均值不等式及其应用

第一篇：均值不等式及其应用

教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理

ab1.均值定理：；

2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba 2(a,b同号）ab

a2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）22

2三、学情自测

1、已知a0，b0，且ab2，则（）

112222A、abB、abC、ab2D、ab3 222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是 x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为 ab3、设x0，则y33x

均值不等式及其应用第 1页（共4页）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例

1、（2013山东）设正实数x,y,z满足

值为（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x

12.（2013天津数学）设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,考向

二、利用均值不等式证明简单不等式

例

2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练

2、已知a,b,c都是实数，求证：abc

2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8 xxyyzz1(abc)2abbcac

3考向

三、均值不等式的实际应用

例

3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）

2A、ab2abB、ab、11ba、2 abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x

2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab

4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn

六、课堂小结

七、课后巩固

511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x

51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）

A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。

5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x1

6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

第二篇：均值不等式应用

均值不等式应用

一．均值不等式

22ab1.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则abab时取“=”）22

22.(1)若a,bR*，则ab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）2

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR*，则ab）22

3.若x0，则x

取“=”）1）;若x0，则x12(当且仅当x1时2(当且仅当x1时取“=”xx

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）

xxx

ab4.若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”）ba

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

注：（1）3.已知x,yR,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p为定值，那么当且仅当时，s=x+y有；

②若s为定值，那么当且仅当时，p=xy有。

（备注）：求最值的条件“一正，二定，三取等”

应用一：求最值

解题技巧：技巧一：凑项

例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。44x

51不是常数，所以对4x2要进行拆、4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

凑项，∵x511,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当

时，求yx(82x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两

个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

32x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

3当且仅当2x32x,即x30,时等号成立。

42

技巧三： 分离

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t

5ttt

当,即t=

时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x调性。

例：求函数y

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不g(x)

a的单x

2的值域。

2t(t

2)，则y

1

t(t2)

t因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.t1t

1t5。

252

11x23x1

y2sinx,x(0,)y2x,x3,(x0)(3)（1）y（2）

sinxx3x

2．已知0x

1，求函数y3．0x

.；，求函数y

3.条件求最值

ab

1.若实数满足ab2，则33的最小值是.解： 3和3都是正数，33≥23a3b3ab6

a

b

a

b

ababab

当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值

是6．

变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y0，且

1，求xy的最小值。xy

19191，xy

xy12xyxy

错解： ∵x0,y0，且．．

故 xymin12。

错因：解法中两次连用均值不等式，在xyx

y，在19x

y

成立条件是

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题xy

时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x19

正解：∵x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xymin16。

xyxy

x

y

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值



(2)若a,b,x,yR且ab1，求xy最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系数为，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面将x，1y ＋分别看成两个因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

变式: 求函数y

1x5)的最大值。

解析：注意到2x

1与52x的和为定值。

y2

244(2x1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2

x1=52x，即x

时取等号。故ymax 2

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1． 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca

2正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

111

3、已知a、b、cR，且abc1。求证：1118

abc



解：a、b、cR，abc1。

111abc

11

11

aaabc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1时取等号。111。当且仅当abc11183abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

x

y

条件：m≤(x+y)的最小值，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若ab1,P

lgalgb,Q

1ab(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)algbp 2

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

22Q

第三篇：均值不等式的应用

均值不等式的应用

教学目标：

1.掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理

2.运用基本不等式和极值定理熟练地处理一些极值与最值问题 教学重点：应用 教学难点：应用

教学方法：讲练结合 教

具：多媒体 教学过程

一、复习引入：

1.算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 2.算术平均数与几何平均数之间的关系----并推广：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3.极值定理：积定和最小；和定积最大

注：①极值定理成立的条件：一正二定三相等 ②应用时应该注意的问题： 4.练习：

3①若x0,求y12x的最大值.xx22x2②4x1,求的最值.2x2y221,求x1y2的最大值.③xR,且x21④ yx(23x)⑤y14x

54x

二、新授：

1.基本应用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重视运用过程中的三个条件：正数、相等、常数

4例1.求函数yx的值域.x(,4]或[4,)

例2.已知x2y1,x、yR，求x2y的最大值.11xx4y31x2y32)(2)分析：x2yxx4y（443432721当x=4y即x,y时取等号.36例3.设a,b,x,yR，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：运用柯西不等式 2．变形运用：

对于某些复杂的函数式，需适当变形后，再运用重要不等式求最值.23例4.求ysinxcos2x(x(0,))函数的最大值.29ab例5.已知a,b,x,yR且1，求xy的最小值.xy分析：此题若能灵活变形，运用重要不等式求最值，则能起到事半功倍的效果.解法一：用判别式法----转换为一个未知数利用判别式 解法二：换元法----令xacsc2,ybsec2 解法三：转换为一个字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用xy=(xy)()

xy11变形：已知a,b,x,yR，且x2y1,求u的最小值.xy3.综合运用：

例6.已知直角三角形的内切圆半径为1，求此三角形面积的最小值.解：略.例7.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个 无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为x

a则其容积为Vx(a2x)2,(0x)

2114x(a2x)(a2x)32a3V4x(a2x)(a2x)[]

44327aa2a3当且仅当4xa2x即x时取“=”即剪去的小边长为时，容积为

6627

三、练习：

663x2的最小值，y23x的最小值.xx2.已知a,b满足abab3,求ab的范围.1.x0时求y3.已知x,y满足xyxy1，求xy的最小值.4.已知a2b210，求a+b的范围.5.已知x0,y0,z0，求(1x2)(1y2)(1z2)8xyz的解.四、小结：

五、作业：

1.若0x1, 求yx4(1x2)的最大值

2．制作一个容积为16m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R2m,h4m)

六、板书设计：

第四篇：均值不等式公式总结及应用

均值不等式应用

a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab

2ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab 222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*2

3.若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x

1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxx

ab）2(当且仅当ab时取“=”ba4.若ab0，则

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域为[6，+∞）1(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x

11当x＜0时，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54，求函数y4x

2

1的最大值。4x5

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x

5511x,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当54x

，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

54x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 例1.当解析：由

时，求知，yx(82x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但

其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y

x(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x，求函数y4x(32x)的最大值。

232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

当且仅当2x技巧三： 分离

32x,即x

33

0,时等号成立。42

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x

1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt

当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。ymg(x)

例：求函数y

2的值域。

t(t



2)，则y

1

t(t2)

t11

0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt15

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。

t2

因t

所以，所求函数的值域为

5,。2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0条件求最值 1.若实数满足a

x

1，求函数y.；3．0x，求函数y

3.b2，则3a3b的最小值是.a

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解： 当3

a

3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b3ab6

3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．

11变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y错解：．．

0，且1，求xy的最小值。

xy

1919x0,y0，且1，xy

xy12故 xymin12。xyxy

在19yxy，错因：解法中两次连用均值不等式，在x

xy19

xy

即

y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步

骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：x0,y

19y9x19

0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x

1，可得x4,y12时，xymin16。时，上式等号成立，又xyxy

变式：（1）若

x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

yR且ab

x

y

1，求x

y的最小值

已知x，y为正实数，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同时还应化简1＋y 2 中y2前面的系数为

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面将x，12

＋

y 2

分别看成两个因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab则u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式

ab

（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式

2的范围，关键是寻找到

aba2b30出发求得ab（a,bR）

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本题很简单

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

变式

: 求函数y

解析：注意到2x

1与5

2x的和为定值。

x)的最大值。

y2244(2x1)(5

2x)8

又

y0，所以0y

时取等号。故ymax 2

当且仅当2x1=52x，即x

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

1。求证：1118

abc

11abc，1aaa1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、cR，且abc



分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又可由此变形入手。

解：a、b、cR，ab

c



1。

11ab

c1aaa。同理

1b，11

c

述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。11183abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y

0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy

19xy9x9y10y9x1，1.1 xykxkykkxky

解：令xyk,x0,y0,1

2。k16，m,16 kk

1ab

(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是.22

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,Palgb,Q

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

（lgalgb)lgalgbp 2

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

第五篇：均值不等式的变形和应用

均值不等式的变形和应用

一、变形

1.设a,b是正实数，则

a2ab+b 2a或+ 2（当且仅当a=b时，等号成立）bba

2.设a,b,c是正实数，则

a2+b2+c2?abbc+ca（当且仅当a=b时，等号成立）

3.设a,b是正实数，则

a+b22ab（当且仅当a=b时，等号a+b

成立）

4.设a1,a2,b1,b2是实数，则

(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（当且仅当a1:a2=b1:b2)()()时，等号成立）

二、应用

（一).在求最值中的应用

在求最值时，要利用凑项、凑系数、分离和换元等方法，使两个整数的和或积或平方和为定值，以利用均值不等式;还要注意“一正二定三取等”，特别在多次利用均值不等式时注意取等条件.骣1x1.若x,y是正数，则琪琪

2骣1+琪y琪2的最小值是多少？

桫2y桫2x

解：骣琪x1+骣琪桫2y

琪琪桫y12x

=x2+xy+1y14y2+y2+x+4x

=骣琪琪x2+1+骣桫4x2xy+骣桫yx1+y2

桫

4y2

?12+1=

4ìï2ïx=

12ï

4x当且仅当ïíxï=y，即x=y=时等号成立

ï

yx

2ïï1î

=y24

y2.设0

(3-2x)的最大值.解：因为0

3，所以3-2x>0

故y=4x(3-2x)

=2 2x(3-2x)

£2骣2x+3-2x

桫2

=92

当且仅当2x=3-2x，即x=3

骣4

Î

琪琪0,3桫2

时，等号成立.3.已知a,b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最

小值.解：法一：由2b+ab+a=30得

a=30-2b

b+1

所以ab=30-2b-2b2+30b+1b

b

b+1

由a,b为正实数得0

ab=

-2t2+34t-32

t=-2骣琪琪t16+34 桫t

?2 34

=18

故y³118，当且仅当t=4，即b=3，法二：30-ab=a+2b

所以30-ab

令u

u2--300

a=6时，等号成立ab

.解得-

uab£18 1

故y³，当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立.18

（二).不等式与方程的转化

4.111

设x,y均为正实数，且+=，求xy的最小值.2+x2+y3

4+x+y1

解：通分得=

4+2(x+y)+xy3

(x+y)=8

所以xy=8+x+y?8（）

整理得xy-

即

故xy³

-0

4?2（舍）

16，当且仅当x=y=4时，等号成立.（三).不等式与恒成立问题

x

5.若对任意x>0，£a恒成立，求实数a的取值

x+3x+1

范围.骣x

解：由题意得 a³x+3x+1桫

又x>0

max

x111

=?

所以

5x+3x+1x+3+13x骣x

即x+3x+1桫

=

max

.轾11

故a³，a的取值范围为,+

5犏5臌

（四).证明不等式

在证明不等式时，要利用比较法、分析法、放缩法、等项匹配法和反证法等方法.6.a2b2c2

已知a,b,c均为正数，求证++?ab+c.bca

a2

证明：+b 2a

ba2

所以?2ab

bb2

同理?2bc

c

c2

?2ca a

a2b2c2

以上三式相加得++?2ab+2b-c+2c-a

bca

()()()

=a+b+c

（亦可直接用变形4）

（五).实际应用

将实际问题转化为数学模型，再用解以上题目的方法解决问题，但要注意实际问题下函数的定义域.