第二课时两条直线平行与垂直的判定

第一篇：第二课时两条直线平行与垂直的判定

第二课时两条直线平行与垂直的判定

知识归纳：

1、l1//l2k1k2，这个结论的成立的前提是两条直线__________.特别，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是________，所以它们__________.2、l1l2k1k21,特别，若两直线中一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在，则这两条直线一定__________.3、当直线l1,l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1//l2，因此，两条不重合的直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都__________或__________.4、两直线l1,l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线_________.这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率_________，同时另一条斜率为0或k1k2_____.巩固练习：

1、下列说法不正确的是（）.A: 若直线l1l2,两直线的斜率互为负倒数

B: 两直线斜率互为负倒数，则两直线互相垂直

C: 斜率均不存在的两条直线不可能垂直

D: 若直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，则l1l22、直线l1的倾斜角为600，直线l2垂直与直线l1，则直线l2的斜率是（）.3、直线l1经过点A(m, 3)，B(1, m)与经过点M(1, 0), N(0, 2)的直线l2平行，则m=().4、已知直线l1的斜率k1

数a的值.（-2，a+2）

5、已知直线l1经过点A(3,a),B(a1,2),直线l2经过点C(1，2)，D 3，直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a21),若l1l2,，求实4

（1）若 l1//l2，求a的值（2）若l1l2,求a的值

第二篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

授课时间：第八周一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法

尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想

第三篇：两直线垂直与平行的判定教学设计

§3.1.2两直线平行与垂直的判定

授课类型：新授课

授课对象：高二（1）班 教学目标：

1、充分掌握判定两直线平行的条件，能判断两直线是否为重合或平行

2、能利用两直线平行的判定条件解决一些简单的平面解析几何问题

3、掌握判定两直线垂直的判定条件，能利用判定条件解决一些平面解析几何问题

4、在探究斜率与两直线位置关系的过程中，体会分类讨论的重要思想，感受数学的严谨性

教学重点、难点：

1、当两直线的斜率都不存在时，两直线平行，且前提为两直线不重合2、两直线垂直的判定条件的推导

3、渗透分类讨论的重要数学思想

教具：多媒体课件三角板

教学方法：讲授法探究法

教学进程：

一、知识回顾导入新课

1、倾斜角（定义、范围）

2、斜率kktan(90)

3、斜率公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)k0y2y1(x1x2)x2x

1问：平面上两条直线有几种位置关系呢？

①平行②相交③重合（）

平行与垂直是两直线的特殊的位置关系，那这节课我们就来学习“两条直线平行与垂直的判定”

二、新课讲授

1、两直线平行的判定

已知一条直线倾斜角，不能确定这条直线的位置，可以任意平移直线l1，任意作直线l2，得到

l1//l2问：不重合的两直线，倾斜角相等，两直线有什么位置关系呢？（平行）

两条不重合的直线因此，我们得到：当l1和l2是，12l1//l

2问：如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满足什么关系呢？（用PPT展示动态图画）

我们得到：若两直线平行，它们的倾斜角相等。也即12l1//l2

两条不重合的直线※结论：当l1和l2是

时，12l1//l2（互为充要条件），由12我们可以得到什么？

两条不重合的直线问：若没有前提条件l1和l2是

（学生回答平行或重合，这里要强调两直线重合的位置关系，并且和学生说明如果没有特殊说明，说两条直线l1和l2时，一般指两条不重合的直线）问：若两直线平行时，它们的斜率满足什么关系呢？

（这时要反复演示直线转动过程

ppt，让学生注意到当）

l1和l2同时垂直于x轴时的特殊情形

学生会注意到当1290时，l1//l2，而此时直线的斜率k不存在在时呢？l1//l2,斜问：那当两直线斜率k1,k2存率k1,k2满足什么关系呢

此时，l1//l212tan1tan2k1k2？

问：反过来，由k1k2能否得到l1//l2的位置关系？我们首先要考虑什么？

（先排除两直线l1和l2重合的可能），当两条不重合的直线的斜率k1k2时，k1k2tan1tan212l1//l2

※结论：两条直线不重合且斜率都存在时，l1//l2k1k2（充要条件）

练习

1、判断题⑴l1//l2是

12的充要条件（×）

⑵若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行（×）⑶l1//l2是k1

k2的充要条件（×）

例

1、已知直线l1的倾斜角是450，且过定点（1,1），l2是经过两点A（x,1）,B(4,3)的直线，满足l1//l2,求x的值

分析：由题设可知，两直线的斜率k1和k2都存在，且l1和l2是两条不重合的直线，要满足l1//l2，只要使k1k2成立即可。

解：

设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,有k1tan451,k2则

x8

2两直线垂直的判定

刚刚讨论了两直线平行时的情况，那两直线垂直又怎么样

问：类比平行的情况，我们是从倾斜角1和2出发的，进而讨论平行的情况。那这里我们是否也可以从倾斜角

1、2出发呢？那我们首先要找到这两条直线的倾斜角

（讨论垂直判定的时候，要让学生类比平行的情况，思考从何入手，启发学生思考如何找到垂直判定的条件）

· 由图我们可看到直线l1,l2与x

关系式

314

4因为l1//l2,则有k1k2,即1 4xx4x4

2

1900

问：那它们的斜率呢？首先要考虑它们的斜率是否存在？

（学生可能会忽视斜率的存在性这一重要条件，虑斜率是否存在，强调分类讨论的思想）

◎ 当一条直线的斜率不存

在，一条直线的斜率为0时，即

k1不存在，k20或k10,k2不

存在时，满足l1l

2问：那当两条直线的斜率都存在时呢？（首先来看看特殊情况）

学生分小组分别计算直线l1和l2的斜率k1、k

2k11,k2

1k1,k2

3k13,k2

问：你们发现了什么？

(学生们会发现k1k21)

问：猜想一下，当两条直线的斜率都存在时，如果l1l2,那么它们的斜率会满足什么关系呢？

（学生会猜想k1k21）

·为了验证这一猜想，我们来看看一般情况： 不妨设01900，则90021800，直线l1的斜率为k1tan1,直线l2的斜率为k2tan2

因

为

当

l1l2

时有

21900，所以

sin(1900)cos11

k2tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

则有k1k2tan1()1 tan1

所以我们有当两条直线的斜率都存在时，l1l2k1k21

问：那么反过来，当两条直线的斜率满足k1k21时，此时l1与l2又有怎么样的位置关系呢？

（鼓励学生自己动手进行探究）

当k1k21时，即tan1tan21，则有tan2，而我们已推导公式tan1

sin(1900)cos11，所以有tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

tan(1900)，因为902180，0190，结合正切函数在0,上的函数图象，可得到

21900

即l1l2

所以当两条直线的斜率之积为1时，我们可以推出这两条直线垂直

※结论：当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k21 练习：

1、判断题

⑴若两条直线的斜率之积为1，则这两条直线一定垂直（√）

⑵l

1l2是k1k2的充要条件（×）

例

2、已知A（5，1）,B（1,1），C（2,3）三点，试判断

分析：首先在平面直角坐标系中画出图形，由图进行猜想ABBC,即为直角三角形

在学习本节课内容前，学生们可能会想到：①平面向量法

0即可证明ABBC

②余弦定理（勾股定理）（ABBCcosB

ABC的形状

x

AC

BCABAC

2BCAB

· 用今天这节课的内容又怎么做呢？

要证明两直线AB 和直线BC垂直，只要求出这两条直线的斜率，它们的斜率之积等于1 解：

设直线AB斜率为kAB,直线BC斜率为kBC，1113

1,kBC251221以kABkBC1，即有ABBC所

kAB

所以ABC为直角三角形

课堂小结：

1、两直线平行的判定条件

12l与l

l1//l

2合2重

l1//l2k1k2的前提条件是两条直线的斜率都存在，且两条直线不重合2、两直线垂直的判定条件

当一条直线的斜率不存在，一条直线的斜率为

时，即

k1不存在，k20或k10,k2不存在时，这两条直线垂直

当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k2

1作业:教材P896

P907、8、1、2、6

板书设计：

§3.1.2 两直线平行与垂直的判定

一、两直线平行的判定

1、12l1//l2或l1和l2重合例

12、l1与l2是两条不重合直

线



当

k1、k2不存在时，12

l

l1//l21

21//l2

当 k1、k2都存在时，k1k2tan1tan2l1//l2k1k2

二、两直线垂直的判定

当k10,k2不存在时

l1l2

当k1和k2都存在且不为

0时k2tan2tan(1900)

l1

sin(0190)1l2k1k2cos(0cos1

 190)sin1



1tan1

k1k2

例2

第四篇：3.1.2 两直线平行与垂直的判定基础题

1、下列命题中正确的是()

A、如果两条直线平行，则它们的斜率相等

B、如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数

C、如果两条直线的斜率之积为－1,则两条直线垂直

D、如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行与y轴

2、下列多组点中，三点共线的是()

A.(1，4)，(—1，2)，(3，5)B.(—2, —5),(7,6),(—5,3)C.(1,0),(0,1),(7，2)3D.(0，0)，(2，4)，(—1，3)

3、若三点A(3，1)，B(-2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于()

A.2B.3C.9D.-94、顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是()

A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对

5、直线l1的倾斜角为30,直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为______，若l1//l2，则直线l2的斜率为______。

6、已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与斜率为2的直线平行,则m的值为_____

7、已知直线l1的斜率为3,直线l2过点A(1,2),B(2,a),若l1∥l2,则a值为_______

若l1⊥l2,则a值为_________

8、已知点P(3,m)在过点M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m的值是______

9、已知A(2,3)，B(-4,0)，P(-3,1)，Q(-1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。

10、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.11、已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

12、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状



第五篇：《直线平行与垂直的判定》说课稿

作为一名无私奉献的老师，常常需要准备说课稿，说课稿有助于提高教师的语言表达能力。优秀的说课稿都具备一些什么特点呢？以下是小编为大家整理的《直线平行与垂直的判定》说课稿，欢迎大家分享。

课题：§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（二）第三章第一节第二部分内容

课时：1课时

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析：

1、学习任务分析：

直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。

用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。

2、学情分析：

在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。按说要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我以为本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。

二、教学目标设计：

《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我把本节课的教学目标确定为：

1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

2、体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的.关系解释几何含义即初步体会数形结合思想。

3、感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。

三、课堂结构设计：

本节课从总体上讲是一节原理及简单的应用教学，诱思探究教学理论认为高中的数学课堂应该是学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。结合本节课知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

即先让学生回顾上节课学习的内容创设问题情景，通过学生自主探究，归纳和抽象得出两条直线平行与垂直的判定条件。然后通过例题和练习使学生巩固判定条件，接着通过拓展提升，使学生进一步加深对判定条件的理解，最后通过课堂小结提高学生的认识，形成知识体系。

四、教学媒体设计：

根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体的设计如下：

1、多媒体辅助教学：

制作高效实用的多媒体课件。其一，在探索两条直线垂直的判定条件时，利用几何画板展示探究的过程，让学生直观感知、操作确认自己的猜想是正确的,加深学生对判定条件的理解。其二，改变相关内容的呈现方式，节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书：为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，如：

§3.1.2两条直线平行与垂直的判定

结论1： 结论2、例1、例2、变式训练1： 变式训练2：

五、教学过程设计：

下面我就课堂教学的各个环节的设计做简单的说明。

（一）创设情景，引入新课：

活动一：

1、什么叫倾斜角？它的范围是什么？

2、什么叫斜率？如何计算呢？

3、已知直线 经过A（1，3）、B（－1，－1），直线 经过C（2，2）、D（1，0）①计算直线 的斜率； ②在直角坐标系中画出直线。

给学生约30秒的时间思考问题1、2，请学生口述答案，老师强调注意的条件。通过解决问题3，学生发现k1= k2，并观察出 是平行的，学生很自然发现两条直线的斜率与位置有着某种联系，从而引出本节课的课题。

设计意图：一方面通过回顾，巩固上节课的教学内容，并为本节课做好知识方面的准备。另一方面也为引出本节课的课题。同时也是为了培养学生发现问题，提出问题的能力，激发学生运用旧知探求新知的欲望。也是为了体现由特殊到一般的认知规律。

（二）新知的探究与应用：

1、两条直线平行的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。

（1）设置问题，归纳结论

设两条直线 与 的斜率分别为 与。

活动二：

1、当 时，与 满足怎样的关系？

给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。

归纳：。

2、反之，当 时，两条直线 与 有怎样的位置关系？

学生通过思考，很快得出直线，但要明确其中的原理势必受到三角函数基础知识的限制，教师可给予适当的讲解。

归纳：

结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

设计意图：（1）培养学生运用已有知识解决新问题的能力；（2）培养学生自主探究问题的习惯；（3）让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件。

（2）应用举例：

例1、已知A（2，3），B（－4，0）P（－3，2），Q（－1，3），试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论.给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（-7，0）、B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？

设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。（2）为了发现问题，提出问题。也为下一环节做好铺垫。

2、两条直线垂直的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线的斜率是存在。

（1）设置问题，归纳结论

活动三：

1、当 时，它们的斜率k1与k2有何关系？

探究：(1)直线 且 的倾斜角为300，的倾斜角为1200，k1与k2的关系.(2)直线 且 的倾斜角为600，的倾斜角为1500，k1与k2的关系

由学生自主探究，得出。

猜想：任意两条直线垂直时，此时老师利用几何画板直观演示任意两条相互垂直时直线斜率之积为-1.，验证猜想的可靠性。

提出问题：我们能否证明上述结论呢？

该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生无法完成。教师通过分析、讲解，完成证明过程。

归纳：

2、反之，当 时，直线 与 有怎样的位置关系？

学生思考后得出 与 是垂直的。由于结论的证明涉及三角函数的相关知识，完成证明很困难，老师利用几何画板直观演示，验证两条直线的斜率之积为-1，它们是相互垂直的即可。

归纳：

结论：如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

设计意图：（1）为了更容易突破本节课的教学难点，更好的理解两直线垂直的条件。（2）为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。（3）充分渗透了数形结合的数学思想。

（2）应用举例：

例2：已知A（－6，0）、B（3，6）、P（0，3）、Q（6，－6），试判断直线AB与直线PQ的位置关系。

给学生约30秒的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。接着与学生一同解决变式训练1提出的判断平行四边形ABCD是否是正方形，前后呼应，给学生留下一个完整的影响。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练2： 判断下面两条直线的位置关系：

直线 经过两点A（3，1），B（－2，0）,直线 经过点P（1，－4），且斜率为－5，则 __。（学生思考，口答即可）。

变式训练3：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。(2)体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

（三）拓展提升：

1、若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率为多少时？直线 和 ：

（1）平行；（2）垂直。

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师在黑板上画出相应结论的图像。

归纳（一般情况）：

2.若直线 与 的斜率相等，则 与 一定平行吗？

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师出示结果。

（此结论是利用斜率证明三点共线的）

变式训练3：

已知A（1，－1）、B（2，1）、C（0，－3），这三点是否在同一条直线上，为什么？

设计意图：对特殊情况做出补充：即直线的斜率不存在时，两条直线平行与垂直的判定方法。使得学生对平行与垂直的判定有更全面的认识。拓宽学生的知识面，使所学的知识系统化。

（四）课堂小结：

1、本节课我们学习了哪些新知识？新方法？

2、在应用这些新知识时应注意哪些问题？

3、在本节课的学习中运用了哪些数学思想？

学生发言,相互补充,教师点评,然后师生共同概括总结：

知识：

1.两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

2.如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

方法：代数方法研究几何问题。

思想：数行结合思想。

设计意图：通过对所学内容进行小结，使学生既学习了知识又培养了能力，并对所学内容有一个更全面的认识。

（五）、布置作业：

1、课本p89习题3.1 a组 6、72、思考题：

已知三个点A（2，2），B（－5，1），C（3，－5），试求第四个点d的坐标，使这四个点构成平行四边形。

设计意图：（1）作业1是直接应用，模仿练习。

（2）作业2是供学有余力的学生选做。旨在培养学生创造性的能力。

六、教学评价设计：

评价方式的转变是课程改革的一大亮点。课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过学生的自主探究、合作交流、以及与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、合作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过应用来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

以上是我对本节课的一些说明，不妥之处，敬请各位老师批评指正。谢谢﹗

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