数学史话-华罗庚

第一篇：数学史话-华罗庚

华罗庚（1910～1985），数学家，中国科学院院士。1910年11月12日生于江苏金坛，1985年6月12日卒于日本东京。

1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对Ｇ.Ｈ.哈代与Ｊ.Ｅ.李特尔伍德关于华林问题及Ｅ.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。

在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。

第二篇：数学史话-柯西

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。他信仰罗马天主教，追随保皇党，终生坚守气节。他在学术上成果相当多，他的研究是多方面的。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易。菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。

1838年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。1848年路易。菲利普君主政体被推翻，成立了法兰西第二共和国，宣誓的规定被废除，柯西终于成为理工科大学的教授。1852年发生政变，共和国又变成帝国，恢复了宣誓仪式，唯独柯西和阿拉果（Ｄ.Ａｒａｇｏ 1786－1853 法国物理学家）可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。

现今所谓的柯西定义或ε－δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来，因此极限理论也就不可能完成。柯西在1821年提出ε方法（后来又改成δ），即所谓极限概念的算术化，把整个极限过程用一系列不等式来刻画，使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将ε和δ联系起来，完成了ε－δ方法。

第三篇：数学文化教育之华罗庚

教师编辑：奚金花

学生编辑：龚莉 费凡

世界数学大师 华罗庚

名言警句：

天才在于积累，聪明在于勤奋

功绩描述：

华罗庚是中国解析数论、典型群、自守函数论、矩阵几何学、多变数复分析等很多方面研究的创始人和开拓者，也是我国进入世界著名数学家行列的最杰出代表。他一生为我们留下了二百篇学术论文，十部专著，其中八部为国外翻译出版，有些已列入本世纪数学经典著作之列。他还写了十余部科普作品。他的名字已进入美国华盛顿斯密司—宋尼博物馆，也被列为芝加哥科学技术博物馆中88个当今数学伟人之一。

世人评说：

很多著名数学家对他的赞扬：“由于他工作范围之广，使他堪称世界名列前茅的数学家之一”（劳埃尔·熊飞尔德）；“他是绝对第一流的数学家，他是作出特别贡献的人”（李普曼·贝尔斯）；“受他直接影响的人出许比受历史上任何数学家直接影响的人都多，他有一个普及数学的方法”（罗兰德·革来翰）

生平扫描：

华罗庚，数学家，中国科学院院士。1910年11月12日生于江苏金坛，1985年6月12日卒于日本东京。1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对Ｇ.Ｈ.哈代与Ｊ.Ｅ.李特尔伍德关于华林问题及Ｅ.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。

生平记事：

1931年经熊庆来教授的推荐，华罗庚进入清华大学数学系，当一名管理员并旁听进修。

1935年被清华大学破格提升为教员。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。

1946年秋天，应美国普林斯顿大学魏尔教授邀请访问美国。冬天，华罗庚在美国治好了他的腿疾。在美国的四年，华罗庚先后担任过普林斯顿大学讲师，伊利诺大学教授等。这期间，他研究的范围扩大到多复变函数，自守函数和矩阵几何。

1950年，带领全家回国。在香港，他给留美的中国学生写了一封公开信，动员大家回国参加社会主义建设，表达了他深切的爱国之情。回国后任清华大学教授，受到了全校师生的热烈欢迎。

1952年任中国科学院数学研究所所长，其间还担任过中国科学院数理化学部学部委员，副主任,中国科学院副院长等职。

1953年随中国科学院访苏代表团访苏考察三个月。1953年《堆垒素数论》中文版出版。

1953-1956年华罗庚亲自领导组织了“数论导引”和“哥德巴赫猜想”两个讨论班，带出了一批优秀的学生。这些学生在各自的工作中为发展我国的数学事业作出了贡献。1957年论著《多复变函数论典型域上的调和分析》获国家一等奖。调陈景润来中科院数学研究所任研究实习员。《数论导引》出版。1958年兼任新成立的中国科学技术大学副校长、数学系主任。1959年《指数和的估计及其在数论中的应用》一书在东德出版，1963年被译成中文。

1962年著《从单位圆谈起》，并到一些大学讲学，带领一批人开展偏微分方程组的研究工作，并取得了很好的结果。

1963年《典型群》出版，开始在中国科技大学用系统的SEMINAR指导大量的研究生，培养了一批又一批的优秀人才。

1964年写出《统筹方法平话》和《统筹方法平话及其补充》。

1967年著有《优选法》和《优选法平话》。与王元教授合作开展了近代数论方法在近似分析上的应用的研究，所取得的结果被称为“华-王方法”。

1977年被任命为中国科学院副院长。

1979年，中国科学院将数学所分成了三个所，数学研究所、应用数学研究所与系统科学研究所。华罗庚任前两个所的所长。

1979年访问了英国。这次访问历时8个月，以伯明翰大学为基地。在英国各地讲学。

1979年加入了中国共产党，同年访问法国，南锡大学授予他荣誉博士学位。

1980年访问美国。

1981年当选中国科学院第四次学部大会主席团委员。1982年，香港中文大学授予华罗庚名誉理学博士。

1983年，华罗庚当选为第三世界科学院院士。

1984年，华罗庚接受了美国伊利诺大学的名誉理学博士。

1985年，华罗庚被选为全国政协委员。

1985年6月12日，他在日本东京作学术报告时，因心脏病突发不幸逝世，享年74岁。病愈自勉 华罗庚

呼伦贝尔骏马，珠穆朗玛雄鹰，驰骋草原志千里，翱翔太空意凌云，一心为人民。

壮士临阵决死，哪管些许伤痕，向千年老魔作战，为百代新风斗争，慷慨掷此身。

华罗庚的名字为科技爱好者所熟悉，他写的课外读物曾是中学生们打开数学殿堂的神奇钥匙，他自学成才的故事则鼓舞了无数有志青年勇攀科学高峰。在中国的广袤大地上，到处都留有他推广优选法与统筹法的艰辛足迹。这位“人民的数学家”，为他钟爱的数学事业奉献了毕生的精力与汗水。生平

■童年时因思考问题过于专心常被同伴们戏称“罗呆子”；只有初中毕业文凭，凭自学最终走上清华大学讲坛

■抗战期间，在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里写出经典名著《堆垒素数论》

■在工农业生产中推广优选法和统筹法，足迹遍及27个省市自治区，创造了巨大的物质财富和经济效益

华罗庚，1910年11月12日出生于江苏金坛县，父亲以开杂货铺为生。他幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴们戏称为“罗呆子”。他进入金坛县立初中后，其数学才能被老师王维克发现，并尽心尽力予以培养。初中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学，故一生只有初

中毕业文凭。

此后，他开始顽强自学，每天达10个小时以上。他用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。1928年，他不幸染上伤寒病，靠新婚妻子的照料得以挽回性命，却落下左腿残疾。20岁时，发表了他的处女作《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立的理由》。清华大学熊庆来教授高度赞赏了他的才华，并让他去清华当助理员，管管图书馆和收发文件等。

从1931年起，华罗庚在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数学系全部课程。他自学了英、法、德文，在国外杂志上发表了三篇论文后，被破格任用为助教。1936年夏，华罗庚被保送到英国剑桥大学进修，两年中发表了十多篇论文，引起国际数学界赞赏。1938年，华罗庚访英回国，在西南联合大学任教授。在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里，他艰难地写出名著《堆垒素数论》。1946年3月，他应邀访问苏联，回国后不顾反动当局的限制，在昆明为青年作“访苏三月记”的报告。1946年9月，华罗庚应纽约普林斯顿大学邀请去美国讲学，并于1948年被美国伊利诺依大学聘为终身教授。不久，妻子带着三个儿子来到美国与其团聚。

1949年，华罗庚毅然放弃优裕生活携全家返回祖国。1950年3月，他到达北京，随后担任了清华大学数学系主任、中科院数学所所长等职。50年代，他在百花齐放、百家争鸣的学术空气下著述颇丰，还发现和培养了王元、陈景润等数学人才。1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。从1960年起，华罗庚开始在工农业生产中推广统筹法和优选法，足迹遍及27个省市自治区，创造了巨大的物质财富和经济效益。1978年3月，他被任命为中科院副院长并于翌年入党。

晚年的华罗庚不顾年老体衰，仍然奔波在建设第一线。他还多次应邀赴欧美及香港地区讲学，先后被法国南锡大学、美国伊利诺依大学、香港中文大学授予荣誉博士学位，还于1984年以全票当选为美国科学院外籍院士。1985年6月12日，他在日本东京作学术报告时，因心脏病突发不幸逝世，享年74岁。

背景

■一名美国教授评论：“华罗庚若留在美国，本可对数学做出更多贡献。但他回国对中国数学十分重要，很难想象，如果他不回国，中国数学会怎么样”

■受毛泽东的《实践论》启发，第一次使数学从书本走向生产实践，被广大群众誉为“人民的数学家”

从“五四”运动开始，古老的华夏大地就响起了要求科学、民主的呼声。但在反动统治下，政治的黑暗使一大批才华横溢的科学家无用武之地，他们不得不远涉重洋到国外去寻求发展。华罗庚经过顽强自学终于成为数学名家时，也由于同样原因心怀惆怅地到了海外。

华罗庚在美国当教授时，年薪高达两万美元（按当时购买力相当于现在币值的5倍），有小洋楼和汽车。但他常说：“梁园虽好，非久居之乡！”他 一直希望“回国和苦兄弟们在一起，把祖国建设好”。当华罗庚闻知新中国成立的消息时，便毅然回到国内从头开始。1980年，美国记者裴弗曼写的《华罗庚访问记》，记述了华老的回忆：“我留在美国是很舒服的。事实上，无论对我的工作，对我的妻子和孩子，留在美国都很重要。我应该回国还是留下呢？最后，我选择了前者。中国是我的祖国，那里是我的家乡。我是一个穷苦出身的人，中国的革命是为了劳苦大众的。我应该为中国的数学事业作些紧要的事。”一名美国教授后来评论他：“华罗庚若能留在美国，本来可以对数学做出更多的贡献。但他回国对中国数学也是十分重要的。很难想象，如果他不回国，中国数学会怎么样。”

更难能可贵的是，华罗庚受毛泽东的《实践论》启发，坚持到群众中去，第一次使数学从书本走向生产实践，在应用数学的推广方面取得了举世瞩目的成绩。在从事推广普及数学工作中，一点不摆架子，不故弄玄虚。他总是先深入到工农兵群众中去，跟他们交朋友，向他们学习。然后选择适于生产应用的数学方法，用群众能懂的语言，讲给群众听，并为他们写出了《统筹学平话》、《优选法平话》等深受群众欢迎的小册子。群众不再称他“华教授”了，而是亲切地叫他“老华”。群众从内心喜欢他，把他看作自己人，给了他最宝贵的桂冠——“人民的数学家”。

故事

■左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。他戏称这是“圆与切线的运动”。他的誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！”

■由于青年时代受到过“伯乐”的知遇之恩，对于人才的培养格外重视

华罗庚是一位自学成才的数学巨匠，对数学的痴迷和顽强毅力令人赞叹。他失学回家后，一边帮助父亲照顾小店一边自学，常常达到如痴如醉的程度 而忘记接待顾客。他经常闹笑话，不是气走了顾客，就是算错了账、多找钱。他父亲气极了，就把华罗庚演算的草稿纸撕掉扔到街上。有一次，父亲一气之下要烧掉数学书，华罗庚心如刀绞，竟休克昏倒在地。

华罗庚因病左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。对于这种奇特而费力的步履，他曾幽默地戏称为“圆与切线的运动”。在逆境中，他顽强地与命运抗争，誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！”凭着这种精神，他终于从一个只有初中毕业文凭的青年成长为一代数学大师。华罗庚一生硕果累累，是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自导函数论等方面的研究者和创始人，其著作《堆垒素数论》更成为20世纪数学论著的经典。

由于青年时代受到过“伯

乐”的知遇之恩，华罗庚对于人才的培养格外重视，他发现和培养陈景润的故事更是数学界的一段佳话。在他亲自关心和过问下，陈景润从厦门大学被调到中科院数学研究所，最终在攻克哥德巴赫猜想方面取得了世界领先的成绩。（左图：华罗庚和陈景润）此外，万哲元、陆启铿、王元、潘承洞、段学复等人也是在华罗庚的悉心培育下成长起来的。

为了人民的需要，从50年代起，他就亲自参加并鼓励学生研究应用数学。刚回国不久，他就提出“天才在于积累，聪明在于勤奋”。虽然他聪明过人，但他从不夸耀自己的天分，而是把比聪明重要得多的“勤奋”和“积累”看做是两把成功的钥匙，并反复地告诉青年人。50年代中期，他又提出“要有速度，还要有加速度”。所谓速度就是出成果，所谓加速度就是成果的质量要不断提高。这是针对当时数学所已经出了一批成果，而鼓励大家千万不要自满，要继续攀登高峰。

华罗庚还是我国中学生数学竞赛的首创者，从1956年到1978年间，他亲自担任竞赛委员会主任，还写了大量中学生课外数学读物和学习方法书，为培养优秀数学人才倾注了大量心血。

■他不仅是一位杰出的数学家，而且才华横溢，诗文俱佳

■东京大学原定45分钟的报告，在经久不息的掌声中被延长到一个多小时。当他满头大汗结束讲话时，突然心脏病发作倒在讲台上

华罗庚才华横溢，除数学外，诗文俱佳，演说才思敏捷且幽默风趣。他读唐诗“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”发现有常识性错误，并随口成诗指出：“北方大雪时，群雁早南归，月黑天高处，怎得见雁飞？”这四句诗不但显示出华罗庚精于推理的特点，其诗文功底也可见一斑。

1985年6月12日，华罗庚应邀到日本东京大学作学术报告。他先中文，改用英语演讲。日本学者被他精彩的演说深深吸引，原定45分钟的报告在经久不息的掌声中被延长到一个多小时。当他满头大汗结束讲话时，突然心脏病发作倒在讲台上。他用行动实践了自己的诺言：“最大的希望就是工作到生命的最后一刻。”

华罗庚一生在数学上的成就是巨大的，他的数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多个复变函数论、偏微分方程及高维数值积分等很多领域都作出了卓越的贡献。他之所以有这样大的成就，主要在于他有一颗赤诚的爱国报国之心和坚忍不拔的创新精神。正因为如此，他才能够毅然放弃美国终身教授的优厚待遇，迎接祖国的黎明；他才能够顶住非议和打击，奋发有为，不为个人而为人民服务，成为蜚声中外的杰出科学家。

学生感言

高二（6）班 龚莉

在那遥远的地方，有一位慈祥的老人，用一双智慧的眼眸注视着世界的东方——中国，注视着这片热土上数学研究的发展。曾经，他用自己全部的生命在这方土地上树立起了一座数学的里程碑，他就是被誉为“世界名列前茅的数学家之一”的华罗庚。

人们称赞他是数学的奇才，他却告诉人们“聪明在于勤奋，天才在于积累”。家庭的贫困让他早早地就被迫离开了学校，但他却并没有因此就放弃了对所热爱的数学的追求，硬是凭借着自学走上了清华的讲台，走出了国门，走向了世界的舞台。

人们感言：数学研究的道路如此崎岖，为何华罗庚能一路攀向数学的高峰？！他告诉人们“科学上没有平坦的大道，真理长河中有无数的礁石险滩。只有不畏攀登的采药者，只有不怕具浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠”。解析数论、典型群、自守函数论、矩阵几何学、多变数复分析„„他在数学的海洋中尽情得遨游，一步步为中国的数学事业创造着辉煌！可就在他的事业顶峰时期，面对着国外的高薪厚禄，汽车洋房，他却以一颗淡泊的心毅然决然地选择了回到养他育他的祖国，或许有人会认为他傻，但他却说“朋友们！梁园虽好，非久居之乡。归去来兮„„为了国家名族，我们应当回去”。是啊，虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国！在这片他所熟悉的地方，方似如鱼得水。怀揣着满腔的热情，他关心、培养了一大批数学人才。为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、实验和推广，倾注了大量的心血。华式定律的认可是他的成功，更是中国的骄傲！

在他的脸上我们看到了对中国数学的矢志不渝，看到了对中华数学复兴事业的世纪沧桑。在中国数学的洪荒之时，他是一位抱定 “战士死在沙场幸甚”的开拓者，从一个初中毕业生到平民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，心中不禁升起一股对他的钦佩之情，敬佩他的执着，敬佩他的无私„„

作为21世纪的新新人类，在感叹他一生的辉煌成就的同时，我们更应该学习华老的人格品质，虽然他已离我们远去，但他的精神将永远留在中华历史的扉页中，留在我们的记忆里„„ 高二（5）班 费凡

生命的柔软时光

原来，有一个世界，离我们的世界如此遥远，却又如此贴切。

城依水存，水随城至。金坛，是水筑的城镇。入墙绕护的是水，穿街过巷的是水，金坛唱着湿漉漉的诗，带着纯朴，清澈的绝美，从那江南平原蜿蜒流过我们尘封已久的心，也流出一朵带着睿智的白莲——华罗庚。

于是，在江南朦胧的烟雨中似乎可以看到，一名青年独倚高楼，凭栏远眺，四野烟斜雾横，八方细雨潺潺。似在用手中的书卷指引他未来的方向，而今我们也站在这里，站在这个空荡荡的地方，欣赏那智慧的火花，谛听轻柔娇嫩的絮语。当然从中也夹杂着“一事能狂便少年”的耀眼宣言，有似：兴酣落笔摇五岳，诗成笑傲凌沧州。这声音是从年轻而有又才华横溢的心脏迸发而出。但岁月的洗礼教会他：娇美的昙花总在漫漫长夜独自盛开，却又瞬间凋零，唯有旷世的才华将在飘零江湖的小舟上谱写——绚烂智慧让美惊心动魄。他愿意在没有光怪陆离的繁华之景，没有五彩的霓虹，没有来往的人群，只用怀有远大理想的心去品味这波澜不惊的简单日子。

因为还有梦和理想，从此他便只为那儿时便设下的梦想怦然心动，只会因开拓的脚步激情满怀。红尘中太多的俗事正如《金刚经》所云：皆为梦幻泡影，抑或像徐志摩那句轻轻的感叹：得之，我幸，失之，我命。他明白人生的短暂，便用那著名一世的“华——王方法”去留下生命的痕迹，纵使曾经在痛苦中徘徊，也要挣扎出绚丽动人的光彩。

当那白莲浅尝一口寂寞之时，他的生命沉淀出深沉的意义；再品一口寂寞，生命沉淀出的结晶，他也有些微醉了，醉在这数学的王国里。

第四篇：数学史话校本课程教案

数 学 史 话

教 案

长乐二中

郑艳阳

陈云珍

第1章 数学史话概述

课时：2课时

教学目标：了解数学发展的背景，理解重要数学事件对数学尿的意义。教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：

数学发展的显著变化

知识理解：

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，就是研究数和形的科学。

由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。在 不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。

刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率 的一般方法。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。

在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而源于古希腊、2 埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。

16世纪时，韦达以文字代替方程系数，引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质进行探讨，是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。

早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。

在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风

第2章 中国数学史

课时：2课时

教学目标：了解解析数学发展的背景，理解重要数学事件的意义。教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：

中国数学显著变化

过程：数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

中国古代数学的萌芽

原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。

商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周 代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。

公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾

三、股

四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题.而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

中国古代数学体系的形成

第3章 古希腊数学

课时：2课时

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希腊数学显著变化

3．古 希 腊 数 学

古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。

伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。

毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。

这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二 5 倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、„边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。

公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。

这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是：

二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上；飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的；运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。

以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

第4章 埃及数学

课时：2课时

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埃及数学显著变化

4、埃及古代数学

埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年 6 左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。

公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。

例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。

埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。

埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将 1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。

纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。

第5章 中世纪欧洲数学

课时：2课时

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中世纪欧洲数学显著变化

5．欧洲中世纪数学

中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡，约结束于15世纪。这一千年的历史大致可以分为两段。十一世纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生产墨守成规，技术进步缓慢，数学停滞不 7 前。十一世纪以后情况稍有好转。

希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯(约480～524)的著作中。他的《算术原理》大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯《算术入门》的译本，但若干精采的命题均被删去。博伊西斯的《几何》取材于欧几里得《几何原本》，但却完全没有证明，因为他认为证明是多余的。

公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学。数学发展再一次受到沉重的打击。此后数百年，值得称道的数学家屈指可数，而且多是神职人员。

号称博学多才的比德是英国的僧侣学者，终生在修道院度过。他的本领是会算复活节(每年过春分月圆后的第一个星期日)的日期，和用手指来计算。稍后的阿尔昆也是著名的英国神学家。781年左右，接受查理曼大帝的聘请，到法兰克王国担任宫廷教师和顾问。他所编的算术书，现在看来是相当粗浅的。热尔贝原是兰斯的大主教，后被选为教皇，改名西尔威斯特二世。他热心提倡学术，对推动“四艺”(音乐、几何、算术、天文)的学习有一定的功劳。十字军远征(1096～1291)使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。

他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新的经济和文化中心。12、13世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。

中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。此外他还有很多独创性的工作。

14世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记法和坐标制的思想，后者是从天文、地理的 经纬度到近代坐标几何的过渡。英国大主教布雷德沃丁的算术、几何、力学的著作影响也很大。欧洲第一本系统的三角学作者是雷格蒙塔努斯。

文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，迎接了一个新时代的到来。

6、十六、十七世纪数学 16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。

例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测。军事方面，弹道学成为研究的中心课题。准确时计的制造，运河的开凿，堤坝的修筑，行星的椭圆轨道理论等等，也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等数学，已渐渐不能满足当时的需要了。

在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋 8 工作达12年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。

16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基础上，德国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现。

开普勒的《酒桶的新立体几何》将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从而求出其体积。这是积分学的前驱工作。

意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

第6章 解析几何的诞生

课时：2课时

教学目标：了解解析几何发展的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：

解析几何发展的显著变化

知识理解： 线索问题： 斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？ 2在三四次方程求解方面哪些数学家作出了贡献？ 3 代数符号化的发展过程是怎样的及有哪些代表人物？ 4 欧洲三角学的发展过程中哪些主要人物作出了贡献？ 5 射影几何的发展过程及其代表人物是什么？ 6 对数的发明及其代表人物是什么？ 7 解析几何的诞生及其意义？ 概述：

本章概括介绍在向近代数学过渡时期的历史背景和几个领域的数学发展，重点介绍了在代数、射影几何、对数和解析几何等方面的发展。

主要内容： 一 中世纪欧洲数学

中世纪的欧洲，公元5世纪－11世纪，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，欧洲文明在整个中世纪处于停滞状态。

12世纪，欧洲是翻译的时代，因此数学开始复苏。斐波那契（1170－1250）：《算经》，斐波那契数列。

数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，直到15、16世纪文艺复兴的高潮中，数学才真正复苏。

二 文艺复兴时期的欧洲数学的发展

（一）代数学：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。1 三、四次方程的求解和有关代数方程理论的探索（1）三次方程的根式解：

费罗（1465－1520）1515年发现那形如x3mxn(m,n0)的三次方程的代数解法；

塔塔尼亚发现形如x3mx2n(m,n0)的解法。

卡尔丹（1501－1576）将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，并补充了几何证明。（1545年出版《大法》（Ars Magna））

费拉里（卡尔丹学生）解决那一般的四次方程ax4bx3cx2dxe0求解，不久也被写入《大法》中。

（2）复数引进：卡尔丹遇“不可约”，邦贝利引进虚数。（3）代数基本定理：吉拉德推断，18C高斯最早证明（4）根与系数的关系：卡尔丹、韦达、牛顿、格列高里（5）因式分解定理：韦达 2 符号化的发展

过程：韦达引进，吉拉德、奥特雷德继承、韦达改进

意义：韦达系统地引入数学符号，数学符号体现了数学学科的高度抽象与简练，从而导致了代数性质上产生重大变革。他把符号代数称作“类的算术”，代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用广泛。

（二）三角学的发展 1 精确正弦表：波伊尔巴赫

2将三角学独立天文学：雷格蒙塔努斯

3 系统化：韦达

（三）射影几何的发展 透视学：阿尔贝蒂《论绘画》（1511），数学透视法； 射影几何：德沙格（1591－1661），从数学上直接给予解答的第一个人，包含投影变换下的交比不变性质，从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。帕斯卡（1623－1662），投射与取景法，帕斯卡定理。

计算技术与对数：苏格兰数学家纳皮尔（1550－1617），发现了对数方法。瑞士工匠比尔吉（1552－1632）1600年耶独立地发明了对数方法简化天文计算。

解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆（1323－1382），《论形态幅度》，解析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。

笛卡儿（1596－1650）：1637发明解析几何，出发点是一个著名的希腊问题——帕波斯问题。笛卡儿提出了一系列新颖想法，和方法论原则，提出“通用数学的思路”：任何问题——数学问题——代数问题——方程求解。

费马：费马的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作，《论平面轨迹》。

第7章 十八世纪的数学

课时：2课时

教学目标：了解解析十八世纪的数学的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：十八世纪的数学

7、十八世纪的数学

将微积分学深入发展，是十八世纪数学的主流。这种发展是与广泛的应用紧密交织在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，使数学分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的独立的数学领域。在十八世纪特别是后期，数学研究活动和数学教育方式也发生了变革。这一切使十八世纪成为向现代数学过渡的重要时期。

微积分学的发展

在十八世纪，无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行 11 的。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数术，代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数；马克劳林的《流数论》可以说是对微积分最早的系统处理，该书是为反驳伯克利主教《分析学家》一文而作，后者出于宗教的动机，对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评，引起了关于微积分基础的论战。

泰勒、马克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。十八世纪初即已爆发的微积分发明权的争论，滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪，他们囿于牛顿的传统，难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照，在海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

推广莱布尼茨学说的任务，主要由他的学生、瑞士巴塞尔的雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利两兄弟担当，而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。

欧拉于1748年出版了《无穷小分析引论》，这部巨著与他随后发表的《微分学》、《积分学》标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的 地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等；通过一些困难积分问题的求解，诸如B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴；已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化，而且被推广到复数领域。

在十八世纪，数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有形成统一的见解，他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。尽管如此，许多人对建立微积分的严格基础仍作出了重要的尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大师拉格朗日采取了所谓“代数的途径”。他在1797年出版的《解析函数论》一书中，主张用泰勒级数来定义导数，并以此作为整个微分、积分理论之出发点。

达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”，但用极限的概念代替了含糊的“最初与最终比”的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势，那么，达朗贝尔则为微积分的严格表述提供了合理的内核。19世纪的严格化运动，正是这些不同方向融会发展的结果。

数学与力学开始结合

数学同力学的有机结合，是十八世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合，其紧密的程度为数学史上任何时期所不能比拟。几乎所有的数学家都以巨大的热情，致力于运用微积分新工具去解决各种物理、力学问题。

欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着；拉格朗日最享盛名的著作《分析力学》，“将力学变成了分析的一个分支”；拉普拉斯则把数学看作是研究力学天文学的工具，他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷《天体力学》中。

这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉，而使数学本身的发展大大受惠。一系列新的数学分支在十八世纪成长起来。

达朗贝尔关于弦振动的著名研究，导出了弦振动方程及其最早的解，成为偏微分 12 方程论的发端。另一类重要的偏微分方程——位势方程，主要通过对引力问题的进一步探讨而获得。与偏微分方程相联系的一些较为深入的理论问题也开始受到注意。

拉格朗日发展了解一阶偏微分方程的一般理论；对不同类型的二阶方程的研究还促使欧拉、达朗贝尔等具备了将函数展为三角级数的概念。

常微分方程的研究进展更为迅速。三体问题、摆的运动及弹性理论等的数学描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三体问题最为重要，二阶常微分方程在其中扮演了中心角色。

数学家起先是采用各种特殊的技巧对付不同的方程，但渐渐地开始寻找带普遍性的方法。这样，欧拉推广了约翰第一·伯努利的积分因子和常数变易法；黎卡提在以他的名字命名的非线性方程的研究中，首创了后来成为处理高阶方程主要手段的降阶法；泰勒最先引起人们对奇异解存在性的注意；欧拉在1750年解出了一般的常系数

线性方程，他还引进超几何级数作为解二阶线性方程的基础；对全微分方程的研究亦由欧拉、拉格朗日和蒙日等开展起来。变分法起源于最速降曲线问题和相类似的一些问题，它的奠基人是欧拉。所谓“最速降曲线”问题，是要求出两点间的一条曲线，使质点在重力作用下，沿着它由一点至另一点的降落最快。这问题在1696年被约翰第一·伯努利提出来向其他人挑战，牛顿、洛必达和伯努利兄弟不久都分别获得了正确的解答。

第8章 十九世纪的数学

课时：2课时

教学目标：了解解析十九世纪的数学的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：十九世纪的数学

8、十九世纪的数学

十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。

十九世纪数学发展的概貌

十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。

然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。

而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了 13 一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。

十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。

英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。皮科克、格林、哈密顿、西尔维斯特、凯莱、布尔等英国数学界的杰出人物，在代数学、代数几何、数学物理方面的成就尤为突出。

德国在1870年统一之前，资本主义发展比较缓慢，但从十八世纪下半叶起，它一直是思想意识领域十分活跃的地区，特别是思辨哲学强调事物内部矛盾促进事物发展的思想，对纯粹数学的发展产生了有益的影响。

从高斯登上数学舞台至十九世纪下半叶，德国逐渐发展成为与法国并驾齐驱的又一个世界数学中心，除高斯外，施陶特、普吕克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、库默尔、魏尔斯特拉斯、克罗内克、黎曼、戴德金、康托尔、克莱因、希尔伯特都无愧为十九世纪最重要的数学家。

处于数学中心之外的国家和地区，也出现不少优秀学者，最突出的有挪威的阿贝尔和李，捷克的波尔查诺、俄国的罗巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡娅，匈牙利的波尔约，意大利的贝尔特拉米和里奇等。这种人才辈出的局面在数学史上是空前的。

十九世纪数学突破分析学独占主导地位的局面，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。仅在十九世纪的前30多年中，一批二三十岁的年轻数学家就在数论、射影几何、复变函数、微分几何、非欧几何、群论等领域作出开创性的成绩。

随着众多新研究方向的开拓和证明严格化的要求，越来越多的学者开始埋头于较窄的领域作精细的研究。如阿贝尔主要从事分析与代数学研究，彭赛列专攻射影几何，伽罗瓦关心代数方程的可解性。只有高斯和柯西仍然关心科学与数学中几乎所有的问题。

在十九世纪下半叶，一些数学家注意了各分支间的联系，最著名的有克莱因的埃尔朗根纲领，在几何中引进群的观点，取得很大成功，但专门化的研究方式尚处于方兴未艾的阶段。从十九世纪晚期开始的将数学各分支奠基于公理体系之上的运动，又推进了各分支的细分，这种倾向一直延续到二十世纪。

十九世纪数学家的工作方式呈现出全新的、不同于十八世纪的特色。数学成为一项得到全社会承认的职业，数学家主要在大量培养人才的新型大学教书，研究与教学 14 有机地联系在一起。法国的巴黎综合工科学校、巴黎高等师范大学，德国的柏林大学、格丁根大学是当时最重要的数学研究与教学中心。

由于数学家人数与成果的剧增交流思想与成果的渠道增多了，数学杂志成了重要的传播媒介。法国的热尔岗编辑出版了《纯粹与应用数学年刊》，是最早的专门数学期刊。之后，高水平的数学杂志相继问世，最著名的有克雷尔创办的德文的《纯粹与应用数学杂志》，刘维尔创办的法文的《纯粹与应用数学杂志》。

到十九世纪后半叶，随着各国数学会的问世，各种会刊及专门杂志显著增加。这些数学会还在推动本国数学发展和促进国际学术交流方面发挥积极作用。最早成立的是伦敦数学会，之后创建的有法国数学会、美国数学会和德国数学会。在接近世纪之末，由各国数学会发起在瑞士苏黎世召开了第一届国际数学家大会，后成为一项定期举行的国际学术活动。

十九世纪数学的发展错综复杂，粗略地可以分为四个阶段。

第9章 数学对现代社会的影响及展望

课时：2课时

教学目标：了解解析新的数学的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：新世纪的数学

分析的严格化以皮亚诺的自然数公理体系的建立而告一段落。这种公理化的倾向也同样在其他数学分支蔓延。弗雷格提出了逻辑公理体系，帕施得到了射影几何的公理体系。最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，并证明欧几里得几何的相容性可归结为算术的相容性。

希尔伯特的工作掀起了公理化的热潮：一方面，数学家为各数学分支建立公理体系；另一方面，通过略去否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。公理化运动并没有限制新思想的萌生和对各种具体课题的研究，后者始终是数学发展中最活跃的因素。群论的应用在这一时期特别引人瞩目，1872年，克莱因受聘任埃尔朗根大学教授时，发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的讲演(即著名的埃尔朗根纲领)，他指出每种几何可由特定的变换群来刻画，各种几何的研究内容是在相应的变换群下的不变量，一种几何的子几何则是研究原变换群的子群的不变量。根据变换群的观点，克莱因对几何进行了系统分类，揭示了群的概念在几何中的统一作用(不包括一般的黎曼几何和代数几何)开拓了研究几何的一种有效的方法。克莱因的工作体现了数学专门化趋势中蕴含的统一因素。

1874年，挪威数学家李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时，创建了连续变换群理论(现称李群)以及相应的代数(现称李代数)。有了对具体的群的广泛研究，抽象群论获得了新生。1882年，德国数学家迪克受凯莱工作的 15 鼓舞，引进用生成元和生成元之间关系来定义群的抽象观点，开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代数方法对群论的应用，即群的表示理论应运而生。

组合拓扑学作为一门学科在十九世纪末登上了数学舞台。庞加莱是这一领域的主要奠基者。庞加莱是当时领头的数学家之一，兴趣广泛，研究涉及众多数学分支以至天体力学和物理科学。在探讨描述行星运动的微分方程周期解时，他采用了拓扑观点分析奇点及积分曲线的结构，开创了微分方程定性理论。在研究一般”维图形的结构时，引进了一套系统的组合方法，为组合拓扑奠定了基础。拓扑和抽象代数的观点和方法成为二十世纪最有影响的研究手段。

与庞加莱齐名的另一位著名数学家是希尔伯特。他不仅积极创导了公理化方法，而且特别重视数学中单个重大问题的研究，认为这是数学活力之所在。他本人就通过解决一系列具体问题，得到许多重要方法。十九世纪末，他发表了两个报告。《数论报告》系统总结了代数数论的全部成果，开辟了类域论的研究方向。

1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特作了影响深远的题为《数学问题》的报告，成为迎接二十世纪挑战的宣言。

在数学分成几十个分支各自独立发展的形势下，希尔伯特坚信数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各部分之间的联系。在十九世纪末，领头数学家对数学前途充满了信心，与十八世纪末的情景形成鲜明对照。庞加莱和希尔伯特的业绩展示了二十世纪数学大发展的曙光。

第五篇：《华罗庚》

《华罗庚》

《华罗庚》教案 一.教学目标：

1.引导学生了解华罗庚的生活经历，思考华罗庚的生命价值，从中汲取人生的教益 2.把握本篇传记在组织材料和语言上的特点，以便在写作中借鉴和运用 3.培养学生分析文学作品的能力 二.教学重、难点 1.重点：

（1）引导学生了解华罗庚的生活经历，思考华罗庚的生命价值，从中汲取人生的教益（2）把握本篇传记在组织材料和语言上的特点，以便在写作中借鉴和运用 2.难点：

（1）

本传记在组织材料上的特点

（2）

理解文章中所引用到的华罗庚的一些话语特别是诗句 三.教学方法：多媒体、讲授法、讨论法 四.课时安排：2课时 五.教学步骤： 第一课时

（一）.教学要点：

了解华罗庚的人生经历，感受其高尚品格，汲取人生的教益

（二）教学过程： 1.导入语：

同学们，人们常说“兴趣是最好的老师”，那么最大的兴趣又是什么呢？微软总裁比尔·盖茨说过：“在你最感兴趣的事物上，隐藏着你人生的秘密。”他的意思是：一个人的最大爱好很大程度上决定了他的人生方向。我国数学界的名人华罗庚就是一个很好的例子。同学们知道华罗庚最敢兴趣的事物是什么？（数学）今天我们一起来学习《华罗庚》这篇文章，一起来了解他的人生与数学的不解之缘。（板书：华罗庚）

2.请大家翻开课本第30页，本文作者顾迈南，她是新华社女记者，采访对象多为科技界名 人和科技界发生的重大事件，关于她的作品请大家看一下课件。

3.下面请大家用五分钟的时间浏览一下全文，留意一下：从这篇文章中我们能否想象出华罗庚的具体肖像？能否了解到他家庭婚姻生活中的点点滴滴？ 4.让生回答刚才的问题（不能），那我们主要了解到的是什么？（华罗庚的求学和事业）

5.下面我们一起来学习第一个小标题的内容[板书：一.艰苦自学的青年时代]大家看看：这是一个什么结构？重心在哪？（定中结构，重心在后）由此我们不仅了解到华罗庚的青年时代是艰辛的，而且还了解到他是自学成材的。那么，他是否从小就自学呢？（不是）如以失学作为界限，这一部分的内容可以分为失学前和失学后两部分，失学后的他又遇到了更大的挫折：一场可怕的伤寒症使他双腿残疾了；所以失学后那部分的内容又可以分为残疾前和残疾后两部分。引导学生概刮出他在失学前、残疾前和残疾后这三个阶段的表现以及他对数学的态度。

失学前：初露锋芒（初中妙法解题）深爱数学 失学后：残疾前：艰苦自学（他姐姐华莲青的话）痴迷数学（罗呆子）

残疾后：矢志不渝

献身数学

6.小结：不管条件是怎样地艰辛，也不管命运是如何地坎坷，他对数学都是一往情深、坚贞不二，终于有志者事竟成，他写出了什么？（让生回答）[《苏家驹之代数的五次方程式不能成立的理由》一鸣惊人。那么出名之后，他是否沉醉在成功的喜悦之中，还是乘胜追击？请大家用5分钟的时间浏览一下第二个小标题《研究数论得出华氏定理》的具体内容，归纳出：华罗庚去了哪些地方？每个地方他各取得了哪些成就？

7.提问并学生回答：清华大学四年：助理员→助教→教授[“破格”、“迅速”]

剑桥大学两年：学术研究成果丰硕[写了18篇论文]

西南联大七年：〈堆垒素数论〉

访美四年：研究范围扩大[“这期间他的研究范围扩大到多复变数函数论……“]

小结：通过刚才的归纳我们不仅可以看出华罗庚看出他对数学研究的突出贡献，而且 可以看出他精益求精、开拓创新的精神。

8.重点分析课文P33页华罗庚在西南联大的艰辛生活，引导学生学习其爱国精神：（1）

引导学生思考：造成其生活艰辛的原因[日本列强侵华]（2）

简介当时的时代背景[日本列强侵华，杀烧抢夺，无恶不作，给我国人民带来了空前的劫难]（3）

分析华罗庚的诗句“寄旅昆明日……”：该诗使用暗喻的修辞手法：“金瓯”喻当时国破家亡的现状，“狐虎”、“鹰zhan ”喻日本侵略者，这里把人喻成物，表达的是一种鄙视和不满之情，还流露出对时局的忧虑，从中我们可以感受到他的忧国忧民之情。

那么这位爱国人士为祖国做了哪些贡献呢？（让生回答）[数学研究和教育事业]接下来我们一起来学习第三个小标题的内容，请同学们根据课文内容概刮出他在这两方面的贡献：

数学研究：典型域、《堆垒素数论》、《数论导引》 运筹学、优选法

教育事业：关心中学教育事业

[积极提倡在中学生中开展数学竞赛]

培养人才 [陈景润、万哲先、王元等出类拔萃] 9.为了数学事业的后继有人，华罗庚除了专心研究，还致力于人才的培养，下面我们重点分析他对陈景润的培养：

(1).“华罗庚看了……没有暴跳如雷，也没有置若罔闻，而是如获至宝。”[可见华罗庚的虚怀若谷](2).“推荐”、“亲自指导”等词语可见他对人才的爱惜。

可以毫不夸张地说，正因为有了华罗庚，现当代的中国数学研究才能誉满全球。

10.总结：同学们，通过刚才的分析，我们可以了解到：不管是青年、中年，还是老年，从默默无闻到名誉天下，华罗庚都一如既往地挚爱着数学。对数学的挚爱就如一条线轴贯串着他的一生。

第二课时

（一）教学要点

1.理解本文所引用到的华罗庚话语 2.分析本文在组织材料和语言上的特点

（二）教学过程 1.导入语：

同学们，上节课我们学习了《华罗庚》一文，文章中第一个小标题的内容讲的是华罗庚的自学，其实自学也是为了后来的研究事业打下基础，第二和第三个小标题的内容概刮起来可以说是他在事业上的成就；所以本文主要介绍的是华罗庚的事业史。全文通过其事业史这一个侧面，为我们展现了华罗庚的人生历程，让我们从中了解到华罗庚的精神面貌与高尚品格，以至于被他的人格魅力深深地吸引着。可以说，华罗庚不愧为一位伟人。2.教学过程：

（1）如果在我们教室里挂一句华罗庚的名言，同学们会从文章中所引用到的华罗庚话语中推荐出哪一句呢？（以此培养学生分析句子的能力）

1)

引导学生观察教室所挂的名言，归纳出名言的特点 2)

用多媒体课件展示名言的定义：

名言：顾名思义，即为著名的话。一般都是论述精辟、哲理性强，能给人以某种启发或鼓励的话。

3)

让学生自由发挥，推荐自己所喜欢的句子，并说出自己的见解 1)

P31“神奇妙算古名词……”强调勤奋

2)

P33“寄旅昆明日……”知识分子的忧国忧民情怀

3)

P34“我们决不能等待着真正需要科学的时候，在开始研究科学。”重视科学，有高瞻远瞩的精神。此句与P36“向在城市里，今来大地边……”充分体现了起先天下之忧而忧、后天下之乐而乐的精神

4)

P34“梁园虽好，非久居之乡。归去来兮！”爱国情怀

5)

P37“五十年来心愿，三万里外佳音……”对党的忠诚与热爱 6)

P37“科学的根本是实。”实事求是的精神 7)

P37“树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松。我愿一辈子从实以终。”空：空洞、无所事事。松：松懈，不思进取。实：A.实干，扎扎实实做事B.解决实际问题。体现其进取、求实的作风

4)

小结：刚刚同学们仁者见仁、智者见智，说出了自己喜欢的句子，现在老师也说

说自己喜欢的句子吧！我向同学们推荐的是P37“树老易空……从实以终”，当时华罗庚已处于古稀之年，已在科学研究上取得了突出的成就，但他不自满，仍思进取，这使我想起曹操在《步出夏门行·龟虽寿》中的诗句：“老骥伏枥，志在千里，烈士暮年，壮心不已。”当时的曹操也已到晚年，已在政坛上建立了自己的丰功伟业，但他仍胸怀壮志，正处于英姿焕发时期的我们，是否更应积极进取、奋发向上呢？！3.组织学生讨论：本文在组织材料上以及语言上与《“布衣总统”孙中山》一文的区别

总结：1.组织材料上：本文以时间为顺序、通过描述华罗庚的事业史来展示一生的历程，而〈“布衣……〉一文则是通过描述孙中山衣食住行等日常生活的细节来表现他朴素、淡泊名利等优良品质

2.语言上，由于本文作者为科普作家，使得全文语言平实、叙述精确，使用了大量精确的阿拉伯数字；而〈“布衣……〉一文的作者为传记作家，其行文故事性强，生动有趣。3.布置作业：完成P38的表格

附录板书设计：

华罗庚

一.艰苦自学的青年时代

失学前：

初露锋芒 深爱数学

↓ 失学后：残疾前：艰苦自学 痴迷数学

↓

残疾后：矢志不渝

献身数学

二.研究数论得出华氏定理

清华大学四年：

助理员→助教→教授

剑桥大学两年：学术研究成果丰硕

西南联大七年：〈堆垒素数论〉

访美四年：研究范围扩大

三.数学研究和教育事业

数学研究：典型域、《堆垒素数论》、《数论导引》

运筹学、优选法

教育事业：关心中学教育事业

[积极提倡在中学生中开展数学竞赛]

培养人才 [陈景润、万哲先、王元等出类拔萃] 为了数学事业的后继有人，华罗庚除了专心研究，还致力于人才的培养，下面我们重点分析他对陈景润的培养：

1.“华罗庚看了……没有暴跳如雷，也没有置若罔闻，而是如获至宝。”[可见华罗庚的虚怀若谷] 2.“推荐”、“亲自指导”等词语可见他对人才的爱惜。

可以毫不夸张地说，正因为有了华罗庚，现当代的中国数学研究才能誉满全球。

总结：1.同学们，通过刚才的分析，我们可以了解到：不管是青年、中年，还是老年，从默默无闻到名誉天下，华罗庚都一如既往地挚爱着数学。对数学的挚爱就如一条线轴贯串着他的一生。

数学教育：关心人才 提拔人才

华罗庚与数学的不解之缘

青年

中年

老年

（对数学的热爱就如一条线轴，贯穿着他的一生）