高中数学必修二 两条直线的平行与垂直

第一篇：高中数学必修二 两条直线的平行与垂直

2.1.3 两条直线的平行与垂直

重难点：能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

经典例题：已知三角形的两个顶点是B(2,1)、C(-6, 3), 垂心是H(-3, 2), 求第三个顶A的坐标．

当堂练习：

1．下列命题中正确的是（）

A．平行的两条直线的斜率一定相等B．平行的两条直线的倾斜角相等

C．斜率相等的两直线一定平行D．两直线平行则它们在y轴上截距不相等

2．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为，则m,n的值分别为（）

A．4和3B．-4和3C．-4和-3D．4和-

33．直线:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,则在两坐标轴上的截距的和（）

A．-1B．-2C．2D．6

4．两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（）

A.m=1B．m=1C．D．或

5．如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a、b的值为（）

A．a=, b=0B．a=2, b=0C．a=-, b=0D． a=-, b=

26．若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a等于（）

A．-1或2B．-1C．2D．

7．已知两点A（-2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是（）

A．2x+y=0B．2x-y+4=0C．x+2y-3=0D．x-2y+5=0

8．原点在直线上的射影是P（-2，1），则直线的方程为（）

A．x+2y=0B．x+2y-4=0C．2x-y+5=0D．2x+y+3=0

9．两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是（）

A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．与m,n的取值有关

10．方程x2-y2=1表示的图形是（）

A．两条相交而不垂直的直线B．一个点

C．两条垂直的直线D．两条平行直线

11．已知直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则a等于（）

A．1B．0C．1或0D．1或－

112．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）

A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（6，8）D．（-6，-8）

13．已知点P（a,b）和点Q(b-1,a+1)是关于直线对称的两点，则直线的方程为（）

A．x+y=0B．x-y=0C．x+y-1=0D．x-y+1=0

14．过点M（3，-4）且与A（-1，3）、B（2，2）两点等距离的直线方程是__________________．

15．若两直线ax＋by＋4＝0与(a－1)x＋y＋b＝0垂直相交于点(0, m)，则a＋b＋m的值是_____________________．

16．若直线 1：2x-5y+20=0和直线2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m的值等于 ________．

17．已知点P是直线 上一点，若直线 绕点P沿逆时针方向旋转角（00<<900）所得的直线方程是x-y-2=0, 若将它继续旋转900-，所得的直线方程是2x+y-1=0, 则直线 的方程是___________．

18．平行于直线2x+5y-1=0的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．

19．若直线ax+y+1=0和直线4x+2y+b=0关于点（2，-1）对称，求a、b的值．

20．已知三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点A并且与直线BC垂直的直线的方程．

21．已知定点A（-1，3），B（4，2），在x轴上求点C，使AC

参考答案：

经典例题： BC．

解： ACBH，, 直线AB的方程为y=3x-5(1)ABCH，, 直线AC的方程为y=5x+33(2)

由（1）与（2）联立解得A点的坐标为（-19，-62）.当堂练习：

1.B;2.C;3.C;4.D;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B;10.C;11.D;12.D;13.D;14.x+3y+9=0 或13x+5y-19=0;15.2或－1;16.-5;17.x-2y-3=0;

18.解：依题意，可设的方程为2x+5y+m=0, 它与x,y轴的交点分别为（-

(0,-

10=0.19.解：由4x+2y+b=0，即

2x+y+=0, 两直线关于点对称，说明两直线平行，a=2.),由已知条件得：,m2=100, ,0）, 直线的方程为2x+5y在2x+y+1=0上取点（0，-1），这点关于（2，-1）的对称点为（4，-1），又（4，-1）满足

2x+y+=0, 得b=-14, 所以a=2, b=-14.20.解:kBC==1,kl =-1, 所求的直线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.21.解：设C(x,0)为所求点，则kAC=, kBC=ACBC,kAC kBC=-1, 即

x=1或x=2,故所求点为C（1，0）或C（2，0）.

第二篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

授课时间：第八周一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法

尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想

第三篇：两条直线平行于垂直

班级_______姓名________小组____层次_____

学科_数学_主备人________第___课时使用时间_________

两条直线平行于垂直

班级_______姓名________小组____层次_____

第四篇：《直线平行与垂直的判定》说课稿

作为一名无私奉献的老师，常常需要准备说课稿，说课稿有助于提高教师的语言表达能力。优秀的说课稿都具备一些什么特点呢？以下是小编为大家整理的《直线平行与垂直的判定》说课稿，欢迎大家分享。

课题：§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（二）第三章第一节第二部分内容

课时：1课时

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析：

1、学习任务分析：

直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。

用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。

2、学情分析：

在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。按说要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我以为本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。

二、教学目标设计：

《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我把本节课的教学目标确定为：

1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

2、体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的.关系解释几何含义即初步体会数形结合思想。

3、感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。

三、课堂结构设计：

本节课从总体上讲是一节原理及简单的应用教学，诱思探究教学理论认为高中的数学课堂应该是学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。结合本节课知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

即先让学生回顾上节课学习的内容创设问题情景，通过学生自主探究，归纳和抽象得出两条直线平行与垂直的判定条件。然后通过例题和练习使学生巩固判定条件，接着通过拓展提升，使学生进一步加深对判定条件的理解，最后通过课堂小结提高学生的认识，形成知识体系。

四、教学媒体设计：

根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体的设计如下：

1、多媒体辅助教学：

制作高效实用的多媒体课件。其一，在探索两条直线垂直的判定条件时，利用几何画板展示探究的过程，让学生直观感知、操作确认自己的猜想是正确的,加深学生对判定条件的理解。其二，改变相关内容的呈现方式，节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书：为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，如：

§3.1.2两条直线平行与垂直的判定

结论1： 结论2、例1、例2、变式训练1： 变式训练2：

五、教学过程设计：

下面我就课堂教学的各个环节的设计做简单的说明。

（一）创设情景，引入新课：

活动一：

1、什么叫倾斜角？它的范围是什么？

2、什么叫斜率？如何计算呢？

3、已知直线 经过A（1，3）、B（－1，－1），直线 经过C（2，2）、D（1，0）①计算直线 的斜率； ②在直角坐标系中画出直线。

给学生约30秒的时间思考问题1、2，请学生口述答案，老师强调注意的条件。通过解决问题3，学生发现k1= k2，并观察出 是平行的，学生很自然发现两条直线的斜率与位置有着某种联系，从而引出本节课的课题。

设计意图：一方面通过回顾，巩固上节课的教学内容，并为本节课做好知识方面的准备。另一方面也为引出本节课的课题。同时也是为了培养学生发现问题，提出问题的能力，激发学生运用旧知探求新知的欲望。也是为了体现由特殊到一般的认知规律。

（二）新知的探究与应用：

1、两条直线平行的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。

（1）设置问题，归纳结论

设两条直线 与 的斜率分别为 与。

活动二：

1、当 时，与 满足怎样的关系？

给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。

归纳：。

2、反之，当 时，两条直线 与 有怎样的位置关系？

学生通过思考，很快得出直线，但要明确其中的原理势必受到三角函数基础知识的限制，教师可给予适当的讲解。

归纳：

结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

设计意图：（1）培养学生运用已有知识解决新问题的能力；（2）培养学生自主探究问题的习惯；（3）让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件。

（2）应用举例：

例1、已知A（2，3），B（－4，0）P（－3，2），Q（－1，3），试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论.给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（-7，0）、B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？

设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。（2）为了发现问题，提出问题。也为下一环节做好铺垫。

2、两条直线垂直的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线的斜率是存在。

（1）设置问题，归纳结论

活动三：

1、当 时，它们的斜率k1与k2有何关系？

探究：(1)直线 且 的倾斜角为300，的倾斜角为1200，k1与k2的关系.(2)直线 且 的倾斜角为600，的倾斜角为1500，k1与k2的关系

由学生自主探究，得出。

猜想：任意两条直线垂直时，此时老师利用几何画板直观演示任意两条相互垂直时直线斜率之积为-1.，验证猜想的可靠性。

提出问题：我们能否证明上述结论呢？

该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生无法完成。教师通过分析、讲解，完成证明过程。

归纳：

2、反之，当 时，直线 与 有怎样的位置关系？

学生思考后得出 与 是垂直的。由于结论的证明涉及三角函数的相关知识，完成证明很困难，老师利用几何画板直观演示，验证两条直线的斜率之积为-1，它们是相互垂直的即可。

归纳：

结论：如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

设计意图：（1）为了更容易突破本节课的教学难点，更好的理解两直线垂直的条件。（2）为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。（3）充分渗透了数形结合的数学思想。

（2）应用举例：

例2：已知A（－6，0）、B（3，6）、P（0，3）、Q（6，－6），试判断直线AB与直线PQ的位置关系。

给学生约30秒的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。接着与学生一同解决变式训练1提出的判断平行四边形ABCD是否是正方形，前后呼应，给学生留下一个完整的影响。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练2： 判断下面两条直线的位置关系：

直线 经过两点A（3，1），B（－2，0）,直线 经过点P（1，－4），且斜率为－5，则 __。（学生思考，口答即可）。

变式训练3：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。(2)体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

（三）拓展提升：

1、若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率为多少时？直线 和 ：

（1）平行；（2）垂直。

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师在黑板上画出相应结论的图像。

归纳（一般情况）：

2.若直线 与 的斜率相等，则 与 一定平行吗？

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师出示结果。

（此结论是利用斜率证明三点共线的）

变式训练3：

已知A（1，－1）、B（2，1）、C（0，－3），这三点是否在同一条直线上，为什么？

设计意图：对特殊情况做出补充：即直线的斜率不存在时，两条直线平行与垂直的判定方法。使得学生对平行与垂直的判定有更全面的认识。拓宽学生的知识面，使所学的知识系统化。

（四）课堂小结：

1、本节课我们学习了哪些新知识？新方法？

2、在应用这些新知识时应注意哪些问题？

3、在本节课的学习中运用了哪些数学思想？

学生发言,相互补充,教师点评,然后师生共同概括总结：

知识：

1.两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

2.如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

方法：代数方法研究几何问题。

思想：数行结合思想。

设计意图：通过对所学内容进行小结，使学生既学习了知识又培养了能力，并对所学内容有一个更全面的认识。

（五）、布置作业：

1、课本p89习题3.1 a组 6、72、思考题：

已知三个点A（2，2），B（－5，1），C（3，－5），试求第四个点d的坐标，使这四个点构成平行四边形。

设计意图：（1）作业1是直接应用，模仿练习。

（2）作业2是供学有余力的学生选做。旨在培养学生创造性的能力。

六、教学评价设计：

评价方式的转变是课程改革的一大亮点。课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过学生的自主探究、合作交流、以及与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、合作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过应用来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

以上是我对本节课的一些说明，不妥之处，敬请各位老师批评指正。谢谢﹗

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第五篇：两条直线平行与垂直的判定学案

高一数学教学设计方案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时：

2学习目标：

1.探究两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行。

2.探究两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直。

3.自主学习，合作探究。培养和提高联系、对应、转化等辩证思维能力。

重点：两直线平行、垂直的充要条件，会判断两直线是否平行、垂直。

难点：斜率不存在时两直线垂直情况讨论。

学习过程

一、预习：1.阅读教材P86----89.2.两直线平行的判定

（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，则_________；

反之，若k1=k2，则__________。

（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是__________，从而它们互相

__________。

3.两直线垂直的判定

（1）若两直线l1、l2都有斜率，分别为k1、k2，且它们互相垂直，则它们的斜率之积等于

_________；反之若它们的斜率之积等于—1，则它们___________，即___________。

（2）若两条直线中一条斜率不存在，另一条的斜率为___________，则它们互相垂直。

4.思维拓展

（1）若两条直线平行，斜率一定相等吗？

（2）若两条直线垂直，它们斜率之积一定为—1吗？

5.知识应用

（一）判断两条直线的平行关系

例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2, –1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.跟踪练习1：已知平行四边形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）求点D坐标

（二）判断两条直线的垂直关系

例3.已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4.已知A(5, –1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.二.课堂小结：

三..基础自测

(1)判断下列直线的位置关系，并说明理由。

① l1: y=3x+2,l2: y=3x+5② l1: x=5,l2: x=8

③ l1: 5x+3y=6,l2: 3x—5y=5④l1: y=5,l2: x=8

(2)已知过A(—2，m)和B(m，4)的直线与斜率为—2的直线平行，则m的值是（）

A、—8B、0C、2D、10

（3）判断下列各对直线平行还是垂直：

①经过两点（2,3），（-1,0）的直线l1，与经过点（1,0）且斜率为1的直线l2；

②经过两点（3,1），（-2,0）的直线l3，与经过点（1,-4）且斜率为-5的直线l4；

（4）求m的值，使过点A(m，1)，B(—1，m)的直线与过点P(1，2)、Q(—5，0)的直线

①平行② 垂直

作业：课本P89习题3.1A组1-8