余弦定理数学史[优秀范文5篇]

第一篇：余弦定理数学史

三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元 100 年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理； 50 年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元 499 年，印度数学家阿耶波多（ｒｙａｂｈａｔａ Ｉ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，约 505 ～ 587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元 10 世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎａｓｉｒ ｅｄ-Ｄｉｎ ａｌ Ｔｕｓｉ，1201 ～ 1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436 ～ 1476）．

雷格蒙塔努斯的主要著作是 1464 年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共 5 卷，前 2 卷论述平面三角学，后 3 卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．

雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对 16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．

三角学一词的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，来自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561 ～ 1613），他在 1595 年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和测量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16 世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕ ｓ，1514 ～ 1574）．他 1536 年毕业于滕贝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大学，留校讲授算术和几何． 1539 年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542 年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部 6 种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．

文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出 6 种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到 5 位和 10 位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591 年韦达又得到多倍角关系式，1593 年又用三角方法推导出余弦定理．

1722 年英国数学家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角学定理

（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，并证明了ｎ是正有理数时公式成立； 1748 年欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了ｎ是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式 ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用．

近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形 解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及 19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论

第二篇：“余弦定理”复习课：通过数学史体现综合性

【编者按】 从2014年第5期开始，我们连续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其研究团队开发的HPM案例，为数学教学如何融入数学史提供了“例子”，倍受读者朋友们的欢迎。本期呈现的是顾彦琼、汪晓勤两位老师的研究成果。

顾彦琼1，汪晓勤2（1.上海市南汇中学，201399；2.华东师范大学数学系，200241）

摘要：新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。通过对历史材料的分析和对课前学情的调查，在复习课中以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；从勾股定理开始，自然深入、逐步推广，引出推导余弦定理的三种欧氏几何方法、一种平面三角方法、一种向量几何方法和一种解析几何方法，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯，充分体现知识的综合性。关键词：HPM 余弦定理 复习课 教学设计

数学复习课是数学教学中不可或缺的重要环节，它具有重复性、概括性、系统性和综合性等特点；数学复习课要在重复和概括的基础上进行梳理，使数学知识和数学思想方法系统化、综合化。在数学复习课中，兼顾知识的巩固提高和教学的新鲜活力，乃是一线教师孜孜以求的目标；但是，在课业负担繁重且有考试压力的中学数学教学中，要在协调教学进度的同时让复习课有文化内涵，使学生在其中探奇寻乐，似乎已然成为遥不可及的追求。在沪教版高中数学教材的设计中，“余弦定理”的新授课被安排在高一第二学期，主要教学目标是，掌握余弦定理的内容及其证明，以及运用余弦定理解决“边角边”和“边边边”问题。但是，新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。受陈敏晧老师的“余弦定理”教学设计的启发，我们尝试将数学史运用于“余弦定理”复习课中，以体现知识的系统性、综合性。

一、历史材料分析

余弦定理作为勾股定理的推广，最早出现于欧几里得的《几何原本》第2卷中： 命题12在钝角三角形中，钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边延长线作垂线，垂足到钝角（顶点）之间的一段所构成。命题13在锐角三角形中，锐角对边上的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由另一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边作垂线，垂足到原锐角（顶点）之间的一段所构成。

命题12相当于说，如图1所示，在钝角△ABC中，a2=b2+c2+2cm；命题13相当于说，如图2所示，在锐角△ABC中，a2=b2+c2－2cm。欧几里得利用勾股定理对上述命题进行了证明。

公元2世纪，托勒密（C.Ptolemy，约100～170）在其《天文大成》中利用上述命题解决了“已知三角形三边，求角”的问题，但并未明确提出余弦定理。不过，利用托勒密定理，我们的确能轻易证明余弦定理。

16世纪，德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus，1561～1613）在其《三角学》中利用几何方法求出了图2（其中∠C为△ABC的最大角，可以是钝角）中的m：m=(b2+c2－a2)/2c。毕蒂克斯于1595年首次将“三角学”（trigonometry）作为书名，他的方法成为了今天所谓“无字证明”的蓝本。之后，法国数学家韦达（F.Viète，1540～1603）明确给出了余弦定理的比例形式：2ab∶（a2+b2－c2）=1∶sin（90°－C）。

20世纪中叶以前，西方大多数三角学教材沿用了欧几里得的方法来证明余弦定理，也有一些教材采用了毕蒂克斯的方法，或以一组射影公式a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA为出发点。英国数学家德摩根（A.de Morgan，1806～1871）则在其《三角形基础》中别出心裁地利用和角公式和正弦定理来推导余弦定理。到了20世纪50年代，一些教材开始采用解析几何的方法；而向量方法的出现，则是相当晚近的事了。数学史告诉我们，余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在18～19世纪的许多三角学著作中，它只是以几何定理的身份出现；在从欧几里得时代直到20世纪上半叶的两千余年间，人们普遍采用几何方法对余弦定理进行推导，正是包括今天所谓“无字证明”在内的那些几何方法，才使其展现出了迷人的魅力。因此，以勾股定理为起点，用不同的几何方法来推导余弦定理，以弥补新授课中解析几何方法的不足，是历史带给我们的“余弦定理”复习课的教学启示。而且，不同于新授课，复习课中因为学生已经学过余弦定理及其他相关内容，所以对于数学史的运用可以更加广泛、自由。

二、课前学情调查

课前，我们通过问卷，对所教的两个班级共84名学生进行调查。所设计的问题是：（1）请写出余弦定理；

（2）请说明余弦定理可以用来解决哪些解斜三角形问题；（3）请证明余弦定理。

对于前两个问题，84名学生中的82名都能作出正确回答。对于第三个问题，则少有学生能正确给出完整的证明：其中41名学生直接回答“不知道”“不会”或“不清楚”；11名学生记得用平面向量的方法证明，但是只有4名学生能证明出来；13名学生记得用两点之间的距离公式证明，但是有5名学生联想到单位圆（通过访谈了解到，这是由于受到和角余弦公式证明的影响），只有3名学生能正确证明；其余学生的证明都不着边际。

调查表明：学生对余弦定理的解析几何证明方法和向量证明方法印象不深；学生有轻过程、重结论的倾向，即只求“鱼”而不得“渔”。

以下是我们对一名数学成绩一直比较优秀的男生的访谈片段： 师 你还记得余弦定理吗？

生 让我想一下，是用来解斜三角形的那个东西吗？ 师 是的。你还记得是什么吗？（学生用纸笔写下来。）师 你能证明一下吗？

生 哦，我不记得了，一点儿也不记得了。师 真的吗？请你再想一想。

生 好像是要建立平面直角坐标系的。

师 那么，你可以把证明过程写下来给我看一下吗？

生 哦，那太难了！老师，你为什么要问我这样的问题？ 师 因为我早上做了问卷调查，本来以为他们会用比较淳朴的方法做，但没想到他们都没做出来。

生 哦，老师，你要理解他们。在这种应试教育下，能背出公式来，已经很不容易了。师 可是我觉得，最近才刚学过一个新工具（平面向量），印象应该会深刻一点啊？（学生尝试着写出证明过程，但数十分钟后，仍然未能证明。）

访谈表明，数学成绩优秀的学生对已学过的余弦定理的证明同样无从入手。

三、教学设计与实施

（一）提出问题，激发兴趣 课始，教师开门见山地说道：“我们在高一第二学期学习了余弦定理，但课前的问卷调查却表明，同学们普遍知道余弦定理是什么，可以用来解决什么样的问题，却不知道怎样去证明余弦定理。高二第一学期即将结束，与高一相比，我们已经储备了更丰富的数学知识，证明余弦定理的方法也变得更多样了。本节课中，就让我们一起来回答以下两个问题。”然后，教师出示本课的主旨问题： 问题1我们可以用怎样的方法来证明余弦定理？ 问题2比较各种方法，我们更喜欢哪一种？

（二）以史开道，回归起点

为了回答上述问题，教师首先要求学生回忆勾股定理的证明。少数学生说“模糊地记得”，多数学生则表示，初中时老师也只是一笔带过，直接给出结论而并不作具体的证明。于是，教师说道：“欧几里得很早就给出过勾股定理的证明。这一证法，被阿拉伯人形象地称为‘新娘的座椅’。”然后，展示勾股定理的欧几里得证明：

如图3所示，分别在直角△ABC的三边上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L。连接BE和CG，则由AE和BC的平行关系，可得正方形ACDE的面积等于△AEB的两倍；由AG和CM的平行关系，可得长方形AMLG的面积等于△ACG的两倍。而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和长方形AMLG的面积相等。同理，可得正方形BCHI与长方形BMLF的面积相等。

接着，教师引导道：“如果△ABC是斜三角形，那么其三边又有怎样的大小关系呢？”学生尝试、讨论之后，教师说道：“欧几里得在《几何原本》第2卷中将勾股定理进行了推广，分别给出了钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系。”然后，展示余弦定理的欧几里得证明： 如图1和图2，由勾股定理，分别得a2=h2+（c+m）2=h2+m2+c2+2cm =b2+c2+2cm，a2=h2+（c－m）2=h2+m2+c2－2cm=b2+c2－2cm。

（三）对话先哲，推陈出新 在欧几里得证明的基础上，教师问道：“欧几里得对余弦定理的证明有什么不足？怎么将其改进成我们现在的统一的形式呢？”由此，引导学生利用三角函数对欧几里得的证明稍加改进： 在图1中，有m=－bcosA，h=bsinA；在图2中，有m=bcosA，h=bsinA。所以，在图1和图2中，由勾股定理，均可得（bsinA）2+（c－bcosA）2=a2，整理得a2=b2+c2－2bccosA。接着，教师引导道：“欧几里得只是利用勾股定理来证明余弦定理。而我们能否利用他证明勾股定理的面积方法来推导余弦定理呢？”学生跃跃欲试，师生共同完成以下证明： 如图4所示，△ABC为锐角三角形，仿照欧几里得的做法，在其三边外侧分别作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分别从三个顶点向对边作垂线，垂足分别为K、M和N，与正方形另一边的交点分别为L、P和Q。于是，SAMPE=SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2－（SMCDP+SNCHQ）。而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2 －2abcosc。

此后，教师让学生课后完成钝角三角形情形的证明。

（四）汲取养料，拓宽思维

教师要求学生再次回顾“正弦定理扩充定理”新授课中的证明方法，学生立刻想到可以引入辅助圆来证明余弦定理，教师便要求学生进行小组讨论。学生在证明过程中遇到了一些困惑，教师便顺势解惑，并引出了16世纪德国数学家毕蒂克斯给出的类似证明方法： 在△ABC中，AC>BC。

如图5所示，以C为圆心、BC为半径作圆，交AC及其延长线于点F、E，交AB于另一点G。由平面几何知识，可知AF·AE=AG·AB，此即（b－a）（b+a）=c（c－2acosB），整理得b2=a2+c2 －2accosB。

如图6所示，若以AC为半径作圆，则由BE·BF=BA·BG，同样可得b2=a2+c2 －2accosB。

然后，教师请学生课后完成其他等式的证明。

（五）温故知新，查缺补漏

对于学生自己想到的解析几何法（利用两点之间的距离公式）与向量法（数量积），为了增强学生的参与度，教师请学生板演，结果发现错误层出不穷：对于第一种方法，一些学生不恰当地选择了原点，增加了计算的难度，这印证了学生对“适当建立坐标系”依然存在认知缺陷；对于第二种方法，一名学生将向量与实数混为一谈，得到|c|2=c·c=（a－b）·（a－b）=a2－2ab+b2，这是学生在学习向量知识时出现的典型错误。通过展示与交流，学生纠正了错误，加深了理解。

最后，教师让学生回顾△ABC中的和角正弦公式sin（A+B）=sinC=sinAcosB +cosAsinB，并简单介绍了19世纪英国数学家德摩根给出的相关证明方法： 由sinC=sinAcosB+cosAsinB两边平方，得sin2C=sin2Acos2B +cos2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B－2·sin2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC。由正弦定理，即得c2=a2+b2－2abcosC。

（六）集思广益，取其精华 在整节复习课临近尾声时，学生对证明方法的探索仍然意犹未尽。于是，教师布置家庭作业：（2）请列表比较证明余弦定理的几种方法的特点。

四、结语

从欧几里得开始，余弦定理经历了两千多年的历史，不同时空下的众多数学家贡献了自己的聪明才智。将数学史融入余弦定理复习课的教学，使学生经历数学的惊奇，感受数学的魅力，既为数学复习课染上了人文的色彩，也凸显了数学背后探索和发现的精神，展现了精彩纷呈的思想方法。

本节复习课中，我们以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；使余弦定理的证明从勾股定理开始自然深入、逐步推广，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯——如果学生在初中学习过勾股定理的严格证明，则也能起到衔接初、高中教学的作用。本节复习课中，我们主要采用了六种方法来推导余弦定理，其中三种为欧氏几何方法，另外三种分属平面三角、向量几何和解析几何方法，充分体现了知识的综合性（如图7所示）。课后的问卷调查表明：超过80%的学生对欧几里得的面积方法以及毕蒂克斯的辅助圆方法印象深刻，他们认为，“这些方法太新奇了”“没想到还会有这样的证明方法”。

对于如何将数学史融入数学教学，更好地开发HPM课例，本节课也有颇多启示：

首先，数学史是数学教学设计的丰富资源，而对数学史的获取仅凭一己之力确实会力不从心且举步维艰——正如从开采玉石到雕琢玉器，再到出售玉饰这一浩大工程又怎么会是一个人可以包揽下来的。而跨越这层障碍的最佳方式无疑是推行一种模式：先由大学教师完成相关主题的历史研究，以获得历史材料，再由大学教师与中学教师合作，对材料进行加工，使之适合于教学。

其次，在数学教学中，使用数学史大可不必拘泥于单一的课型，新授课、复习课、试卷讲评课中都可以体现其教育价值。而通过本节课的教学，显然可见复习课也会因数学史元素的融入而更为新鲜有趣。

第三，在课后与学生的交谈中，我们获知，学生除了对数学史怀有浓厚的兴趣外，还希望能在课堂上体现数学与现实的关系。这无疑也为HPM教学设计指明了更符合学生学习动机的模式：从数学概念、定理在历史上的来源与发展，到现实中的应用及前景，如此“一站式教学”，能更好地让学生感受到数学有趣、有用的真实所在。

第三篇：数学史问题

第一讲：数学的起源与早期发展

问题1：为什么“4”表示为“鸵鸟的脚趾”？

问题2：狗的脚趾有几个？猫的脚趾有几个？鸡鸭鹅的脚趾各有几个？ 该问引出观察能力的培养。问题3：怎样看待菱形的演变？

问题4：数与形概念是如何产生的？数的概念的发展给我们的启示？（怎么教学1234„„）

问题5：关于符号的历史 问题6：如何认识负数

问题7：如何认识九九乘法口诀表？如何用手指计算九九乘法口诀表表中乘九的部分？

问题8：如何用手指表示月？请收集用身体部位计数的方法？ 问题9：谈谈你对中国八卦的认识？ 问题10：古埃及与巴比伦的数学成就？ 第二讲 古代希腊数学

问题1：古希腊有几位哲学家和数学家？简述他们的科学工作。问题2：泰勒斯的哲学信仰是什么？如何评价泰勒斯的论证数学？ 问题3：如何看待泰勒斯准确预言日食和测量金字塔的高度？

问题4：毕达哥拉斯学派的哲学信仰是什么？如何评价毕达哥拉斯的演绎数学？

问题5：毕达哥拉斯学派已有哪些数学成果是我们现在学的？（毕达哥拉斯定理、黄金分割）

问题6：什么是相亲数？什么是完全数？什么是梅森素数？寻找完全数和梅森素数有什么意义？

问题7：毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”；“正方形数”；“长方形数”；“五角形数”等等．这些数和级数有关系吗？

问题8：希腊字母是谁的发明？ 问题9：音乐和数学有关系吗？

问题9：谈谈勾股定理的发现和证明（数学史上）问题10：第一次数学危机是什么？无理数的历史？

问题11：历史上三大几何难题是什么？如何看待？如果取消尺规作图限制能否做到？(汪晓勤论文：《一卷永不过期的数学狂怪档案》、《》)问题12：结合数学史，如何在数轴上表示任意一个实数（用尺规作图在数轴上作出和实数对应的点）。

问题13：芝诺四个悖论是什么？

问题14：怎么看数学悖论与数学危机？

问题15：结合数学史设计无理数和勾股定理的教学？（见汪晓勤：《巴比伦泥版文献中的勾股定理》、《巴比伦泥版文献中的勾股定理》、）

问题16：数列的数学史有哪些？基于数学史谈谈数列如何教学？

（见（1）汪晓勤：《_九章算术_均输章等差数列问题研究》、《HPM视角下的等比数列教学》、《阿拉伯数学文献中的数列求和公式》、《阿拉伯数学文献中的数列求和公式》、《斐波纳契_计算之书_中的数列问题》、《斐波纳契的_遗产分配问题_》、《泥版上的数列问题》、《文艺复兴以后西方数学文献中的数列知识》、《印度古代数学中的数列问题》、《犹太数学文献中的数列问题》、《用数学归纳法证明的第一个数学定理》、《纸草书上的数列问题》、《中国古代数学文献中的数列问题》、《》）

（2）

问题17：如何进行圆锥曲线教学？（见汪晓勤：《HPM视角下的数学教学设计_以椭圆为例_汪晓勤》、《HPM视角下椭圆概念教学的意义》、）

问题18：如何看待柏拉图《共和国》“我们必须竭力奉劝我国未来的主人学习算术„„”

问题19：如何看待欧几里得的“求知无坦途”和“几何无王者之道”？ 问题20：欧几里得的几何原本对科学家的影响？

问题21：初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之 悠悠，独怆然而涕下。”你如何理解？

问题22：如何看待阿基米德的爱国？

问题23：如何看待海伦公式？三角形面积公式的推导历史？ 见汪晓勤：《三角形内角和定理_从历史到课堂》《运用数学史的_相似三角形应用_教学》、《》

问题24：三角函数表相仿的“弦表”历史？ 见汪晓勤：《几何视角下的和角公式》《两角和差的三角公式推导一数学史融入数学教学的实例研究》、《n倍角正_余弦公式史略》、《正切定理的几何证明》、《中学数学教学中融入数学史的行动研究》、《》

问题25：有关丢番图的墓志铭上的“丢番图的一生，童年生活占1/6，青少 年的时代占1/12，然后独身生活占1/7．结婚后过了5年生了一个儿子，儿子比父亲早4年而亡，只活了父亲年龄的一半”．见汪晓勤：《三次方程求根公式的诞生》《为什么称未知数为_元_》、《学生对字母的理解_历史相似性研究》、《一元二次方程_从历史到课堂》、《用字母表示数的历史》、《》

问题26：如何看待古希腊最后一位数学家----女数学家的悲惨命运？请查找三位伟大的女数学家？

第三讲：中世纪的东西方数学I---中国传统数学的兴盛

问题1：如何认识《九章算术》对于代入消元法解二元一次方程组的方法和今天有何不同？如何看待刘徽的《九章算数注》？

问题2：结合数学史如何看待负数?“＋―×÷”符号的历史？

问题3：何为出入相补原理？刘徽是如何利用出入相补原理计算三角形面积公式的？

问题4:何为阳马定理？

问题5：如何计算圆内接正n边形？

问题6：何为刘徽原理？何为祖暅原理？二者的关系如何？刘徽和祖冲之父

子是如何计算球体积公式的？

(见汪晓勤《关于阿基米德合盖体积公式的注记》、《关孝和的球体积计算》、问题7：关于圆周率的历史（见汪晓勤：《17_19世纪法国数学家的圆周率初等研究与刘徽的割圆术》、《阿基米德与圆周率》、《圆周率的魅力》、《圆周率议案始末》、《祖冲之圆周率在西方的历史境遇_纪念祖冲之逝世1500周年》、《》 见傅海伦《圆面积公式与圆周率究竟是怎样推求的》）问题8：如何看待《算经十书》？

物不知数、白鸡问题-----不定方程问题 出门望九堤-----等比数列问题 鸡兔同笼-----教学问题 见傅海伦论文：《论数学史在数学教育中的应用—从 “鸡兔同笼” 问题谈起》 问题9：如何看待中国古代数学？分析中国古代数学繁荣和衰败的原因？

第四讲中世纪的东西方数学II（印度数学、阿拉伯数学、中世纪的欧洲数学）

问题1：带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，按照你理解的正确反演法，什么数乘以3，加上这个乘积的3/4，然后除以7，减去此商的1/3，自乘，减去52，取平方根，加上8，除以10，得2？ 这是出于哪个国家的数学家的哪部著作？

千余年内印度最有成就的数学家是婆什迦罗 Ⅱ(Bhāskara，1114—1188)． 《天文系统极致》包括四部分： 第一部分名为《莉拉沃蒂》(Lilāvati)，主要内容讲算术． “莉拉沃蒂”意为美女，对此有两种解释，一种认为婆什迦罗Ⅱ以此书献给其女儿，另一种则认为作者把数学本身比喻为美女． 《莉拉沃蒂》

第1章给出几个计算表；

第2章讲述整数和分数运算，包括计算平方根和立方根； 第3章介绍解算术问题的各种方法(如单设法等)； 第4章讨论来自希腊和中国的应用问题； 第5章给出一些算术级数的求和法；

第6—11章的内容是几何学，主要是面积和体积的计算和一些可以化为线性方程的实际问题；

第12章讲述不定分析； 第13章是组合学的内容．

问题2：如何看待阿拉伯数字？简述印度-阿拉伯数码的发展进程？ 见傅海伦论文：《“ 0 ”、“零”、“○ ” 的起源与传播》 问题3：如何看待有理数的四则运算法则？特别是负数的发展史？ 问题4：结合数学史，谈谈你对小学数的运算中多位数加法法则如何教学？（婆什迦罗Ⅱ加法从从最高数位开始进行计算）

问题5：三角函数符号的发展史？（结合印度—阿拉伯数学史）

问题6：结合数学史，谈谈佛教、基督教、伊斯兰教和数学的关系？

（释迦牟尼与孔子同时代，学了几年的数学；基督教禁止一切科学，欧洲数学限于黑暗时期；古希腊最后一位女数学家收工回来被狂热的基督教徒五马分尸；一主教当上主教后才有限度地宣传数学；司徒雷登创办了燕京大学；伊斯兰教为主的阿拉伯数学宣扬数学在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯数学的贡献，消化希腊数学，吸收印度数学，对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻的影响。最突出的事实：值得赞美的是他们充当了世界上的大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去之后，这些精神财富得以传给欧洲人。）

见傅海伦《世纪回眸1900-1999中国教育人物志 1900-1999中国教育大事志》 《中学生对函数概念的理解_历史相似性初探》、问题9：谈谈阿拉伯数学家花拉子米的数学贡献？

问题10：谈谈阿拉伯代数学的局限性？（放弃使用负数，没有使用字母和符号。阿拉伯数学的贡献？其中一位数学家理所当然的使用无理数，在解方程过程中，放弃负根和零根）

问题10:阿拉伯数学家中谁预见了实数系的建立？ 关于实数系建立的历史？关于数轴的历史？关于代数中每个知识点的历史？

《荒岛寻宝_HPM视角下的复数教学》

《欧拉与自然数平方倒数和》、《19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法》、《谁是幂和公式的开山祖》、《自然数幂和的矩阵算法》、《自然数幂和公式之历史发展》、见傅海伦论文：《kp(p1,2,3,)是如何求出的?》

k1n

《西方学者对中国数学的怀疑和偏见》、《伟烈亚力对中国数学的评介》、《伟烈亚力所介绍的外国数学史知识》、《伟烈亚力与中国数学史》、《文学与数学》、《伟烈亚力的学术生涯》、《为数学和教育倾其一生_纪念柯尔莫哥洛夫百年诞辰》、《泰尔凯_19世纪前瞻的数学史家》、《邹腾_19世纪数学史家_丹麦数学的先驱者》、《》

第四篇：数学史

数学史读后感

寒假读了数学史，有很多感触。原来最简单的数字在诞生之前，也经历了那么多曲折，现在看起来很自然的数字0、无理数、负数等，在当时看来是那么奇怪。历史上经历了蛮长的过程才被接受，他们是许多学者前仆后继、辛勤耕耘的结果。

数学史上的三次危机，正是由于数学家们不怕困难，坚持真理，数学才得以继续发展。正如数学的发展过程一样，数学的学习过程也会遇到各种困难和挫折，但是我们要向祖冲之，陈景润、欧拉他们那样，孜孜不倦的学习，以顽强拼搏的精神和勇气，经过思考和探索获得只是。同时，我们也要学习数学家们敢于质疑和创新精神，善于思考。创新是发展的灵魂。在以后的学习中，不因困难而放弃，刻苦钻研。我的数学不太好，但是我不会放弃。虽然不会成为数学家，但是我一定会把数学学好，多写、多练。祖冲之的故事给了我很多感悟。

祖冲之（公元429——500年）是我国南北朝时代一位成绩卓著的科学家。他不仅在天文、数学等方面有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等方面也有许多发明创造。他的发明为促进社会生产的发展，建立了不可磨灭 的功绩，受到了中国人民和世界人民的尊敬。刘徽发明了用分割的方法，求得圆周率的近似值3.14。他说用无限分割方法可以求得更加精确的数值，但是后来是由祖冲之求得了更加精确的数值。他的毅力和坚持是多么让人敬佩啊。相比之下，我们的那点困难又算的了什么呢。我们现在有如此优越的条件，更应该努力学习，不能因为一点小小的挫折，就倒下了，要坚持。要明确自己的目标，人正是因为有了清晰的目标和坚定的信仰，有了脚踏实地的行动，才能成功。以后要积极思考，发现问题，学习数学家创新的精神，如果没有欧几里得第五公设的怀疑就不会有非欧几何的产生，如果没有创新的勇气哪儿会有康托尔集合论的创立。

数学的发展只一个漫长而又曲折的过程，我们学习的只是很少的一部分，没有理由不好好学。这个过程正如人生一样，布满荆棘，但不能阻挡我们的前进。

第五篇：数学史

1学习数学史有何意义？研究数学史主要有那些形式?

与其他知识部门相比，数学是门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。人们也常常把现代数学比喻成一株茂密的大树，它包含着并且正在继续生长出越来越多的分支。

数学史不仅是单纯的数学成就的编年记录。数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满忧郁、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机。数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录。对这种记录的了解可使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心。因此，可以说不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

大类分为内史和外史。具体有编年史（随时间前后）、国别史（按不同国家区域）、学科史（按数学分科）、断代史（截开一个历史横断面，研究同一个时期内各个国家各个区域的数学情况）

2作为世界四大文明古国之一，中国在先秦时期有哪些主要的数学成就？

商高定理：又叫“勾股定理”。在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理。勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。

《墨经》：诸子百家中阐述自然科学理论与学说最丰富的著作，包括光学、力学、逻辑学及几何学等各方面的知识，还包含了无限分割的思想。

《周髀算经》：《周髀（bì）算经》乃是算经的十书之一。原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。

3刘徽是中国历史上。最重要的数学家之一，他的«九章算术注»对于中国传统数学体系的形成具有特别重要的意义。试阐述他的主要数学成就。

刘徽的数学成就大致为两方面：

一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：二是在继承的基础上提出了自己的创见。

用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；他从开方不论述了无理方根的存在。他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术；用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原 1

理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。

4宋元时期我国最杰出的数学家有哪些？试阐述他们的代表作和主要数学成就。

宋元时期数学，可以说是以算筹为主要工具的中国古代数学的极盛时期，出现了沈括、秦九韶、李治、杨辉、朱世杰等著名的数学家和他们编写的数学著作。如沈括的《梦溪笔谈》，秦九韶的《数学九章》等。这一时期数学家取得了很多具有世界意义的成就，特别是高次方程数值解法、天元术和四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等。北宋沈括《梦溪笔谈》中曾经研究二阶级数求和问题，首创“隙积术”。南宋杨辉丰富和发展了隙积术的成果，提出

S=12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)

S=1+3+6+10+…+n(n+1)/2=1/6n(n+1)(n+2)

之类的垛积公式。

5中国传统数学是世界数学发展长河的一支不容忽视的源头, 她有哪些重要特点？

一是追求实用，如《周髀算经》是我国最古老的天文学著作；二是注重算法，“问—答—术”的解题程序，“术”就是解答该类问题的程序化算法；三是寓理于算，如中国传统几何理论基础“出入相补”等原理。20世纪数学的发展有哪些显著的特点？

一是更高的抽象性，包括集合论观点（数学的研究对象是抽象集合）和公理化方法（数学的研究对象）；二是更强的统一性，体现在几何与分析的统一、几何与代数的统一、几何分析和代数的统一；三是更深刻的基础性，体现在集合论悖论、三大学派（逻辑主义、直觉主义、形式主义）、数理逻辑体系；四是更广泛的应用性。20世纪应用数学的发展有哪些特点？

向人类几乎所有的知识领域渗透，纯粹数学几乎对所有的分支都获得应用；现代数学对生产技术的应用变得越来越直接，向外渗透产生了一些相对独立的学科，如数理统计、运筹学、控制论和信息论等。现代计算机的出现，对数学科学的发展有何影响？对您影响最大的现代数学的学科有哪些？为什么？对您影响最大的数学家有哪些人?为什么?