放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

第一篇：放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、先放缩再求和

例1（05年湖北理）已知不等式[log

n]表示不超过log

nan1nan1nan1nan

11n

1213

1n12[log

2n],其中n为不大于2的整数，2

2n的最大整数。设数列an的各项为正且满足

2b2b[log

a1b(b0),an(n2,3,4)，证明：an

n]，n3,4,5

分析：由条件an

得：

1an



1an1



1n



1an1



1an1

(n2)

an1an2



1n1

……

1a2

1a1

12

以上各式两边分别相加得：

1an

1a11n

1n11n1



1an

1b1b



1n12





[logn](n3)2

=

2b[log

2b

n]

 an

2b2b[log

n]

(n3)

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

n

例2（04全国三）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2an(1)，n1

（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对任意的整数m4，有

1a

41a

5

1am

78

分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：anSnSn12an(1)n2an1(1)n1（n>1）化简得：an2an12(1)n1 an(1)

n

2

an1(1)

n1

2,an(1)

n



32[

an1(1)

n1



]

故数列{

an(1)2

n



}是以a1

为首项, 公比为2的等比数列.故

an(1)

n



12n2n1n

()(2)∴an[2(1)]

333

23[2

n2

∴数列{an}的通项公式为：an

(1)].n

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能

够求和。而左边=

1a4

1a5



1am

3[1

221



121



m2

(1)

m

]，如果我们把

上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

121

121



121





12，

121





12，因此，可将

121

保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可

求和。这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数(m4)时，1a4

1a5

1am

1a412

(3

1a51



1a61)（1am11

m2



1am)



2222

1311

(1m4)

2242137



288

()

（2）当m是奇数(m4)时，m1为偶数，1a4

1a5

1am

1a4

1a51a4

1a61a5

1am1am

1am178



所以对任意整数m4，有

。

本题的关键是并项后进行适当的放缩。

2、先求和再放缩

例3（武汉市模拟）定义数列如下：a12,an1anan1,nN 证明：（1）对于nN恒有an1an成立。

（2）当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。（3）1

2006



1a1



1a2



1a2006

1。

分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由an1anan1得：

an11an(an1)

an1an1(an11)……

a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：

an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要证不等式1

2006



1a1



1a21



1a2006

1，可先设法求和：

1a1



1a2



a2006，再进行适当的放缩。

an11an(an1)



1an11



1an1



1an



1an1a1



1an11a2



1an111a2006



（1a111



1a211)（1a21



1a31)（1a20061



1a20071)



a11



a200711

1

a1a2a2006

1

又a1a2a2006a1

1

1a1a2a2006

2006

2

2006

1

2006

原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。

第二篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）．

例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，．数列

满足（1）求数列（2）若和，且． 的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中（1）若数列（2）若数列①若数列②若数列，设数列的前项和分别为的通项公式；，使得，称数列

.都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（2）由（1）知，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，则有错误！未找到引用源。，而错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，再将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）详见解析（3）详见解析 【解析】

试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。因此由错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。中最大项必在A中，由（2）得错误！未找到引用源。.试题解析：（1）由已知得错误！未找到引用源。.于是当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.所以数列错误！未找到引用源。的通项公式为错误！未找到引用源。.（2）因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.因此，错误！未找到引用源。.综合①②③得，错误！未找到引用源。.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

故错误！未找到引用源。，则有：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.【答案】（1）①错误！未找到引用源。；②不存在；（2）①当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引用源。为公比的等比数列，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，不是等比数列；②错误！未找到引用源。．

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。都成立，（3）详见解析

（3）假设存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立，因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以只要错误！未找到引用源。

即只要满足 ①：错误！未找到引用源。，和②：错误！未找到引用源。，对于①只要错误！未找到引用源。就可以； 对于②，当错误！未找到引用源。为奇数时，满足错误！未找到引用源。，不成立，当错误！未找到引用源。为偶数时，满足错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。为偶数时，②式成立，即当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。成立.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，只要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，即使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。为正偶数恒成立，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。； ⑶由⑴得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，因此数列错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找到引用源。．

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的关系式．

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，且

． 的前项和为，满足，．数列（1）求数列（2）若和的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．

【答案】（1）（2））成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，两式相减得所以由（1）得因为对 即所以恒成立，都有，，恒成立，记所以因为从而数列于是，为递增数列，所以当．

（），使

成等差数列，则，时取最小值，（3）假设存在正整数即，若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立.，则，与

矛盾；，即，此时

4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）存在，错误！未找到引用源。；（3）错误！未找到引用源。． 【解析】试题分析：

（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出错误！未找到引用源。，将问题转化成错误！未找到引用源。可求得错误！未找到引用源。的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析：（1）由错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。． 又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，上式成立，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列，故错误！未找到引用源。.（3）当错误！未找到引用源。为奇数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。； 当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.因此错误！未找到引用源。．

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．

（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，两式相减得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为（1）若数列.分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列，使得，称数列为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）错误！未找到引用源。.（2）因为集合错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，所以对错误！未找到引用源。而言，存在错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，又因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.（3）由（2）可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。即可获证错误！未找到引用源。；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。，因此构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，进而求出错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.【答案】（1）见解析（2）错误！未找到引用源。（3）见解析

解：（1）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是等差数列.（2）因为的任意的错误！未找到引用源。都是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，所以错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，显然，错误！未找到引用源。满足条件，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误！未找到引用源。的取值集合为错误！未找到引用源。.（3）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是公比大于错误！未找到引用源。，首项大于错误！未找到引用源。的等比数列，记公比为错误！未找到引用源。.以下证明： 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为正整数，且错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。为减函数，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式； ②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，故有错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，

第三篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明不等式

1、设数列an的前n项的和Sn

43an

13

2n

n

1

3(n1,2,3,)

n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn

an42

n

n

2Sn

(n1,2,3,)，证明：Ti

i1

解：易求

SnTn

（其中n为正整数）

n

n

432

n

an

n

13

2

n1





4n

23

n



2

n1





2

n1

121

n

Sn

2

n1

121



11

nn1



22121

所以：



i1

Ti

3131

1n12212122、求证：（1）

11法1：数归（两边都可以）

法2：放缩裂项 法3：定积分放缩（2）

22

nN)





1n1n



31n

11n

法1：放缩一：



n(n1)



(n2)

Sn





1n

1n

(1336









52)（15



1653







1n1



1n)

＝1

1336

121400

11

121400

1

23893600(1

1

24003600

.放缩二：

1n

1n1



(n1)(n1)



2n1



n1),(n2)

Sn54







1n

（11



2)

111111111()22435n2nn1n1



1111151115

()().223nn142233

放缩三：

1n



1n

(n

112)(n

12)

（1n



1n

12)2（12n1



12n1),(n1)

Sn







1n

12（13









12n1



12n1)12（13



12n1)

法2：数归——加强命题：常用的放缩公式：

1n(n1)

2n

n1

1n



1n





1n



1n(n1)1n

；n

n12nn

n1；

n

n

2n1；

ab



ambm

(ba0,m0)

1k



k(k1)(k1)

1n11k(k1)



111*

(k2,kN)

2k(k1)k(k1)

1nk

nkn1k!



1n2

...



kn11

(k3)

(k2)

；212

n1n

k!k(k1)(k2)

n

an

例3：已知：

1

(nN

)，求证：ai

i1

n2



法1：均值不等式：即证





715n2

...

212

n1

n

1





n2

也即：





715

...

212

n

n1

n

1



而

:





715

...

212

n1

1

n



法2：放缩后裂项求和

an

21212

n1n

1（

212(21



n

n)1







n1

=

1





21(2

n1

n

1)(21)

n

=



21

n

n1

1)

法3：数归，但是直接去证是不行的，要转化为一个加强命题

4．定义数列如下：a12,an1anan1,nN



证明：（1）对于nN恒有an1an成立。

2



（2）当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。

（3）1

2006



1a1



1a2



1a2006

1。

解：（1）用数学归纳法易证。

（2）由an1anan1得：an11an(an1)an1an1(an11)……

a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：

an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要证不等式1

2006



1a1



1a2



1a2006

1，可先设法求和：

1a1



1a2



a2006，再进行适当的放缩。

an11an(an1)



1an111an1a1



1an1



1an



1an11a2



1an111a2006



（1a111



1a211)（1a21



1a31)（1a20061



1a20071)



a11



a200711

1

a1a2a2006

1

又a1a2a2006a1

2006

2

2006

1

1a1a2a2006

1

2006

原不等式得证。

5．已知数列an中an

i

i

n

nn

21，求证：ai(ai1)3.i1

方法一：ai(ai1)

n

i

2121



i

i

i

(21)(22)



i

i1

i1

(21)(21)



i1

1



121

i

.



i1

ai(ai1)

(21)

（121



121)（121



121)（12

n1

1



121

n)3

121

n

3.方法二：

ai(ai1)

i

i

(21)



i

122

i



122

i



122

i



22

i

i1

.(i2)

n





i1

ai(ai1)2





n1

2(1

12)3n1

n1

3.n

法3：数归证



i1

ai(ai1)3

121

n

3.（即转化为证明加强命题）

6、已知函数fxln1xx，数列an满足：

a1

2,ln2lnan1an1anf

an1an．

（1）求证：ln1xx；（2）求数列an的通项公式；

（3）求证不等式：a1a2annln2lnn2． 解：（1）fxln1xx，f'x

11x

1

x1x，当1x0时，f'x0，即yf(x)是单调递增函数；当x0时，f'x0，即yf(x)是单

调递减函数．

所以f'00，即x0是极大值点，也是最大值点

fxln1xxf00ln1xx，当x0时取到等号．（2）法1：数学归纳法（先猜想，再证明）

法2：由ln2lnan1an1anfan1an得2an1an1an1，an1

12an，an11

12an

1

an12an，1an1

1

1an1

1，即数列



1

2，公差为1，是等差数列，首项为

a11an1

nn1

∴

an1

n1an

．

（3）法1：

a1a2an1

111

1

121

1

111

n

23n1n1

又∵x0时，有xln1x，令x

1n112

0，则

1n2

ln1ln n1n1n11

∴n



3

345n1n2

nlnlnlnlnln n1234nn1n

2n2

nln

n12

nln



343

ln2

n nl

∴a1a2annln2lnn2 ． 法2：积分法要证原命题，即证：

12



ln(n2)ln2 n11



1113n12

12

n2



1x

dxlnx

n22

法3：数归证明：7.1、（1）求证：2

n







ln(n2)ln2 n1



2n1(n2,nN)

nn1n01

法1：2CnCn...CnCn；

法2：数学归纳法 法3：函数法（求导）

8.若nN，证明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n1n)+（n

nn)

n

ee1

提示:借助e1x证明

x

第四篇：放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2. 2)

 







 4.2n2n2n1115.n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，且abnnn2x1

（1）求cn；（2）证明：

例2.证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2（1）求证：数列sn是等差数列； 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*； an

（2）解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

（3）记bn2sn,Tn331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4.已知数列an满足：n2anan1； 是公差为1的等差数列，且an1nn

（1）求an；（2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1；

（1）求an；（2）证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6.数列an满足：a12,an1； n(n)an22

5112n

（1）设bn，求bn；（2）记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2)；

（1）求an；

（2）设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn，b

求证：3Tn1log2n

(a3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8.已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1，anan1

记b1a1,bnn[a1

（1）求an；

（2）证明：(1

2111](n2)。222a2a3an11111)(1)(1)(1)4 b1b2b3bn4

第五篇：放缩法与数列不等式的证明

2017高三复习灵中黄老师的专题

放缩法证明数列不等式

编号：001 引子：放缩法证明数列不等式历来是高中数学的难点，在高考数列试题中经常扮演压轴的角色。由于放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点太大，缩小一点点太小”。为了揭开放缩法的神秘面纱，黄老师特开设这一专题，带领大家走近“放缩法”。一．放缩法证明不等式的理论依据： １．不等式的传递性：

２．同向不等式的可加性：

３．同向的正数不等式的可乘性：

二．常见的数列求和的方法及公式特点： １．等差数列的和;an_____sn______(nN)２．等比数列的和：ankqn,sn３．错位相减法：等差×等比

４．裂项相消法：若anan1d(d为常数）在三.常见题型分析：

１．放缩目标模型：可求和 １．１等差模型

1111()(nN)

anan1dan1ana1(1qn)（q1）(nN)1qn(n1)n(n2)1223...n(n1)例１.（１９８５全国卷）求证：(nN)22

n(n1)n(n3)1223...n(n1)变式：(nN)22

１.２等比模型

1111例２.求证：23....n1(nN)2222

变式.求证：1121112231......2n11(nN21)

例３.（２０１４全国卷Ⅱ１an满足a11,an13an1,1）证明：a1n2是等比数列.并求an的通項公式 2）证明：1a113a.......12an2

变式：求证：1211211152231......2n13(nN)

例４.（２００２全国卷理２２题７题）第２问已知数已知数列

列（（）an满足an1an2nan1,n1,2,3.......当a13时，证明对所有的n1,nN(1）ann2（2）证明：1a11a.......11121an12

１.３错位相减模型

例５.求证：12123n222233.......2nn2(nN)

１.４裂项相消模型

例2(2013广东文19第(3)问)求证：11313515711(2n1)(2n1)2

11111例６.证明：n12n12232......n2n(nN)

(nN)

111变式１.证明：122......22(nN)

变式２.证明：

变式３.证明：

变式４.证明：

变式５.证明：

23n 111172232......n24(nN)112115232......n24(nN)1213......1n2n(nN)1113252......(2n1)232

1115变式６.证明：122......235(2n1)4

常见的放缩技巧总结：