浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解

第一篇：浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解

浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解

摘要：在概率论与数理统计的学习中，“数学期望”是一个比较抽象的概念，本文阐述了“数学期望”概念讲解中比较重要的三个内容，即：如何“定义”，如何“引申”到连续型随机变量的定义，以及如何“过渡”到方差。

关键词：数学期望；概率论与数理统计；教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）45-0199-03

在我们进行概率论与数理统计的教学中，教材的编排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后，立刻进入随机变量数字特征的学习，而最先面对的数字特征就是数学期望。“数学期望”这个概念的起源源于下面这个经典典故。

早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做布莱士?帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。这是为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4，当然，B就应该得1/4了。数学期望由此而来。

通过这几年的教学体会和教学经验，笔者发现“数学期望”这一概念尽管来源于生活，而且跟现实生活结合得非常紧密，但因为它非常抽象，一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。本文对数学期望概念的讲解进行了介绍，以期起到“抛砖引玉”的作用。

一、关于如何定义“数学期望”

首先是如何引入的问题。对于如何引入“数学期望”，我们为了唤起学生的学习兴趣，激发他们的学习动力，可以举一些密切联系生活的例子，比如上面的经典典故，或者将上面的经典典故作稍许变动，得到另外一个例子，如文献[3]中就是将“赌金问题”换成了“乒乓球比赛问题”。我们也可以作这样类似的变动，以吸引学生的课堂注意力，加深他们对《概率论与数理统计》这门课程在解决生活实际问题的作用是非常大的印象，唤起他们对这门课程的兴趣，也激发他们对用数学方法处理现实问题的热情。

这种引入方法的特点是直接、简单，节省上课时间，如果教师认为教学任务比较繁重、教学时间比较紧张，无法保证后续内容时间的把控，那么可以采用这种简洁的方式进行引入工作。

接着可通过一个例题来求解数学期望，从而加深学生对定义的理解和记忆。例如下面这则简单例子：掷一枚六面骰子，已知其各面朝上的可能性是相同的，则掷得的点数的数学期望是多少呢？

此时可以引导学生思考：骰子的任何一面都不可能为3.5，然而最后算得的掷得的点数的数学期望却是3.5，这说明了什么问题呢？这说明了期望值并不一定等同于常识中的“期望”，“期望值”也许与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该随机变量取值的平均数，期望值并不一定包含于随机变量的取值集合里，这就加深了学生对数学期望定义的理解和把握。

二、关于如何“引申”到连续型随机变量期望的定义

对于连续型随机变量其值充满整个区间，且取每一特定值的概率均为0，因此不能直接利用上述离散型随机变量期望定义求其数学期望。但可将连续型随机变量离散化，再由离散型随机变量的数学期望的定义引申出连续型随机变量的数学期望的定义。

三、关于如何“过渡”到方差

因为方差本身就是一种数学期望，但是如何引出“方差”这一数学期望却是要费一点心思的。比如说现在我们面前摆放着两只手表，它们每日的走时误差（以分为单位）分别以随机变量和表示，其分布律如下。

四、结语

通过实际的教学实践，我们发现“数学期望”概念对于许多同学来说是非常抽象的，因此，对它概念的讲解就应该是我们必须注意的地方。本文是笔者对“数学期望”概念的讲解的一点经验总结，希望能对概率论与数理统计的教学起到一点“抛砖引玉”的作用。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.[2]李正耀，周德强.大学数学――概率论与数理统计[M].北京：科学出社，2009.[3]熊欧，仇海全，武洁.数学期望的教学方法新探[J].科技信息，2010，（3）.基金项目：长江大学教研项目（JY2011023）

作者简介：曹小玲（1981-），女，数学与应用数学系，讲师，现主要从事数字图像处理和高等工程数学的教学与研究工作。

第二篇：初中一年级数学概念讲解

正数和负数

知识点一：正数和负数的概念

大于零的数叫做正数，在正数前面加上符号“-”的数叫做负数

判断一个数是正数还是负数的方法：判断一个数是正数还是负数，我们可以结合小学学过 的数来判断，小学里所学的数中除了0，其余的数都是正数，在正数前面加“-”就是负数

“-”作为性质符号，它就是符号；作为运算符号，它就是减号；在以后的学习中，我们还 可以了解它的另一个功能，表示一个数的相反数。“+”作为性质符号，它就是正号；作为 运算符号，它就是加号。

正数前面的“+”（读着正）号，通常可以省略不写，也可以写上，如+7，+0.01等；但负数 前面的“-”号，不能省略不写，如-8，若不写“-”号，就变成了8，即为+8，意义截然不同。

不能简单的认为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，例如：+（-3）就不是正数，-（-5）也不是负数。

知识点2 0的意义

1.在小学，0表示“没有”或者“空”，引入负数以后，0有了丰富的含义，例如在温度计上，0 C不是没有温度，而是表示冰点，它是一个确定的温度。2.0可以表示数位，如20，0.04中的0都表示数位

3.在加减法中，一个数加，减0，得原数，等于不加不减。在乘除法中，0与任何数相乘，得到的积是0，0被任何非0数除，得到的商仍然是零。

非负数指正数和0，非正数指负数和0；非负整数指正整数和0；非正整数指负整数和0。

1，0既不是正数，也不是负数。2，0不再是我们认识中的“最小数”，而是变成了正数和负数的分界线 3，0是自然数，是偶数，是最小的自然数，0也是整数。

知识点3用正数和负数表示具有相反意义的量

为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示。那么与它相反意义的量就可以用负数表示。如乒乓球比赛胜3局败2局，如果规定胜为正，那么败就为负。

用正数和负数表示具有相反意义量的方法

用正数和负数表示相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示，但通常把具有积极向上意义的“前进，上升，收入，零上等规定为正，而把具有消极向下意义的”后退，下降，支出，零下等规定为负。

1，相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为相反意义的量

2，与一个量成相反意义的量不止一个，如盈利9000元，与它相反的量很多，如亏损8000，亏损400，亏损3.18元，这就是说，具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量相等

3，用正数，负数表示相反意义的量，并不是固定的，如进口300箱，可以记着-300，也可以记着+300，相应的，出口200箱，则记着+200箱和-200箱

4，具有相反意义的量必须是同类量，如盈利8000元与出口200箱就不是相反意义的量

有理数

知识点1有理数的有关概念

正整数，0，负整数统称为整数；正分数，负分数统成为分数 整数和分数统称为有理数

几种常用数学名词的含义：

正整数：既是正数，又是整数的数；负整数：既是负数，又是整数的数； 正分数：既是正数，又是分数的数；负分数：既是负数，又是分数的数

非负数：正数和0；//非正数：负数和0；//非负整数：正整数和0//非正整数：负整数和0

知识点2 有理数的分类

按整数，分数对有理数进行分类 整数：正整数，0，负整数 分数：正分数，负分数

按数的符号对有理数进行分类： 正有理数：正整数，正分数 0 负有理数：负整数，负分数

正有理数与正数的区别：正有理数均为正数，但正数不一定都为正有理数，例如： 同样地，负有理数均为负数，但负数不一定都为负有理数，例如：

1，在进行数的分类时，要先确定分类的标准，分类的标准不同，其结果也不相同 2，不管进行怎样的分类，有理数最终分成五类，3，0既不是正数也不是负数，但它是整数，也是自然数

知识点3 数集

1，把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。2，数集有两种表示形式：一种用圈表示，一种用大括号表示

3，有些数可能同时属于多个数集，例如，因为有理数集包含着负有理数集，所以-9既属于负有理数集，也属于有理数集。

数轴 知识点1 定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴 画法：

1，画一条直线（一般画成水平的直线）

2，在直线上任取一点为原点，并用这点表示0（在原点下边标上）3，确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来

4，选取适当的长度作为长度单位，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3….从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3….重要提示：

1，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸

2，数轴具有三要素：原点，正方向，单位长度，缺一不可 3，原点的位置，和单位长度的大小可根据实际情况适当选取

知识点2 有理数与数轴上的点的关系

1，正有理数可以用数轴上原点右边的点表示 2，负有理数可以用数轴上原点左边的点表示 3，0用原点表示

4，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数 重要提示：

所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数

相反数

知识点一，相反数的概念和意义

1，只有符号不同的两个数叫做互为相反数

2，意义：几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。3，代数意义：相反数中，“相反”的意思是说：只有符号相反，即两个数除符号不同外其余都相同。

求一个相反数的方法

任何一个有理数都有唯一的相反数，如果a表示任何一个有理数，那么-a就是a的相反数，反过来a也是-a的相反数。

重要提示：

1，只有符号不同的“只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同，不能理解为符号不同的两个数互为相反数

2，相反数是成对存在的，一个数是另一个数的相反数，反过来另一个数也是这个数的相反数，不能说某个数是相反数。3，相反数和相反意义的量是不同的概念。

知识点 2 相反数的表示方法

在一个数a的前面添上一个负号，就得到了它的相反数-a

多重符号的化简

多重符号的化简可以看作是一个数的相反数的表示方法的运用，可以运用相反数的性质逐步由内向外化简，也可以由“-”号的个数确定，与+号的个数无关。如果“-”号的个数是奇数，则结果为“-”。如果“-”号的个数是偶数，则结果为“+”。

重要提示：

1，表示一个数的相反数时，如果这个数本身就含有多重符号，那么在表示的时候一定要先将这个数加上括号，然后再天上负号。2，数a可以是任意数，也可以是一个式子

绝对值

知识点1 绝对值的概念

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记着： 知识拓展：

1，一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数或零，所以一个数的绝对值是正数或零，即是一个非负数。2，如果几个数的绝对值的和等于0，则每个数都等于0

重要提示：

1，数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离原点的长度有关，而与它做表示的数的正负无关。

2，距离不可能为负数，因此，任何一个数的绝对值都是非负数。

3，在数轴上，表示这个数的点离原点的距离越远，绝对值越大，反之离原点距离越近，绝对值越小。

知识点2 绝对值的求法

一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0

求一个数的绝对值时，要先判断这个数是正数，负数还是0，再由绝对值的概念求出这个数的绝对值

知识点3 绝对值的性质 1，任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数。

2，绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它相反数的数是非正数，0是绝对值最小的数 3，绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数

4，互为相反数的两个数的绝对值相等，反之绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数

重要提示：

1，绝对值等于本身的数是正数和0，绝对值等于它的相反数的数是负数和0，不要丢掉0 2，绝对值是大于等于0的数，也就是非负数

知识点4 比较有理数的大小

1，利用数轴比较有理数的大小

2，利用数的性质比较异号两数与0的大小

3，利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小

有理数的加法

知识点1，有理数的加法法则

1，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

2，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并多较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0 3，一个数同0相加，仍得这个数

学习方法：

1，有理数加法运算时，步骤为“一判二定三加减” 一，判断类型，根据类型确定用哪一个法则

二，根据加数的绝对值的大小及加数的符号确定和的符号 三，对绝对值进行加减运算确定和的绝对值

知识点2，有理数的加法运算律

1，加法的交换率：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a 2，加法的结合率：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)

用运算率进行简便运算时的技巧 1，同号的几个数先相加 2，同分母的分数先相加

3，能凑成整数，整十，整百的数先相加 4，互为相反数的两个数先相加

5，带分数可坼成正数和真分数两部分来相加 6，既有分数又有小数时，可化为统一形式再相加

重要提示：

1，交换率中交换加数的位置时，各个加数连同其符号一起交换

2，三个以上的有理数相加时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加 3，用运算率计算可以减少反复确定结果符号的次数或可以使运算变的非常简单

有理数的减法

知识点1，有理数的减法法则

法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 用字母表示为：a-b=a+(-b)

重要提示：

1，有理数的减法是有理数加法的逆运算，做减法时常用转化的思想，把减法转化成加法再运算

2，在这个转化中有“两变”，一是把运算符号“-”变成“+”，二是把减数的符号改变，变成它的相反数，实际做题中一定要分清运算符号和数字本身的符号 3，式子a-b=a+(-b)中，a,b表示任意有理数

4，在有理数减法运算未转化为加法运算时，被减数与减数的位置不能变换，因为对减法来讲没有交换率

5，0减去任何数得这个数的相反数，例如0-2=-2，0-（-2）=2

知识点2，省略加号和括号的和

进行有理数加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则将减法转化为加法的运算，统一成只有加法运算的和的形式，例如（-9）-（+12）+（-3）-（-7）=-9-12-3+7

重要提示： 加号可以省略，但必须保留性质符号，省略加号的和中的每一个数连同它的性质符号可以看成一“项”，都是和中的一个数

知识点3，有理数的加减混合运算

1，利用减法法则将减法转化成加法 2，写成省略加号的和的形式 3，进行有理数加法运算 重要提示：

1，进行混合运算时，先将减法转化成加法运算，再写成省略加号和括号的形式，最后可适当用加法交换律和结合律简化运算

2，运用加法交换律和结合律时，交换加数的位置要连同前面的符号一起交换

3，在进行带分数的加法运算时，将带分数的整数部与分数部分进行分离，注意分开的正数部分与分数部分必须保持原带分数的符号

第三篇：可持续发展的概念讲解

“可持续发展’是1987年以挪威首相布伦特兰夫人为主席的联合国世界环境和发展委员会所出版的《找们共同的未来》一书首先明确提出来的.其概念是:.人类应既满足当前的需要,又不危害子孙后代生存利益’.实际上这只是哲理性的概念,类似于中国的成语“功在当代.利在千伙’.也可以说是一种主张,并不是一个严格的科学定义.由于这一概念涉及的倾域、空间和时问十分广阔,所以对其理解也就有不同的角度和涵义.1991年世界自然保护同盟(INCN、联合国环境规划署(UNEP和世界野生生物荃金会(WWF共同发表《保护地球》一书中,对可待续发展的定义为:“人类生活在永续的良好的生态环境容量中,同时又要改善人类生活的质量’二强调既要注意环境容量,又要改善生活质量,让人类世世代代过好H 子.这实际上是在强调发展的目的.世界资源研究所在"1992-1993年世界资源’一书中则提出:“可持续发展是不降低环境质量和不破坏世界自然资x基础的经济发展’.这是强调不要以牺性资源和环境为代价的经济发展,在不破坏自然和社会的基础条件下,完成经济发展这一最根本的任务.该书还从科学技术方法的角度.提出一些学者的观点:“可持续发展就是建立极少产生废料和污染的工艺或技术系统’,强调节约有效和清沽化的技术,认为这是合理利用资源和保护环境的重要措施.1991年国际生态联合会((INTECOL和国际生物联合会(IUBS则共同提出可持续发展的概念为:“保护和加强环境系统的生产和更新能力.,提倡保持最佳的生态系统以使人类的生存环境得以持续下去.”哲认为:“可持续发展是能动地调控自然一经济一社会复合系统,使人类在不超越资源与环境承载能力的条件下.促进经济的发展,保持资源永续和提高生活质量。”这一定义比较完整,但也还有待完善。

在《我们共同的未来》一书中,强调可持续发展概念包括三个原则tl.公平性原则,如当代人与人、代际之间以及在分配有限资源方面的公平性;2.持续性原则甲人类的经济和社会发展不能超越资源和环境的承载能力.以保持发展的持续性;3.共同性原则,人类生活在同一地球上.因此地球的整体观和人类互相百依存则表现为共同性.这二个原则很重要,但还汉有明确指出可持续发展与以往的发展思想的根本区别所在.概括地说,可持续发展要同时满足三个最基本的条件,即:要满足人类的需要;要限制人口增长,资源浪费和环境恶化;争取地区、国家和代际的公平。因此可持续发展的特征可以总结为:1.经济必须不断增长,因为它是社会财富和国家实力的体现,这

是发展的最基本的任务;2.以保护自然使生态持续发展为基础.发展要与人口、资源和环境的承载能力相协调,这是发展的基本条件;3.以改善人类的生存条件和提高生活质量为目的.发展要与社会进步相适应.这是发展的根本目的。简言之,就是以自然持续发展为基础,经济持续发展是任务.社会持续发展为目的.这三个持续发展可分别用自然、经济和毒t会可持续发展二个子系统来表示,它们之间是相互关连的,须要相互协调发展.并构成一个巨系统.因此可以说,可持续发展是自然经济和社会可持续发展三个子系统的相互协调和长期持续发展的综合.最终以提高人类的生活质景为目的.可持续发展概念最本质的创新,是把过去人与自然的对立关系改变为谐和关系,以提高人类的生活质量为目标.这与传统的单纯以经济增长为发展日标的模式具有本质的不同.这一改变要求正确认识“人与自然’、“人与人”之间的关系,重新考虑和变革其资源观、价值观、科学现和道德观,大致或部分相当于我们日常所说的世界观、人生观.可持续发展的概念是一种划时代的新思想,它将影响着人类发展的进程.而1992年的“世界环境与发展”大会则是人类历史进人可持续发展的新阶段的开始.尽管以上认识还有待未来历史发展进程的证实.但是,面对西方工业革命以来人类所面临的人口、资源、环境等的严重挑战,“可持续发展’无疑是经过深刻反思后的全新的选择.可持续发展的概念提出后短短几年之内,不但被许多国家的领导和学者们所接受,而

且变成了全球性的战略行动纲领。在中国一些重要文件中也都接受这一概念,而且已经

开始付诸行动。其重要意义可以概括如下.1,可持续发展的概念是从.人类的前途命运出发,到目前为止所能找到的最佳的发展途径:它是当前世界上“和平与发展’两大主题中被最广泛接受的概念.故而可以称之为

有划时代意义的新概念.2.可持续发展概念最核心的理论基础是人与自然要和谐共处,它对人的思维方式、生产方式和生活方式都会产生重大影响,特别是在资源观、价值观、科学观和道德观等方面的革新,将在思想领域产生深刻的变革。

3,可持续发展概念已经开始变成战略行动计划,它是可实践的全面的发展观.如《中国21世纪议程》的框架结构(表2}就是一个较全面的、纲目清楚的发展蓝图.4.可持续发展的概念是一种时间和空间最为广泛的发展观,它所遵循的公平性、持续性和共同性的原则,既有利于西方工业化国家,也有利于发展中国家,并带有一些“共同富裕的社会主义’色彩.在时间上它提倡世代文明昌盛,同人类特别是中国的伦理道德观相一致.这些很可能是包括我国在内的各国可以接受此概念的重要基础.5.可持续发展战略或走可持发展道路没有固定的模式.不同时间,地点和条件则需要按照具体情况来对待。同时它具有较强的科学技术方面的可操作性,也有一定的可预测性,如寻找提供和限制的动态平衡点和系统发展的各种预测模型都将会有不断的进展.但现阶段更重要的方法莫过于科技和经济的有机结合,它是实现可持续发展的最重要的策略.总之,可持续发展的概念对全球和对中国的发展都具有很重要的意义.尽管如此,可持续发展的定义和理论还有待深人研究和不断地完善.可持续发展战略的实施,在世界的不同地区推广还有其复杂性和艰巨性.实现提高人类生活质量的公平性、持续性和共同性方面,在发达国家和发展中国家之间,或经济条件悬殊的地区之间都还有较大的差距,也还有许多困难和阻力,因此它将是一个长期的奋斗任务,但最关键的

还是理论能否经得起实践和时间的考验,这就需要更多的人参与研究,付诸实践,加强宣传,使之成为行动纲领,这才可能使可持续发展真正具有划时代的意义.

第四篇：浅谈物理学中的概率论

浅谈物理学中的概率论

课程名称：概率论与数理统计

任课教师：史灵生

姓名：李上

班级：化工系分2班

学号：2012011849

浅谈物理学中的概率论

摘要：概率论作为数学的一个重要分支，为经典统计物理的发展做出重要贡献；然而，在量子力学中，Copenhagen学派却对波函数的物理意义有着与经典概率论不同的统计解释——概率幅。

关键字：统计物理 Boltzmann分布律 量子力学 概率幅

概率论与数理统计作为数学的一个分支学科不仅与其他数学学科有十分深入的相互渗透，而且与其他自然科学、技术科学、管理科学、以至于人文科学都有着广泛的交叉，与生活实践和科学试验都有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科的基础。作为基础科学的物理学与概率论有着密不可分的关系，本文讲主要谈一谈物理学中的概率论。

1.概率论在经典统计物理中的应用

统计物理学也叫统计力学，是用统计平均的方法研究大量微观粒子的力学行为，是理论物理学重要分支。麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究独立经典粒子按能量的最概然分布。对物理学，对物理化学，对化学工程都极其重要的意义。该分布在统计力学中占有重要地位，系统的各种热力学性质都与之有着十分密切的联系。

在定域子系中，Ni个彼此可以区分的粒子（可分是指它们可以按照位置加以辨别）占据gi个量子态的可能方式有giNi种。根据独立性N1，N2，„Ni，„个粒子分别占用能级的可能占据方式共有∏igiNi种。由于N个粒子是可以区分的，N个粒子分别为N1，N2，„Ni„个粒子的组合方式也可能有很多种。从N个粒子中取出N1个粒子放到能级中去，粒子的组合方式数为CNiN1N!；在余下N1!(NN1)!的N-N1个粒子中取出Ｎ2个粒子放入能级中去，这些粒子的组合方式数

CN2

NN1(NN1)!；依此类推，很容易得出可能出现的粒子占据方式总N2!(NN1N2)!

NgiiN!Ni数为。这样，我们便依据现有的概率论知识推出了giN!iN!Ni!iii

Boltzmann分布定律中微观状态数的数学表达式。后面根据微积分中已经学到的1 《基础物理化学》【M】,朱文涛

Lagrange乘数法，结合物理化学中的Boltzmann公式，即可得出Boltzmann分布律的最终的表达式。后半部分的证明并没有涉及到概率论的知识，因此这里不再赘述。

在统计物理学中，对于费米子的费米-狄拉克统计（F-D分布）、对于波色子的玻色-爱因斯坦统计（B-E分布）和上文提到Boltzmann分布是三种重要的统计规律，而它们的得出都与概率论与数理统计有着密不可分的关系。由此可见，概率与统计是统计力学中一项重要的理论武器。

2.量子力学中概率幅概念的引入

著名的美国物理学家Feynman曾说：“双缝衍射实验表现了量子力学的一切奥秘。”在物理学中的双缝衍射实验中，当两条缝同时打开时，衍射图形应该是在两条缝轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的叠加。这一实验事实表明：经典概率论中的全概率公式并不不适用于双缝衍射过程。2概率幅是以著名物理学家Born为代表的Copenhagen学派为解释这一现象而提出的假设——一个粒子通过某一条缝到达屏幕上某处的概率幅等于两条缝轮流打开时，该事件的两个概率幅之和——波函数Ψ是复数, 而所有可观察的物理量都必须用实数表示，因此Born建议将Ψ的绝对值的平方看作是波函数和可观察物理量之间的联系桥梁，称为概率幅。概率幅叠加的假设与实验结果符合的很好，这一假设在量子力学中有着重要的意义，它被Feynman称为“量子力学的第一原理”3，玻恩本人也因此而获得诺贝尔物理学奖。玻恩本人这样理解这一假设——“量子本身遵守概率定律，但是概率本身还是受因果律支配的。”4虽然有一些物理学家如爱因斯坦、德布罗意等人反对这一观点5，但是至少在目前还是不能动摇这一理论的地位。

在物理理论中引入概率概念在哲学上有着重要意义，它意味着，在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能用统计的方法给出结论，这与经典物理学中的严格因果律是矛盾的。而如今，混沌正是物理学中一个重要的研究分支。

结束语

概率论与数理统计的发展，促进了包括物理学等其他学科的发展；另一方面，20世纪以来，由于物理学和其他学科的推动，概率论飞速发展，理论课题不断2《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣《The Feynman's Lectures on Physics》，【M】, Feynman 4 《Introducing quantum theory》，【M】, Joseph P.McEvoy 5 《Quantum Paradoxes and Physical Reality》，【M】, F.Selleri

扩大与深入，应用范围大大拓宽，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。因此学好概率论与数理统计这门课程对我们的学习、工作、生活都有着极其重要的意义。

参考文献：1.《基础物理化学》【M】,朱文涛

2.《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣

3.《The Feynman's Lectures on Physics》【M】, Feynman4.《Introducing quantum theory》【M】, Joseph P.McEvoy5.《Quantum Paradoxes and Physical Reality》【M】,F.Selleri

第五篇：浅谈数学课堂教学中如何讲解习题

如何在数学课堂中讲解习题

数学练习题是学生巩固理解所学知识，发展数学能力，培养应用意识和创新精神的主要途径。练习是教学中不可缺少的环节，成功的课堂教学必须有较高的练习质量做基础。为提高数学课堂教学质量，减轻学生的课业负担，教师设计好练习题是十分关键的一环。题目做得多，不如做得精，学习的真谛“在于多悟，而不在于多练”。要想充分发挥数学练习题的功能，教师必须在新课程理念下精心设计好练习题。练习题既要关注学生的学习需要，又要重视学生能力的培养，使练习题教学与新课程、新理念同步。教师作为一堂课的教学者，讲题自然是课堂教学的重要环节,数学课堂教学离不开讲题。如何讲题？怎样讲题?这自然是中学数学课堂教学研究的重要内容之一，也是新老教师普遍关心，最不好把握的问题。我认为，从战略上讲：教师的定位应该是组织者、引导者及合作者。教师首先要关心备侄的、深思熟虑的、小心翼翼地去触击年轻的心灵。以前,我总认为：讲题就是把自己知道的、最好的、最多的、最精彩的、最与众不同的、最有体会的东西,用最直接、最明了、最简捷、最完整的方式交给学生。其实，长期的教学实践表明这并不一定好。后来我发现，其实我们常常应该逆向思考以下,想一想把什么不交给学生,而让学生自己去发现?怎么以最小的知识代价,引起学生最多的思考?学生的学习兴趣，思维能力往往就是在这个过程中培养和提高的。从战术上讲：在解题教学中，以下几个方面的问题又是决定解题教学成败的关键。

一，讲解出学生的需求

得到练习题后，我们既不能原原本本的读教材，也不能只沿着自己 的思路在讲解，一个个条件分析，直至得出结果。这种讲解看似讲得 很流畅，毫无节外生枝，未丝毫浪费时间，但学生听得很乏味，往往 会出现会做的地方不想听，想听的地方没听到。习题的讲解不仅仅是要让学生知道结果，更重要的是教师要在学生感到“山穷水尽疑无路”的时候，让学生看到前面“柳暗花明又一村”，并让他们找到到达“那一村”的方法。所以，在讲解习题前，要让学生自己读题、审题，此后教师应对学生解题情况作相应的了解，针对学生的需求进行讲解，让学生在努力学习的过程中实现学习目标，同时在学习中获得成功的快乐。二,讲习题应该渗透数学思想,切忌舍本求末.比公式更重要的是数学思想方法，它是解题的指路明灯。数学思想方法,就是应用数学知识分析问题和解决问题的观点、方法。它是数学的“灵魂”。“在解决具体问题中,数学思想往往起着主导作用,尤其是他对产生一个好‘念头’,一种好‘思路’,一种好‘猜想’提供了方向”。数学思想是‘纲’,纲举目张.中学数学主要涉及的数学思想是：转化的思想；化简的思想；逻辑划分的思想；数形结合的思想。在讲题时,教师不仅要告诉学生有那些数学思想和方法，它们各自有什么作用，而且更重要的是向学生展现数学思想和方法的产生、发展和应用的过程，展现应用过程的丰富背景。否则学生当遇到新问题时，尽管头脑中也知道要在数学思想和方法的指导下解决，但却仍然不知从何处入手。根据中学生的特点，在教学中如何渗透数学思想方法？我们总结出两条有效的经验：（1）在教学过程的不同阶段，对数学思想方法的教学的侧重应有所不同，在低年级介绍较低层次，在高年级介绍较高层次；新授课阶段介绍较低层次，复习巩固阶段介绍较高层次。这就是在教学过程的不同阶段按由低层次到高层次的顺序进行。（2）在解题教学中，重点是展现知识与数学思想和方法的应用过程，使学生从中学到创造性数学活动的经验，并经过多次强化巩固下来。问题解决的过程大致如下：当遇到新问题时，首先要把条件和结论转化成与原有知识结构相吻合的形式（这是同化过程）；再在数学思想的指导下把原数学认知结构中的概念、定理、法则等重新组合成新的法则，以便适应问题的解决（这主要是顺应）；最后选择适当的数学方法实施解题手段，实际操作解决问题。这就是在教学过程中，根据数学思想方法的特点，按由高层次到低层次的顺序进行。总之，在讲解习题中渗透数学思想方法要在数学活动的过程中进行，要让学生充分体会数学思想对解决问题的巨大指导作用,从根本上提高他们分析问题,解决问题的能力.二，讲题应突出思路分析,不要开门见山.仅从解题角度讲,给学生讲习题是教给学生如何去发现一道题目的解题方法,讲的关键是展示思路发现的过程,在这个发现过程中,解题人思绪万千,念头百出,有时灵机一动,毛塞顿开，有时山穷水尽,突然峰回路转,有时步入歧途,有时不能自拔……。我们做教师的应该把这些生动的思维过程充分的展现出来,不能只展示分析的“成品”,“优品”,还应该把分析的“废品”,“次品”展示出来,并且要好好的讲一讲怎样从“废品”到“次品”,进而到“成品”,“优品”。讲题应把主要精力放在题意分析和思路发现上.教师不应该是学生课堂学习的指挥员、讲解员、裁判员，而应该是课堂活动的组织者、引导者和合作者。三,讲习题应潜心设误布疑,避免平铺直叙.讲习题时,由于知识密度大,信息量多,应将讲、练、思三者有机的结合起来,创造条件让学生多动口、动手和动脑,激发学生全方位“参与”。我的做法是：（1）进行开放式的习题课堂教学，给学生出错的机会；（2）倾听学生的发言，捕捉学生的错误想法；（3）设计问题情境，让学生的错误显现出来；（4）做好经过探究学生进行自我否定的经验积累。教师要敢于放手而且必须大胆放手，让学生能自由地利用自己的知识经验、思维方式去尝试解决问题。这样做,不但可以激发学习兴趣,还可以把学生学习数学时认识上的错误,理解上的偏差,技能上的缺陷,都表现出来。其实，学生中的智力潜能往往是巨大的，有些独特的思考方法还是教师未能想到的。因此，教师应该认真研究学生的的思维状况,摸清学生易犯的错误,正确导航,把握进程,时时点拨。讲习题时有意识设疑布陷,警示学生,这样往往比正面强调效果更好.四,讲习题应注意一题多解,启迪创新思维.一题多解教学，是数学教学中总结出来的最成功的教学经验之一。解题思维活动中充满着新旧认识结构的矛盾,已知与未知不断变化发展的矛盾,成法背景与新题情景的矛盾.若没有创新思维能力,解题只能永远停留在模仿层次上,教师永远不能对学生说:“这种解法是本题的最佳解法”,要鼓励他们大胆的展开思维的翅膀，养成一题多解的良好习惯，勇于思考，善于解题。著名数学家，数学教育家波利亚曾写道:“无论如何,你应当感谢所有新念头,哪怕是模糊的念头,甚至要感谢那些使模糊念头得以纠正的补充念头”.总之，学习兴趣是在思考中培养的；解题能力是在思考中提高的。中学数学主要涉及的数学思想是：转化的思想；化简的思想；逻辑划分的思想；数形结合的思想。