概率论和统计中常用的收敛极限小结

第一篇：概率论和统计中常用的收敛极限小结

概率论和统计中的收敛总结

概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。

设{Xn,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：

以概率1收敛

若,则称｛Xn,n≥1｝以概率1收敛于X。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。

依概率收敛

若对任一正数ε,都有，则称{Xn,n≥1}依概率收敛于X。它表明随机变量Xn与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛

对r≥1,若Xn-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{Xn,n≥1}r阶平均收敛于X。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。

弱收敛

设Xn的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有则称{Xn,n≥1}弱收敛于X，由平均收敛可以推出弱收敛。

从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。

分布弱收敛

设Fn、F分别表示随机变量Xn、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称Xn的分布Fn弱收敛于X的分布F,也称Xn依分布收敛于X。,分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src=“image/254-6.gif” align=“absmiddle”>。分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。

分布淡收敛

设{Fn(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x 都有，则称Fn淡收敛于F。

上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A=>B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。当是独立随机变量序列{Yj,j≥1}的部分和时，Xn依分布收敛、依概率收敛和以概率1收敛三者是等价的。

随着概率论的发展，上述收敛概念还推广到取值于一般可测空间（见测度论）的随机元（见随机过程）序列的各种收敛性。例如随机过程序列的分布弱收敛（见随机过程的极限定理），巴拿赫空间随机元序列的收敛等。

第二篇：数列极限的收敛准则

第一讲 数列极限

一、数列极限的收敛准则

1.数列极限的夹逼准则

a)数列{xn}，{yn}，{zn}满足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

则数列{xn}的极限存在，且nlimxn=a

b)例

1、求极限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1例

2、求极限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1(a>0)

骣1n

练习：

1、1n

nlimç? çç桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：运用重要极限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak为正常数, kÎZ+.)

2.单调数列的收敛准则

a)单调增加有上界的数列必收敛；

b)单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

例1． 证明lim(1

1n)n

n+=e 注：补充二项式定理

例2．

设x1=10，xn+1={xn}极限存在，并求其极限。例3．

设x1=xn+1={xn}极限存在，并求其极限。注：补充数学归纳法例

1、证明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、证明1+++L+<思考：

1、有界数列是否收敛？

2、数列{xn}收敛是否可推出数列xn}收敛？反之是否成立？

13、数列xn为有界数列，且limyn=0，数列数列xnyn是否收敛？ n{}{}

二、收敛数列的性质

1.极限的唯一性。

2.有界性。问题：有界数列是否收敛？

3.保号性。问题：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列xn与yn都发散，是否数列xnyn与xn+yn也都发散？

（2）若子列x2n-1与x2n均收敛，则数列xn是否收敛？

（3）设x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1骣1÷÷=çx+，证明数列{xn}极限存在，并求其极限。ç÷nç÷2çxn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

骣12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）设数列xn满足：0ìïn2+ïï当n为奇数ïn（7）数列xn=í，则当nï1ï当n为偶数ïïnïî时，xn是

A无穷小量B无穷大量C有界变量D无界变量2

第三篇：中心极限定理和概率统计

若{Xn}的分布函数序列{Fn(x)}与X的分布函数F(x)有，在任意连续点x，limFn(x)F(x)。n

依概率收敛

n若0，有P(XnX)0。准确的表述是，0，0，N,nN，有P(XnX)成立

（3）几乎必然收敛

如果有P(limXnX)1。准确的表述是，除掉一个0概率集A，对所有的A，n

有limXn()X()成立。这是概率空间上的点收敛。n

定理1。（切贝雪夫大数律）{Xn}相互独立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布）

1nPE(Xn)uD(Xn)，n,记YnXi，则Ynu。ni1

2统计发生——事物某方面的定量记录事前是不确定的，发生后的数据由真值和误差两部分构成，X。X是数据，是真值，是误差。导致误差的原因有：

1． 系统性误差：偏离真值的本质性错误，有内在原因所致；

2． 随机性误差：偏离真值的偶然性错误，没有内在原因，是纯偶然因素所致。

总体就是一个特定的随机变量

通过抽样，获得样本，构造样本统计量，由此推断总体中某些未知的信息

从总体中抽样是自由的，且当总体数量足够大，有放回与无放回抽样区别不大，有理由认为，取得的抽样观察值是没有关系的。所以，样本在未抽取前它们是与总体X同分布的随机变量，且是相互独立的，称此为随机样本。

定义2。设x1,,xn是取自总体X的一组样本值，g(x1,,xn)是Borel 可测函数，则称随机变量g(X1,,Xn)是一个样本统计量。

如果总体X中分布函数有某些参数信息是未知的，我们用统计量g(X1,,Xn)去推断这些信息，称此问题为统计推断问题。

给样本值x(x1,,xN),y(y1,,yN)，定义：（1）样本均值

(xi/n)

i

1n

（2）样本方差

1n

ˆx)ˆvar((xi)2 n1i1

ˆ样本标准差

s.e.e)

x)i(y)

1n

（3）样本协方差cˆov(x,y)(1x

n1i1

样本相关系数

xy

ˆ(x,y)cov

1/2

ˆ(x)varˆ(y)][var

1nk

（4）样本k阶矩 Akxi k1,2,

ni11n

（5）样本k阶中心矩 Bk(xi)k

ni1



k1,2,

X的左侧分位点F，P(XF)dF(x)。左分位点的概率含义是，随机变量

F

不超过该点的概率等于

设总体X分布已知，但其中有一个或多个参数未知，抽样X1,,Xn，希望通过样本来估计总体中的未知参数，称此为参数估计问题，它是统计推断理论中最重要的基础部分。

用样本矩作为总体矩的估计量，以及用样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量，这种方法称为矩估计法，这是一种最自然的估计方法。

ˆ(x,,x))对任意成立。当样本是称ˆ是参数的一个无偏估计，如果E(1n

有限的时候，我们首先要考虑的是无偏性。

n1n22

ˆS(Xi)2才是方差的无偏估计。故我们在样本统计量中定义n1n1i1

S2为样本方差。

ˆ是参数的一个一致估计，如果依概率有limˆ(x1,,xn)对任意成立。

n

有效性

在所有关于参数的无偏估计类中0，或所有的一致估计类1中，如果存在ˆ*是参数的一个无偏有效估计或一ˆ*)D(ˆ)对任意ˆ或任意ˆ成立，称D(01

ˆ具有最小方差性。致渐近有效估计。即

*

。无论总体X分布是什么，任意样本Xi和都是X的无偏估计，但比单独的样本估计Xi更有效。

DXi，所以n

设总体X关于分布F(x,)存在两类问题，一类是分布的形式未知，一类是分布的形式已知但参数未知，提出的问题是，需要对分布的形式作出推断，此称为非参数检验的问题； 或需要对参数作出推断，此称为参数检验问题。

奈克—皮尔逊定理告诉我们，当样本容量n固定，若要减少犯第一类错误的概率则犯第二类错误的概率会增加，要使两类错误都减少当且仅当增加样本容量。

超过了我们设定的F，（如，体温超过37度。）此意味一个小概率事件发生了。于是，我们有理由拒绝命题H0是真的。

X~N(u1,12)，Y~N(u2,2)，且相互独立，取样有(x1xn1),(y1yn2)。

欲检验H0:u1u2，或更一般，H0:u1u2u（u已知）。如何检验？

2（1）若12、2已知

因为~N(u1,1

2n

1)，~N(u2,22

n2)，且相互独立，所以~N(u1u2,122

n1



n2)，~N(0,1)，所以可找到检验统计量U。

（2）若1222，但未知，欲检验H0:u1u20，因为V



222

[(n1)S(n1)S]~(n1n22)，11222

且与

U

~N(0,1)独立，n11n212

~t(n1n22)，令S2，S12S2

n1n22n1n22可得

V2S2，所以可找到统计量

n1n22

T



~t(n1n22)。

注：如果u未知，问题就变困难了，可以证明此时统计量T就是一个非中心的t分布。

（3）又如何知道1222？

12(n1)(n1)2可做假设检验H0:21。因为12S12~2(n11)，22S2 ~2(n21)且独立。

122

S12

所以，可找到统计量F2~F(n11,n21)。

S2

（4）若122，且未知。问题就变困难多了，我们找不到合适的统计量。如果样本容量

足够大，那么，可以用渐近检验的办法处理。注意，U

中，因为12，2未

知，但已知S12,S2是12，2的一致估计，故用它们代替，有：

n1,n2

limU

~N(0,1)。

从而当n1,n2充分大时可用渐近正态检验。

又当n1n2n较小时，可以证明，~t(n)，注意，此与T



~t(n1n22)

自由度不同。此意味当期望、方差相同时，样本可以合并，认为X,Y属于同一总体。当期望相同，方差不同时，样本不能简单合并。

注：关于H0:u1u2u，或H0:u1u2u，统计量相同，并采用单侧的右分位点或单侧的左分位点检验。

ˆ是无偏线性估计类中的有效估计。OLS

ˆ 的极大似然估计在基本模型假定下就是OLS

估计做出后，评价、判断模型中的假定是否合理是对事前设定的模型做一个整体的把握。我们可以把这些假定、设定归结为一些对未知参数的判断，如果这些判断基本正确或错误，那么从整体数据中就能够反映出来。假设检验是估计完成后对模型的设定做进一步的确认。它以证否的形式完成。拒绝原假设，意味着命题真时犯错误的可能性可控制在一定的概率范围内。

第四篇：浅谈物理学中的概率论

浅谈物理学中的概率论

课程名称：概率论与数理统计

任课教师：史灵生

姓名：李上

班级：化工系分2班

学号：2012011849

浅谈物理学中的概率论

摘要：概率论作为数学的一个重要分支，为经典统计物理的发展做出重要贡献；然而，在量子力学中，Copenhagen学派却对波函数的物理意义有着与经典概率论不同的统计解释——概率幅。

关键字：统计物理 Boltzmann分布律 量子力学 概率幅

概率论与数理统计作为数学的一个分支学科不仅与其他数学学科有十分深入的相互渗透，而且与其他自然科学、技术科学、管理科学、以至于人文科学都有着广泛的交叉，与生活实践和科学试验都有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科的基础。作为基础科学的物理学与概率论有着密不可分的关系，本文讲主要谈一谈物理学中的概率论。

1.概率论在经典统计物理中的应用

统计物理学也叫统计力学，是用统计平均的方法研究大量微观粒子的力学行为，是理论物理学重要分支。麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究独立经典粒子按能量的最概然分布。对物理学，对物理化学，对化学工程都极其重要的意义。该分布在统计力学中占有重要地位，系统的各种热力学性质都与之有着十分密切的联系。

在定域子系中，Ni个彼此可以区分的粒子（可分是指它们可以按照位置加以辨别）占据gi个量子态的可能方式有giNi种。根据独立性N1，N2，„Ni，„个粒子分别占用能级的可能占据方式共有∏igiNi种。由于N个粒子是可以区分的，N个粒子分别为N1，N2，„Ni„个粒子的组合方式也可能有很多种。从N个粒子中取出N1个粒子放到能级中去，粒子的组合方式数为CNiN1N!；在余下N1!(NN1)!的N-N1个粒子中取出Ｎ2个粒子放入能级中去，这些粒子的组合方式数

CN2

NN1(NN1)!；依此类推，很容易得出可能出现的粒子占据方式总N2!(NN1N2)!

NgiiN!Ni数为。这样，我们便依据现有的概率论知识推出了giN!iN!Ni!iii

Boltzmann分布定律中微观状态数的数学表达式。后面根据微积分中已经学到的1 《基础物理化学》【M】,朱文涛

Lagrange乘数法，结合物理化学中的Boltzmann公式，即可得出Boltzmann分布律的最终的表达式。后半部分的证明并没有涉及到概率论的知识，因此这里不再赘述。

在统计物理学中，对于费米子的费米-狄拉克统计（F-D分布）、对于波色子的玻色-爱因斯坦统计（B-E分布）和上文提到Boltzmann分布是三种重要的统计规律，而它们的得出都与概率论与数理统计有着密不可分的关系。由此可见，概率与统计是统计力学中一项重要的理论武器。

2.量子力学中概率幅概念的引入

著名的美国物理学家Feynman曾说：“双缝衍射实验表现了量子力学的一切奥秘。”在物理学中的双缝衍射实验中，当两条缝同时打开时，衍射图形应该是在两条缝轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的叠加。这一实验事实表明：经典概率论中的全概率公式并不不适用于双缝衍射过程。2概率幅是以著名物理学家Born为代表的Copenhagen学派为解释这一现象而提出的假设——一个粒子通过某一条缝到达屏幕上某处的概率幅等于两条缝轮流打开时，该事件的两个概率幅之和——波函数Ψ是复数, 而所有可观察的物理量都必须用实数表示，因此Born建议将Ψ的绝对值的平方看作是波函数和可观察物理量之间的联系桥梁，称为概率幅。概率幅叠加的假设与实验结果符合的很好，这一假设在量子力学中有着重要的意义，它被Feynman称为“量子力学的第一原理”3，玻恩本人也因此而获得诺贝尔物理学奖。玻恩本人这样理解这一假设——“量子本身遵守概率定律，但是概率本身还是受因果律支配的。”4虽然有一些物理学家如爱因斯坦、德布罗意等人反对这一观点5，但是至少在目前还是不能动摇这一理论的地位。

在物理理论中引入概率概念在哲学上有着重要意义，它意味着，在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能用统计的方法给出结论，这与经典物理学中的严格因果律是矛盾的。而如今，混沌正是物理学中一个重要的研究分支。

结束语

概率论与数理统计的发展，促进了包括物理学等其他学科的发展；另一方面，20世纪以来，由于物理学和其他学科的推动，概率论飞速发展，理论课题不断2《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣《The Feynman's Lectures on Physics》，【M】, Feynman 4 《Introducing quantum theory》，【M】, Joseph P.McEvoy 5 《Quantum Paradoxes and Physical Reality》，【M】, F.Selleri

扩大与深入，应用范围大大拓宽，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。因此学好概率论与数理统计这门课程对我们的学习、工作、生活都有着极其重要的意义。

参考文献：1.《基础物理化学》【M】,朱文涛

2.《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣

3.《The Feynman's Lectures on Physics》【M】, Feynman4.《Introducing quantum theory》【M】, Joseph P.McEvoy5.《Quantum Paradoxes and Physical Reality》【M】,F.Selleri

第五篇：概率论与数理统计主要内容小结（模版）

概率论与数理统计主要内容小结

概率部分

1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：

P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|Bn)P(Bn)

其中B1,B2,,Bn是空间S的一个划分。贝叶斯公式：P(Bi|A)P(Bi)P(A|Bi)P(B)P(A|B)jjj1n

其中B1,B2,,Bn是空间S的一个划分。

2、互不相容与互不相关

A,B互不相容AB,P(AB)0

事件A,B互相独立P(AB)P(A)(B);两者没有必然联系

3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。

X~b(1,p),即二点分布，则分布律为P{xk}pk(1p)1k,k0,1.kkX~b(n,p),即二项分布，则分布律为P{xk}Cnp(1p)nk,k0,1,...,n.X~(),即泊松分布，则分布律为P{xk}kek!,k0,1,......1,x(a,b)X~U(a,b),即均匀分布，则概率密度为f(x)ba.0,其它x1e,x0X~E(),即指数分布，则概率密度为f(x).0,其它X~N(,2),即正态分布，则则概率密度为f(x)

12ex22,x.连续性随机变量X分布函数性质：（i）F()1，F()0,(ii)分布函数连续 对连续性随机变量X，已知概率密度f(x)，则分布函数为F(x)已知分布函数为F(x)，则概率密度f(x)F(x).对连续性随机变量X，已知概率密度f(x), 区间概率P{xL}

4、连续函数随机变量函数的概率密度

设连续随机变量X的概率密度为fX(x),Yg(X)也是连续型随机变量，求Y的概率密度 求法

(i)利用以下结论计算：如果函数g(x)处处可导，且恒有g(x)0（或g(x)0），则Y概率密度为：

xf(t)dt；

f(x)dx

LfX[h(y)]|h(y)|,y fY(y)0,其他g(),g()}.其中，h(y)是g(x)的反函数，且有min{g(),g()},max{(ii)利用分布函数计算：先求yg(x)值域，再在该值域求Y的分布函数

F(y)P{Yy}P{g(X)y}P{XB}则有fY(y)F(y).常用求导公式

(y)xBfX(x)dx

fY(y)F(y)(y)f(x)dxf((y))(y)f((y))(y)

5、二维随机变量分布律

对于二维连续性随机变量(X,Y)，其联合概率密度为f(x,y),其联合分布函数为F(x,y), 则F(x,y)xyf(u,v)dvdu，概率密度性质：（i）f(x,y)0,(ii)

f(u,v)dvdu1

已知概率密度f(x,y),求区域概率有P{(x,y)D}边缘分布函数为FX(x)边缘概率密度为fX(x)f(x,y)dydx，Dyxf(u,v)dvdu,FX(y)f(u,v)dudv，f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx.条件分布函数为FX|Y(x|y)xyf(x,v)f(u,y)du,FY|X(y|x)dv，fY(y)fX(x)条件概率密度为fX|Y(x|y)f(x,y)f(x,y),fY|X(y|x).fY(y)fX(x)对于离散情形，设联合分布律为P{Xxi,Yyj}pij 边缘概率密度为P{Xxi}pj1ijpi.，P{Yyj}pijp.j

i1条件概率密度为P{Yyj|Xxi}

6、二维随机变量函数的分布

pijpi.，P{Xxi|Yyj}pijp.j

设二维随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)，分布函数为F(x,y)(i)Z=X+Y, 则Z的概率密度为

fZ(z)f(zy,y)dyf(x,zx)dx

fX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zx)dx

当X,Y相互独立时，fZ(z)(ii)M=max{X,Y}与N=min{X,Y} 当X,Y相互独立时，FM(z)FX(z)FY(z)，FN(z)1(1FX(z))(1FY(z))

7、数学期望

(i)求法：连续随机变量X概率密度为f(x)，则E(X)xf(x)dx；若Yg(X), 则E(Y)g(x)f(x)dx.离散随机变量分布律为P{xxk}pk，则E(X)xk1kpk;若Yg(X), 则E(X)g(xk)pk.k1若有二维的随机变量(X,Y),其联合概率密度为f(x,y)，若Yg(X,Y), 则E(Y)g(x,y)f(x,y)dydx.(ii)性质：E(C)C,E(CX)CE(X),E(XY)E(X)E(Y)

E(k1X1k2X2knXn)k1E(X1)k2E(X2)knE(Xn)X,Y相互独立，则有E(XY)E(X)E(Y).8、方差

定义：D(X)E[XE(X)]2，标准差（均方差）：D(X).计算：D(X)E(X2)[E(X)]2

性质：D(C)0,D(XC)D(X),D(CX)C2D(X).D(XY)D(X)D(Y)2E[(XEX)(YEY)].常见分布的数学期望和方差：两点分布：E(X)p,D(X)p(1p).X~b(n,p),即二项分布，则E(X)np,D(X)np(1p).X~(),即泊松分布，则E(X),D(X).ab(ba)2,D(X).X~U(a,b),即均匀分布，则E(X)212X~E(),即指数分布，则E(X),D(X)2.X~N(,2),即正态分布，则E(X),D(X)2.9、协方差与相关系数

定义：协方差: Cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}E(XY)E(X)E(Y).相关系数：XYCov(X,Y)D(X)D(Y).则有Cov(X,Y)XYD(X)D(Y).性质：Cov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(X,X)D(X),Cov(X,a)0

Cov(aX,bY)abCov(X,Y),Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)

D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

如果X,Y相互独立，则有D(XY)D(X)D(Y)

|XY|1,且|XY|1a,b,使P{YabX}1.10、独立与不相关关系

XY0X,Y不相关Cov(X,Y)0E(X,Y)E(X)E(Y)X,Y相互独立F(x,y)F(x)F(y)f(x)f(y)E(X,Y)E(X)E(Y)

F为分布函数，而f为概率密度

一般情况下，X,Y相互独立X,Y不相关，但反之不成立；

2特殊情况，当(X,Y)~N(1,2;12,2;)时，X,Y相互独立X,Y不相关

2并且此时E(X)1,E(Y)2;D(X)12,D(Y)2;XY,Cov(X,Y)12.11、切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X的期望与方差为E(X),D(X)2，则对任意正数0，有

P{|XE(X)|}D(X)22, 即P{|X|}2.D(X)进一步有：P{|XE(X)|}1

12、两个中心极限定理

22,即P{|X|}12.定理1（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,,Xn,相互独立，服从同一分布，有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)20,k1,2,，则

当n充分大时，YnXk1nkE(Xk)k1nnXi1nkn~~~~~~~~D(Xk)k1n近似N(0,1).定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量n,n1,2服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则当n充分大时，nnpnp(1p)~~~~~~~~近似N(0,1)

统计部分

1、常用统计量

设X为总体，X1,X2,Xn是来自总体X的样本，定义

1n样本平均值：XXi，ni1n1n12样本方差：S(XiX)(Xi2nX2)，n1i1n1i12样本标准差（均方差）：S1n(XiX)2 n1i11nk样本k阶矩：AkXi,k1,2,

ni

12、常用正态总体相关的统计量（1）2分布

定义：设Xi~N(0,1),i1,2,n，则性质(i)可加性：设X~222X~(n)，特别Xi2~2(1).ii1n2(n1),Y~2(n2),则XY~2(n1n2).(ii)设X~(n),则EXn,D(X)2n.(iii)特例：设Xi~N(,),则(2)t 分布

定义：设X~N(0,1),Y~(n), 且X,Y相互独立，则统计量t性质

(i)概率密度为偶函数，关于y轴对称；当n趋于无穷大，该统计量趋于标准的正态分布；(ii)对于分位点有：t1(n)t(n).(3)F分布 定义：设U~212(Xi1ni)2~(n).XY/n~t(n).(n1),V~(n2), 且U,V相互独立，则统计量F1.F(n2,n1)Un1~F(n1,n2).Vn2性质(i)对于分位点有：F1(n1,n2)

3、正态总体样本均值与样本方差分布

单个总体情形：设X为总体，且服从X~N(,),X1,X2,Xn是来自总体X的样本，X,S分别是样本均值与样本方差，有以下结论： 22D(X)2,E(S2)D(X)2, 而且有(i)E(X)E(X),D(X)nnCXii1ni~N(Cii,Ci2i2).i1i1nn(ii)X~N(,2n), 即

X/n~N(0,1)；且

12(Xi1niX)2(n1)S22~2(n1)

两个正态总体情形：设X1,X2,Xn1是来自X~N(1,12)的样本，Y1,Y2,Yn2是来22自Y~N(2,2为两样本方差，)的样本, 且两样本相互独立，X,Y为两样本均值，S12,S2则有

(i)XY~N(12,12n122n2).2(ii)当1222时，XY(12)Sw11n1n2~t(n1n22)，2(n11)S12(n21)S2 Swn1n222S12/S2(iii)2~F(n11,n21)21/24.点估计(1)矩估计法

设概率密度f(x;1,2,k)或分布律P{Xx}p(x;1,2,k)中含1,2,k个参数需要估计。

(i)求总体前k阶矩

1E(X)1(1,2,,k)22E(X)2(1,2,,k)E(Xk)(,,)k12kk(ii)由以上方程解得

11(1,2,,k)(,,,)2212k kk(1,2,k)(iii)以样本i阶矩Ai代替i,i1,2,,n 即得估计量ii(A1,A2,Ak).(2)最大似然估计

定义：给定一组样本观测值(x1,x2,xn)，使该观测值概率取最大的参数值为所求参数估计值。

两种求法：I 直接用最大似然法估计计算

(i)写出似然函数 连续情形：L()f(xi;)，离散情形：L()p(xi;)

i1i1nn(ii)求使似然函数取最大值的参数

两种方法：取对数，求导数，令导数为0解出估计值；若求导不行，则用直接分析法(iii)由上写出估计值，再表示出估计量 II 利用不变性计算

若求函数uu()的最大似然估计，其中u是单调函数，可先求最大似然估计，然后利用不变性知u()是u()的最大似然估计。5.估计量评价标准

无偏性：是的估计量，如果E(), 则是的无偏估计量；

ˆˆˆ更有效； 有效性：1,2是的无偏估计量，如果D(1)D(2)，则1较2一致性：是的估计量，当样本容量趋于无穷大，依概率收敛于.6.置信区间 基本的重要概念：

置信水平：是参数落在置信区间(,)的概率，即P()1,,两统计量

1为置信水平。分别为双则置信下限与置信上限，例如置信水平为95%，则10.95.置信区间几种情形： 单个总体情形

当已知，的置信区间，枢轴量Z2X/n~N(0,1)

双侧置信区间：(XnZ),双则置信上、下限：X2nZ,X2nZ.2单侧置信区间：(XnZ,)，(,XnZ)单侧置信上、下限：XnZ,XnZ.当未知，的置信区间，枢轴量t2XS/n~t(n1)

双侧置信区间：(XSnt(n1))，2双则置信上、下限：XSnt(n1),X2Snt(n1).2单侧置信区间：(XSnt(n1),)，(,XSnSnSnt(n1))

单侧置信上、下限：Xt(n1)，Xt(n1)

当未知，的置信区间，枢轴量22(n1)S22~2(n1)

(n1)S2(n1)S2(n1)S2(n1)S2双侧置信区间：(,),双则置信上、下限：,(n1)(n1)(n1)(n1)212122(n1)S2(n1)S2单侧置信区间：(0,)，(,)

1(n1)(n1)(n1)S2(n1)S2单侧置信上、下限：.,1(n1)(n1)两个总体情形：

2S12/S2当1,2未知，/的置信区间，枢轴量F2~F(n11,n21)21/22122S12S121双侧置信区间：(2,2S1F(n11,n21)S2F211)，(n11,n21)2S12双则置信上、下限：2S2F1S1211,2，(n11,n21)S2F(n11,n21)22S12S1211单侧置信区间：(0,2),(2,).F(n1,n1)F(n1,n1)S211S2122S12S1211单侧置信上、下限：2,2.S2F1(n11,n21)S2F(n11,n21)在求解置信区间时，先分清总体属于那种情况，然后写出置信区间，再代数值。7.假设检验

假设检验的基本原理：小概率事件在一次观测实验中几乎不可能发生

显著性水平：小概率事件发生的概率，也是拒绝域对应事件概率，显著性水平越大，拒绝域越大。

两类错误：对原假设H0，备择假设H1，第一类错误H1不真，接受H1，第二类错误H0不真，接受H0，为减少两类错误，需增加样本容量。

假设检验的基本步骤：(i)提出假设；(ii)选取检验统计量；(iii)确定拒绝域；(iv)计算观测值(v)并作出拒绝与接收原假设判断

P值检验：计算p值，与显著性水平比较，p值小于拒绝原假设，否则就接收原假设；p值计算方法是将观测值作为拒绝域临界点，代入拒绝域事件计算其概率。假设检验的情形：

见书中164表，请复印下来，以便记忆，重点是1、2、3、7种情形，其余的也最好熟记。特别要注意，对假设检验问题，首先只看总体，是单个总体，还是两个总体，是对均值检验还是方差（精度）检验，若是均值检验，要看总体方差是已知还是未知，总之要分清情形；另外若是单侧检验，要写对原假设与备择假设，一般问有没显著改变，就是双侧检验，有没有显著提高就是右单侧检验，有没有显著降低就是左单侧检验；同时，把不含等于的情形作为备择假设，含有等于的作为原假设，如不超过多少，就是小于等于，这种含有等于，作为原假设。在双侧检验中，要写全拒绝域，然后看观测值是否满足不等式，以作推断。考试重点：全概率公式，独立性与不相关性等，一维，二维随机变量函数的概率密度求法，随机变量函数的概率密度求法，边缘概率，条件概率，期望，方差，协方差，点估计及其评价标准，假设检验。