习1：lim 2：xx01cosxln(1x)x

sinxx2sin

11 例5（将求数列极限转化为求函数极限）lim

n1nsin

n

ntan

111cos练习1：lim2：limcos nnnnn

n2

n

例6（两个重要极限的应用）

nsin（1）lim

n

xn

练习1：lim

x0

sinxn

sinx

x

m

2：lim

xa

sinxsina

xa

x2

（2）lim xx1

1

练习1：lim12：limcosx x0x

x

kx

ln1x1

cosx

x4

xsinx2(1cosx)sinxtanx

lim练习1：lim2： 43x0x0xx

（三）等价无穷小替换

例7（泰勒公式）lim

x0

e



x22

x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx

12x 2

ln(1x)x；ex1x；1x1x 例1 lim

x0



tanxsinx

sinx

练习1：lim

x1

1cosx

x1

：

x0

例2 lim

x0

lnxexxx

1x

3x5x1sinxcosxlimlim练习1

： 2： 3: x0x01sinpxcospxx12

esinx1

例3 lim x0arcsinx2

ecosxe

练习limx0tan2x例4

x0ln1xe1

（四）洛必达法则

0xsinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x0x00xxcosxlncosbx

x0

练习1

：2：

x1sinx32

1

练习1：lim

xa

lnx

4：xlim

xn

(1x)eax12sinx

2：lim 3：lim x0xxxacos3xxn

n0 5：xlim

ex

xa

1x

0,n为自然数

例2（型）lim（11)x0x2xtanx

11111)2：lim(x)3：lim(xx2ln(1))练习1：lim（x1lnxx0xxx1e1x

x

xtan 例3（0型）limx2arcsinxcotx 2：limlnxln(x1)练习1：lim

x0

x1

x（2）lim1x例4（01型）（1）limx



1x

cos

x

x1



x（3）limx1

11x

例5（微分中值定理）（1）lim

x0

tanxtansinxsectanxsecsinx

lim（2）33x0sin2xsinxcostanxcossinx



ab2lim练习1：lim 2：arctanxa0,b0 x0x2aa

an

a；a

（五）公式：limana,则lim12

nnnn

例

（六）转化为级数

x

1x1x

x

三 转化为定积分

1n例 limnni1

1pnp练习1

：limln 2：lim

nnnp1n

p0

四 考察左右极限

x2esinx 例 lim1x0xx

e1

五 关于含参极限及已知极限确定参数

例1（含参极限）

x2(a1)xa1:limxax3a3

(xa)(x1)(x1)

limlim2xa(xa)(x2axa2)xa(xaxa2)a1

2a03aa0

1

练习limxsin

x0x

2（已知极限确定参数）（1）x0

求出a,b。

（2）limx)0求

,

x

并求limxx)（a0)

x

由limx)

0有0lim

x

x

x

x

x

lim)

xx得

lim)=lim

x

x

求limxx

)

x

limx

x

lim

x

lim

b2

(c)x

x

b2c

2

(x21)2ab(x1)c(x1)2

练习lim0求a,b,c.2x1(x1)

第五篇：数学_学年论文_毕业论文_行列式解法小结

行列式的解法小结

摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。

关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式

行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n阶行列式的计算问题。升阶法

在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。

ca21例1计算n阶行列式 Dna1a2ana2ana1an1a1ana1c00a2a1ana1ca2a2an22can，其中c0

10a1ca21a2a1ana1a2a1a2ana2a2an0c000 ca1an解 Dn00ca2a2ana222can将最后一个行列式的第j列的c1aj1倍加到第一列（j2,3n1)，就可以

1n变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+cai12i,c,c,,c

n1n故

Dncnc

ai12i

1x1x21x1n2x1n1x2x22nx21xn2xn例2 计算n阶行列式Dnxnn

n2n2x2xn解

好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令

1x1x121x22x21xn2xn1yy2 yn2yn1yn

Dnx1n2x1n1x1nn2n2x2xnn1n1x2xnnx2nxn

按第n1列展开，则得到一个关于y的多项式，yn1的系数为(1)n1nDnDn。另一方面Dn11jin(xixj)*(yxi)

i1n显然，Dn1中yn1的系数为所以Dnxi*i1n1jin(xixj)(x1x2xn)

1jin(xixj)

2利用递推关系法

所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

abacbbacc例3计算n阶行列式 Dn，其中bc,bc0

解 将Dn的第一行视为(ac)c,0c,0c,据行列式的性质，得

accbacbbaac00bacbbacccbacbba

Dn0c0c

Dn(ac)Dn1c(ab)n

1(1)

于b与c的对称性，不难得到Dn(ab)Dn1b(ac)n1

(2)联立（1），(2）解之，得Dn(bc)1b(ac)nc(ab)n

ab1000abab1000ab000000000abab例4计算n阶行列式 Dnab

ab

10ab0000100 ababab解将Dn按第一行展开，得DnabDn1ab00ab于是得到一个递推关系式Dn(ab)Dn1abDn2，变形得DnbDn1a(Dn1bDn1)

易知 DnbDn1a2(Dn2bDn3)a3(Dn3bDn4)

an2(D2bD1)an2(ab)2abb(ab)an

所以DnanbDn1，据此关系式在递推，有

Dnanb(an1bDn2)anan1bb2Dn2



anan1ba2bn2bn1D1anan1babn1bn

如果我们将Dn的第一列元素看作ab,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行 列式的和，那么可直接得到递推关系式DnanbDn1，同样可得Dn的值。化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号

ababbbabba1an1b00b0b0abbb1bab11例5计算N阶行列式Dn

解 Dnan1b

ab

a(n1)b(ab)n1 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法

著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。

1x1(x11)1x2(x21)2x2(x21)1xn(xn1)2xn(xn1)

例6 计算n阶行列式Dnx12(x11)n1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)

解 将第一行可视为x1(x11),x2(x21),xn(xn1)，再由行列式的性

x1质，得Dnx2x2(x21)xnxn(xn1)

x1(x11)n1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)4

x11

x21x2(x21)xn1xn(xn1)n1xn(xn1)x1(x11)

n1x1n1(x11)x2(x21)把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i1行；第二个行列式的第i列提取xi1(i1,2,3n),得

x1Dnx12x1nx2xn(xi1)i1n1x1(x11)1x2(x21)1xn(xn1) 22x2xnnnx2xnn1n1x1n1(x11)x2(x21)xn(xn1)nn=xi(xi1)*(xixj)

i1i11jin5 利用乘法定理法

在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。

1a1b1例7计算n阶行列式Dn1a1b21b11001a1bn10 01a2b11a2b21a2bn1anb11anb21anbn

1a1a2an000000

解 Dn11b2bn00所以，当n2时，Dn0；

当n2时，D2(a2a1)(b2b1)当n1时，D11a1b1 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。

aabbabaabbabaabbaban1b例8 计算2n阶行列式D2nn

ab解 D2n(1)12n12nabba2n1

ab

(1)12(n1)12(n1)abba2n2

 abba*abba(a2b2)n 提取公因式法

若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a,a,,a型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。

xa1例9计算N阶行列式 Dna2a26

anan

a1a1xa2xan

n解 该行列式各行元素之和都等于 xai，属于“全和型”，所以

i11Dn(xai)i1na2xa2a2ananxan(xai)i1n1a200x0an0x11

xn1(xai)

i1n总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等。对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。