南开大学2014年数学建模A题（★）

第一篇：南开大学2014年数学建模A题

2014年暑期数学建模A题

背景：股指期货交易最适宜高频交易，一个客户往往一天要进行300-500次买卖。以每次微小的盈利，频繁操作，赚取利润。股指期货交易与股票交易不同，可以双向交易，分为看涨及看跌两种情景。

如：预期未来股指点位上涨，买入股指期货多头合约称为买开仓，价格上涨后，高价格卖出多头合约称为卖平仓，则盈利；如果买开仓后，实际股指点位低于买开仓点位，为了控制风险，也要售出持有的合约，也称为卖平仓，此时的交易结果为亏损。

如：预期未来股指点位下跌，买入股指期货空头合约称为卖开仓，当股指点位下跌到预期的低点位，把持有的空头合约卖掉称为买平仓，交易结果为盈利，如果股指点位上涨高于卖开仓点位，为了控制风险，也要售出，此时也称为买平仓，实际交易结果产生亏损

股指期货1个波动点价值300元，如涨1个点，将有300元的价值变化，最小波动点0.2个点，价值变化0.2*300=60元。

以下举例子说明看涨看空盈利亏损计算：

1，预期价格上涨，2130点位买开仓，涨到2131.2，以2131.2卖平仓成交，产生利润：

（2131.2-2130）*300=360元

2，若2130点位买开仓，实际价格跌到2129，以2129卖平仓成交，产生亏损：

（2129-2130）*300=-300元

3，预期价格下跌，看空，以价格2140卖开仓，持有空头头寸，实际价格走势下跌到2138点位，以2138价格买平仓成交，则交易盈利：（2140-2138）*300=600元；

4，预期价格下跌，看空，以点位2140卖开仓，持有空头头寸，实际价格走势上涨到2141，为了控制风险，以2141价

格买品仓成交，则此交易亏损：（2140-2141）*300=-300元。

不论是看涨还看跌合约，买入每手合约的必须交付的保证金的计算公式：

保证金=买入时的点位乘以300再乘以18%。

也就说不是全额付费。

读懂股指期货的操作规则后，完成以下具体任务：

1． 根据题目附带的7个交易日的原始数据（text）中前15分钟（到9点32分为止），计算回报率yt=xt-xt-1所得的时间序列的均值和方差。然后再用全天的数据计算回报率yt=xt-xt-1所得的时间序列的均值和方差。比较两种不同情形得到的均值与方差之间的关系：有几天差异不大？有几天差异较大？决定是否可以用前15分钟的局部数据的均值和方差代替用整天的数据得到的均值和方差？可靠性如何？

2． 在附件中也附带了某个投资者的实际操作记录（excel），在回报率时间序列的曲线上所在的平面上（用标准差sigma为纵坐标单位）标出该投资者交易的位置。注意，买入看涨开仓点位（买开仓）用红点，卖出看涨（卖平仓）用蓝点。买入看跌合约（卖开仓）用绿点，卖出看跌合约（买平仓）用黄点。

3． 如果你知道了全天的回报率的图形之后，根据图形的高点和低点来进行看涨看跌组合投资，计算最大可能的投资收益应该是多少？与附录中的操盘手的收益比较，计算出收益倍数。

4． 你有兴趣得到一种算法，它就等价于你看到图形之后去操作所得到的收益差不多。这里差不多是指按一阶指数意义相等。也即，记S0表示你按照图形所得交易300 次的最大收益，S1 表示的按照程序操作300次得到的收益，那么（logS0-logS1）/300近似为0.该算法称为动态万能投资组合算法，是基于信息论得到的。见附件。用该算法模拟附带的数据，使用计算机控制，比前面的操盘手高明多少？

第二篇：南开大学2014年暑假数学建模B题

自然科学文章信息检索

背景知识

对于研究者来说，研究任何问题之前，都要对当前的研究状况作充分的了解，以便确定要研究的问题是否有新意？是否可行？找到合适的文献是一个基本的但也是本质的工作，这就是所谓的信息检索（information retrieving）。当然这是一个耗时的工作。到目前为止，这项工作还是研究者本人或者助手人工进行来完成的。如果交给一个助手来完成，那么由于助手的知识和眼光的局限很可能得不到全面的信息。如我们所知，当前的google、百度以及其他搜索引擎搜索能力还是很不错的。但是，如果键入某些关键词之后，google搜索引擎会在google的文本数据库中迅速找出很多文献，而研究者必须根据每篇文章的内容才能确定是否为需要的，阅读量是在太大了。

在当今的大数据时代，信息检索已经是计算机科学不能绕开的问题之

一。有人依据每篇文章的关键词作为信息源，设计了基于关键词的搜索工具来帮助研究者监控他们的领域内网页或者文献库的变化。随着云计算技术的推进，云搜索也就变得很重要了，它可以保证研究者获得充分的文本来构建自己的文献数据库。不会因为局限在某个不全的文献库中找不到就认为不存在。但是由于作者在发表论文时对于关键词提供没有具体要求（只有个数限制），因此从关键词到最终知识获取还有很大距离。需要将依据关键词搜索到的全部文献中的与所要的知识无关的内容过滤，只保留研究者所需的文献。

在医学领域，特别是针对一些疾病，不论是常见病还是罕见病，都会在文献检索方面遇到难题。比如，对于常见病（癌症、高血压、心衰、脓毒症），文献虽多，但所需的文献可能还不在常见的某个文献库中。对于罕见病，本来可能研究文献就少且不一定在流行的文献库中，甚至还有可能使用了别名，于是就出现了“查不到”的尴尬局面。因此，往往需要根据相同的疾病症状或者其他特征来查询。特别当这个参考的疾病的起因、或者相关的基因与机制都已经知道的话，对于该罕见疾病的研究会具有相当大的帮助。这就需要用户持续更新文献数据库，使得最新、最重要的深入结果不断加入到只有该领域专家才懂的文献库中。为了克服因为没有使用学名或者查询方式不妥而导致“查不到”，需要建立一个纲目（Ontology），使其包含疾病学名和所有别名。这个纲目应该包括较为详细的内容比如，疾病学名（别名）、临床症状、起病原因、生物标记物、酶、基因、病理机制、治疗药物等，但一般是逐渐增补的，除非是研究透彻的疾病，一般不太可能一蹴而就。例如，当仅知道一个疾病的学名，其他什么也不知道时，先从wiki上得到该学名的所有别名，然后从文献库中搜索所有包含学名或者某种别名的所有文献，然后从这些文献中获取所有涉及到的临床症状，通过临床研究的经验确认哪些症状是最可能的症状加入到Ontology中。再基于新的Ontology再去检索与你检索的疾病具有相同症状的疾病，从其中研究透彻的某种疾病中发现起病原因、生物标记物、分泌物、酶、分子机制、治疗药物逐步添入Ontology。Ontology可以由用户或

者临床大夫自己提供，也可以当用户给出一点线索之后，编写逐步更新程序来实现。

但是筛选哪些是哪些不是用户真正想所要的，就不那么简单了。现有的一些方案，比如Textpresso，这是一个基于纲目的针对生物文献的信息检索和提取系统。效果也虽然不是很理想，但目前还没有更好的方法发表。原因是它仅依赖于较少的关键词，这样的信息源太窄。由于文章的关键词与实际内容关系不是很大。因为每个作者发表文章时并不十分在意关键词的推敲，其实除了数量有一定限制，没有硬性规定，因此可能不同文章会选择相同的关键词。相比之下，每篇文献的内容摘要还是很能够恰当地反映文章的全貌。因为审稿时有一项就是判断摘要是否写得合理。不同文章不可能对应相同的摘要。特别是生命科学类的文章，摘要一般包含背景、方法、结论。于是，将摘要作为信息源，就能很好的揭示该文献。如果将摘要去掉标点符号，改成fast格式，那么摘要就是一个如同氨基酸序列的文本文件。因为20个标准的氨基酸的单字母表示分别为A, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, Y.对于多出的六个字符B, J，O, U, X，Z认为是可以忽略的符号，那么也可以采用蛋白质序列比对的算法

mcabmsa.20130520来进行快速比对。为此，需要对于生物医学文章中的词汇的长度分布，平均长度进行统计，以便获取使用mcabmsa的参数。

任务：针对具体的疾病，Alzheimer Disease，做如下的信息检索（retrieving）工作:

1)采用当前流行某种云搜索引擎，建立动脉硬化的完备的文献库（只包含文献来源的网页、文件名、摘要）。并进行如下预处理：  统计文献库中单词的长度的分布以及平均长度。

 给出将文献的title以及摘要改为适合于mcabmsa 处理的fast格式的程序。即

 >网页名缩写（空格）文献标题（空格）、发表日期、杂志名称 作为一行。

 从abstract后的第一个字符开始到key words 之前结束的段落去除标点符号以及空格作为一行。

2）以平均长度L作为mcabmsa程序中锚点长度的参数，松弛选择为k=L*10/13, 将fast 格式的文本库进行比对，输出是若干个集合，称为一个类，每类中包含至少一条信息。检验每类中是否反映相同或者相似的结果？

3）根据这些输出集合建立最优Ontology。

第三篇：2011数学建模A,B题

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

A题

城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、„„、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

B题

交巡警服务平台的设置与调度

“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

附件1：A区和全市六区交通网络与平台设置的示意图。

附件2：全市六区交通网络与平台设置的相关数据表（共5个工作表）。

第四篇：2014数学建模A题

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘 要：

嫦娥三号卫星采用的是软着陆方式登陆月球，在卫星高速飞行的情况下，我们要精确地在月球预定区域内实现软着陆，需要对其运行轨道进行设计并制定相应控制策略。由于天体的运动均满足开普勒三大定律以及总能量守恒定律，我们据此建立一系列的方程，最终求得卫星在近月点处的速度大小Vab/(ac)*GM/a1.6922km/s 求得卫星在远月点处的速度大小Vbb/(ac)*GM/a1.6139km/s。其速度方向均为当前运动轨道的切方向。

嫦娥三号的软着陆过程又分为6个阶段，对每个阶段都要进行一定的控制。通过对数值的分析，我们制定如下策略：在主减速阶段，首先卫星的发动机应全部用于水平方向的减速，竖直方向以自由落体状态加速下降，直至竖直方向速度达到56.8505m/s，水平方向速度为4.9522m/s，耗费燃料90kg，卫星下落高度约为14695m。之后发动机推力仍以最大输出工作，其推力在竖直方向上瞬间产生约3752N的向上阻力，在水平方向上产生6494N的阻力，使得卫星在主减速的后半阶段在竖直方向开始匀速运动，水平方向继续做减速运动水平速度最终降为0，直至卫星降落到距月3000m高度处；在快速调整阶段，姿态发动机调整卫星的运动方向为竖直向下，主发动机继续工作，发动机在水平方向上产生1097N推力，竖直方向上产生3752N推力，使得卫星水平方向的速度降为0m/s，竖直方向继续以57m/s的速度做匀速运动；在粗避障阶段，卫星对其正下方月面进行拍照获得数字高程图，利用matlab软件对图像进行灰度色差分析，进而初略确定了一个着陆点的像素点坐标(193，1169），过程中，姿态发动机根据图像进行卫星的位置调整，主发动机用于竖直方向上的减速工作，使得卫星在距月100m处达到悬停状态；精避障阶段，进行更精细的月面拍摄，采用同粗避障段类似方法得到更精确的像素点坐标为(318，651),同时利用姿态发动机调整运动方向的同时主发动机工作对水平方向进行速度控制，使其在距月30m处水平速度为0m/s；缓慢下降阶段，发动对卫星竖直方向进行减速控制，使其在距月4m处合速度变为0m/s；在最后阶段，关闭发动机，使其做自由落体运动，最终成功着陆。

关键词：

软着陆 开普勒定理 优化控制 基于C语言编程

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。此次嫦娥三号采用的是软着陆方法。

但嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是对着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，并要求满足每个阶段在关键点所处的状态，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据题目给出的已知量建立合适的模型求解分析下列几个问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析

本问题的一个关键点在于求解出嫦娥三号卫星的绕月运行轨道。由于已知卫星的运行轨迹为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道。

对于第一问的关键就是求解出该椭圆轨道与月球赤平面的夹角。由于已知落点的经纬度坐标和软着陆过程中6个状态的数值，我们就可以使用逆推法求解出着陆准备轨道近月点和远月点的经纬度坐标位置。由于卫星的运动满足开普勒三大定律以及能量守恒定律，我们可以根据这几大定律确定几个等式联立方程组从而求得嫦娥三号在近月点和远月点的相应速度大小与方向。

对于第二问，要设计一种方案使得在软着陆的过程中耗能最少，并达到预设的各项指标。我们需要不断的去设计、计算、调整，在不断的尝试摸索中寻找出一个比较不错的软着陆方案。

三、模型假设及符号约定

3.1 模型假设（1）假设卫星在主减速阶段的运动轨迹为抛物线

（2）假设卫星在3000m处基本就处于目标地点的竖直上方（3）假设月球为球体

（4）假设在近月点即将开始软着陆状态的前后速度基本不变

3.2 符号约定 符号

含义 G

引力常量

M

月球的质量

m(t)

t时刻卫星的质量 月球的半径

月球表面的重力加速度 r

g'

Vi

ai

Si

Ei

Ti

Ft Ve i位置处卫星的速度大小 i方向的加速度

i位置处相对应的面积大小 i位置处卫星的能量 到i位置所用时间 t时刻发动机的推力 以m/s为单位的比冲 单位时间燃料消耗的质量 椭圆的半长轴 椭圆的半短轴 椭圆的焦点 m a

b

c

四、模型建立与求解

4.1 模型建立

4.1.1 问题1卫星轨道模型的建立

我们将嫦娥三号卫星绕月运行的椭圆轨道抽象出如下图所示的一个简单的几何图形，月球的月心位于椭圆的一个焦点F上，椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c。A点为近月点，速度为Va，B点为远月点，速度为Vb。易知A、B两点距月心的距离Laac，Lbac。在一个极小的时间段t内，卫星与月心连线扫过的面积分别为SaVa/2*t*La，SbVb/2*t*Lb。由开普勒第二定律可知，卫星与中心天体连线在单位时间内扫过的面积相等，所以SaSb，代入化简后可得公式(1)Vb(ac)/(ac)*Va；由于卫星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和，所以在A点，卫星的总机械 能Ea1/2*mVa2(GMm/La)（公式2），同理B点的总机械能。卫星在运行过程中只有动能和引力势能Eb1/2*mVb2(GMm/Lb)（公式3）之间的转化，机械能守恒，所以EaEb（公式4）。[1] 由上面(1)(2)(3)(4)四个公式我们可以解得Vab/(ac)*GM/a，Vbb/(ac)*GM/a。

4.1.2 问题2卫星软着陆各阶段控制策略模型的建立

主减速段控制策略：

第一阶段，主减速发动机全力用于水平方向减速，竖直方向呈自由落体加速下落，至下落速度达到V1y(m/s)为止，用时记为T1，质量减少到M1；

V1yg'*T1(1)当0tT1时，由Fm*Ve可得出下式，tm(t)2400mdt024002.5510t(2)三号卫星运行速度V水平方向分量为：

(3)在0tT1内，卫星下落的高度ht0.5*g'*t^2, 水平方向位移

t s(t)(170002940ln(2400)2940ln(24002.2210t))dt

(4)第二阶段，竖直方向以V1y匀速下降，主减速发动机仍以最大推力工作，F(t)的竖直方向分力为m(t)*g'，水平方向分力为Fx(t)75002(m(t)*g')2。

记第二阶段结束时刻，即距月面3000m时为T2，当T1tT2时，m(t)24007500*t/294024002.5510t(5)下落高度 h(t)0.5*g'*T12V1y*(tT1)(6)水平方向加速度

2ax(t)fx(t)/m(t)(75002(24002.5510*t)2*g')/(24002.5510t)(7)水平方向速度

ttVx(t)Vx(T1)T1222ax(s)dsVx(T1)(7500(24002.5510s)g')/(24002.5510s)dsT1 1=Vx(T1)2.5510gg'(24002.5510t)'(24002.5510T1)(75002u2/u)du

17500=Vx(T1)(75002u27500ln2.5510t75002u2u

(9)

'(24002.5510T1))gg'(24002.5510t)(8)水平方向位移 s(t)s(T1)快速调整段控制策略：

Vx(t)dt T1

在快速调整阶段，卫星仍然以Vyg'*T157m/s的速度下落，水平方向推力逐渐减小到0，这样卫星的方向就正对目标下方了。

在tT2时，发动机给与卫星水平方向一个力Fx，使得其水平方向的速度最终降为0m/s；同时主发动机在竖直方向上也对卫星施加一个力，使其在竖直方向上做匀速运动。水平方向位移Sx(T3)V0T30.5*a*T3^2。

水平方向推力为Fx(t)m(t)*ax(t)，合力为

gm1ve2tT2m(r)dr

两边对t求导得：

m'(t)gm1ve2m(t)

再由tT2时，m(t)m(T2)得，当T2tT24.96时：

m(t)m(T2)exp(gm1ve2(tT2)

水平方向速度

vx(t)vx(T2)ax(r)drvx(T2)tT2T2t

水平方向位移

s(t)s(T2)vx(r)drs(T2)(vx(T2)T2)(tT2)0.5(t2T2)T2t2

(s(T24.96)，15000)就是近月点坐标。

粗避障段控制策略：

以下步骤的实施均在matlab上实践，源代码见附录2 将抓拍到的图片利用matlab读入，求出图像平均灰度，以此来表示理想降落地点的高度。但通过比较发现平均灰度并不能代表理想地点高度，于是求出灰度众数average，作为理想降落高度。

然后新建图像，使新图像上的每点的灰度等于原图像对应点的灰度与灰度众数average的差的绝对值。于是新图像上灰度越高的点表示越不理想的点。（matlab运行效果图见附录3）

选取10 作为分界线，灰度值大于10的改为150，表示不理想的降落地点，灰度值小于10的改为0，表示理想的降落地点。将图片边界四周都像素点全部改为灰度150，表示不理想降落地点，因为越靠近图片边缘则越缺少信息。(matlab运行效果图见附录4)接下去通过将不理想的点向四周扩散来逐渐覆盖全图，留下0.001的空隙时停止扩散，则此时剩余的空隙则为相对理想的降落地点，求出这些降落地点中离中心飞船最近的地点，作为最终降落地点。

最后我们分别绘制了覆盖率为0.7时的图像、覆盖率为0.99的图像、覆盖率为0.999的图像(分别件附录5、6、7)。

精避障段控制策略：

此阶段只是在粗壁障阶段的基础上对着落点做了一个更精确的定位，所以选点的原理同上。

4.2 模型求解 4.2.1 问题1

由题目已知，卫星近月点为15km，远月点为100km，据此我们可以得出下面一个等式c15(cr)100，求解得c9r/2 km。据此又可以导出椭圆的半长轴的大小acr15243/2*r，半短轴ba2c2。然后将a、b、c等数值代入模型中，便可以直接求出卫星在近月点的速度大小Va1.6922km/s，卫星在远月点的速度大小Vb1.6139km/s。

4.2.2 问题2 主减速阶段：

由天体运动黄金代换式GMR2g'，得出g'GM/R21.6243m/s2 利用C语言编程使用迭代法搜索T1的值： 具体编程算法见附录1 Step 1 令t=T1, 下落高度 h(t)0.5*g'*t^2, deltt=1 竖直方向速度Vy(t)g'*t, 水平方向速度（初始速度有第一问可知为1692m/s）

Vx(t)16922940ln(2400)2940ln(24002.2210t)水平方向位移

S(t)(16922940ln(2400))tStep 2 令t=t+ deltt

29402.2210t(ulunuu)2400 24002.2210下落高度 h(t)0.5*g'*T1^2Vy*(tT1)竖直方向速度Vy(t)g'*T1 水平方向速度由（8）式计算可得 水平方向位移

Step 3 如果h(t)120002641 and Vx(t)2 如果h(t)120002641 and Vx(t)step 1 如果h(t)120002641, then end

最后利用C语言编程解得

572Vy(t)2, then go to step

572Vy(t)2, then T1T11, goto T135s,h14695.85m,Vx4.9522m/s,Vy56.8505m/s。

从而我们可以得出，在主减速阶段，首先卫星的发动机的全部动力要用于卫星水平方向上的减速，竖直方向以自由落体状态加速下降，直至竖直方向速度达到56.8505m/s，水平方向速度为4.9522m/s，此时卫星的质量约为2310kg，耗费燃料90kg，卫星下落高度约为14695m。之后发动机推力仍以最大输出工作，其推力在竖直方向上瞬间产生约3752N的向上阻力，在水平方向上产生6494N的阻力，使得卫星在主减速的后半阶段在 竖直方向开始匀速运动，水平方向继续做减速运动水平速度最终降为0，直至卫星降落到距月3000m高度处。

快速调整阶段：

根据分运动的等时性，可以利用卫星竖直方向上的运动方程hV0t，求得卫星在快速调整阶段的最大用时th/V010.52s，从而根据水平方向的运动公式VVoa*t求得水平方向的最小加速度a0.475m/s。所以可以得出该过程中发动机在水平方向上的最小推动力Fxmin1097N，竖直方向上的推力Fxymg'3752N，并求得水平位移S15234m。

五、模型评价与推广

5.1 模型评价

优点：本模型采用了化繁为简的方法，将复杂问题简单化，把卫星绕月运行抽象出一个椭圆的几何问题再结合物理模型利用数学方法求解相应的运动数值

缺点：本模型很多地方理想化，比如忽视了月球的扁率，卫星运行中姿态是变化的某些部分不应该用质点来处理

5.2 模型推广

利用本模型的算法可以求出任何天体在每个时刻的运行速度及其他物理量，方便研究天体运动，方便针对性的对需要探测的星球设计相应的卫星轨道。

六、参考文献

[1] 王健伟 李兴，近日点和远日点速度的两种典型求法，物理教师，第34卷第6期：58，2013

七、附录

附录1：

下面采用的是C语言程序来摸索求解T1的值（运行环境VC++ 6.0）文件夹内find_t1.cpp文件

#include #include #include #define g 1.6243

int main(){

int t,t1,deltt=1;

t=t1=4;

double h,vx,vy,compare,u1,u2;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

while(1)

{

compare=sqrt(57*57-vy*vy);

if(h<12000+2641 && vx>compare)

{

t=t+deltt;

u1=g*(2400-2.5510*t1);

u2=g*(2400-2.5510*t);

vy=g*t1;

h=0.5*g*t1*t1+(t-t1)*vy;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t)-(1.0/2.5510)*(sqrt(7500*7500-u1*u1)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u1*u1))/u1)-(sqrt(7500*7500-u2*u2)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u2*u2))/u2)));

}

else if(h<12000+2641 && vx

{

t1++;

t=t1;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

}

else if(h>12000+2641)

{

printf(“t1=%dn”,t1);

printf(“h=%lfn”,h);

printf(“vx=%lfn”,vx);

printf(“vy=%lfn”,vy);

break;

}

}

return 0;}

附录2：

big=imread('附件3 距2400m处的数字高程图');

[m,n]=size(big);

notenum=[1:256];

for i=1:m;for j=1:n;notenum(big(i,j)+1)=notenum(big(i,j)+1)+1;end end

max=0;maxnum=0;for i=1:256;if max

big1=big;for i=1:m for j=1:n big1(i,j)=abs(int8(big1(i,j))-average);end end

big2=big1;

for i=1:m for j=1:n if big2(i,j)>15 big2(i,j)=150;else big2(i,j)=0;end

end end

for i=1:m;big2(i,1)=150;end

for i=1:m;big2(i,m)=150;end

for j=2:n-1;big2(1,j)=150;big2(m,j)=150;end

for k=1:200 num=[m:n];

numsum=0;for i=1:m;for j=1:n;if big2(i,j)>20;num(i,j)=1;numsum=numsum+1;else num(i,j)=0;end

end end

if numsum/(m*n)>0.999 break end

for i=2:m-1;for j=2:n-1;sum=0;if num(i,j)==1;continue else

for i1=-1:1;for i2=-1:1;if num(i+i1,j+i2)==1;sum=sum+1;end

end

end

if rand(1)*3

end

end end end

distance=[m,n];for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)==0;distance(i,j)=(i-m/2)*(i-m/2)+(j-n/2)*(j-n/2);else distance(i,j)=m*m+n*n;end end end

min=m*m+n*n;mini=0;minj=0;

for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)== 0;if min > double(distance(i,j));min=double(distance(i,j))mini=i;minj=j;end end end end

附录3

附录4

附录5 覆盖率为0.7的图像

附录6 覆盖率为0.99的图像

附录7 覆盖率为0.999的图像

第五篇：2011年数学建模B题

2011年全国大学生数学建模B题

交巡警服务平台的设置与调度

题 目 警车配置及巡逻问题的研究

摘 要：

本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。

在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目m,将全区划分成m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。

在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。

问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。

在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。

本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。

关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化

一 问题的重述

110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。

现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126，4266），（7434，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。

该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求：

D1.警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。

D2.使巡逻效果更显著；

D3.警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。现在我们需要解决以下几个问题：

一.若要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？ 二.请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。

三．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。

四.在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？ 六.若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答问题三。

七.你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。

二 问题分析

本题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。在进行警车配置时，首先要考虑警车在接警后在规定时间内赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、求解；在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。

问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在三分钟或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。据此，在满足所有街道的覆盖率不低于90%的条件下，寻找最优解。

问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。

问题三是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。首先找到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻找一个点，判断新的点是否满足D1，如果满足则警车行驶到该点，否则重新寻找，直到满足为止。一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数，用问题二给出的两个指标进行评价。综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标达到一个满意的值为止。

问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性来评价，将它加入到问题三的模型中去进行求解。

问题五限制警车数量为10，要综合考虑D1、D2，先分配这10辆车使道路的覆盖率最高，然后按照问题三的步骤进行求解，其中每一步对D1的判断只需使道路的覆盖率尽量高即可。

问题六同问题三，只需将车速改为50km/h即可。

三 模型的假设

1.警车都在路上巡逻，巡警去处理案件的时间不考虑；

2.所有事发现场都在道路上，案件在道路上任一点是等概率发生的； 3.警车初始停靠点是随机的，但尽量让它们分散分布，一辆警车管辖一个分区； 4.假定各个划分区域内，较短时间内，最多会发生一个案件；

5.假设区域内的每条道路都是双行线，不考虑转弯对结果造成的影响； 6.如果重点部位不在道路上的，假设这些重点部位在离它们最近的道路上； 7.图中水域对巡逻方案没有影响。

四 符号说明

m 表示警车数目

d 表示警车初始停靠点到各道路的最短距离 L 表示整个区域的总道路长度

l 表示不能在3分钟内到达的区域的道路的长度

k 表示非重点部位的警车在3分钟内不能到达现场的比例 r 表示三分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是 n 表示整个区域总的离散点个数 ni 表示第i区内的节点个数 f1 表示区内调整函数

t 表示模拟退火的时间，表征温度值 f2 表示区间调整函数

r 表示全面性指标 e 表示不均匀性指标 h 表示综合评价指标

si 表示第i辆车经过每条道路的次数 s 表示整个区域每条道路经过的平均次数

五 模型的建立与算法的设计

5.1 满足D1时，该区所需要配置的最少警车数目和巡逻方案 5.1.1 满足D1条件时，区域最少警车的规律

题目要求警车的配置和巡逻方案满足D1要求时，整个区域所需要配置的警车数目最少。由假设可知警车都在道路上，且所有事发现场也都在道路上，但区域内总的道路长度是个定值的；警车在接警后赶到事发现场有时间限制和概率限制：三分钟内赶到普通区域案发现场的比例不低于90％，而赶到重点部位的时间必须控制在两分钟之内。由此可知每辆警车的管辖范围不会很大，于是考虑将整个区域分成若干个分区，每辆警车管辖一个分区域。由上面的分析，求解整个区域的警车数目最少这个问题可转化为求解每一辆警车所能管辖的街道范围尽量的大。于是我们寻找出使每辆警车管辖的范围尽量大的规律。为了简化问题，我们不考虑赶到现场的90%的几率的限制，仅对警车能在三分钟内赶到事发现场的情况作定性分析，其分析示意图如图1所示。警车的初始停靠位置是随机的分布在道路上的任一节点上，我们假设一辆警车停靠在A点上。

图1 一辆警车管辖范围分析示意图

由于警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h，由于距离信息比较容易得到，于是我们将时间限制转化为距离限制，这样便于分析和求解。当警车接警后，在三分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是r，其中3r402km。

60如图1所示，我们设警车初始停靠位置在A点，A点是道路1，2，3，4的道路交叉口。我们仅以警车在道路1巡逻为例来进行分析，警车以20km/h的速度在道路1上A到A'点之间巡逻，A'与初始停靠点A的距离为xkm。由于案件有可能在道路上任一点发生，当警车巡逻到A点时，若案发现场在道路2，3，4上发生时，警车以40km/h的速度向事发现场行驶，警车能在三分钟内从A'点赶到现场的最大距离为(2x)km。如果警车在道路1上继续向前行驶，则该警车能在三分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车从初始点向A点行驶但没有达到A'点时，此时该警车的最大管辖范围比警车到达A'点时的最大管辖范围大。为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好，当x0时，即警车在初始停靠点静止不动时，警车的管辖范围达到最大值2km。

图1所分析的是特殊的情况，道路1，2，3，4对称分布，现在我们来对一般的情况进行分析，如图2所示。

图2.1 图2.2 图2 一辆警车最大管辖范围分析示意图

图2.1所示的情况是道路分布不对称，与图1相比，图2.1所示的道路方向和角度都发生了改变，图2.3中的情形更为复杂。参照对图1的分析方法，我们分析这两种情形下，警车巡逻时能在三分钟内赶到现场的最大距离的规律，我们只分析图2.2的情况，道路1，2，3，4，5相交于点C,同时道路1与道路6也有个道路交叉口D，由于警车巡逻时是在道路上行驶的，行走的路线是分段直线,并不影响路径的长度，所以当警车巡逻到距离初始停靠点C点x远处的D，此时若有案件发生时，该警车要在三分钟内能赶到现场处理案件，最大行驶距离在(2x)km之内，如果警车在道路1上继续向前行驶，则该警车能在三分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车没有行驶到D点时，此时该警车的最大管辖范围比(2x)km大，为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好。当x0时，即警车静止不动时，一辆警车的管辖范围能达到最大值。

以上分析的仅作定性的分析，对于三个重点部位也可以同理分析，所得的结论是一致的，以上的分析没有考虑到90%的到达几率限制，但在设计算法需要充分考虑。

综上所述，当警车静止在初始停靠点时，在三分钟时间限制内，警车能从初始停靠点赶到事发现场的最大距离为2km。

5.1.2 将道路离散化

由于事发现场是等概率地分布在道路上的，由区域地图可以发现，整个区域中的道路长度不均，为了使计算结果更加精确，可将这些道路离散化。只要选取合适的离散方案，就能使警车在经过道路上的离散的点时就相当于经过了这条道路。这样，不论是求解警车初始停靠点还求解警车赶到事发现场所经过的道路时，所计算得的的结果显然比仅考虑整条道路的叉路口要精确得多。区域中共有307个道路交叉口，458条道路。我们采用线性插值方法对道路进行离散化，以20km/h的速度行走一分钟的距离作为步长，一分钟时间的选择是参照问题三的1120km。用线性插值的方法，从道路的一个方向进结果要求来设定的，步长b6031行线性插值，实现将每条道路离散化的目标，考虑到有些道路不是km的整数倍，我们

311就一般情况进行讨论，其分析示意图如图3所示。道路AB长度为n个km与x(xkm)33长度的和，为了更精确处理CB段道路，那么就要考虑在CB之间是否要插入一个新的点，根据x的长度不同，其对应的处理方式也有所不同。

图3 道路离散化分析示意图

引进临界指数y，选取y大小的准则是使尽量离散化后警车等效的平均巡逻速度和题目给定的速度（20km/h）的差值尽量小，经过计算得y0.189km时，不再插入新的坐

1标点时能使整个区域的道路离散效果较好。此时，将CB段长度设定为km处理，于是

3离散后的AB道路长度会比实际长度短些；当x0.189Km时，需要在两个点之间再插入一点，因为这样处理能使整个区域的整体道路的离散化效果比较理想。如图3所示，在1C与B间再插入新的坐标点，插入的位置在距C点km的D点处,这样处理后所得的道

31路长度比实际长度长了(x)km。采用这样的方法进行线性插值，我们使用MATLAB编3程实现对整个区域道路的离散，所得的离散结果如图4所示，离散后共得到762个节点，比原始数据多了455个节点，离散后的节点数据见附件中的“newpoint.txt”。

图4 整个区域离散结果图

采用这种插值方法道路离散后，将直线上的无穷多个点转化有限个点，便于分析问题和实现相应的算法，由图4可知，所取得的整体离散效果还是比较理想的。

5.1.3 分区域求解警车数目的算法设计

考虑到警车配置和巡逻方案需要满足：警车在接警后三分钟内赶到普通部位案发现场的比例不低于90%，赶到重点部位必须控制在两分钟之内的要求。设计算法的目标就是求解出在满足D1情况下，总的警车数目最小，即每个区域都尽可能多地覆盖道路节点。由于警车的初始位置是未知的，我们可设警车初始停靠点在道路上的任一点，即分布在图4所示的762个离散点中的某些点节点上，总体思路是让每两辆车之间尽量分散地分布，一辆警车管辖一个分区，用这些分区覆盖整个区域。于是我们设计算法1，步骤如下所示：

Step1：将整个区域预分配为m个分区，每个分区分配一辆警车，警车的初始停靠位置设在预分配区中心的道路节点上，若区域的中心不在道路节点上，则将警车放在离中心最近的道路节点上；

Step2：统计分区不能覆盖的节点，调整警车的初始停靠点，使分区覆盖尽可能多的道路节点，调整分为区内调整和区间调整方案：（1）区内调整按照模拟退火思想构造的函数，在区间调整调整车辆初始点的位置（后文中有详细说明），当分区内节点数较多时，调整的概率小些，分区内节点数较少时，调整的概率大些，（2）当区域中存在未被覆盖的节点或节点群（大于等于三个节点集中在一个范围内）时，将警车初始位置的调整方向为朝着这些未被覆盖的节点按一定的规则（在算法说明中有详细叙述）移动，同时要保证 3个重点部位能在2分钟之内100%到达；

Step3：用Floyd算法计算出警车初始停靠点到周边各道路节点的最短距离d；

Step4：以m个划分区域未覆盖的总的道路长度l与整个区域的道路总长度L的比值lk100%来表示警车不能3分钟内到达现场的概率；

LStep5：模拟足够多的次数，若k10%，将车辆数m减1，跳转到Step1；

Step6：计算结束后，比较当k10%时所对应的m值，当m取得最小值时，记录此时的区域划分方案，m即为最少的警车数。

对算法的几点说明：

（1）该算法所取的车辆数m是由多到少进行计算的，m初始值设为20，这个值的选取是根据区域图估算的。

(2)预分区的优点在于使警车的初始位置尽可能均匀地分散分布，警车的初始停靠点在一个分区的中心点附近寻找得到，比起在整个区域随机生成停靠点，计算效率明显得到提高。

预分配之后，需要对整个区域不断地进行调整，调整时需要考虑调整方向和 调整概率。

警车调整借鉴的是模拟退火算法的方法，为了使分区内包含道路节点数较多的分区的初始停车点调整的概率小些，而分区内包含道路节点数的少的分区内的初始停车点调 整的概率大些，我们构造了一个调整概率函数f1，f1aexp(bmni)（1）t（1）式中，a,b均为常数，m为整个区域车辆数，ni为第i分区内覆盖的节点数，t为时间，同时t也能表征模拟退火的温度变化情况：初始温度较高，区域调整速度较快，随着时间的增加，温度不断下降，区域调整速度逐渐变慢，这个调整速度变化也是比较符合实际情况的。

由式（1）可以得出调整概率函数f1，假设在相同的温度t（时间）的条件下，由于总的车辆数目m是定值，当ninj时，即第i分区内的节点数大于第j分区的节点数时，分区i调整的概率大些，分区j的调整概率小些。分析其原因：当分区内包含了较多的节点个数时，该分区的警车初始停靠位置选取地比较合适了，而当分区内包含的道路节点数较少时，说明警车的初始停靠位置没有选好，需要更大概率的调整，这样的结论也是比较客观的。

对于所有分区外未被覆盖的道路节点和很多节点（称之为节点群），用来调整警车位置迁移的方向，其分析示意图如图5所示。调整方案目标是使未被覆盖的节点数尽量的少。在设计调整方向函数时，需要考虑：（1）节点群内节点的数目；（2）警车距离节点群的位置。优先考虑距离，所以在公式（2）中，用距离的平方来描述调整方向函数。由于某一个区域范围内的未被覆盖节点数，整个区域未被覆盖的节点总数，分区域与未被覆盖的节点或节点群的距离等几个因素会影响到调整的方案，所以要综合考虑这些因素。于是设计了区间调整函数f2，f2nili2li1pi1p2i（2）

in式中，ni表示第i个分区内未被覆盖的节点数，li表示第i分区域与未被覆盖的节点或节点群的距离，p表示未被覆盖的节点和节点群个数。

现在简要分析第i分区按区间调整函数的调整方案，当某两节点群i,j的节点数目相等，但是距离不等时，如lilj，由区间调整公式可知，该区间向节点群j方向调整。当某个分区与两个节点群的距离相等，但节点群的内节点个数不相等，如ninj时，由（4）可知，该分区域会想节点群j方向调整。

注意在整个调整过程中，调整几率控制是否调整，调整方向函数控制调整的方向，寻找在这种调整方案下的最优结果。

图5 调整分区域示意图

（3）在step3中，使用Floyd算法计算出警车初始停靠点到周边各节点的最短距离d,目的是当区域内有情况发生时，警车能在要求的时间限制内到达现场。

（4）为求出较优的警车停靠点，采用模拟退火算法，算出局部最优的方案。5.1.4 警车的配置和巡逻方案

使用MATLAB编程实现算法1得到，整个区域配备13辆警车，这些警车静止在初始停靠点时，能满足D1要求。警车的初始停靠位置分别为道路交叉节点6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253，258，278处。每个警车所管辖的交叉点（原始的交叉节点）如图6所示，求解的分区结果见附录所示。9

图6 满足D1条件下的区分划分图

13个分区共覆盖了252个交叉点，另外的55个原始交叉点没有被这些分区域覆盖：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272，275，282，283，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在这种分区方案下，这些点中，每两个相连的点间的道路离散值长度占整个区域总的长度的比值为lk100%90.18%。因此，在整个区域配置13辆警车，每个警车在初始停靠点静L止不动，当有案件发生时，离案发现场最近的警车从初始停靠点赶到现场。

5.2 评价巡逻效果显著的指标

110警车在街道上巡逻是目的是为了对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时还加快了接处警（接受报警并赶往现场处理事件）时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。巡警在城市繁华街道、公共场所执行巡逻任务, 维护治安, 服务群众, 可以得良好的社会效应[1]。

在整个区域中，由于案发现场都在道路上，道路上的每一点都是等概率发生的，因此警车巡逻的面越广，所巡逻的街道数目越多，警车的巡逻效果就越好，对违法犯罪分子就越有威慑力，警车也能更及时地处理案件。

我们采用全面性r来衡量巡逻的效果显著性，即用警车巡逻所经过的街道节点数占区域总节点数的比值。当警车重复经过同一条街道同一个离散点时，c仅记录一次。

c

（3）n式中，c表示警车经过的离散点数，n代表整个区域总的离散点数。r值越大，表明警车所经过的街道数目越多，所取得的效果越显著。

同时考虑到在巡逻过程中可能会出现这样的情况：在相同的时段内，警车会多次巡逻部分街道，而一些街道却很少巡逻甚至没有警车到达，这样会造成一些巡逻盲区。分布很不均衡。这样就可能出现巡逻密度大的街道上的违法犯罪分子不敢在街道上作案，而流窜到巡逻密度稀疏的街道上作案，因此在相同的警车数目条件下，密度不均衡的巡逻方式的巡逻效果的效果较差，而密度较均衡的巡逻方式所取得的巡逻效果会更好些。我们引入一个巡逻的不均匀度e来衡量巡逻效果的显著性，考虑到方差能表示不均衡度，于是我们用方差的大小来表征不均衡，方差越大，巡逻密度越不均衡，所取得的巡逻效果越差。re(si1mis)2p（4）

式中，p表示警车经过的点数，当警车重复经过某一节点时，警车经过该点多少次就计多少次。，si表示第i辆车经过每条道路的次数，s表示整个区域每条道路经过的平均次数。

我们分析这两个指标时，发现它们是紧密联系的，在相同的时间段内，一辆警车在一个分区巡逻时，警车经过的街道节点数越多，巡逻的全面性指标越大，巡逻效果越显著，而巡逻经过了越多的街道节点数，对应的不均匀度越小，巡逻效果也越好，所以我们将这两个指标统一来求解，设定为综合评价指标h：

rh（5）

e当h越大时，警车巡逻的显著性效果越好，而当h越小时，警车巡逻的效果越差。

5.3 满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案和评价指标值

问题1所给出的满足D1条件下的警车数目为13辆，这时每辆警车在初始停靠点静止不动，只有该管辖区域内发生了案件时，警车才从初始停靠点赶到案发现场处理案件。当警车在巡逻状态时，所需要考虑的问题就更复杂一些，如当节点运动时，警车还能否达到D1的要求，警车的运动方向如何等问题，但基本算法思想与问题1类似，所得的算法2的框图如图7所示，为了简化问题，我们假设各分区警车的巡逻时候，尽量保证所有的警车的行驶方向相一致，且警车都走双行道，即当警车走到某个节点后，它们又同时返回初始停靠点，警车的行驶方向有四种方式，如6所示。

在图6中，数字1代表走巡逻走的第一步，2表示朝1的巡逻方向相反的方向巡逻。在具体程序实现时，四种巡逻方向任意选择，但是尽量保证所有的警车向同一个方向巡逻。

图6 各警车巡逻方向图

我们用MATLAB编程对这种巡逻方式进行计算，所得的车辆数目为18辆，综合评价指标为h0.612，其结果巡逻方案见附件中的“1193402-Result3.txt”所示。

5.4 在满足问题三的基础上讨论D3条件，警车的巡逻方案和评价指标

巡逻的隐蔽性体现在警车的巡逻路线和时间没有明显的规律，主要目的是让违法犯罪分子无可乘之机，防止他们在非巡逻时间实施违法犯罪活动，危害人民的生命和财产安全。

为了使巡逻的规律具有隐蔽性，这就需要警车在巡逻时至少具有两条不同的路线，时间最好也是不相同的。因此，考虑到隐蔽性时，只需要在问题2的基础上加上一个随机过程即可。对于其评价指标，由于警车有几条可选的巡逻路线，当相同的路线在同一时间内重复出现时，重新将所设定的方案再执行一遍，我们用这个时间间隔来衡量隐蔽性的程度，当循环周期T越大，表明可选的巡逻方案越多，其规律就越具有隐蔽性，而循环周期T越小时，表明巡逻方案比较少，其隐蔽性较差。在巡逻状态时，最差的隐蔽性巡逻方案是巡逻方案只有一个，并且时间固定，这样的巡逻方案没有任何隐蔽性可言。

5.5 整个区域为10辆车时的巡逻方案

由第三问的结果可知，10辆车的数量是不能把整个区域完全覆盖的，其算法与算法2类似，不同的是此时车的数目已经固定了，要求使D1,D2尽量大的满足，我们求得的评价指标值为h0.524，所得的巡逻方案见附件中的“1193402-Result5.txt”所示。

5.6平均行驶速度提高到50km/h时的巡逻方式和评价指标值

问题六的分析方法与具体实现与问题三一致，但是警车的接警后的平均速度由原来的40km/h提高到50km/h，于是各分区的覆盖范围也增大了，将数值带入问题3的算法中求解，计算得的指标值为h0.703，其巡逻方案见附件中的“1193402-Result6.txt”所示。

图7 算法2框图 5.7 需要另外考虑的因素和对应的解决方案

考虑到具体巡逻情况的复杂性，我们还需考虑以下几个因素：

1．该城市的巡逻方式仅有110警车，虽然能将巡逻范围大大扩大，但是警员坐在汽车里远离市民，对社区情况和案件的了解情况不如徒步巡逻的效果好，同时警车巡逻时，只能在道路上行驶，对应图中的非道路区域没有进行巡逻，使非街道区域成为巡逻盲区；

2.对于突发事件的处理问题；

3.各巡逻警员之间在一些未被覆盖的区域如何合作才能使整体的巡逻效果取得比较好的成效；

4.巡逻频率的选取问题。

针对以上问题，我们提出以下几个解决方案： 1.为了了解社区情况和将巡逻范围扩大到非街道区，可以采用警车加徒步巡逻或摩托车方式进行巡逻，这样做会使整个巡逻范围扩大，必会大大增加巡警人数，在制定巡逻方案时，需要综合考虑，选取最合适的巡逻方案；

2.当有突发事件发生时，要突破分区限制，各分区需要通力合作，还要求巡警及时掌握准确信息，向上级部门汇报，随机应变地解决所遇到的问题；

3.在警员人数有限的情况下，需要各分区巡警明确巡逻目的，踏实工作，明确责任制，做好本职工作，使人民生命财产安全得到最大限度的保障；

4.巡逻频率太高，会影响到人民的正常工作和生活（报纸刊登有相关消息），如果巡逻频率太低，将降低市民的安全感，同时给一些违法犯罪分子予可乘之机，所以要合理安排巡逻方案，将巡逻频率控制在一个适当的范围内。

六 模型的分析和评价

在求解满足D1的条件下，整个区域需要配备多少辆警车问题中，采用分区巡逻的思想，先分析能使各区管辖范围达到最大值时的规律，由特殊到一般层层进行分析，逻辑严密，结果合理。

在求解区域和警车数目时，在初步设定警车停靠点位置的基础上，用模拟退火算法思路构造函数f1来确定调整的概率大小，综合考虑了影响区间调整的因素后构造了f2函数来确定分区的调整方向，当分区按照这两个调整函数进行调整时，各分区能管辖尽可能多的道路节点，所取得效果也比较理想。

参 考 文 献

[1]中小城市警察巡逻勤务方式的探讨，俞详，江苏公安专科学校学报，1998年第1期 [2]Matlab7.0从入门到精通，求是科技，人民邮电出版社； [3]不确定车数的随机车辆路径问题模型及算法，运怀立等，工业工程，第10卷第3期，2005年5月；

[4]随机交通分配中的有效路径的确定方法，李志纯等，交通运输系统工程与信息，第3卷第1期，2003年2月。

附 录

图 问题三巡逻路径

图 问题五巡逻路径

图 问题六巡逻路径