推理与证明(教本题1(高二小班文))

第一篇：推理与证明(教本题1(高二小班文))

推理与证明１（高二小班文）

1、已知数列an的第1项a12、已知



2，且an

1

an1an

(n1,2,)，试归纳出通项公式.f(n)1a1

1

f(1)0,af(n)bf(n1)1,ai0(i1,2,,n)

1a1

1a2

1a

3n2,a0,b0，推测

(i)a1的表达式.；

(ii)(a1a2)（1a1

1a2)

43、已知，考察下列式子：；

(iii)(a1a2a3)（）9

.我们可以归纳出，对a1,a2,,an也成立的类似不等式为

1,

4、猜想数列

11

3,

3557，

79的通项公式是

5、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.6、在锐角三角形ABC中，ADBC,BEAC，D，E是垂足.求证：AB的中点M到D，E的距离相等.7证明函数

f(x)x2x

2在,1上是增函数.1a

11a

2

48、已知 “若a1,a2R，且a1a21，则,”，试请此结论推广猜想.1a

11a

2....

1an



（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则

9、.已知a,b,cR，abc1，求证：

1a1b1c

n2）

9.10、已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.11、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

bca

a



acb

b



abc

c



3.12、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c

成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.13、A,B

为锐角，且tanAtanBAtanB

14、已知abc, 求证：

1ab



1bc



4ac

.

acb

b



abc

c



3AB60.15、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

bca

a16、A,B

为锐角，且tanAtanBAtanB

AB60

17、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.18ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：

1ab



1bc



3abc

.19、设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.21、a不等于0，证明方程ax=b有且只有一个根

22SA平面ABC,ABBC,过A点作SB的垂线垂足为E,过E作SC的垂线垂足为F,求证AFSC23、已知,K

1tan

1tan222(Kz),且sincos2sin，sincossin 22求证：1tan2(1tan)

224、设sin是sin,cos的等差中项,sin是sin,cos的等比中项, 求证:cos44cos43

第二篇：高二 数学 选修 推理与证明(文)（模版）

高中数学（文）推理与证明

知识要点：

1、合情推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；

（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

2、演绎推理

分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

3、证明方法

（1）反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

（2）分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有„„，这只需要证明命题为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。

（3）综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？

（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：

1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

例2：（06年天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱

1EF//BC。

2（1）证明FO//平面CDE；

（2）设BC，证明EO平

面CDF。

例3：（1）用反证法证明：如果a>b>0，那么

（2）用综合法证明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法证明：如果ΔABC的三条边分别为a，b，c，那么：

abc 1ab1c

巩固练习：

1.如果数列an是等差数列，则

A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 C.a1a8a4a5 D.a1a8a4a

52.下面使用类比推理正确的是

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab（c≠0）” ccc

nn（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” D.“

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误C.“若(ab)cacbc” 类推出“

4.设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1'(x),,fn1(x)fn'(x)，n∈N，则'

f2007(x)

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码200

4折合成十进制为

A.29B.254C.602D.2004

6.函数yax21的图像与直线yx相切，则a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四个不等式：①a2b2c2abbcca；②a1a

ab2 ；④a2b2c2d2acbd2.其中不成立的有ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

2f(x)（xN*）,f(1)1 8.已知f(x1)，猜想f(x）的表达式为f(x)2

4212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x1

9.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2AC2BC2。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.23432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为10.从112，(用数学表达式表示)

11.函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.12.设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)

当ｎ＞４时，f(n)＝（用含n的数学表达式表示）

第三篇：推理与证明1

推理与证明姓名___________

1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()

A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形

7598139b＋mb2，>>，„若a>b>0且m>0，则之间大小关系为()10811102521a＋ma

A．相等B．前者大C．后者大D．不确定

x3．设a＝lg2＋lg5，b＝e(x<0)，则a与b大小关系为()

A．a>bB．a

4．“M不是N的子集”的充分必要条件是()

A．若x∈M，则x∉NB．若x∈N，则x∈M

C．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N

5．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”，上述推理是()

A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错

6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是

A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度

C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度

7．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

22xy2222C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab abD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

8．给出下列三个类比结论．

①(ab)＝ab与(a＋b)类比，则有(a＋b)＝a＋b；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

2222222③(a＋b)＝a＋2ab＋b与(a＋b)类比，则有(a＋b)＝a＋2a²b＋b.其中结论正确的个数是()

A．0B．1C．2D．

39．观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为（）nnnnnnn

A．Sn＝2n－2nB．Sn＝2nC．Sn＝4n－3nD．Sn＝2n＋2n

10．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

12222b)＝a＋2ab＋b；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a＝ab，则a＝b.那么，对于a

非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．

11．如果aa＋bb>ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．

a＋b12．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________． 2

13．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，„，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于________．

14．用三段论的形式写出下列演绎推理．

(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．222 2

15.观察：

(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．，并给出证明．

16．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．

17．已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2an－3n(n∈N*)．

(1)求证{an＋3}为等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)数列{an}是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

第四篇：高二文科推理与证明练习题

推理与证明文科练习

增城市华侨中学陈敏星

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.有个小偷 在警察面前作了如下辩解：

是我的录象机，我就一定能把它打开。

看，我把它大开了。

所以它是我的录象机。

请问这一推理错在哪里？（）

A大前提B小前提C结论D以上都不是

2.数列2，5，11，20，x,47,┅中的x等于（）

A28B32C33D27

3.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）

A a,b,c都是奇数B a,b,c都是偶数Ca,b,c中至少有两个偶数Da,b,c都是奇数或至少有两个偶数 4的最小值是（）x

1A2B3C4D5 4.设x1,yx

5.下列命题：①a,b,cR,ab,则ac2bc2；②a,bR,ab0,则ba2；③aba,bR,ab，则

abanbn；④ab,cd,则.cd

A0B1C2D

36.在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）

A29B254C602D2004 0123

b52，7.已知{bn}为等比数列，则b1b2b929。若an为等差数列，a52，则an的类似结论为（）

A a1a2a929 B a1a2a929C a1a2a929 D a1a2a929

8.已知函a,b,c均大于1，且logaclogbc4，则下列等式一定正确的是（）

AacbBabcCbcaDabc

9.设正数a,b,c,d满足adbc，且|ad||bc|,则（）

AadbcBadbcCadbcDadbc

x(xy)31,例如344,则()(cos2sin)的最大值是（）10.定义运算xy y(xy)24

A4B3C2D1

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.对于“求证函数f(x)x在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是___________________,小前提是_______________,结论是12.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定是

13.已知数列

an的通项公式

an

(nN)

2(n1)，记

f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出

f(n)_______________._

14.设f(x)

122

x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是________________.）

三、解答题：

15（8分）若两平行直线a,b之一与平面M相交，则另一条也与平面M相交。16（8分）设a,b都是正数，且ab，求证：abab。

17（8分）若x

18（10分）已知xR，试比较x与2x2x的大小。

19（10分）设{an}是集合{22|0st,且s,tZ}中的所有的数从小到大排成的数列，即a13,a25,a36,a49,a510,a612,，将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：

t

s

abba

51,求证：14x-2。454x56

9101

2__________________

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求a100.exa

20（10分）设a0,f(x)是R上的偶函数。

aex

⑴求a的值；

⑵证明f(x)在(0,)上是增函数。

参考答案：

11、减函数的定义 ；函数f(x)x在R上满足减函数的定义

12、a≤b13、f(n)

三、解答题：

15、证明：不妨设直线a与平面M相交，b与a平行，今证b与平面M相交，否则，n214、322(n1)

设b不与平面M相交，则必有下面两种情况： ⑴b在平面M内，由a//b,则a//平面M，与题设矛盾。

16、设a,b都是正数，且ab，求证：abab。

ab

ba

aabbabaaabbba()ab,abb

aa

若ab,1,ab0,则()ab1,得aabbabba;

bbaa

若ab,1,ab0,则()ab1,得aabbabba.bb17、略

18、log23log827log927log916log34,log23log34.19、第四行：17182024第五行：3334364048

a1002142911664020、⑴a1;⑵略

第五篇：高二期末复习推理与证明

推理与证明

（一）．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

（二）证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

3.数学归纳法

一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当n取第一个值n0是命题成立；

⑵假设当nk(kn0,kN)命题成立，证明当nk1时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

注：①证明时，两个步骤，一个都不能少。其中，第一步是递推的基础，第二步则是证明了递推关系成立。，②用归纳法证明命题，格式很重要，通常可以简记为“两步三结论”。两步是指证明的两步(1)(奠定递推基础)和(2)(证明递推关系)；三结论分别是指：步骤(1)中最后要指出当n=n0时命题成立，步骤(2)最后要指出当n=k+1时命题成立，证明的最后要

*给出一个结论“根据(1)(2)可知，命题对任意n∈N(n≥n0)都成立”。

易错点分析：①初始值取值是多少；②第二步证明n=k+1时命题成立需要使用归纳假设；

1111n 2

321111

kkk1共2k项从n=k到n=k+1时，实际增加的项是k

2122232

③由n=k到n=k+1时，命题的变化(增减项)，如：fn1例1.1.当a0,b0时,有

ab

ab成立,并且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立2abc当a,b,c0时,有abc成立

abcd当a,b,c,d0时,有成立。猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立？

2..观察以下各等式：

①tan10tan20tan20tan60tan60tan101 ②tan5tan10tan10tan75tan75tan5

1分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证 3．、将下列三段论形式的演绎推理补充完整： 纯虚数的平方是负实数，_______________________，3i的平方是负实数。.例2.设在R上定义的函数f(x)，对任意实数x都)有f(x2)f(x1)f(x),且f(1)lg3lg2,f(2)lg3lg5，试求归纳出f(200

1的值。

例3.1.设SAB的两边SA、SB互相垂直，则SASBBC。类比到空间中，写出相应的结论

2.设A1、B1分别是PAB的两边PA、PB上的点，则

SPA1B1SPAB



PA1PB

1PAPB

四面体猜想：设A1、B1、C1分别是四面体PABC的三条侧棱PA、PB、PC上的点，则有什么结论？

，则3.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为、cos2cos21。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式

例4.1.设k0,且k是奇数，求证:方程x2x2k0没有有理根

2.设a,b都是整数，且ab能被3整除，试用反证法证明a,b都能被3整除

例5.1.已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，（1）试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。

2.设nN,fn52

3

n

n

1（2）你对fn的值2，3，4时，计算fn；1，1当N1，有何猜想，用数学归纳法证明你的猜想

推理与证明

1.从112,23432,3456752中，得出一般性结论是2.已知函数f(x)

xx，则ff....f(x)

n个f

3.f(n)1

111357

(nN)，f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,f(32)，23n22

2推测当n2时，有

4.平面上有kk2条直线，其中任何两条不平行，任何三条不交于同一点，则这kk2条直线将平面分成的区域个数是

5.在RtABC中，若C900,ACb,BCa,则三角形ABC的外接圆半径

r

a2b2，把此结论类比到空间，写出类似的结论 2

，则6.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为、cos2cos21。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：7.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：

8.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．你认为比较恰当的是．

9.下面说法中是合情推理的是1由圆的性质类比出球的性质；（2）某次考试小明的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩是100分；（3）三角形有内角和是180，四边形的内角和是360五边形的内角和是540，由此得凸多边形的内角和是n2180；（4）我







国古代工匠鲁班根据带齿的草叶发明了锯子

10.下面说法中是演绎推理的是（1）由三角形的性质，推测空间四面体的性质；（2）高三有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人；（3）在数列an中，a11,an

11an1n2，由此可求a2,a3,，即可归纳2an1

出an的通项公式 ；（4）两条直线平行，同旁内角互补，如果A,B是两条平行直线的同旁内角，则AB180



11.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面，直线a平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为错误？

12.用反证法证明“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，正确的反设是 13.用反证法证明“若x2abxab0，则xa且xb”, 正确的反设是14.下列叙述“（1）a2的反面是a2；（2）mn的反面是mn；（3）三角形中最多有一个直角的反面是没有直角；（4）a,b,c不都为0的反面是a2b2c20a,b,cR 15.用数学归纳法证明1



11111111

nN，2342n12nn1n22n

n3n1的第二步中，nk1时的则从nknk1，左边所要添加的项是16.用数学归纳法证明n1n2nn

等式的左边与nk时的等式的左边的差是

17.用数学归纳法证明“52能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设的结论，应将5

k1

n

n

2k1变形为

18.平面内有nn2条直线，其中任何两条不平行，任何3条不过同一点，（1）请归纳它们交点的个数fn的表达式；（2）（理）请用数学归纳法证明你的结论