第一篇：2014届高三数学一轮复习《数学证明》理 新人教B版
[第68讲 数学证明]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．下列符合三段论推理形式的为()
A．如果p⇒q，p真，则q真
B．如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c
C．如果a∥b，b∥c，则a∥c
D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc
2．[2013·郑州检测] 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．①B．②
C．①②③D．③
3．[2013·太原检测] 已知p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
22224．[2013·石家庄模拟] 已知ai，bi∈R(i＝1，2，3，„，n)，a1＋a2＋„＋an＝1，b1＋
2b
22＋„＋bn＝1，则a1b1＋a2b2＋„＋anbn的最大值为()
A．1B．2
C．n2D．2n
能力提升
5．[2013·泰州模拟] 设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
222①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0；
②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为()
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知c>1，ac＋1－c，b＝cc－1，则正确的结论是()
A．a>bB．a C．a＝bD．a，b大小关系不定 1a＋b，B＝f(ab)，C＝f2ab，则A，B，7．已知函数f(x)＝，a，b∈R＋，A＝fa＋b22 C的大小关系为() A．A≤B≤CB．A C．A≥B≥CD．A>B>C x 8．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 1212312342 9．观察数列1，，，„，则数将出现在此数列的第() 2132143216 A．21项B．22项C．23项D．24项 10．[2013·河南示范性高中检测] 如图K68－1，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”： － 1仿此，5的“分裂”中最大的数是________，5的“分裂”中最小的数是________． 1111．[2013·哈尔滨模拟] 已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－＋a2－2 a1a2 11＋a3－＋„＋an≥0成立的最大自然数n是________． aa n 12．如图K68－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有 9999 n(n>1，n∈N)个点，每个图形总的点数记为an，则＋________． a2a3a3a4a4a5a2 010a2 011 13．[2013·开封模拟] 如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意 f（x1）＋f（x2）＋„＋f（xn）x1＋x2＋„＋xnx1，x2，„，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间 n n (0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________． b2a2 14．(10分)已知a＞0，b＞0a＋b.ab r 15．(13分)[2013·湖北卷](1)已知函数f(x)＝rx－x＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0 (2)试用(1)的结果证明如下命题： 设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． αα－1 注：当α为正有理数时，有求导公式(x)′＝αx.难点突破 16．(12分)[2013·湖南卷] 已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋„＋an，B(n)＝a2＋a3＋„＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋„＋an＋2，n＝1，2，„.* (1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式； * (2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． 课时作业(六十八) 【基础热身】 1．B [解析] 由三段论的推理规则可以得到B为三段论． 2．C [解析] 由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的． 3．A [解析] 反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若p⇒q，则綈q⇒綈p.a2＋c2b2＋d22222 4．A [解析] 此结论为“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，则ac＋bd≤＋ 222 a2a2a21＋b12＋b2n＋bn ＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋„＋anbn≤1.222 【能力提升】 5．B [解析] ①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个． 6．B [解析] 假设a≥bc＋1－cc－c－1，∴c＋1＋c－1≥c，平方得2c＋2c－1≥4c，2222 2c≤2c－1，cc－1，即c≤c－1，0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a 7．A [解析] ab≥，又f(x)＝在R上是单调减函数，∴f2a＋b22 2ab.f(ab)≤fa＋b 8．B [解析] 至少有一个的否定是一个也没有，即假设a，b，c都不是偶数． 9．C [解析] 数列中各项的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，„的规律呈现的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，„的规律呈现的，显然 前五组不可能出现，我们不妨再写几个对应的数组(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6 6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以发现第六组也不可，故只能是第七组的第二个．故这个数是第(1＋2＋„＋6＋2)项，即第23项． 10．9 21 [ 解析] 由已知中“分裂”可得，a＋b 故“5”的“分裂”21.a31 11．5 [解析] ∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝＜1，a1＝＞1，a2q a1－1＋a2－1＋a3－1＋„＋an－1 a1a2a3an 111 ＝(a1＋a2＋„＋an)－＋„＋ ana1a2 111－a1（1－qn）a1qa1（1－qn）q（1－qn） ＝ 1－q － 11－ ＝ 1－q － a1（1－q）q0，q a1（1－qn）q（1－qn）∴≥1－qa1（1－q）q因为0＜q＜1，所以，化简得a1≥ q －1 q≤q 4n－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.00912.[解析] an＝3(n－1)，anan＋1＝9n(n－1)，裂项求和即可． 2 01033A＋B＋Cπ313.[解析] sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝2332 b2a2b2a214．证明：(a＋b)＝－a＋b abab （b＋a）（b－a）（a＋b）（a－b）＝ab 1112 ＝(a－b)(a＋b)＝(a－b)(a＋b)，baab b2a2 ∵a＞0，b＞0＋a＋b.ab r－1r－1 15．解：(1)f′(x)＝r－rx＝r(1－x)，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)内是减函数； 当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.r (2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即x≤rx＋(1－r)． ① 若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是 a1b1a1a1在①中令x＝，r＝b1，可得≤b1·＋(1－b1)，a2a2a2 即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.② (3)(2)中命题的推广形式为： 若a1，a2，„，an为非负实数，b1，b2，„，bn为正有理数． 若b1＋b2＋„＋bn＝1，则ab11ab22„abnn≤a1b1＋a2b2＋„＋anbn.③ 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立． ②假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，„，ak为非负实数，b1，b2，„，bk为正有理数，且b1＋b2＋„＋bk＝1，则ab11ab22„abkk≤a1b1＋a2b2＋„＋akbk.当n＝k＋1时，已知a1，a2，„，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，„，bk，bk＋1为正有理数，且b1＋b2＋„＋bk＋bk＋1＝1，此时0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是ab11ab22„abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22„abkk)abk＋1k＋1 ＝(a1a2„ak)1－bk＋1abk＋1k＋1.1－bk＋11－bk＋11－bk＋1 b1b2bk b1b2bk 1，由归纳假设可得 1－bk＋11－bk＋11－bk＋1 b1b2bkb1b2bk a＋a2·＋„＋ak·＝1a2„ak≤a1·1－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋1 a1b1＋a2b2＋„＋akbk，1－bk＋1 a1b1＋a2b2＋„＋akbk1－bk＋1从而ab11ab22„abkkabk＋1k＋1≤abk＋1k＋1.1－bk＋1 又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得 1－bk＋1 a1b1＋a2b2＋„＋akbka1b1＋a2b2＋„＋akbkabk＋1k＋1≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋1－bk＋11－bk＋1 因 a2b2＋„＋akbk＋ak＋1bk＋1，从而ab11ab22„abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋„＋akbk＋ak＋1bk＋1.故当n＝k＋1时，③成立． 由①②可知，对一切正整数n，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况． 【难点突破】 * 16．解：(1)对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列． 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.* (2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N，有an＋1＝anq.由an ＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是 B（n）a2＋a3＋„＋an＋1q（a1＋a2＋„＋an） ＝q，A（n）a1＋a2＋„＋ana1＋a2＋„＋an C（n）a3＋a4＋„＋an＋2q（a2＋a3＋„＋an＋1） ＝＝q，B（n）a2＋a3＋„＋an＋1a2＋a3＋„＋an＋1 B（n）C（n）即＝＝q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． A（n）B（n） * ②充分性：若对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)． 于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，从而an＋2－qan＋1＝0.an＋2 错误!＝q.an＋1 故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列． * 综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列． 因为an＞0，所以 随着高考日子的临近，高中数学的复习范围广，知识量多。所以令广大考生感到焦虑和枯燥，下面给大家分享一些关于高三数学一轮复习法，希望对大家有所帮助。 高三数学一轮复习法 1.制订一个合理的预习计划。 从整体上把握高中数学教材内容，仔细揣摩教材字里行间所蕴含的玄机，完成课后练习，争取带着疑问入校，激发入校后的求知欲，尽快地让数学成为你的知心朋友。 2.做好新旧知识的对比。 应力求做到新的概念、定理，都要先复习之前高中数学学过的知识，把它贯穿在高中课程中，使新旧知识互相促进，共同巩固，达到知识的深化与能力的培养。独立思考初中阶段感兴趣的高中数学难题，回顾老师扩展的数学知识，在没有任何压力的情况下享受攻难克艰的乐趣，感受高中数学的魅力。 3.关注高中数学思想方法的进一步学习。 高中数学思想方法是数学的灵魂，比如：类比法——引导我们探求新知;归纳猜想——我们创新的基石;分类讨论——化难为易的突破口;等价转化——解决问题的桥梁。 如果在这方面做得好的话，那么从一开始你就走在了前面。成功更是成功之母，如果你比其他同学适应得快，那么无疑你的进步会比别人快，从而形成一个增长的良性循环。 4.高中学习中的常用知识。 如十字相乘法分解因式、二次函数、一元二次方程、平面几何等，力求在数学知识、方法、思想方面恰当进行初中和高中的衔接(都可以在书上或网上找到)，同学们要自主学习和思考，做一做相关练习题，打好基础。总之，高中数学学习的过程就是理性思维能力培养的过程，希望同学在学习中能够多思考、多总结，达到为以后的学习奠定坚实的基础和必备的能力。 高三数学高效复习方法 高三的课一般有两种形式：复习课和评讲课，到高三所有课都进入复习阶段，通过高中数学复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学生手中都会有一种高中数学复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点。 对高中数学预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 高三数学选择题秒杀法 1.剔除法 利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 2.排除法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.3.数形结合法 数形结合法是指在处理高考数学选择题问题时，能准确地将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来进行思考，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，从而实现化抽象为直观、化直观为精确，并达到简捷解决问题的方法。数形结合法在解决高考数学选择题问题中具有十分重要的意义。 4.综合法 当单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一体，交叉使用，试题便能迎刃而解.根据题干提供的信息，不易找到解题思路时，我们可以从选项里找解题灵感.5.测量法 比如遇到几何选择题求角度的题，如果不会做，或者没时间做，只要你能根据标准图形进行用量角器测量，一般情况下也能做出正确答案，但这种方法一定要确定图示正确且为符合题设的标准图，否则量出来的答案就会出问题。 2011届高三数学一轮复习精品教案――排列组合二项式定理概率统计（附高考预测） 二、重点知识回顾 1.排列与组合 ⑪ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑫ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑬ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：(m≤n) A =n!=n(n―1)(n―2)•…•2•1.②组合数公式： (m≤n).③组合数性质：①(m≤n).② ③ 2.二项式定理 ⑪ 二项式定理 (a +b)n =C an +C an－1b+…+C an－rbr +…＋C bn，其中各项系数就是组合数C，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =C an－rbr.⑫ 二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项Tr+1=C an－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。⑬ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C = C(r=0,1,2,…,n).②若n是偶数，则中间项(第 项)的二项公式系数最大，其值为C ；若n是奇数，则中间两项(第 项和第 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C = C.③所有二项式系数和等于2n，即C +C ＋C +…+C =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C +C +…=C +C +…=2n―1.3.概率 （1）事件与基本事件： 基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示． （2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件： 事件 定义 集合角度理解 关系 互斥事件 事件 与 不可能同时发生 两事件交集为空 事件 与 对立，则 与 必为互斥事件； 事件 与 互斥，但不一是对立事件 对立事件 事件 与 不可能同时发生，且必有一个发生 两事件互补 （4）古典概型与几何概型： 古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型． 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式： ． 几何概型的概率计算公式： ． 两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式 ①事件 的概率 的范围为： ． ②互斥事件 与 的概率加法公式： ． ③对立事件 与 的概率加法公式： ． （7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k)= C pk(1―p)n―k.实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.（8）独立重复试验与二项分布 ①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立； ②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ．此时称随机变量 服从二项分布，记作，并称 为成功概率． 4、统计 （1）三种抽样方法 ①简单随机抽样 简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取． 简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性． 实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性． ②系统抽样 系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况． 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样． 系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔，当（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，这时 ；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将 加上间隔k得到第2个编号，将 加上k，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样 当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样． 分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体 样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确． ①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图． ②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便． ③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为 ． 有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的． （3）两个变量之间的关系 变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤： 第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ； 第二步：计算回归系数的a，b，公式为 第三步：写出回归直线方程 ．（4）独立性检验 ① 列联表：列出的两个分类变量 和，它们的取值分别为 和 的样本频数表称为 列联表1 分类 1 2 总计 1 2 总计 构造随机变量（其中） 得到 的观察值 常与以下几个临界值加以比较： 如果，就有 的把握因为两分类变量 和 是有关系； 如果 就有 的把握因为两分类变量 和 是有关系； 如果 就有 的把握因为两分类变量 和 是有关系； 如果低于，就认为没有充分的证据说明变量 和 是有关系． ②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图 由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值 较大，说明两分类变量 和 是有关的，否则的话是无关的． 重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。 ③二维条形图（相应于上面的三维柱形图而画） 由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知 要比 小得多，由于差距较大，因此，说明两分类变量 和 有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分类变量 和 有关的可能性也越的．否则是无关系的． 重点：通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思想方法。 ④等高条形图（相应于上面的条形图而画） 由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；另一方面，数据 要比 小得多，因此，说明两分类变量 和 有关系的可能性较大，否则是无关系的． 重点：直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在图２的基础上换一个角度来理解。 三、考点剖析 考点一：排列组合 【方法解读】 1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； 2、解排列组合题的基本方法： （1）优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； （2）排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。（3）分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。 （4）分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 （5）插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 （6）捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 （7）穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。例 1、(2008安徽理)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A． B． C． D． 解：从后排8人中选2人共 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为 ；综上知选C。 例 2、(2008全国II理)12．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为(A)96(B)84(C)60(D)48 解：分三类：种两种花有 种种法；种三种花有 种种法；种四种花有 种种法.共有.例 3、(2008陕西省理)16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）解：分两类：第一棒是丙有 ,第一棒是甲、乙中一人有 因此共有方案 种 考点二：二项式定理 【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型： 1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式； 2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别； 【命题规律】 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。例 4、（2008安徽理）设 则 中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 解：由题知，逐个验证知，其它为偶数，选A。 例 5、(2008上海理)12.组合数Crn（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（） A．r+1n+1Cr-1n-1 B．(n+1)(r+1)Cr-1n-1 C．nr Cr-1n-1 D．nrCr-1n-1 解：由.例 6、(2008浙江文)（6）在 的展开式中，含 的项的系数是（A）-15（B）85（C）-120（D）274 解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含 的项的系数为 例 7、(2008重庆文)(10)若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为 (A)6(B)7(C)8(D)9 解：因为 的展开式中前三项的系数、、成等差数列，所以，即，解得： 或（舍）。令 可得，所以 的系数为，故选B。考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例 8、(2008江苏)在平面直角坐标系 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为。 解：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。 答案 点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。 例 9、(2008重庆文)(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A)(B)(C)(D)解：，故选B。 点评：本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。 例 10、(2008山东理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（A） （B） （C） （D） 解：基本事件总数为。 选出火炬手编号为，时，由 可得4种选法； 时，由 可得4种选法； 时，由 可得4种选法。 点评：本题考查古典概型及排列组合问题。 例 11、(2008福建理)(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为 ,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（） A.B.C.D.解：独立重复实验，例 12、(2008陕西省理)某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第 次击中目标得 分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率； （Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量 的分布列及数学期望． 解：（Ⅰ）设该射手第 次击中目标的事件为，则，． （Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.032 0.16 0.8 例 13、（2008广东卷17）．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ． （1）求 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 解： 的所有可能取值有6，2，1，-2；，故 的分布列为： 2 1-2 0.63 0.25 0.1 0.02（2） （3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 依题意，即，解得 所以三等品率最多为 考点四：统计 【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本．会用样本频率分布估计总体分布．会用样本数字特征估计总体数字特征．会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例 14、（2007广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据 y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)解：(1)散点图略.(2), , ，由所提供的公式可得 ,故所求线性回归方程为 10分 (3)吨.例 15、（2008江苏模拟）为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列 的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列 的前六项．(Ⅰ)求等比数列 的通项公式;（Ⅱ)求等差数列 的通项公式； (Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率 的大小.解：（I）由题意知：，∵数列 是等比数列，∴公比 ∴.(II)∵ =13, ∴，∵数列 是等差数列，∴设数列 公差为，则得，∴ ＝87，，(III)= ,(或 =)答:估计该校新生近视率为91%.例 16、（2008江苏模拟）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x(°C)10 11 13 12 8 6 就诊人数y(个)22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程 ；(6分)(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)(参考公式:)解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选 取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以 (Ⅱ)由数据求得 由公式求得 再由 所以 关于 的线性回归方程为 (Ⅲ)当 时, , ； 同样, 当 时, ，所以,该小组所得线性回归方程是理想的.四、方法总结与2010年高考预测 1.排列组合应用题的处理方法和策略 ⑪ 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑫ 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑬ 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑭ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑮ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑯ 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类与准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略； ⑥不相邻问题插空处理的策略； ⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略； ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.2.二项定理问题的处理方法和技巧 ⑪ 运用二项式定理一定要牢记通项Tr+1 =C an－rbr，注意(a +b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.⑫ 对于二项式系数问题，应注意以下几点： ①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑬ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr+1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1.⑭ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑮ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑯近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑰ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.3.求事件发生的概率的处理方法和技巧 ⑪ 解决等可能性事件的概率问题的关键是：正确求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数，这就需要有较好的排列、组合知识.⑫ 要注意恰有k次发生和指定的k次发生的关系，对独立重复试验来说，前者的概率为C pk(1―p)n―k，后者的概率为pk(1―p)n―k.（3）计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件A所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件A所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积． （4）在古典概型问题中，有时需要注意区分试验过程是有序还是无序；在几何概型问题中需注意先判断基本事件是否是“等可能”的． （5）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果． 4、关于统计 （1）对简单随机抽样公平性的理解，即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等． （2）随机数表产生的随机性．计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数表． （3）系统抽样中当总体个数Ｎ不能被样本容量整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体． （4）用系统抽样法在第一段抽样时，采用的是简单随机抽样，因此第一段内每个个体被抽到的可能性相同，而总体中个体编号也是随机的，所以保证了整个系统抽样的公平性． （5）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性也是相同的． （6）分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，在各层抽样时，根据具体情况可采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用． 2010高考预测 2010年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。 五、复习建议 1.对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的联系与区别.2.复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力.3.注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法.4、注意复习求线性回归方程的方法，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题。 第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，下面给大家分享一些关于2021高三数学一轮复习攻略，希望对大家有所帮助。 2021高三数学一轮复习攻略11、适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2、函数的周期性问题(记忆三个)： (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k; (2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k; (3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3、关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下： (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2; (2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称; (3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称 4、函数奇偶性： (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0; (2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项 (3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5、数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q6、数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7、函数详解补充： (1)复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 (2)复合函数单调性：同增异减 (3)重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8、常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个29、适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10、强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两直线重合)注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀! 2021高三数学一轮复习攻略21、经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁! 2、爆强△面积公式：S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题! 3、你知道吗?空间立体几何中：以下命题均错：1，空间中不同三点确定一个平面;2，垂直同一直线的两直线平行;3，两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4，如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面;5，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;6，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥注：对初中生不适用。 4、一个小知识点：所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。 5、求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。答案为：当n为奇数，最小值为(n2-1)/4，在x=(n+1)/2时取到;当n为偶数时，最小值为n2/4，在x=n/2或n/2+1时取到。 6、√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数，是统一定义域) 7、椭圆中焦点三角形面积公式：S=b2tan(A/2)在双曲线中：S=b2/tan(A/2)说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。 8、爆强定理：空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]|一：A为线线夹角，二：A为线面夹角(但是公式中cos换成sin)三：A为面面夹角注：以上角范围均为[0，派/2]。 9、爆强公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)21、爆强切线方程记忆方法：写成对称形式，换一个x，换一个y。举例说明：对于y2=2px可以写成y×y=px+px再把(xo，yo)带入其中一个得：y×yo=pxo+px 2021高三数学一轮复习攻略31、爆强定理：(a+b+c)2n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n+2在下，2在上 2、[转化思想]切线长l=√(d2-r2)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。 3、对于y2=2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。爆强定理的证明：对于y2=2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔(sinA)2〕，所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)2]，所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD) 4、关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 5、关于解决证明含ln的不等式的一种思路：爆强：举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。注：仅供有能力的童鞋参考！另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。 6、爆强简洁公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。记忆方法：在哪投影除以哪个的模 7、说明一个易错点：若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a)牢记! 8、离心率爆强公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N9、椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍! 1、[仅供有能力的童鞋参考]]爆强公式：和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 2021高三数学一轮复习攻略 高三学生如何应对数学第一轮复习 河北饶阳中学丁馈钦 我们学生实际情况基础不好、计算能力差等特点，我想进入高三数学第一轮用时6个月左右，分章节，分专题，象过筛子一样周密、细致、详实，经过第一轮的复习，学生的基础较夯实，知的前面都列出的上一年的高考考试要求，这是从高考考试说明上摘录的，是今年高考命题的依据，层次要求即使有变化也不会太大。不要眉毛胡子一把抓，平均用力，出力不讨好。这一点，同学们放心，老师也会告诉你们。 五、熟记一些常用数据、常用方法、常规题型，对解题大有裨益 识结构较网络，方法较系统，为后续的复习搭建了一个跳跃平台。故一轮复习的成败直接影响总成绩的好坏，作为刚入高三的学生应注意哪些问题呢？根据我这几年带高三的经验，提出以下建议供同学们参考： 一、再好的复习资料替代不了课本 尽管我们有一轮复习资料，它归纳不少的知识点、总结了不少的规律。但替代不了教材的基础性、系统性、可读性，高考试题绝大多数“源于教材，高于教材”或精心变形得到，所以“以考纲为纲，以本为本”是最根本的制胜之道。但是，同学们大多是弃教材于一边，只看复习资料，造成定义、定理不熟悉，似是而非。再者，教材上的例题、练习、习题编写的都很基础且典型，比如:必修4 三角恒等变换一节习题中题目涉及角的代换：β=α+β-α，2α=(α+β)+(α-β)等，设置就很有代表性。教材上的题目同学们都做过，除少数题目需要做一下外，大部分浏览一遍即可，用时较少，通过阅读教材，既全面了解了基本概念，掌握了一些基本题目，又为复习打好了基础，所以我们必须看教材。另外我们平常复习过程中，出现概念、公式等不清或混淆，一定要及时查阅教材。反复复习教材，把握清楚每一个知识点，不留死角。 二、建立笔记和错题本 好记性不如烂笔头。第一轮复习战线较长，复习后面的忘着前面的，看笔记可以巩固复习效果，笔记是一份宝贵资源。整理笔记主要是每课的知识点都条理化形成的一个个知识框架，使之线索清晰，重点突出，内容精炼。要把听讲的重点、难点、疑点、易错点、体会记录下来，用不同的符号划出来，确保笔记的完整性、准确性和可读性。疑点课下或问老师或问同学抓紧解决，不留“夹生饭”，千万不要知识“搬家”，只记不看，复习效果就大打折扣。 高三一年，“大考三六九，小考天天有”，周考、月考、模拟考，接连不断，考点练习、专题练习，试卷铺天盖地，有些同学把试卷都放着，每科都有很厚的一摞，最后没空看，或看不完，弃之可惜，故必须建立错题本，作对的题目已经起到应有的作用，没有保存的价值了。关键是做错的和不会的题目，剪下来，粘在本子上，用不同颜色的笔或字体注明错误原因、正确答案、补救措施„„不要抄题，费时费力。平常用零星时间多看看划划，逐步减少错题数量，提高数学成绩。高考前几天，老师放手让同学们自己复习，错漏本是最好的阅读材料。 三、明确高考要求，避轻就重，有的放矢，注重实效 高考主要考察的能力是：思维能力，运算能力，实践能力，空间想象能力和创新意识，平常的训练中要有意识地加强。比如计算能力的培养，不是一朝一夕的事，对一些复杂的推理、化简，要耐心计算，培养能力，也可以积累一些运算技巧，纯算数问题，不要借助于计算器，因为高考不让用。如果一看会，就过去了，那么就会眼高手低，用时较长，或会而不对，对而不全，空留遗憾，一定要“切合实际”选择相关几道题目熟练一下。 每一章节，高考都有明确的要求，要求的层次是了解、理解、应有、综合应有。每一本资料 1.多记一些数据，熟记教材上有的、，老师补充的和自己归纳的结论。如： f(ax)f(ax),f(x)f(2ax)说明函数关于xa对称。f(x)f(xa)说明函数周期是2a解题时可 以直接应用，特别是选择题和填空题，简捷准确,省时省力。 2.多掌握一些运算技巧、常见方法和常见题型。常用的方法和技巧，每一章节中常见题型并不太多，什么样的题型应有什么样的技巧和方法，哪一种方法解决哪一类题目基本上是比较明确的。尽管高考命题专家在命题时把已有的所有题目存入电脑进行排查，以防重题，但是高考题出来后，还是“熟面孔”多。 六、提高做题质量，避免题海战术 1．知一反三，注重题后反思；知三归一，善于类比、联系、归纳、总结。题海战术在一定程度上能提高成绩，但要花费太多的精力和时间，而提高成绩不做一定量的题目也达不到“熟能生巧”的 “火候”，因此，我们应该知一题通一类，举一反三，触类旁通。做完题目后，要进行多角度反思，多问几个为什么，如寻找该题的“题眼”、入手方向，考察的知识点和方法，揣摩命题者的意图，若减少一个条件，或条件和结论换一下，如何求解„„通过一题多变充分挖掘典型题目的作用，通过一题多解掌握和熟练常用方法思路，这一道题目发挥到了最大价值，能力也能够实实在在地提高到一个层次。 相同类型的题目做上2～3道，归纳解法，形成思路，以后不用再重复做了。相似的题目要比较异同，加强联系。 2.注意解答步骤的完整性、简洁性 仔细看一下每一道解答题的答案，其实都是一篇小文章，有因有果，有头有尾，严谨缜密。因为高考评卷分步给分，所以解题步骤一定要齐全，简明扼要，不丢三落四，不拖泥带水。平常要多看参考答案，训练时要紧扣得分点书写，尽量少失分，也就多得了分。 总之，在高三第一轮复习中，既要注意构建巩固每个知识板块及它们的联系，同时也应注意处理好“源”与“本”的联系，例、习题的安排源于课本并高于课本，有点串线，由线组面，形成知识网络结构。另一方面，在复习中紧密和把握基础知识和生活背景、社会现实，特别是将理论知识和生活实际结合起来加以运用，常用常新，提高复习效率和知识运用能力。第二篇：高三数学一轮复习法
第三篇：2011届高三数学一轮复习精品教案
第四篇：2021高三数学一轮复习攻略
第五篇：高三数学一轮复习学生如何应对
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