第一篇:放缩法(不等式、数列综合应用)
“放缩法”证明不等式的基本策略
近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题,例谈“放缩”的基本策略。
1、添加或舍弃一些正项(或负项)
例
1、已知an2n1(nN*).求证:an1a1a2...n(nN*).23a2a3an
1ak2k11111111证明: k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k
aa1a2n1111n11n1...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322
3an1aan12...n(nN*).23a2a3an1
2若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到.2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
例
2、函数f(x)=4x
14xk,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+
12n11(nN*).2证明:由f(n)= 4n14n=1-111 14n22n
22
11得f(1)+f(2)+…+f(n)>1112221122n 11111n(1n1)nn1(nN*).424222
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
k
例
3、已知an=n,求证:∑<3.
k=1ak
n
证明:∑
k=
1n
n
2ak
∑
k=
1n
<1+∑
k=
2n
(k-1)k(k+1)
=1k2n
<1+∑
k=2
(k-1)(k+1)(k+1 +k
-1)=1+ ∑(k=2
n
-)
(k-1)
(k+1)
=1+1+<2+<3.
(n+1)2
2本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.4、放大或缩小“因式”;
n
1例
4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证:(akak1)ak2.232k
1n
证明 0a1
n
11112,an1an,a2a12,a3.当k1时,0ak2a3, 241616
(akak1)ak
2k1
1n11(akak1)(a1an1).16k11632
本题通过对因式ak2放大,而得到一个容易求和的式子
5、逐项放大或缩小
(a
k
1n
k
ak1),最终得出证明.n(n1)(n1)
2an例
5、设an22334n(n1)求证: 22122n1
2证明:∵ n(n1)nnn(n1)(n)
2n
1∴ nn(n1)
13(2n1)n(n1)(n1)2
an∴ 123nan,∴
222
2n1
本题利用n,对an中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。
6、固定一部分项,放缩另外的项;
例
6、求证:
11117 122232n2
4证明:
1
n2n(n1)n1n
11111111151171()().122232n22223n1n42n4
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分
别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例
7、已知an5n
41对任何正整数m,n都成立.1,只要证
5amn1aman.因为 amn5mn4,aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16,故只要证
5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证
20m20n37
因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37,所以命题得证.本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由aman放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例
8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.(1)证明:nAim<mAin;(2)证明:(1+m)>(1+n)
i
i
n
m
证明:(1)对于1<i≤m,且Aim =m·…·(m-i+1),Aimmm1Aimnn1mi1ni
1,同理,mmmnnnmini
由于m<n,对于整数k=1,2,…,i-1,有
nkmk,
nm
AinAim
所以ii,即miAinniAim
nm
(2)由二项式定理有:
22nn
(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm,22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn,由(1)知
mAin
i
>nAim
i
(1<i≤m<n),而
Cim
AimiAin,Cn= i!i!
∴miCin>niCim(1<m<n)
00222211
∴m0C0n=nCn=1,mCn=nCm=m·n,mCn>nCm,…,mmm+1m1mmCmCn>0,…,mnCnn>nCm,mn>0,2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm>1+Cmn+Cmn+…+Cmn,即(1+m)n>(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
第二篇:放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式
基础知识回顾:
放缩的技巧与方法:
(1)常见的数列求和方法和通项公式特点:
① 等差数列求和公式:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)
② 等比数列求和公式:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数)③ 错位相减:通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式
④ 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项
(2)与求和相关的不等式的放缩技巧:
① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)
③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧:
① 裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)
② 等比数列:所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,常数可视为错误!未找到引用源。的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。,即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。,公比为错误!未找到引用源。,即通项公式为错误!未找到引用源。
注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响
(4)与数列中的项相关的不等式问题:
① 此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数),然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。,另一侧为求和的结果,进而完成证明 应用举例:
类型一:与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).
(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;
(2)设错误!未找到引用源。,若数列错误!未找到引用源。为等比数列,求错误!未找到引用源。的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用源。的取值范围.
例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。,定义错误!未找到引用源。.例如:错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列,且当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。
(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(2)对任意正整数,若,求证:;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(3)设,求证:.类型
二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。满足:错误!未找到引用源。.(1)求证:错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。;(2)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。);(3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。).
例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和,且对任意错误!未找到引用源。,有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数,且错误!未找到引用源。.(1)当错误!未找到引用源。时,①求数列错误!未找到引用源。的通项;
②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在,给出错误!未找到引用源。满足的条件,否则,请说明理由.(2)当错误!未找到引用源。时,设错误!未找到引用源。,① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;
②设错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立,求错误!未找到引用源。的取值范围.方法、规律归纳: 常见的放缩变形:
(1)错误!未找到引用源。,(2)错误!未找到引用源。
注:对于错误!未找到引用源。还可放缩为:错误!未找到引用源。(3)分子分母同加常数:错误!未找到引用源。(4)错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。可推广为:错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(1)求证:数列错误!未找到引用源。为等比数列,并求其通项错误!未找到引用源。;
(2)求错误!未找到引用源。;
(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成立?说明理由.2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。.
⑴ 求证:数列错误!未找到引用源。为等差数列;
⑵ 设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时,错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用源。的取值范围;
⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。,试求数列错误!未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。
3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为,满足,.数列
满足(1)求数列(2)若和,且. 的通项公式;,数列的前项和为,对任意的,(,都有,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使,请说明理由.)成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,若不存在,4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。,其中,错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.
(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;
(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。,使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;
(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.
5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,且满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为常数.
(1)是否存在数列错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。?若存在,写出一个满足要求的数列;若不存在,说明理由.(2)当错误!未找到引用源。时,求证: 错误!未找到引用源。.
(3)当错误!未找到引用源。时,求证:当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.
6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列
分别满足,其中(1)若数列(2)若数列①若数列②若数列,设数列的前项和分别为的通项公式;,使得,称数列
.都为递增数列,求数列满足:存在唯一的正整数“坠点数列”,求 为“坠点数列”,数列
为“坠点数列”.为“坠点数列”,是否存在正整数,使得,若存在,求的最大值;若不存在,说明理由.7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成立.(1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。,并说明理由;
(2)求证: 错误!未找到引用源。;
(2)若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的最小值.8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。.(1)求证:数列错误!未找到引用源。是等差数列;
(2)若 错误!未找到引用源。,对任意错误!未找到引用源。,均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列,求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;
(3)记错误!未找到引用源。,求证: 错误!未找到引用源。.9.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1错误!未找到引用源。,(n+2)cn=错误!未找到引用源。,其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.
10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.
(1)若错误!未找到引用源。成等比数列,求实数错误!未找到引用源。的值;(2)若错误!未找到引用源。成等差数列,①求数列错误!未找到引用源。的通项公式;
②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数,共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列,若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用源。的最大值.
放缩法证明数列不等式
基础知识回顾:
放缩的技巧与方法:
(1)常见的数列求和方法和通项公式特点:
① 等差数列求和公式:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)
② 等比数列求和公式:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数)③ 错位相减:通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式
④ 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项
(2)与求和相关的不等式的放缩技巧:
① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)
③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧:
① 裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)
② 等比数列:所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,常数可视为错误!未找到引用源。的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。,即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。,公比为错误!未找到引用源。,即通项公式为错误!未找到引用源。注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响
(4)与数列中的项相关的不等式问题:
① 此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数),然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。,另一侧为求和的结果,进而完成证明 应用举例:
类型一:与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).
(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;
(2)设错误!未找到引用源。,若数列错误!未找到引用源。为等比数列,求错误!未找到引用源。的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用源。的取值范围.
【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。
(2)由(1)知,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,若数列错误!未找到引用源。为等比数列,则有错误!未找到引用源。,而错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。,再将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。,例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。,定义错误!未找到引用源。.例如:错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列,且当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。
(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(2)对任意正整数,若,求证:;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(3)设,求证:.【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)详见解析(3)详见解析 【解析】
试题分析:(1)根据及时定义,列出等量关系,解出首项,写出通项公式;(2)根据子集关系,进行放缩,转化为等比数列求和;(3)利用等比数列和与项的大小关系,确定所定义和的大小关系:设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。因此由错误!未找到引用源。,因此错误!未找到引用源。中最大项必在A中,由(2)得错误!未找到引用源。.试题解析:(1)由已知得错误!未找到引用源。.于是当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.又错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。.所以数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。.(2)因为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。.因此,错误!未找到引用源。.综合①②③得,错误!未找到引用源。.类型
二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。满足:错误!未找到引用源。.(1)求证:错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。;(2)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。);(3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
故错误!未找到引用源。,则有:错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和,且对任意错误!未找到引用源。,有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数,且错误!未找到引用源。.(1)当错误!未找到引用源。时,①求数列错误!未找到引用源。的通项;
②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在,给出错误!未找到引用源。满足的条件,否则,请说明理由.(2)当错误!未找到引用源。时,设错误!未找到引用源。,① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;
②设错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立,求错误!未找到引用源。的取值范围.【答案】(1)①错误!未找到引用源。;②不存在;(2)①当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时,数列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项,错误!未找到引用源。为公比的等比数列,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,不是等比数列;②错误!未找到引用源。.
方法、规律归纳: 常见的放缩变形:
(1)错误!未找到引用源。,(2)错误!未找到引用源。
注:对于错误!未找到引用源。还可放缩为:错误!未找到引用源。(3)分子分母同加常数:错误!未找到引用源。(4)错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。可推广为:错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(1)求证:数列错误!未找到引用源。为等比数列,并求其通项错误!未找到引用源。;
(2)求错误!未找到引用源。;
(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成立?说明理由.【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)当错误!未找到引用源。为偶数时,错误!未找到引用源。都成立,(3)详见解析
(3)假设存在正整数错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成立,因为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,所以只要错误!未找到引用源。
即只要满足 ①:错误!未找到引用源。,和②:错误!未找到引用源。,对于①只要错误!未找到引用源。就可以; 对于②,当错误!未找到引用源。为奇数时,满足错误!未找到引用源。,不成立,当错误!未找到引用源。为偶数时,满足错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。令错误!未找到引用源。,因为错误!未找到引用源。
即错误!未找到引用源。,且当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,所以当错误!未找到引用源。为偶数时,②式成立,即当错误!未找到引用源。为偶数时,错误!未找到引用源。成立.2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。.
⑴ 求证:数列错误!未找到引用源。为等差数列;
⑵ 设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时,错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用源。的取值范围;
⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。,试求数列错误!未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。
要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立,只要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立,即使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。为正偶数恒成立,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,故实数错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。; ⑶由⑴得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,因此数列错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。.
【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用,涉及等差数列的判定与证明,其中证明(1)的关键是分析得到错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的关系式.
3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足,且
. 的前项和为,满足,.数列(1)求数列(2)若和的通项公式;,数列的前项和为,对任意的,(,都有,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使,请说明理由.
【答案】(1)(2))成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,若不存在,(3)不存在
(2)由(1)得于是所以,两式相减得所以由(1)得因为对 即所以恒成立,都有,,恒成立,记所以因为从而数列于是,为递增数列,所以当.
(),使
成等差数列,则,时取最小值,(3)假设存在正整数即,若为偶数,则若为奇数,设于是当时,为奇数,而为偶数,上式不成立.,则,与
矛盾;,即,此时
4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。,其中,错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.
(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;
(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。,使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;
(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.
【答案】(1)错误!未找到引用源。;(2)存在,错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用源。. 【解析】试题分析:
(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2,bn+1=2bn可知{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式.(2)bn=2n.假设存在自然数m,满足条件,先求出错误!未找到引用源。,将问题转化成错误!未找到引用源。可求得错误!未找到引用源。的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn,然后写成分段函数的形式。
试题解析:(1)由错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.当错误!未找到引用源。时,上式成立,因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。是首项为2,公比为2的等比数列,故错误!未找到引用源。.(3)当错误!未找到引用源。为奇数时,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。; 当错误!未找到引用源。为偶数时,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.因此错误!未找到引用源。.
点睛:数列求和时,要根据数列项的特点选择不同的方法,常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。
5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,且满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为常数.
(1)是否存在数列错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。?若存在,写出一个满足要求的数列;若不存在,说明理由.
(2)当错误!未找到引用源。时,求证: 错误!未找到引用源。.
(3)当错误!未找到引用源。时,求证:当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。. 【答案】(1)不存在,理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,两式相减得错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,综上,错误!未找到引用源。.
6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为(1)若数列.分别满足,其中,设数列都为递增数列,求数列的通项公式;(2)若数列①若数列②若数列满足:存在唯一的正整数“坠点数列”,求 为“坠点数列”,数列,使得,称数列为“坠点数列”.为“坠点数列”,是否存在正整数,使得,若存在,求的最大值;若不存在,说明理由.【答案】(1)
.(2)①,② 6.7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。成立.(1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。,并说明理由;
(2)求证: 错误!未找到引用源。;
(2)若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的最小值.【答案】(1)不具有(2)见解析(3)错误!未找到引用源。.(2)因为集合错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。,所以对错误!未找到引用源。而言,存在错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。,又因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,同理可得错误!未找到引用源。,将上述不等式相加得: 错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。.(3)由(2)可知错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,构成数集错误!未找到引用源。,经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。.点睛:本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时,直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可;解答第二问时,先运用题设条件中定义的信息可得错误!未找到引用源。,同理可得错误!未找到引用源。,再将上述不等式相加得: 错误!未找到引用源。即可获证错误!未找到引用源。;证明第三问时,充分借助(2)的结论可知错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。,因此构成数集错误!未找到引用源。,经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。,进而求出错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。.8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。.(1)求证:数列错误!未找到引用源。是等差数列;
(2)若 错误!未找到引用源。,对任意错误!未找到引用源。,均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列,求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;
(3)记错误!未找到引用源。,求证: 错误!未找到引用源。.【答案】(1)见解析(2)错误!未找到引用源。(3)见解析
解:(1)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,从而错误!未找到引用源。,所以当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,即数列错误!未找到引用源。是等差数列.(2)因为的任意的错误!未找到引用源。都是公差为错误!未找到引用源。,的等差数列,所以错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。,的等差数列,又错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,显然,错误!未找到引用源。满足条件,当错误!未找到引用源。时,因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。不是整数,综上所述,正整数错误!未找到引用源。的取值集合为错误!未找到引用源。.(3)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,即数列错误!未找到引用源。是公比大于错误!未找到引用源。,首项大于错误!未找到引用源。的等比数列,记公比为错误!未找到引用源。.以下证明: 错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。为正整数,且错误!未找到引用源。,因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时,因为错误!未找到引用源。为减函数,错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,综上,错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。.9.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1错误!未找到引用源。,(n+2)cn=错误!未找到引用源。,其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列. 【答案】(1)cn=1.(2)见解析.10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.
(1)若错误!未找到引用源。成等比数列,求实数错误!未找到引用源。的值;(2)若错误!未找到引用源。成等差数列,①求数列错误!未找到引用源。的通项公式; ②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数,共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列,若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立,求实数错误!未找到引用源。的最大值.
【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。,在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数,组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列,故有错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,
第三篇:放缩法证明数列不等式
放缩法证明不等式
1、设数列an的前n项的和Sn
43an
13
2n
n
1
3(n1,2,3,)
n
(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn
an42
n
n
2Sn
(n1,2,3,),证明:Ti
i1
解:易求
SnTn
(其中n为正整数)
n
n
432
n
an
n
13
2
n1
4n
23
n
2
n1
2
n1
121
n
Sn
2
n1
121
11
nn1
22121
所以:
i1
Ti
3131
1n12212122、求证:(1)
11法1:数归(两边都可以)
法2:放缩裂项 法3:定积分放缩(2)
22
nN)
1n1n
31n
11n
法1:放缩一:
n(n1)
(n2)
Sn
1n
1n
(1336
52)(15
1653
1n1
1n)
=1
1336
121400
11
121400
1
23893600(1
1
24003600
.放缩二:
1n
1n1
(n1)(n1)
2n1
n1),(n2)
Sn54
1n
(11
2)
111111111()22435n2nn1n1
1111151115
()().223nn142233
放缩三:
1n
1n
(n
112)(n
12)
(1n
1n
12)2(12n1
12n1),(n1)
Sn
1n
12(13
12n1
12n1)12(13
12n1)
法2:数归——加强命题:常用的放缩公式:
1n(n1)
2n
n1
1n
1n
1n
1n(n1)1n
;n
n12nn
n1;
n
n
2n1;
ab
ambm
(ba0,m0)
1k
k(k1)(k1)
1n11k(k1)
111*
(k2,kN)
2k(k1)k(k1)
1nk
nkn1k!
1n2
...
kn11
(k3)
(k2)
;212
n1n
k!k(k1)(k2)
n
an
例3:已知:
1
(nN
),求证:ai
i1
n2
法1:均值不等式:即证
715n2
...
212
n1
n
1
n2
也即:
715
...
212
n
n1
n
1
而
:
715
...
212
n1
1
n
法2:放缩后裂项求和
an
21212
n1n
1(
212(21
n
n)1
n1
=
1
21(2
n1
n
1)(21)
n
=
21
n
n1
1)
法3:数归,但是直接去证是不行的,要转化为一个加强命题
4.定义数列如下:a12,an1anan1,nN
证明:(1)对于nN恒有an1an成立。
2
(2)当n2且nN,有an1anan1a2a11成立。
(3)1
2006
1a1
1a2
1a2006
1。
解:(1)用数学归纳法易证。
(2)由an1anan1得:an11an(an1)an1an1(an11)……
a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得:
an11anan1a2a1(a11),又a12an1anan1a2a11(3)要证不等式1
2006
1a1
1a2
1a2006
1,可先设法求和:
1a1
1a2
a2006,再进行适当的放缩。
an11an(an1)
1an111an1a1
1an1
1an
1an11a2
1an111a2006
(1a111
1a211)(1a21
1a31)(1a20061
1a20071)
a11
a200711
1
a1a2a2006
1
又a1a2a2006a1
2006
2
2006
1
1a1a2a2006
1
2006
原不等式得证。
5.已知数列an中an
i
i
n
nn
21,求证:ai(ai1)3.i1
方法一:ai(ai1)
n
i
2121
i
i
i
(21)(22)
i
i1
i1
(21)(21)
i1
1
121
i
.
i1
ai(ai1)
(21)
(121
121)(121
121)(12
n1
1
121
n)3
121
n
3.方法二:
ai(ai1)
i
i
(21)
i
122
i
122
i
122
i
22
i
i1
.(i2)
n
i1
ai(ai1)2
n1
2(1
12)3n1
n1
3.n
法3:数归证
i1
ai(ai1)3
121
n
3.(即转化为证明加强命题)
6、已知函数fxln1xx,数列an满足:
a1
2,ln2lnan1an1anf
an1an.
(1)求证:ln1xx;(2)求数列an的通项公式;
(3)求证不等式:a1a2annln2lnn2. 解:(1)fxln1xx,f'x
11x
1
x1x,当1x0时,f'x0,即yf(x)是单调递增函数;当x0时,f'x0,即yf(x)是单
调递减函数.
所以f'00,即x0是极大值点,也是最大值点
fxln1xxf00ln1xx,当x0时取到等号.(2)法1:数学归纳法(先猜想,再证明)
法2:由ln2lnan1an1anfan1an得2an1an1an1,an1
12an,an11
12an
1
an12an,1an1
1
1an1
1,即数列
1
2,公差为1,是等差数列,首项为
a11an1
nn1
∴
an1
n1an
.
(3)法1:
a1a2an1
111
1
121
1
111
n
23n1n1
又∵x0时,有xln1x,令x
1n112
0,则
1n2
ln1ln n1n1n11
∴n
3
345n1n2
nlnlnlnlnln n1234nn1n
2n2
nln
n12
nln
343
ln2
n nl
∴a1a2annln2lnn2 . 法2:积分法要证原命题,即证:
12
ln(n2)ln2 n11
1113n12
12
n2
1x
dxlnx
n22
法3:数归证明:7.1、(1)求证:2
n
ln(n2)ln2 n1
2n1(n2,nN)
nn1n01
法1:2CnCn...CnCn;
法2:数学归纳法 法3:函数法(求导)
8.若nN,证明:()+()+…+(n
n
*
n
n
n1n)+(n
nn)
n
ee1
提示:借助e1x证明
x
第四篇:放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式
主要放缩技能: 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n
1144112()
22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24
2. 2)
4.2n2n2n1115.n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1
x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为,最大值为,且abnnn2x1
(1)求cn;(2)证明:
例2.证明:161
例3.已知正项数列an的前n项的和为sn,且an
2(1)求证:数列sn是等差数列; 11117 444c14c2c3cn417 12sn,nN*; an
(2)解关于数列n的不等式:an1(sn1sn)4n8
(3)记bn2sn,Tn331111Tn
,证明:1 2b1b2b3bn
例4.已知数列an满足:n2anan1; 是公差为1的等差数列,且an1nn
(1)求an;(2
2 例5.在数列an中,已知a12,an1an2anan1;
(1)求an;(2)证明:a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3
2n1an例6.数列an满足:a12,an1; n(n)an22
5112n
(1)设bn,求bn;(2)记cn,求证:c1c2c3cn 162n(n1)an1an
例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足:sn1,6sn(an1)(an2);
(1)求an;
(2)设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn,b
求证:3Tn1log2n
(a3)(函数的单调性,贝努力不等式,构造,数学归纳法)
例8.已知正项数列an满足:a11,nan1(n1)an1,anan1
记b1a1,bnn[a1
(1)求an;
(2)证明:(1
2111](n2)。222a2a3an11111)(1)(1)(1)4 b1b2b3bn4
第五篇:2012高考专题----数列与不等式放缩法
高考专题——放缩法
一、基本方法
1.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。例1.设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2-b2,求证1<a+b<例2.已知a、b、c不全为零,求证:。aabb2bcc2c2aca2>3(abc)
2[变式训练]已知an2n1(nN*).求证:an1a1a2...n(nN*).23a2a3an
12.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边,求证:1<
3.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*,求1a+b+c<2。acab
121
„1
n<2n。
n(n1)(n1)
2例5.已知nN且an223n(n1),求证:an22对所有正整数n都成立。*
4.公式放缩
利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。
n2x1*例6.已知函数f(x)x,证明:对于nN且n3都有f(n)。n121
例7.已知f(x)x2,求证:当ab时f(a)f(b)ab。
5.换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。
例8.已知abc,求证
0。abbcca
例9.已知a,b,c为△ABC的三条边,且有a2b2c2,当nN*且n3时,求证:
anbncn。
6.单调函数放缩
根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。
例10.已知a,b∈R,求证7.放大或缩小“因式”;
ab1ab
a1a
b1b。
n
例
4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证:(akak1)ak2.232k
1n
8.固定一部分项,放缩另外的项; 例
6、求证:
11117 122232n2
49.利用基本不等式放缩
例
7、已知an5n
41对任何正整数m,n都成立.10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例
8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.(1)证明:nAim<mAin;(2)证明:(1+m)
i
i
n
>(1+n)
m
二、放缩法综合问题
(一)、先求和后放缩
例1.正数数列an的前n项的和Sn,满足2Snan1,试求:(1)数列an的通项公式;(2)设bn
1,数列bn的前n项的和为Bn,求证:Bn。
2anan1
(二)、先放缩再求和(或先求和再放缩)例、函数f(x)=
4x14x,求证:f(1)+f(2)+„+f(n)>n+
12n
1(nN*).21.放缩后成等差数列,再求和
例2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.an2an12(1)求证:Sn;
(2)
2.放缩后成等比数列,再求和
例3.(1)设a,n∈N*,a≥2,证明:a2n(a)n(a1)an;
(2)等比数列{an}中,a1,前n项的和为An,且A7,A9,A8成等差数列.设
a1bnn,数列{bn}前n项的和为Bn,证明:Bn<.
31an
3.放缩后为差比数列,再求和
例4.已知数列{an}满足:a11,an1(1
n)an(n1,2,3).求证: n2
an1an3
n1
2n1
n
4.放缩后为裂项相消,再求和
例
5、已知an=n,求证:∑
k=1ak
k
<3.