利用导数证明不等式的两种通法

第一篇：利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式的两种通法

吉林省长春市东北师范大学附属实验学校

金钟植岳海学

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。

一、函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的问题转化为证明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例1 已知x(0,

2)，求证：sinxxtanx

分析：欲证sinxxtanx，只需证函数f(x)sinxx和g(x)xtanx在(0,单调递减即可。

证明：

令f(x)sinxx，其中x(0,则f(x)cosx1，而x(0,所以f(x)sinxx在(0,所以sinxx；

令g(x)xtanx，其中x(0,则g(x)1/2)上2)/2)cosx1cosx10 2)上单调递减，即f(x)sinxxf(0)0 2)12tanx0(0,)上单调递减，g(x)xtanx，所以在cos2x

2即g(x)xtanxg(0)0

所以xtanx。

综上所述，sinxxtanx

评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,的函数（如：利用h(x)xsinx在(0,2)上是单调递增

2)上是单调递增来证明不等式sinxx），另外不

等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的f(0)也可以

不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题： 已知x(0,)，求证：sinx1xtanx

1证明这个变式题可采用两种方法：

第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式 sinxx以后，根据sinx1sinxx来证明不等式sinx1x；

第二种证法：直接构造辅助函数f(x)sinx1x和g(x)xtanx1，其中x(0,然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：f(x)sinx1xf(0)10）例2 求证：ln(x1)x

分析：令f(x)ln(x1)x，经过求导易知，f(x)在其定义域(1,)上不单调，但可以利用最值证明不等式。证明：令f(x)ln(x1)x 函数f(x)的定义域是(1,),1.令f'(x)=0，解得x=0，1x

当-10,当x>0时,f'(x)<0，又f(0)=0，f'(x)=

)

故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0 所以f(x)ln(x1)xf(0)0 即ln(x1)x

二、常数类不等式证明

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式

f(a)f(b)的问题，在根据a,b的不等式关系和函数f(x)的单调性证明不等式。

例3已知mn0,a,bR且(a1)(b1)0 求证：(ab)(ab)分析：

n

nm

m

mn

(anbn)m(ambm)n

ln(anbn)mln(ambm)n mln(anbn)nln(ambm)

ln(anbn)ln(ambm)

nm

f(n)f(m)

ln(axbx)

在（0，）上是减函数f(x)

x

m>n>0

证明：

ln(axbx)

令f(x)

x

(x0)

axlnabxlnbxln(axbx)xxx(axlnabxlnb)(axbx)ln(axbx)/则f(x)

x2x2(axbx)axbxaxbxaxbxxxx

alnxblnxalnxblnx

xxxx

0 2xx2xx

x(ab)x(ab)

x

ln(axbx)

在（0，）上是减函数 所以，f(x)

x

又因为mn0，所以f(n)f(m)

ln(anbn)ln(ambm)

即

nm

mln(anbn)nln(ambm)ln(ab)ln(ab)

即(ab)(ab)

n

nm

m

mn

nnmmmn

评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函

数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结

ln(anbn)ln(ambm)

构的式子（本例经过转化后的不等式的两边都是相同式子

nm

ln(axbx)ln(axbx)的结构，所以可以构造辅助函数f(x)），这样根据“相同结构”

xx

可以构造辅助函数。例4 已知0

，求证：

tantan

11 tantan

分析：欲证

tantantantan

11，只需证（不然没法构造辅助函tantantantan

数），即

tan





tan

,tantan，则需证函数f(x)

tanx,g(x)xtanx都在x

函数区间(0,)上单调递增即可。

tanx，x(0,)x21x.tanx22xsecxtanxxsinxcosx/

f(x)则f(x)2 22

2xxcosxx

证明：设f(x)由例1知，x(0,)xsinxsinxcosxxsinxcosx0

tanx

在(0,)上单调递增，而0 x22

/

即f(x)0，所以f(x)

所以

tan





tan

，即

tantan

，进而得到1 tantan

设g(x)xtanx，x(0,/

)

则g(x)tanxxsecx，又因为x(0,进而g(x)xtanx在(0,)，所以g/(x)0，)上单调递增，而0



所以tantan，即

tantan

1，进而得到tantan

综上所述

tantan

11 tantan

x

b

a

三、同步练习题

1．当x1时,求证:2x3

2．已知a,b为实数，并且e

x

（1）求函数f(x)的最小值；

xy

（2）若0yx，求证：e1ln(x1)ln(y1)

e

e

4．求证：(e)(e)参考答案： 1．证明：

e

要证2x3，只要证4x3(3x1)2(x1),x

即证4x3(3x1)24x39x26x1f(x)0, 则当x1时，f'(x)6(2x33x1)6(2x1)(x1)0,f(x)在(1,)上递增，f(x)f(1)0即f(x)0成立，原不等式得证

2．证明：

当e

a

lnalnb

 ablnx

(0x)。因为当xe时，考虑函数yx

1lnxlnxy0,y在(e,)所以函数2

xx

lnalnbba

因为e

即只要证

3．（1）最小值为0

（2）因为0yxxy0，而由（1）知，对x0，恒有f(x)0，所以不等式f(xy)0恒成立 即e

xy

ln(xy1)10 1ln(xy1)

所以e

xy

又因为

ln(xy1)ln[(y1)(xy1)]ln(y1)

ln[(x1)y(xy)]ln(y1)ln(x1)ln(y1)(y(xy)0)

所以e

xy

1ln(x1)ln(y1)

ln(xex)

(x0)，证明：设f(x)

x

xlnexxln(xex)xx

则f'(x) 2

x

x(xlnex)(xex)ln(xex)



x2(xex)

exxexxexxx

lnxxelnxxlnxxelnxx

0 2xx2xx

x(e)x(e)

x

x

x

ln(xex)

所以函数f(x)在其定义域(0,)单调递减

x

所以f()f(e)，即

ln(e)



ln(eee)

e

根据对数的运算性质得，(eee)(e)e

第二篇：利用导数证明不等式

利用导数证明不等式

例1．已知x>0，求证：x>ln(1+x)分析：设f(x)=x－lnx。x[0,+。考虑到f(0)=0，要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(0)，这只要证明：

f(x)在区间[0,)是增函数。

证明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在区间[0,)上可导。

且limf(x)0f(0)x0 由f'(x)11x 可得：当x(0,)时，f'(x)f(0)0 x1x1 即x－lnx>0，所以：x>0时，x>lnx 评注：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个

函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利 用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要 证的不等式。

例2：当x0,时，证明不等式sinxx成立。证明：设f(x)sinxx,则f'(x)cosx1.∵x(0,),∴f'(x)0.∴f(x)sinxx在x(0,)内单调递减，而f(0)0.∴f(x)sinxxf(0)0, 故当x(0,)时，sinxx成立。

点评：一般地，证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F'(x)0,，则F(x)在(a,b)上是减函数，同时若F(a)0,由减函数的定义可知，x(a,b)时，有F(x)0,即证明了f(x)g(x)。

x练习：1.当x0时，证明不等式e1x12x成立。2证明：设fxe1xx12x,则f'xex1x.2xxx令g(x)e1x,则g'(x)e1.当x0时，g'xe10.g(x)在0,上单调递增，而g(0)0.gxg(0)0,g(x)0在0,上恒成立，f(x)在即f'(x)0在0,恒成立。0,上单调递增，又f(0)0,ex1x1x20,即x0时，ex222.证明:当x1时,有ln(x1)lnxln(x2).1x12x成立。2分析 只要把要证的不等式变形为

ln(x1)ln(x2),然后把x相对固定看作常数,并选取辅助函

lnxln(x1)数f(x)ln(x1).则只要证明f(x)在(0,)是单调减函数即可.lnx证明: 作辅助函数f(x)ln(x1)(x1)lnxlnxln(x1)xlnx(x1)ln(x1)于是有f(x)x12x

lnxx(x1)ln2x因为 1xx1, 故0lnxln(x1)所以 xlnx(x1)ln(x1)

（1，）因而在内恒有f'(x)0,所以f(x)在区间(1,)内严格递减.又因为1x1x,可知f(x)f(x1)即 ln(x1)ln(x2)lnxln(x1)所以 ln2(x1)lnxln(x2).利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式。

x2例3.证明不等式xln(1x)x,其中x0.2x2分析 因为例6中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差ln(1x)(x),则发现作差以后

21x)求导得不容易化简.如果对ln(1,这样就能对它进行比较.1xx2证明: 先证 xln(1x)

2x2设 f(x)ln(1x)(x)(x0)

21x210)00 f(x)则 f(0)ln(1x1x1x'　x0 即 1x0 x20

x2　f(x)0　,即在(0,)上f(x)单调递增

1xx2　f(x)f(0)0 　ln(1x)x

21x)x;令 g(x)ln(1x)x 再证 ln(则 g(0)0 g(x)11 1x１ln(1x)x 　x0 　1 　g(x)0 １xx2　xln(1x)x 练习：3（2001年全国卷理20）已知i,m,n是正整数，且1imn

证明：(1m)n(1n)m

分析：要证(1m)n(1n)m成立，只要证

ln(1m)nln(1n)m

即要证11ln(1m)ln(1n)成立。因为m

11ln(1m)ln(1n)； mn从而：(1m)n(1n)m。

评注：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题，只要将这个函数式找到了，通过设函数，求导判断它的单调性，就可以解决不等式证明问题。难点在于找这个一元函数式，这就是“构造函数法”，通过这类数学方法的练习，对培养分析问题、解决问题的能力是有很大好处的，这也是进一步学习高等数学所需要的。

第三篇：利用导数证明不等式

利用导数证明不等式

没分都没人答埃。觉得可以就给个好评!

最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!

1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

设函数f(x)=x-ln(x+1)

求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..证明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

当00;当1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有当00

3.x>0,证明：不等式x-x^3/6

先证明sinx

因为当x=0时，sinx-x=0

如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，求导数有sinx-x的导数是cosx-1

因为cosx-1≤0

所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx

再证x-x³/6

对于函数x-x³/6-sinx

当x=0时，它的值为0

对它求导数得

1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。

要证x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0

再次对它求导数得x-sinx

根据刚才证明的当x>0sinx

x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0

得x-x³/6

利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

则f'(x)=1-2x

当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增

当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减

故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值为零

故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n为正整数，且1

第四篇：谈利用导数证明不等式.

谈利用导数证明不等式

数学组

邹黎华

在高考试题中，不等式的证明往往与函数、导数、数列的内容综合，属于在知识网络的交汇处设计的试题，有一定的综合性和难度，突出体现对理性思维的考查，特别是利用高中新增内容的导数来证明不等式，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。本文通过一些实例，来说明利用导数增证明不等式的基本方法。

例1．已知x>0，求证：x>ln(1+x)

分析：设f(x)=x－lnx。x[0,+。考虑到f(0)=0，要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(0)，这只要证明：

f(x)在区间[0,)是增函数。

证明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在区间[0,)上可导。

且limf(x)0f(0)x0

由f'(x)11x

可得：当x(0,)时，f'(x)f(0)0 x1x

1即x－lnx>0，所以：x>0时，x>lnx

评注：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个

函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利 用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要 证的不等式。

例2：（2001年全国卷理20）已知i,m,n是正整数，且1imn

证明：(1m)n(1n)m

分析：要证(1m)n(1n)m成立，只要证

ln(1m)nln(1n)m

11ln(1m)ln(1n)成立。因为m

x1111'

证明：设函数f(x)ln(1x)，则f(x)2ln(1x)

xx1xx1x'ln(1x)] 即：f(x)2[x1xx1,ln(1x)ln31 因为：x2,01x即要证所以：f(x)0，所以f(x)在[2,)是减函数，而mn 所以f(m)f(n)，即n''11ln(1m)ln(1n)； mnm从而：(1m)(1n)。

评注：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题，只要将这个函数式找到了，通过设函数，求导判断它的单调性，就可以解决不等式证明问题。难点在于找这个一元函数式，这就是“构造函数法”，通过这类数学方法的练习，对培养分析问题、解决问题的能力是有很大好处的，这也是进一步学习高等数学所需要的。

例3．（2004年全国卷理工22题）已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx,设0ab

证明：0g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln2 2证明：设g(x)xlnx,g'(x)lnx1 设F(x)g(a)g(x)2g(ax)2则F'(x)g'(x)2[g(axax)]lnxln22

当0xa时，F'(x)0，当xa时，F'(x)0 因此，F（x）

在区间（0，a）内是减函数，在区间[a,)内为增函数，于是在xa 时，F（x）有最小值F(a)0又ba，所以0g(a)g(b)2g(ab)2设G(x)g(a)g(x)2g(ax)(xa)ln2，则G'(x)lnxlnaxln2lnxln(ax)2当x0时，G'(x)0，因此G（x）在区间(0,)内为减函数； 因为G(a)0，ba，所以G(b)0，即：g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln2。2评注：本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右

端点，读者不妨设为左端点试一试，就更能体会到其中的奥妙了。

通过以上例题，我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。总之，利用导数证明不等式的关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，因此，希望同学门能认真对待，并通过适当的练习掌握它。

第五篇：利用导数证明不等式

克维教育（82974566）中考、高考培训专家铸就孩子辉煌的未来

函数与导数

（三）核心考点

五、利用导数证明不等式

一、函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的问题转化为证明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例

1、已知函数f(x)lnxax2(2a)x

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a0，证明：当0x111时，f(x)f(x)； aaa

（3）若函数f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f`(x0)0

【变式1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：恒有11ln(x1)x成立。x

1x【变式2】（1）x0，证明：e1x

x

2ln(1x)(2)x0时，求证：x2

二、常数类不等式证明

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式 f(a)f(b)的问题，在根据a,b的不等式关系和函数f(x)的单调性证明不等式。例

2、已知mne,，求证：nm

例

3、已知函数f(x)ln(x1)

（1）求f(x)的极小值；

（2）若a,b0，求证：lnalnb1

mnx，1xb a

【变式3】已知f(x)lnx，g(x)127，直线l与函数f(x)、g(x)的 xmx（m0）22

图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1．

（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)f(x1)g(x)（其中g(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值；（Ⅲ）当0ba时，求证：f(ab)f(2a)ba． 2a

【变式4】求证：

bablnbabaa(0ab)

1x)x0(x1)【变式5】证明：ln（ln22ln32lnn2(n1)(2n1)【引申】求证： 222(n2,nN*)23n2(n1)

【变式6】当t1时，证明：1lntt1 1t

x21(x1)，各项不为零的数列an满足4Snf()1，【引申】已知函数f(x)an2(x1)

1n11（1）求证：ln； an1nan

（2）设bn1，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20081ln2008T2007。an