高中数学放缩法公式

第一篇：高中数学放缩法公式

“放缩法”证明不等式的基本策略

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：

k

n

2

3

a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).*

证明： 

akak

1

212

k1

1





12(2

k1

1)





13.222

k

k



1211

.k,k1,2,...,n, 32



a1a2n2



a2a3

...

anan1



n2



1111n11n1(2...n)(1n), 322223223

n2

*



a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=

4xx，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n

11

4nn



2(nN)

*

.证明：由f(n)=

14

=1-

114

n

1

122

122

112

n

122

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

n

14(1

1214

n1

22

1)n

n1

(nN)

*

.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例

3、设an证明：∵∴ n

223

n

34

n

n(n1)(n1)

ann(n1)求证2

2(n

12)

n(n1)n(n1)

n(n1)

2n12

2n12，∴

n(n1)2

an

(n1)

∴ 123nan

本题利用n



13(2n1)

2n

1，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例

4、求证：

1n

1

2

3

1n



4证明：



1n(n1)





1n1

1



1n

1n1

1n

1n





n

()().此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根

据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

ln

2例5.求证：



ln3

3

ln4

4

ln33

n

n

3

1x

n

5n66

ln2

(nN)

ln33

*

.

ln33

nn

解析:先构造函数有

lnxx1

lnxx

1,从而



ln44

31（n





n)

因为2





n

1111111111

1nnn

213 234567892

n1

3n193339

23n13n

66918275n

6

n

5n66

ln2

所以



ln33



ln44



ln33

n

n

31

n

5n6

3

6、裂项放缩

n

例6求证:k1k





53.1n



1n

4

1

12

4n12n12n1

n

解析:因为,所以

k

k1

112511

121

2n12n133357、均值不等式放缩

例7.设

Sn

2

23

k

n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.解析: 此数列的通项为a

k

k(k1)

kk

1n(n1)2

k(k1),k1,2,,n.n

n

k

12，kSn

k1

(k

k1

12)，n(n1)

即

Sn



n2



(n1)2

.ab

ab2

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

n，若放成k(k1)k1

则得

Sn



k1

(k1)

(n1)(n3)



(n1)2，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n1

1an



n

1an

a1an

n



a1an

n

a1



其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

n

(11)

n

CnCnCn2nCn0Cnn1

01n，2C

n

n

C

1n

C

2n



n

n22

n

n(n1)(n2)

第二篇：放缩法讨论

不等式的证明——放缩法

学习目标：

1、感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

2、探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。

若是自然数，求证

11112222.2123n

2k 111,k2,3,4,,n.k(k1)k1k

常见方法：

1、分式放缩；

2、利用已知结论放缩；

3、裂项放缩；

4、先放缩后求和。

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个

中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:

(1)舍掉(或加进)一些项;

(2)在分式中放大或缩小分子或分母;

(3)应用基本不等式进行放缩.如

12312①(a)(a);242 111112,2,, ②2kk(k1)kk(k1)kkk1 2 1(以上k2且kN)kkk1

归纳延伸

1.放缩法证明不等式的理论依据主要有：

(1)不等式的传递性；

(2)等量加不等量为不等量；

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

2.常用的放缩技巧：

（1）对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。

（2）①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．

第三篇：数学放缩法

放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

当年apucng与V_First研究的题

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第四篇：高中数学-公式-直线

直线

1、沙尔公式：ABxBxA2、数轴上两点间距离公式：ABxBxA3、直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2

4、若点P分有向线段P1P2成定比λ，则λ=(x1x2)2(y1y2)2P1P PP2

xx1yy1=； x2xy2y5、若点P1P2成定比λ，则：λ=1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，点P分有向线段P

x=x1x2yy2y=111

x1x2x3y1y2y3。33若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是

6、求直线斜率的定义式为k=tg，两点式为k=

7、直线方程的几种形式：

点斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb y2y1。x2x1

yy1xx1，y2y1x2x1

xy截距式：1 ab

一般式：AxByC0

经过两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

kk18、直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则从直线l1到直线l2的角θ满足：tg2 1k1k2两点式：

直线l1与l2的夹角θ满足：tgk2k1 1k1k2

直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则从直线l1到直线l2的角θ满足：tgABA2B1A1B2A2B1；直线l1与l2的夹角θ满足：tg12 A1A2B1B2A1A2B1B2

Ax0By0C

AB229、点P(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离：d

10、两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20距离是dC1C2

22AB11、直线:l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.

第五篇：高中数学-公式-数列

数列

1、等差数列的通项公式是ana1(n1)d，前n项和公式是：Snn(a1an)1=na1n(n1)d。22.等差数列 ｛an｝ anan1d(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)ananbSnAn2Bn。

na1(q1)nn

12、等比数列的通项公式是ana1q，前n项和公式是：Sna1(1q)(q1)1q

2n-13.等比数列 ｛an}anan-1an1(n2,nN)ana1q;

＊

4、当m+n=p+q=2t(m、n、p、q∈N)时，对等差数列｛an｝有：amanapaq2at；对等比数列｛an｝

有：amanapaqat。

5、等差数列中, am=an+(n－m)d, daman;等比数列中，an=amqn-m;q=nmn

{anbn}等也是等比数列。

7、设Sn表示数列前n项和；等差数列中有：Sn,S2nSn,S3nS2n,也是等差数列；在等比数列中，2an;am6、若{an}、{bn}是等差数列，则{kanbbn}(k、b、a是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kankan｝、Sn,S2nSn,S3nS2n,是等比数列。

8、等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列；

9、等差数列中：a1ana2an1a3an2；

等比数列中：a1ana2an1a3an2

10、对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶S奇nd；项数为2n－1时，S奇S偶a中项(n∈N*)。

11、由Sn求an，an={S1(n1)

*SnSn1(n2,nN)

一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；

12、首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题，转化为解不等式an0an0解决； 或a0a0n1n1 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。

13、熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

14、若一阶线性递归数列an=kan－1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形

式:anbk(an1b)(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式； k1k115、当等比数列an的公比q满足q<1时，limSn=S=

na1。一般地，如果无穷数列an的前n项和的极限n1qlimSn存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limSn。n