高三数学数列放缩法

第一篇：高三数学数列放缩法

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列（1）数列的前项的和，满足，试求： 的通项公式；

（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以

时，求证：，作差得：，又因为，得

为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且

.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；

(2)求证： 解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到

∴

，又由条件得

所以，所以

（2）因为，所以，所以

；2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：（2）等比数列{an}中，；，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比．

∴． ． ∴3．放缩后为差比数列，再求和

．

例4．已知数列满足：，．求证：

证明：因为，所以

与

同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．

令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以

=综上，..注：常用放缩的结论：（1）

（2）．

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．

为虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．

第二篇：高三数学专题复习——数列不等式(放缩法)

高三数学专题复习——数列不等式（放缩法）

教学目标：学会利用放缩法证明数列相关的不等式问题 教学重点：数列的构造及求和 教学难点：放缩法的应用

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 例1求

k1n

24k

2

1的值例2.求证:1

2



1(2n1)





12(2n1)

(n2)

例3求证:1

4116

136



14n





14n

例4求证：1

4



1n



n

例5已知an4n2n,Tn

a1a2an,求证:T1T2T3Tn

.直接放缩

1、放大或缩小“因式”：

例1.设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn（I）求数列bn的通项公式；

（II）记cnb2nb2n1(nN*)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn

例2.已知数列an满足a11,an12an1nN（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）证明：

例3.设数列{an}满足a12,an1an

4an1an

*

(nN)。

32；

1a2



1a3



1an

1

nN3



1an

(n1,2,).证明an

2n1对一切正整数n成立

例4.已知数列an满足a1

4，an

an1

(1)an12

n

（n2,nN）。

（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）设cnansin

anN． 例5.数列xn由下列条件确定：x1a0，xn11xn,

2

xn

(2n1)，数列cn的前n项和Tn，求证：对nN,Tn

47。

（I）证明：对n2总有xn

圆锥曲线：

a

；(II)证明：对n2总有xnxn1

1.已知将圆xy8上的每一点的纵坐标压缩到原来的22

12,对应的横坐标不变,得到曲线C；设M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.2.设椭圆C1：

xa

2

yb

1(ab0)，抛物线C2：xbyb.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)

设A(0,b),Q

54又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B(0,b)，3

4且Qb)，MN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程

3.已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y

（1）求椭圆C的方程；

x

2

（2）设A、B为椭圆上的两个动点，OAOB0，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

4.设双曲线C：

21（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，2ab

△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；

x

y

（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

bea

2求双曲线c的方程．

课后作业： 1.求证：

2.已知数列{a}的前n项和S满足Sn2an(1),n1.n

n

1



3

1n



4n

（Ⅰ）写出数列{a}的前3项a1,a2,a3（Ⅱ）求数列{an}的通项公式

n

3.已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx线在y轴上的截距，用a和n表示f(n)；

圆锥曲线作业： 1.已知椭圆

C1:

xa

a

n

与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切



yb

1(a＞b＞0)

与双曲线

C1:x

y

1

有公共的焦点，C1的一条渐近线与以

C1的长轴为直径的圆相

交于A,B两点，若

A．

a

C1

恰好将线段AB三等分，则（）

B．a13

132

C．

b

D．b2

=4:3:2，则曲线r的离心率等

2.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足于()

1或3

PF1:F1F2:PF2

A．22B．3或2C．2

或

2D．3

或

3.若点O和点F(2,0)分别是双曲线的取值范围为()

xa



y1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP

A.)

B.[3)C.[-

74,)D.[

74,)

4.已知双曲线E的中心为原点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),F(3,0)是E的焦点，则E的方程式为()(A)

x



y

61(B)

x



y

1(C)

x



y

1(D)

x



y

1

5.点A(x0,y0)在双曲线

x



y

1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0

6.已知点A、B的坐标分别是(1,0)，(1,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若过点N(,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线l的方程.21

第三篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）．

例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，．数列

满足（1）求数列（2）若和，且． 的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中（1）若数列（2）若数列①若数列②若数列，设数列的前项和分别为的通项公式；，使得，称数列

.都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（2）由（1）知，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，则有错误！未找到引用源。，而错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，再将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）详见解析（3）详见解析 【解析】

试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。因此由错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。中最大项必在A中，由（2）得错误！未找到引用源。.试题解析：（1）由已知得错误！未找到引用源。.于是当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.所以数列错误！未找到引用源。的通项公式为错误！未找到引用源。.（2）因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.因此，错误！未找到引用源。.综合①②③得，错误！未找到引用源。.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

故错误！未找到引用源。，则有：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.【答案】（1）①错误！未找到引用源。；②不存在；（2）①当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引用源。为公比的等比数列，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，不是等比数列；②错误！未找到引用源。．

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。都成立，（3）详见解析

（3）假设存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立，因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以只要错误！未找到引用源。

即只要满足 ①：错误！未找到引用源。，和②：错误！未找到引用源。，对于①只要错误！未找到引用源。就可以； 对于②，当错误！未找到引用源。为奇数时，满足错误！未找到引用源。，不成立，当错误！未找到引用源。为偶数时，满足错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。为偶数时，②式成立，即当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。成立.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，只要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，即使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。为正偶数恒成立，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。； ⑶由⑴得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，因此数列错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找到引用源。．

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的关系式．

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，且

． 的前项和为，满足，．数列（1）求数列（2）若和的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．

【答案】（1）（2））成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，两式相减得所以由（1）得因为对 即所以恒成立，都有，，恒成立，记所以因为从而数列于是，为递增数列，所以当．

（），使

成等差数列，则，时取最小值，（3）假设存在正整数即，若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立.，则，与

矛盾；，即，此时

4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）存在，错误！未找到引用源。；（3）错误！未找到引用源。． 【解析】试题分析：

（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出错误！未找到引用源。，将问题转化成错误！未找到引用源。可求得错误！未找到引用源。的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析：（1）由错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。． 又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，上式成立，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列，故错误！未找到引用源。.（3）当错误！未找到引用源。为奇数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。； 当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.因此错误！未找到引用源。．

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．

（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，两式相减得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为（1）若数列.分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列，使得，称数列为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）错误！未找到引用源。.（2）因为集合错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，所以对错误！未找到引用源。而言，存在错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，又因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.（3）由（2）可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。即可获证错误！未找到引用源。；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。，因此构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，进而求出错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.【答案】（1）见解析（2）错误！未找到引用源。（3）见解析

解：（1）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是等差数列.（2）因为的任意的错误！未找到引用源。都是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，所以错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，显然，错误！未找到引用源。满足条件，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误！未找到引用源。的取值集合为错误！未找到引用源。.（3）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是公比大于错误！未找到引用源。，首项大于错误！未找到引用源。的等比数列，记公比为错误！未找到引用源。.以下证明： 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为正整数，且错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。为减函数，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式； ②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，故有错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，

第四篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明不等式

1、设数列an的前n项的和Sn

43an

13

2n

n

1

3(n1,2,3,)

n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn

an42

n

n

2Sn

(n1,2,3,)，证明：Ti

i1

解：易求

SnTn

（其中n为正整数）

n

n

432

n

an

n

13

2

n1





4n

23

n



2

n1





2

n1

121

n

Sn

2

n1

121



11

nn1



22121

所以：



i1

Ti

3131

1n12212122、求证：（1）

11法1：数归（两边都可以）

法2：放缩裂项 法3：定积分放缩（2）

22

nN)





1n1n



31n

11n

法1：放缩一：



n(n1)



(n2)

Sn





1n

1n

(1336









52)（15



1653







1n1



1n)

＝1

1336

121400

11

121400

1

23893600(1

1

24003600

.放缩二：

1n

1n1



(n1)(n1)



2n1



n1),(n2)

Sn54







1n

（11



2)

111111111()22435n2nn1n1



1111151115

()().223nn142233

放缩三：

1n



1n

(n

112)(n

12)

（1n



1n

12)2（12n1



12n1),(n1)

Sn







1n

12（13









12n1



12n1)12（13



12n1)

法2：数归——加强命题：常用的放缩公式：

1n(n1)

2n

n1

1n



1n





1n



1n(n1)1n

；n

n12nn

n1；

n

n

2n1；

ab



ambm

(ba0,m0)

1k



k(k1)(k1)

1n11k(k1)



111*

(k2,kN)

2k(k1)k(k1)

1nk

nkn1k!



1n2

...



kn11

(k3)

(k2)

；212

n1n

k!k(k1)(k2)

n

an

例3：已知：

1

(nN

)，求证：ai

i1

n2



法1：均值不等式：即证





715n2

...

212

n1

n

1





n2

也即：





715

...

212

n

n1

n

1



而

:





715

...

212

n1

1

n



法2：放缩后裂项求和

an

21212

n1n

1（

212(21



n

n)1







n1

=

1





21(2

n1

n

1)(21)

n

=



21

n

n1

1)

法3：数归，但是直接去证是不行的，要转化为一个加强命题

4．定义数列如下：a12,an1anan1,nN



证明：（1）对于nN恒有an1an成立。

2



（2）当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。

（3）1

2006



1a1



1a2



1a2006

1。

解：（1）用数学归纳法易证。

（2）由an1anan1得：an11an(an1)an1an1(an11)……

a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：

an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要证不等式1

2006



1a1



1a2



1a2006

1，可先设法求和：

1a1



1a2



a2006，再进行适当的放缩。

an11an(an1)



1an111an1a1



1an1



1an



1an11a2



1an111a2006



（1a111



1a211)（1a21



1a31)（1a20061



1a20071)



a11



a200711

1

a1a2a2006

1

又a1a2a2006a1

2006

2

2006

1

1a1a2a2006

1

2006

原不等式得证。

5．已知数列an中an

i

i

n

nn

21，求证：ai(ai1)3.i1

方法一：ai(ai1)

n

i

2121



i

i

i

(21)(22)



i

i1

i1

(21)(21)



i1

1



121

i

.



i1

ai(ai1)

(21)

（121



121)（121



121)（12

n1

1



121

n)3

121

n

3.方法二：

ai(ai1)

i

i

(21)



i

122

i



122

i



122

i



22

i

i1

.(i2)

n





i1

ai(ai1)2





n1

2(1

12)3n1

n1

3.n

法3：数归证



i1

ai(ai1)3

121

n

3.（即转化为证明加强命题）

6、已知函数fxln1xx，数列an满足：

a1

2,ln2lnan1an1anf

an1an．

（1）求证：ln1xx；（2）求数列an的通项公式；

（3）求证不等式：a1a2annln2lnn2． 解：（1）fxln1xx，f'x

11x

1

x1x，当1x0时，f'x0，即yf(x)是单调递增函数；当x0时，f'x0，即yf(x)是单

调递减函数．

所以f'00，即x0是极大值点，也是最大值点

fxln1xxf00ln1xx，当x0时取到等号．（2）法1：数学归纳法（先猜想，再证明）

法2：由ln2lnan1an1anfan1an得2an1an1an1，an1

12an，an11

12an

1

an12an，1an1

1

1an1

1，即数列



1

2，公差为1，是等差数列，首项为

a11an1

nn1

∴

an1

n1an

．

（3）法1：

a1a2an1

111

1

121

1

111

n

23n1n1

又∵x0时，有xln1x，令x

1n112

0，则

1n2

ln1ln n1n1n11

∴n



3

345n1n2

nlnlnlnlnln n1234nn1n

2n2

nln

n12

nln



343

ln2

n nl

∴a1a2annln2lnn2 ． 法2：积分法要证原命题，即证：

12



ln(n2)ln2 n11



1113n12

12

n2



1x

dxlnx

n22

法3：数归证明：7.1、（1）求证：2

n







ln(n2)ln2 n1



2n1(n2,nN)

nn1n01

法1：2CnCn...CnCn；

法2：数学归纳法 法3：函数法（求导）

8.若nN，证明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n1n)+（n

nn)

n

ee1

提示:借助e1x证明

x

第五篇：数学放缩法

放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

当年apucng与V_First研究的题

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0