第一篇:证明数列是等比数列
证明数列是等比数列
an=(2a-6b)n+6b
当此数列为等比数列时,显然是常数列,即2a-6b=0
这个是显然的东西,但是我不懂怎么证明
常数列吗.所以任何一个K和M都应该有ak=amak=(2a-6b)k+6bam=(2a-6b)m+6bak-am=(2a-6b)(k-m)因为ak-am恒为0km任意所以一定有2a-6b=0即a=3b
补充回答:题目条件看错,再证明当此数列为等比数列时
2a-6b=0
因为等比a3:a2=a2:a
1即(6a-12b)*2a=(4a-6b)^
2a^2-6ab+9b^2=0
即(a-3b)^2=0
所以肯定有a=3b成立
2数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明
(1)(Sn/n)是等比数列
(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S/=
2S1/1=A1=
1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=*2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)*2^n/2^
2=(n+1)2^n/
4=S(n+1)/4
所以有S(n+1)=4An
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1个式子相加得到:
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右边是等差数列,且和=(n-1)/2=n(n-1)
所以:
an-2=n^2-n
an=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方},求证是等比数列
根据题意,数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:
/(3*2^n)=
2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明
(1)(Sn/n)是等比数列
(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S/=
2S1/1=A1=
1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
第二篇:等差数列、等比数列的证明及数列求和
等差数列、等比数列的证明
1.已知数列an满足a11,an3an12n3n2,(Ⅰ)求证:数列ann是等比数列;
(Ⅱ)求数列an的通项公式。
2.已知数列an满足a15,an12an3nnN*,(Ⅰ)求证:数列an3n是等比数列;
(Ⅱ)求数列an的通项公式。
3.已知数列an满足a11,an2an12(Ⅰ)求证:数列an是等差数列; n2nn2,(Ⅱ)求数列an的通项公式。
4.已知数列an满足a12,an1
an12an,1
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
an
(Ⅱ)求数列an的通项公式。
5.已知数列an,Sn是它的前n项和,且Sn14an2nN,a1
1*
(Ⅰ)设bnan12annN*,求证:数列bn是等比数列;(Ⅱ)设cn
an
2n,求证:数列cn是等差数列;
(Ⅲ)求数列an的通项公式。
数列求和的方法介绍
一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列求和公式:Sn
n(a1an)
na1
n(n1)
2d2、等比数列求和公式:Sn
na1n
aanqa1(1q)
11q1q
(q1)(q1)
二、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中an、bn分别是等差数列和等比数列
三、裂项相消法
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解,其中裂项是手段,相消是目的。常见的裂项法有:
(1)an
1n(n1)
1n(n2)
1n
1n
1(2)an
1n(n1)
1n1
1n
n2
(3)an
111
2nn2
1anan1
(4)若an等差,公差为d0,则
11
【裂项原理】 an1an
(5)
2n12n1
例
1、已知数列an是等差数列,设其前n项和为Sn,若a59,S525(Ⅰ)求数列an的通项公式an;
(Ⅱ)设bn3,求数列bn的前n项和Tn
an
例
2、已知数列an的通项公式为an2n13,求前n项和Sn
n
例
3、已知数列an是等差数列,设其前n项和为Sn,若S535,S10120(Ⅰ)求数列an的通项公式an和Sn;(Ⅱ)设bn
1Sn,求数列bn的前n项和。
第三篇:数列练习2 等比数列
探究点1 等比数列中基本量的计算
1、在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=__________.2、设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于()
3、等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=()
4、正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=72+6,S7-S2=142+12,则公比q等于
5、等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=()
探究点2 等比数列的判定
1、已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N.(1)求证:{an-1}是等比数列;
(2)求数列{Sn}的通项公式,并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n.122an是等比数列,-
12、已知数列{an}的首项a1=an+1,n=1,2,3,…,求证:数列3an+1an*S5S
2并求数列{an}的通项公式.
探究点3 等比数列的性质
1、已知等比数列{an}中, a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8.则an2、各项都是正数的等比数列{an}的公比q1, a2=1,则a1a5a1a6=a4a
53.{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25则a3+a5=
4.各项都是正数的等比数列{an}中,a1a2a3....a30230,则a2a5a8....a26a291、已知数列an通项公式:an4lg3n1lg9n1nN求证:数列an是等差数列
2、在等差数列{an}中,a2a810,log2a3log2a74,求an3、已知f(x)3x11,数列an满足 f()(n2),且a11,求a8的值。x3anan
124、设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前n项和为Sn=3(bn-1),若a2=b1,a5=b2.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.5、已知等差数列{an}中的四项:1,a1,a2,4,等比数列{bn}中的四项:1,b1,b2,b3,4,(1)分别求出{an}与{bn}的公差和公比;(2)求出
6、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sna2a1的值。b21(an1)(nN)3
(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通向公式.11例1 已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,求an.2n+n
例2 设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.2n例3已知数列{an}满足a13,an+1=a,求an.n+1n
例4 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.511n+1例5已知数列{an}中,a1=,an+1=an+2,求an.63
第四篇:证明等比数列
证明等比数列
记Cn=an*a(n+1)
cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=
3a(2n-1)=3*a(2n-3)
a(2n)=3*a(2n-2)
bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)
因此bn/b(n-1)=3,所以bn为等比数列,公比为3。
2设数列{a的第n项}的前n项和Sn=1/3(a的第n项-1),n属于自然数
求证:数列{a的第n项}为等比数列
Sn=1/3(an-1)
S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)
Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/
2所以数列{an}为等比数列
3已知前三项是2,4,8,数列满足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1项等于第n项加上2n),求数列的通项公式。这儿没有告诉你数列是等比数列,求通项公式之前必须证明它是等比数列,请问怎么证明?
因为:
a(n+1)-an=2n
所以:
a2-a1=2
a3-a2=
4a4-a3=6
a5-a4=8
.....a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1个式子相加得到:
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右边是等差数列,且和=(n-1)/2=n(n-1)
所以:
an-2=n^2-n
an=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方},求证是等比数列
根据题意,数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:
/(3*2^n)=
2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明
(1)(Sn/n)是等比数列
(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S/=
2S1/1=A1=
1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=*2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)*2^n/2^2
=(n+1)2^n/4
=S(n+1)/4
所以有S(n+1)=4An
第五篇:数列证明
数列证明
1、数列{an}的前n项和记为Sn,已知a11,an1(Ⅰ)数列{
2、已知数列an的前n项和为Sn,Snn2Sn(n1,2,3).证明: nSn}是等比数列;
(Ⅱ)Sn14an.n1(an1)(nN).3(Ⅰ)求a1,a2;
(Ⅱ)求证数列an是等比数列。
3、已知数列{an}的前项和为Sn,且满足an2SnSn10n2a11。21
○1 求证:是等差数列
;○2求an的表达式;
Sn
4、在数列an中,a12,an14an3n1,(n∈N*)。
(Ⅰ)证明数列ann是等比数列;
(Ⅱ)求数列an的前n项和Sn;
5、设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1b11,a3b521,a5b313。
(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列
an的前n项和Sn bn 2
6、已知数列an中,Sn是其前n项和,并且Sn14an2(n1,2,),a11,⑴设数列bnan12an(n1,2,),求证:数列bn是等比数列; ⑵设数列cnan,(n1,2,),求证:数列cn是等差数列; n2⑶求数列an的通项公式及前n项和。
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,且anSnSn1(n2,Sn0),a1
(Ⅰ)求证:数列{
2.91}为等差数列; Sn8、已知数列{an}满足a11,an12an1
(1)求证:{an1}是等比数列
(2)求an的表达式和Sn的表达式
9、数列an的前n项和为Sn,a11,an12Sn(nN*).(Ⅰ)求数列an的通项an;(Ⅱ)求数列nan的前n项和Tn.