放缩法典型例题

第一篇：放缩法典型例题

放缩法典型例题

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．

一．先求和后放缩

例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：

（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．

二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；

(2)求证：

解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到

∴，又由条件得

所以，所以

（2）因为，所以，所以；

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；

（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放缩后为差比数列，再求和 ．

例4．已知数列满足：，．求证：

证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列

．j

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列

321的逆序数

（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以

=

综上，..注：常用放缩的结论：（1）

（2）．

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论

相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项

第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2. 2)

 







 4.2n2n2n1115.n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，且abnnn2x1

（1）求cn；（2）证明：

例2.证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2（1）求证：数列sn是等差数列； 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*； an

（2）解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

（3）记bn2sn,Tn331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4.已知数列an满足：n2anan1； 是公差为1的等差数列，且an1nn

（1）求an；（2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1；

（1）求an；（2）证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6.数列an满足：a12,an1； n(n)an22

5112n

（1）设bn，求bn；（2）记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2)；

（1）求an；

（2）设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn，b

求证：3Tn1log2n

(a3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8.已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1，anan1

记b1a1,bnn[a1

（1）求an；

（2）证明：(1

2111](n2)。222a2a3an11111)(1)(1)(1)4 b1b2b3bn4

第三篇：数学放缩法

放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

当年apucng与V_First研究的题

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第四篇：放缩法讨论

不等式的证明——放缩法

学习目标：

1、感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

2、探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。

若是自然数，求证

11112222.2123n

2k 111,k2,3,4,,n.k(k1)k1k

常见方法：

1、分式放缩；

2、利用已知结论放缩；

3、裂项放缩；

4、先放缩后求和。

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个

中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:

(1)舍掉(或加进)一些项;

(2)在分式中放大或缩小分子或分母;

(3)应用基本不等式进行放缩.如

12312①(a)(a);242 111112,2,, ②2kk(k1)kk(k1)kkk1 2 1(以上k2且kN)kkk1

归纳延伸

1.放缩法证明不等式的理论依据主要有：

(1)不等式的传递性；

(2)等量加不等量为不等量；

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

2.常用的放缩技巧：

（1）对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。

（2）①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．

第五篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cR且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cR，pR，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A ≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。