数列求和经典题型分析

第一篇：数列求和经典题型分析

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：Sn

n(a1an)

2na1

n(n1)

2d2、等比数列求和公式：Sn

n

na1n

aanqa1(1q)



11q1q

(q1)(q1)

n3、Sn

5、Sn



k1n

k

2(n1)

4、Sn



k

1k

216

n(n1)(2n1)

32k[n(n1)] 2k1

例1（07高考山东文18）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且

a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．

2，，（2）令bnlna3n1，n1，求数列{bn}的前n项和T．

a1a2a37，

解：（1）由已知得:(a3)(a4)解得a22．

3a2.

2

设数列{an}的公比为q，由a22，可得a1又S37，可知

2q

2q，a32q．

22q7，即2q5q20，12

解得q12，q2

．由题意得q1，q2．

n1

a11．故数列{an}的通项为an2

．

3n

2，，（2）由于bnlna3n1，n1，由（1）得a3n12

bnln2

3n

3nln2，又bn1bn3ln2n

{bn}是等差数列． Tnb1b2bn



n(b1bn)

n(3ln23ln2)

3n(n1)

ln2.

故Tn

3n(n1)

ln2．

练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)

解：由等差数列求和公式得 Sn∴ f(n)＝

Sn

(n32)Sn1

*

Sn

(n32)Sn112的最大值.12

(n1)(n2)（利用常用公式）

n(n1)，Sn

＝＝

nn34n6

4150

1n34

64n

(n

8n)50

150

∴ 当 n

88，即n＝8时，f(n)max

二、错位相减法

设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理21）在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0．（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

n1n

(2)2(nN)，0，（Ⅰ）解：由an1an

可得

an

1

n1

2



n1

2

n1，

n

an

n

n

a2an2

所以n为等差数列，其公差为1，首项为0，故nn1，所以数列an的通项公

nnn

式为an(n1)2．

234n1n

（Ⅱ）解：设Tn23(n2)(n1)，①

Tn23(n2)(n1)

345nn1

②

n1

当1时，①式减去②式，得(1)Tn(n1)Tn

n

n1



1

n1

(n1)

n1，

2n1

2(1)



(n1)1

n1



(n1)

n2

n



(1)

(n1)

n2

．

这时数列an的前n项和Sn当1时，Tn

n(n1)2

n

n1



(1)

2

n1

2．

2

n1

．这时数列an的前n项和Sn

n(n1)2

2．

例3（07高考全国Ⅱ文21）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b31

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； an

（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．

bn

12dq21，解：（Ⅰ）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且

14dq13，解得d2，q2．

所以an1(n1)d2n1，bnq

n1

2

n1

． ．

2n322n3222

n3n2

（Ⅱ）

anbn32



2n12

n1

Sn1

5



2n122n12

n2n1，①，②

2n12

n1

2Sn23

②－①得Sn22





n2，1112n1

2212n2n1

2222

1

22

1n1

1

6

2n32

n1



2n12

n1

．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例4（07豫南五市二联理22.）设函数f(x)

OP

222

x

x的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若

2(OP1OP2),且点P的横坐标为

3nn

.（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若Snf()f()f()f(),n

n

n

nN,求Sn;

*

（III）略（I）∵OP

(OP1OP2),且点P的横坐标为

.∴P是P1P2的中点，且x1x



y





y



x

1x2

x1



2x



x2





2x





2x

4

1

x2

x1

2x

x11





y

p

由（I）知，x1x

1f

xfx1,且f

12

又S

n

12n1nffff1nnnn，（1）+（2）得：

S

n

nn121ffff2nnnn

n

2S

1nn12n21f1fffffff1

nnnnnn

2f

1111n3

S

n



n32

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后

重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）an（2）an（3）an

1n(n1)

(2n)



1n



1n11

1（

12n

1)

(2n1)(2n1)22n1

1n(n1)(n2)

11

2,

2n(n1),,12

3n

[

1

1(n1)(n2)n1

]等。

例5 求数列

解：设an则 Sn

231n1

2,的前n项和.n1

n1

n（裂项）

1n

n1

n)

（裂项求和）

1

＝(2)(3＝n11

2)(n1

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数



列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。

'

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

1anan1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn

m20

对所有nN都成立的最小正整数m；



解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 ,b=－2, 所以f(x)＝3x2－2x.2

又因为点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n.3n1)2(n1)＝6n－5.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－（当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn

3anan1



＝

(6n5)6(n1)5

＝

26n

5（

16n1)，n

故Tn＝bi＝

i1

11111111

＝（1－）.(1)()...()226n177136n56n116n1

因此，要使

（1－）<

m20

（nN）成立的m,必须且仅须满足

≤

m20，即m≥10，所以满足要

求的最小正整数m为10.评析：一般地，若数列an为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：

i1

n

n

1aiai1

首先考虑也可



i1

1aiai1

n





i1

dai

（

1ai1

n)则

i1

1aiai1

=

da1

（

1an1)

na1an1

n

。下列求和：

i1

1ai

ai1

用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可

分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN).（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：（Ⅰ）由Sn2an1,nN,Sn12an11，两式相减得：an12an12an,an12an,nN.同a11知an0，an1an

2,同定义知{an}是首项为1，公比为2的等比数列.bn1bn

2n

1（Ⅱ）an2n1,bn12n1bn,b2b120,b3b221,b4b322,

n2

bnbn12,等式左、右两边分别相加得：

bnb122

201n2

3

12

n

112

2

n1

2,Tn(22)(22)(22)(2

n1

2)(2222

012n1)2n

=

12

n

12

2n22n1.n

例8求S12223242(1)n1n2（nN）解：⑴ 当n为偶数时，S(12)(34)[(n1)n](12n)

n(1n)2；

n(n1)2

⑵ 当n为奇数时，S(12)(34)[(n2)(n1)]n[12(n1)]n

n

(nn)

综上所

述，S(1)n1

n(n1)．

点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例9求1111111111之和.

n个

11解：由于111

k个1

9999

k个1

(10

k

1)（找通项及特征）

∴ 1111111111 

n个1

＝＝

(101)

(10

1)

n

(10

1)

(10

n

1)（分组求和）

9(10101010)

n

(1111)

n个1

110(101)n

＝ 910191n1＝(10109n)81

例10已知数列{an}：an

8(n1)(n3)

,求(n1)(anan1)的值.n1

解：∵(n1)(anan1)8(n1)[＝8[

1(n2)(n4)

1n

2

1(n1)(n3)



1(n2)(n4)

]（找通项及特征）



1(n3)(n4))8（]（设制分组）

)（裂项）

n3n

4

1111

∴ (n1)(anan1)4()8()（分组、裂项求和）

n4n4n1n1n2n1n3

＝4（1n4

＝4(＝

133



14)8

第二篇：数列求和问题

数列求和问题·教案

教学目标

1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．

2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．

教学重点与难点

重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和． 难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的． 教学过程设计

（一）复习引入

在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?

二、复习预习

通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容

三、知识讲解 考点

1、公式法

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1

2、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1qn113、Snkn(n1)

4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n15、Snk3[n(n1)]2

2k1n

考点

2、分组求和法

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例求和：Sn2351435263532n35n 解：Sn2351435263532n35n

2462n35152535n

4，6，，2n练习：求数列2，14181161，的前n项和Sn． 2n111{2n}，而数列是一个等差数列，数列n1是一个等比

2n12分析：此数列的通项公式是an2n数列，故采用分组求和法求解．

111111解：Sn(2462n)234n1n(n1)n1．

222222小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.考点

3、、倒序相加

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).例求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289„„„„.①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21„„„„..②（反序）

又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得（反序相加）

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴ S＝44.5

2x练习：已知函数fxx 22（1）证明：fxf1x1；

1（2）求f102f108f109f的值.10解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1f1092ff10108f108f102f105f105f1 101令Sf109则Sf102f108f109f 101f 10两式相加得：

2S9

1f1099f9 所以S.210小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.考点

4、裂相相消法

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

（其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

1，求它的前n项和Sn

n(n1)例、数列an的通项公式为an解：Sna1a2a3an1an

11111 122334n1nnn1111111111 =1

22334n1nnn11n n1n1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.1针对训练

5、求数列 1111，,，的前n项和Sn.122332nn1练习：求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n（裂项）

1nn1则 Sn12312（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

作业：基本练习

2221、等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12a2＝________________.a3an2、设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn＝_______________________.3、111.1447(3n2)(3n1)

4、1111=__________ ...243546(n1)(n3)

5、数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an，前n项和Sn 综合练习1、1222324252629921002＝____________；

2、在数列{an}中，an1，.则前n项和Sn；

n(n1)(n2)n2an(n1)(n2)，n3、已知数列{an}满足：a16，an1（1）求a2，a3；（2）若dn an，求数列{dn}的通项公式；

n(n1)

考点5错位相减

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若anbncn，其中bn是等差数列，cn是公比为q等比数列，令

Snb1c1b2c2bn1cn1bncn

则qSnb1c2b2c3bn1cnbncn1 两式相减并整理即得

例4 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1„„„„„„„„„①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn„„„„„„„„„.②（设制错位）

①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴ Sn 2(1x)小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.2462n练习：

1、求数列,2,3,,n,前n项的和.22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n„„„„„„„„„„„„„①

222212462nSn234n1„„„„„„„„„„„„②（设制错22222位）

1222222n①－②得(1)Sn234nn1（错位相减）

222222212n2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2、已知 ann2n1，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：Sn120221(n1)2n2n2n1 ①

2Sn121222(n1)2n1n2n ②

②—①得

Snn2n120212n1n2n2n1

1352n13、6、,2,3,,n,;的前n项和为_________ 222264、数列{an}中, a11,anan1n1,nN*，则前n项和S2n=；

55、已知数列annn!，则前n项和Sn=；

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

第三篇：数列求和教案

数列求和

数列求和常见的几种方法：（1）公式法：①等差（比）数列的前n项和公式；

1n(n1)21222n2nn(

123......6② 自然数的乘方和公式：123......n（2）拆项重组：适用于数列

1n)(2 1)an的通项公式anbncn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方；

（3）错位相减：适用于数列an的通项公式anbncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；

（4）裂项相消：适用于数列a的通项公式：aknnn(n1),a1nn(nk)（其中k为常数）型；

（5）倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.（6）

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、（拆项重组）求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、（裂项相消）求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

例

3、（错位相减）求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、（倒序相加）设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*)求数列an的前n项和Sn

检测题

1.设f(n)22427210...23n10(nN)，则f(n)等于（）

2n222n4(81)

B.(8n11)

C.(8n31)

D.(81)777712.数列{an}的前n项和为Sn，若an，则S5等于（）

n(n1)511A．1

B．

C．

D．

66303.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列． A.（1）求数列{an}的通项公式．（2）令banln3n1，n1，2...，求数列{bn}的前n项和Tn。

4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a

3，aN*n．（Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bnna，求数列bn的前n项和Sn n

5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6：求数列112,123,,1nn1,的前n项和.7：数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN).（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

8：

求数列21，41，6114816，2n2n1，...的前n项和Sn．

．

9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n，求S100.10：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.11：求数列的前n项和：11,1a4,11a27,,an13n2，…

12：求S12223242...(1)n1n2（nN）

13：已知函数fx2x2x2（1）证明：fxf1x1；

（2）求f1f10210f810f910的值。.

第四篇：数列求和教案

课题：数列求和

教学目标

（一）知识与技能目标

数列求和方法．

（二）过程与能力目标

数列求和方法及其获取思路．

教学重点：数列求和方法及其获取思路． 教学难点：数列求和方法及其获取思路．

教学过程

1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）Sna1a2an2Snn(a1an)

Snanan1a112223210222 例1．求和：2110222923282101分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．

小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：

（2）Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2．求和：x3x5x(2n1)x(x0)

3．分组法求和

1的前n项和； 161例4．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100

2例3求数列1,2,3,4（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。例5．求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]

1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14．裂项法求和 例6．求和：12112()，n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解：设数列的通项为an，则an例7．求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n

（裂项）

1nn1则 Sn12312

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

三、课堂小结：

1．常用数列求和方法有：

(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；

(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；(6)分部求和法：将一个数列分成n部分求和；

(7)裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业： 1．《学案》P62面《单元检测题》 2．思考题

11146前n项的和.481612n2（2）．在数列{an}中，an，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12（1).求数列：（3）．在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq

（找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN

得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

＝log39log39log39

＝10

第五篇：数列典型题型

数列典型题型

1、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； a,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； ⑵设数列cnn

2n

⑶求数列an的通项公式及前n项和。

2、已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

3、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn4、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{

求Tn5、、正数数列{an}的前n项和为Sn，且2nan1，求：

（1）数列{an}的通项公式；

（2）设bn11，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn.anan12Sn}的前n项和，n6、在等比数列{an}中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比

中项为2.（1）求数列{an}的通项公式；

SnS1S2（2）设bnlog2an，数列{bn}的前n项和Sn，当最大时，求n的值.12n7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1

（Ⅰ）判断1,an2SnSn10(n2)，21是否为等差数列？并证明你的结论； Sn

（Ⅱ）求Sn和an8、已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。

（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式； '

（Ⅱ）、设bnm1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有nN都成立的最小正整数m； 20anan1