从高考角度谈谈不等式的证明

第一篇：从高考角度谈谈不等式的证明

从高考角度谈谈不等式的证明

贾广素 在现实世界中，等是相对的，不等是绝对的.不等关系是现实生活中最普遍的数量关系，不等式是刻画不等关系的一种重要的数学模型.不等式与数、式、方程、函数、导数等知识都有着天然紧密的联系，是学习高等数学的重要基础.因此，在高考试题中，有关不等式的试题出现的频率比较高.这就要求我们对不等式知识掌握以下几个方面的内容：

（1）了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

（2）经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程；

（3）了解不等式的几何意义，并能用平面区域加以表示，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决；

（4）掌握基本不等式和一些常见的不等式，并能运用这些不等式求解一些简单的最值问题.（5）注重不等式知识与函数、方程等其它知识间的联系，加强不等式的应用意识.不等式的有关知识渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数的单调性的研究，函数定义域的确定、三角、数列、立体几何、解析几何中的最值问题、范围问题等都与不等式有着密切的联系，最终往往都可归结为不等式的求解或证明问题来处理.不等式的证明常用的一些方法主要有：比较法、综合法、分析法和反证法等，另外，放缩法也是证明不等式的主要变形技巧之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证明的结论中.在证明不等式时，要依据题目、题设条件的特点和内在联系，选择适当的证明方法，并掌握相应的步骤和技巧.对于一些含有参数的不等式的求解问题时，应该注意分类讨论的思想，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，做到不重不漏.求解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是这些不等式变形的理论依据.在高考中，不等式问题主要集中于三个方面：不等式的性质和证明、不等式的求解和应用、不等式与函数、方程等知识间的联系与融合.本周主要讲述不等式的求解与证明问题.不等式的求解与证明一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多样，技巧性强.有时，一个不等式的证明方法就不止是一种，而且一种证法中又可能会用到几个技巧.但基本思路却是一样的，即把原来的不等式转化为明显成立的不等式.一．不等式证明的常用方法

1．1比较法

比较法证明不等式主要有两种形式：一种是差值比较法；另一种是商值比较法.1．2分析法

分析是解决问题的基础，这里所说的分析法是指先假设所给定的不等式成立，然后去寻

找不等式成立的充分条件，一直找到已知条件或明显成立的不等式为止.在具体操作时，也可以找充要条件，或先找必要条件再验证步步可逆即可.1.3综合法

1.4反证法

1.5放缩法

由不等式的传递性，为了证明AB，往往可以把A放大到C(AC)（或者把B缩小到D(BD)），然后改证CB（或证AD），或者证ACDB.1.6数学归纳法

凡是涉及到自然数n的不等式都可以考虑使用数学归纳法进行证明，只出现有限整数的不等式也可以通过加强命题使用数学归纳法.见例5.二．另外几种常见的证明不等式的方法

2.1 变量代换法 所谓变量代换法，就是通过对数学式的变形，以显化其内在结构本质.它常能化超越式为代数式、化无理式为有理式，化分式为整式、化高次式为低次式.其中，增量法是一个常用而有效的代换方法.在例4的证明过程中，令ai1bi，其实就是使用了变量代换法.2.2函数方法

所谓函数方法，就是将不等式的证明或求解问题转化为对函数性质的讨论，如函数的单调性、正负区间、值域等问题，甚至函数的凸凹性等.2.3构造法

构造法就是根据待证不等式的条件和结论所具有的特征，以条件中的元素为“元件”，以数学关系式为“支架”，构造出一种相关的数学模型，使待证不等式获得证明的一种方法.常见的构造法有：

（1）代数构造法

以主元法或韦达定理、方程根的定义来构造函数、数列或方程来证明不等式.（2）几何构造

利用面积、余弦（勾股）定理、距离、斜率等来构造几何图形或解析几何中的点、曲线或问题来证明不等式；

（3）构造反例或构造辅助命题

利用特殊情形构造反例说明不等式成立或构造辅助命题证明不等式成立.附：数学课要教数学

章建跃

相信读者看到标题会心生疑惑：难道我们在数学课上教的不是数学吗？的确，许多数学课教的不是数学！

为了说明上述观点，先引用世界知名几何学家伍鸿熙教授提出的数学的五个基本原则： 原则1 每个数学概念必须精确定义，而定义构成逻辑推理的基础；

原则2 数学表述要精确，在任何时候，什么已知什么未知都要很清楚；

原则3 每一个结论都是逻辑推理的结果，推理是数学的命脉，是解决问题的平台； 原则4 数学是连贯的，数学的概念和方法组成了一个逻辑严密的整体；

原则5 数学是目标明确的，每个数学概念和方法都有其目的。

这五个原则可以作为判断数学课是否教数学的基本标准。反观我们的课堂，与这些原则相悖的做法比比皆是。例如：

缺乏统领课堂的数学核心观念，在“构建前后一致的、逻辑连贯的学习过程，引导学生开展有序的推理”上缺乏思考和得力措施，致使每一堂课都变成了“从头开始”；

不重视知识的背景和基本思想，导致学生不了解为什么要引入这个概念、为什么要研究这个性质（本质上是不重视数学的连贯性）；

概念教学走过场，“精确定义”就更谈不上了，有些老师甚至对什么是“精确定义”也不甚了了；

解题教学搞“题型+技巧”，教师常常讲解各种各样的“锦囊妙计”，而对“从概念和定理出发思考和解决问题”不予重视（本质上是对逻辑推理不重视）；

例题、习题的选择标准是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互关联的题目，目的是让学生熟练更多的技巧（本质上是缺乏方法的目的性）；

为了“加大容量”，教师往往只要求“讲思路”，而对严格的逻辑推理过程及其表达缺少示范和要求；等等。

那么，该如何改变现状呢？本期陈立军老师的《“立体几何引言课”的教学实践与反思》可以给我们一些启发。作为《立体几何》的开篇课，陈老师围绕“为什么学”“学什么”“怎么学”三个问题，从一个有智力挑战性的（数学）问题和现实需要两方面引入课题；通过类比平面几何研究的问题和过程，引出立体几何可以研究的问题和线索；最后，通过一些典型问题，引导学生从平面几何的学习中得到启发，获得解决立体几何问题的方法，并强调了解决立体几何问题的普适性思路——“把空间问题转化为平面问题”。这样的“引言课”，较好地体现了数学的连贯性、目标的明确性、概念和方法的目的性等，特别是注重与平面几何的联系，使学生意识到立体几何的学习不是“从零开始”，“空间问题平面化”是基本原则，这样的认识为立体几何学习奠定了坚实的基础。如果在具体内容的教学中，继续强调概念的精确定义，在定义的基础上展开推理，并注重推理过程的逻辑严谨性，那么我们就可以肯定地说，陈老师的立体几何课教得好。实际上，这样的教学才真正发挥了立体几何课程的力量——培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。

总之，按上述五条原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求，这样才能使学生在学会数学的过程中，提高思维能力，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力；只有这样才能真正发挥数学的内在力量，实现“数学育人”。

第二篇：比较法证明不等式(从课本到高考)

目录

一．课本溯源（母题）...........................1二．比较法的理论依据...........................2三．子题...........................2

四．直击高考（子题）...........................2

五．研究性学习课题（自主探索）.......................3《从课本到高考》系列内容简介....................4《从课本到高考》系列

一．课本溯源（母题）

人教A版，数学，选修4-5，《不等式选讲》

人民教育出版社出版

2007年1月

0，判断

所以

(x1)(x2)(x3)(x6)。结论

二．比较法的理论依据

课本第2页。

符号法则：

abab0；

abab0；

abab0；

三．子题

【例1】设Ax3，B3xx，且x3，试比较A与B的大小。

【解析】AB(x33)(3x2x)32

(x33x2)(x3)x2(x3)(x3)(x21)(x3)

(x1)(x1)(x3)

因为x3，所以x10，x10，x30，因此(x1)(x1)(x3)0。

因此AB。

【解题反思】

1．本题的思维过程：

考查差的符号（难以确定）考查积的符号考查积中直接判断（无法做到）

各因式的符号（成功！）。

其中变形时关键，定号是目的。

2．在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等等。

【变式训练】设A

转化转化转化yB，其中xy0，试比较A与B的大小。x四．直击高考（子题）

【2013年高考江苏卷】已知ab0，求证:2ab2abab

332

2【证明】(2a3b3)(2ab2a2b)作差

2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)变形

因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，所以(ab)(ab)(2ab)0。判断 所以2a3b32ab2a2b。结论

五．研究性学习课题（自主探索）

1．不等式的解法（课本15页）

（1）|x|a(a0)axa；

（2）|x|a(a0)xa或xa。

2．合情推理

研究下面不等式解法的拓展形式的正确性：

（1.1）|x|aaxa；

（1.2）|f(x)|aaf(x)a；

（1.3）|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；

（2.1）|x|axa或xa；

（2.2）|f(x)|af(x)a或f(x)a；

（2.3）|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；

3．给上面的6个解法加上等号，研究它们的正确性。例如：

（1.1’）|x|aaxa；

（1.2’）|f(x)|aaf(x)a；

4．特例练习

【练习1】解不等式|3x1|2。

【练习2】解不等式|23x|7。

【练习3】解不等式|5xx|6。2

《从课本到高考》系列内容简介

《从课本到高考(数学研究性学习)》，设”课本溯源”、”解题反思”、”提出问题”、”自主探究”、”点石成金”、”直击考题”、”研究性学习”等栏目，向读者全面展示数学研究性学习的素材、过程与方法，同时揭示许多相关高考题的来龙去脉。《数学课程标准》将研究性学习作为一项必修内容和评价目标；考试院专家提出要加强研究性试题的考查，充分地体现数学研究性学习的基本理念。作为全新的数学学习方式和高考命题趋势，数学研究性学习到底是什么？其实，研究性学习并不可怕，很多研究型问题源自课本中的例题和习题。《从课本到高考(数学研究性学习)》按现行高中数学课本的知识体系编排，方便广大教师和高中各年级学生共同使用。

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第三篇：高考冲刺不等式的证明

高考冲刺不等式的证明

【本周授课内容】：不等式的证明

【重点】：正确使用不等式的基本性质与定理，理解并掌握证明不等式的常用方法。

【难点】：据所证不等式的结构特征选择证明方法以及把握不等式证明过程的基本过程及格式的规范。

主要内容及重点例题参考：

1．不等式证明的理论依据：不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式：

（1）若a∈R，则|a|≥0，a2≥0。

（2）若a,b∈R，则a2+b2≥2ab。

（3）若a,b∈R+，则

（4）若a,b同号，则

（5）若a,b,c∈R+，则

2．证明不等式的基本方法：比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。

3．例题分析:

例1．a,b,c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc。

分析与解答：

证法一：（比较法）

∵ a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=(a+b+c)[

证法二（综合法）：

∵ a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（当且仅当a=b时“=”成立）

b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（当且仅当b=c时“=”成立）

c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（当且仅当c=a时“=”成立）

∴ 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2

=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)

≥2abc+2abc+2abc=6abc。（当且仅当a=b=c时“=”成立）

∴ a3+b3+c3≥3abc。

例2．已知a,b,c为不等正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

≥+。≥2。≥。（6）若a,b∈R，则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0。∴ a3+b3+c3≥3abc。

分析：由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且a,b,c为正数，可选用商值比较法。

证明：a,b,c为不等正数，不失一般性，设a>b>c>0，这时a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。

=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c-a)=()a-b()b-c()c-a

∵ a>b>c>0，∴ >1，a-b>0；>1，b-c>0；0<)b-c>1，(<1，c-a<0。)c-a>1。由指数函数的性质可知：()a-b>1，（∴ >1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

评述：例1的证法一与例2都是应用比较法证明不等式，求差比较法的基本步骤是“作差——变形——判定差式的正负”；求商比较法的基本步骤是“作商——变形——判定商式大于1或小于1”，应注意，求商比较法一般用于各字母均为正数的不等式的证明。

例3．已知a,b,c∈R，求证：

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式。

证明：∵ a2+b2≥2ab，∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，++≥(a+b+c)。

即a2+b2≥，两边开方，得：≥|a+b|≥(a+b)

同理可得≥(b+c)，≥(c+a)

三式相加，得：

++≥(a+b+c)

例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：（1）

分析：利用基本不等式，采用综合法解决问题。

（1）证法一：++=+，∴ abc≤+，∴ ++≥9，（2）a2+b2+c2≥。=3+≥27，+++++≥3+2+2+2=9。证法二：∵ 1=a+b+c≥3

∴

++≥3≥3=9。

（2）∵ 1=a+b+c，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。

∴ a2+b2+c2≥。

评述：利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系，不等式左右两端的差异和联系，如例4是个条件不等式的证明问题。给出的特定条件是a+b+c=1，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换就是证明不等式的关键。

例5．已知|a|<1，|b|<1，求证：|

分析：利用分析法证明。

证明：要证||<1成立，只要证|a+b|<|1+ab|，|<1。

只要证(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要证a2+b2-1-a2b2<0，只要证(a2-1)(1-b2)<0，只要证(a2-1)(b2-1)>0。∵ |a|<1，|b|<1，∴ a2<1，b2<1，∴(a2-1)，(b2-1)同号，∴(a2-1)(b2-1)>0成立，∴ |

例6．已知a，b是不等正数，且a3-b3=a2-b2，求证：1

分析：已知条件中等式两端和求证结论中不等式两端有次数上的差异，因此在证明中应采用从已知条件出发，施行降次变换，或从求证结论出发，施行升次变换的方法。

证明：a，b是不等正数，且a3-b3=a2-b2，a2+ab+b2=a+b

3(a+b)<4(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b3(a+b)2<4(a+b)a+b>1。|<1。a+b<

3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)a2-2ab+b2>0(a-b)2>0。

成立。即(a-b)2>0一定成立，故a+b<

评述：分析法是从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立。分析法的思路是：执果索因：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。在例6中证明a+b>1采用的是综合法。证明a+b<

常常是相互配合交替进行的。

例7．已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于

证明：假设(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>。采用的是分析法，事实上，推理论证中，由因导果和执果索因两种方法

∵ a,b,c∈(0,1)，∴ 1-a，1-b，1-c∈(0,1)，∴ >，+>，+>，>。

三式相加，得：

由平均值定理可知：++≤++=

与上式相矛盾，故假设不成立。

∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不小于。

评述：反证法：基本思路是“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题（例7）题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于

复杂，会出现多个由异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于

明了，为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

4．课后练习：

（1）已知x∈R，求证：1+2x4≥x2+2x3

（2）已知a,b∈R，a≠b，求证：a2+ab+b2>0。”，情况比较”，结构简单

（3）求证log56·log54<1。提示：先化成常用对数，然后用均值不等式，有

（4）设x≠0，求证：x+≥2或x+≤-2。

第四篇：高考重点18 不等式证明

www.xiexiebang.comm+„+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+„+Cmn，46332927(小学)56954784(中学)www.xiexiebang.com=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，„，mmCmnmCmm+1m，mCm1n＞0，„，mnCnn＞n＞0，∴1+C1+C22nn122mmnmnm+„+Cnm＞1+Cmn+Cmn+„+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.证法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因为2ab≤a+b≤2，所以ab≤1.证法二：设a、b为方程x2－mx+n=0的两根，则mab，nab因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0

因为2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)所以n=m2233m

将②代入①得m2－4(m2233m)≥0，即m383m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.证法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）

证法四：因为a3b3ab32(2)(ab)[4a24b24aba2b22ab]3(ab)(ab)288≥0，所以对任意非负实数a、b，有a3b32≥(ab32)

因为a＞0，b＞0，a3+b

3=2，所以1=a3b3ab32≥(2)，∴ab2≤1，即a+b≤2，(以下略）

证法五：假设a+b＞2，则

46332927(小学)56954784(中学)www.edusx.net 免费数学资源网

①②

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a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)46332927(小学)56954784(中学)www.edusx.net 免费数学资源网

第五篇：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。