专题：不等式的证明——反证法[小编整理]

第一篇：专题：不等式的证明——反证法

专题：不等式的证明问题 ——反证法

反证法证明不等式  方法介绍：

从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实否定的结论是错误的，从而肯定原结论是正确的。 规律点拨：

① 必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，要分类讨论各种可能的情况。

② 否定结论之后，必须要从否定的结论出发进行逻辑推理，得出矛盾。

③ 推导出的矛盾多种多样。可能与已知矛盾、与假设矛盾、与公理事实相矛盾等等。动笔前先审视题目中可能利用的矛盾类型，可以令思路更清晰。

④ 当结论是：“都是。。”、“都不是。。”、“至少。。”、“至多。。”等形式时常用反证法。 典型题例

1.设a，b，cR，且abc0，abbcac0，abc0。求证：

1ba、1ab

中至少有一个小于2。

4.已知a、b、c(0,1)，求证：

(1a)b、(1b)c、(1c)a不能同时大于1/4.5.a，b，cR，求证：

a2c、b2a、c2b三个式子中至

少有一个不小于1。

a，b，c均大于零。

2.设

f(x)xpxq(p,qR)

证明：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于1/2。

3.已知a0，b0且ab2，求证：学林家教

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第二篇：用反证法证明不等式

用反证法证明不等式

一、反证法的含义

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法．

二、反证法的严密性

数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．

既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．

三、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1、假设命题的结论不成立；

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．

四、反证法的分类

反证法中有归谬法和穷举法两种．

原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．

五、反证法中常见的矛盾形式

（1）与已知条件即题设矛盾；

（2）与假设即反设矛盾；

（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`

（4）自相矛盾．

六、反证法的适用范围

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．

反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

七、用反证法证明不等式举例

例 已知、、、，且

.求证：、、、中至少有一个是负数.选题意图：本题考查利用反证法证明不等式.证明：假设、、、都是非负数，∵

∴

又

∴

这与已知

.矛盾.，.∴、、、中至少有一个是负数.

第三篇：放缩法、反证法证明不等式10

放缩法、反证法证明不等式

教学目标：

掌握放缩法和反证法证明不等式 教学难点：

放缩法和反证法 教学过程：

一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题：放缩法与反证法

二、放缩法： 例

一、若a, b, c, dR+，求证：1证：记m =

abcd2

abdbcacdbdacabcd

abdbcacdbdac∵a, b, c, dR+

∴mabcd1

abcdabcacdabdabcabcd2 ababcddc

∴1 < m < 2

即原式成立

m例

二、当 n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)

1证：∵n > 2

∴logn(n1)0,logn(n1)0

logn(n21)logn(n1)logn(n1) ∴logn(n1)logn(n1)

222lognn1

222

2∴n > 2时, logn(n1)logn(n1)1 例

三、求证：

证：

∴11112 122232n21111 n2n(n1)n1n11111111111122 2222223n1nn123n

三、反证法：

1例

四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

4111证：设(1  a)b >,(1  b)c >,(1  c)a >, 4441则三式相乘：ab <(1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <

①

641(1a)a又∵0 < a, b, c < 1

∴0(1a)a 24同理：(1b)b11,(1c)c 4

与①矛盾 642以上三式相乘：(1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤∴原式成立

例

五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a < 0，∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c)+ bc < 0

与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0

四、作业：证明下列不等式：

1． 设x > 0, y > 0,a2． lg9•lg11 < 1

xyxy, b，求证：a < b

1xy1x1y3．logn(n1)logn(n1)1

1140 abbcca111121(nR,n2)5．nn1n2n11111 6．2n1n22n7．设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c,(2  b)a,(2  c)b,不可能同时大于1 4．若a > b > c, 则8．若x, y > 0，且x + y >2，则

1y1x和中至少有一个小于2 xy

第四篇：证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

§4.2.3证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

【学习目标】

能熟练运用反证法与放缩法来证明不等式。

【新知探究】

1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；

2．放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，要注意放缩的适度，BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）

常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．





1n21n(n1);1

n21n(n1)

【自我检测】

1．设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.2．A1

nN)的大小关系是．

【典型例题】

例1.已知x,y0,且xy2,求证：

变式训练：若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

–“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 1x1y中至少一个小于2。,yx1

4例2.已知实数a,b,c，abc0,abbcca0,abc0,求证：a0,b0,c0.变式训练：课本P29页，习题2.3第4题 例3.已知a,b,cR,求证1aabdb

bcac

cbdd

dac2.变式训练：

xy

1xy

32设x0、y0，A例4．求证：1

122,B1n2x1xy1y，则A、B大小关系为________。2(nN)

例5．已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于 12。

–“天下事，必作于细”

第五篇：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。