初三数学期末抛物线汇编
例1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2?2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1
（1）若a=1.①
当m=b时，求x1，x2的值.②
将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程.（2）若存在实数c，使得x1?c?1，且x2?c+7成立，则m的取值范围_________
答案
（1）①
x1=0，x2=2.②
将原抛物线向下平移4个单位
（2）m?16
解析
（1）①
∵抛物线y=x2?2ax+b的顶点在x轴上，∴=0.∴b=a2.∵a=1，∴b=1.∴抛物线的解析式为y=x2?2x+1.∵m=b=1，∴x2?2x+1=1，解得x1=0，x2=2
②依题意，设平移后的抛物线为y=（x?1）2+k.∵抛物线的对称轴是x=1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点.∴（3?1）2+k=0，即k=?4.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位.（2）m?16
例2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（?3，1），B（?1，1），C（m，n），其中n>1，以点A，B，C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1，D2，D3，如图所示.（1）若m=?1，n=3，则点D1，D2，D3的坐标分别是（____），（____），（____）.（2）是否存在点C，使得点A，B，D1，D2，D3在同一条抛物线上?若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.答案
（1）1.（?3，3）
2.（1，3）
3.（?3，?1）
（2）不存在解析
（1）1.（?3，3）
2.（1，3）
3.（?3，?1）
（2）不存在.理由如下：
假设满足条件的C点存在，即A，B，D1，D2，D3在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线x=?2即为这条抛物线的对称轴，而D1，D2在直线y=n上，则D1D2的中点C也在抛物线对称轴上，故m=?2，即点C的坐标为（?2，n）.由题意得：D1（?4，n），D2（0，n），D3（?2，2?n）.注意到D3在抛物线的对称轴上，故D3为抛物线的顶点.设抛物线的表达式是y=a（x+2）2+2?n.当x=?1时，y=1，代入得a=n?1.所以y=（n?1）（x+2）2+2?n.令x=0，得y=4（n?1）+2?n=3n?2=n，解得n=1，与n>1矛盾.所以不存在满足条件的C点.初中数学等腰三角形教学设计
知识技能1.探索并掌握等腰三角形的性质及其证明。
2.体会性质证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握综合法证明的格式，运用等腰三角形性质进行证明和计算。
过程与方法通过教学活动让学生操作、观察进而发现、归纳、证明等腰三角形的“等边对等角”，“三线合一”的重要性质，培养学生逻辑思维能力
情感态度
与价值观在探究、证明等腰三角形性质过程中，培养学生观察力，归纳总结、逻辑推理和数学表达能力，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.教学重点等腰三角形
“等边对等角”，“三线合一”的性质和应用
教学难点等腰三角形
“三线合一”的理解、正确表述和运用。
课型新授课
教法教法：主要采用“情景——探究——猜想——交流”教法
学法：动手操作、观察感悟、合作交流、成果展示
媒体师：多媒体课件，投影仪
生：长方形纸片、剪刀，自制等腰三角形纸片
二、教学过程
教学环节师生互动过程设计意图
创设情境
激发兴趣
引入新课
出示ppt认识生活中的等腰三角形，导入：
活动1
引入等腰三角形的概念及相关概念
问题：请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形?
教师示范操作，然后学生跟着动手操作，观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的；剪出的图形是等腰三角形”，根据学生回答，板书：等腰三角形
共同认识：等腰三角形的定义、腰、底、顶角、底角。（有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角）
活动2认识等腰三角形的性质
教师提问：剪出的三角形是轴对称图形吗?你能发现这个三角形有哪些特点吗?它具有怎样的特性呢?这将是我们这节课共同探索的问题。
（板书）
课题：探究等腰三角形的性质。
让学生主动的参与探索，尝试发现，成为学习的主人。
创设有助于学生自主学习的问题情境为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲。
认识等腰三角形的基本概念。
探索问题的提出是为了让学生根据已有的知识积极思考，大胆猜想。
数学思考
师生互动
启发猜想
教师出示刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：
出示ppt，结合图形提出问题：
AB__AC；BD__CD
∠ABD__∠ACD；∠BAD__∠CAD；∠ADB__∠ADC；
△ABC是轴对称图形，对称轴是__。
归纳小结：
1、等腰三角形的两底角相等。（等边对等角）
2、三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
活动3
出示ppt：若在△ABC，AB=AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线
猜想（1）BD=CE么?
（2）若BD，CE分别是AC，AB的高线，BD还等于CE么?
（3）若BD，CE分别是AB，AC的中线，BD还等于CE么?
你能否证明自己的猜想呢?
学生利用折纸、测量、借助几何画板等方法进行直观验证。
教师在学生猜想的基础上，引导学生观察、完善、归纳出性质1和性质2。
此教学环节我从学生爱猜想和预见的天性出发，既调动了学生学习的积极主动性，又创造性的使用教材，让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般，学会运用分类、化归思想将问题转化。
培养学生语言转换能力，增强理性认识，体验性质的正确性，提高演绎推理能力。
关注：（1）学生语言的规范性；
（2）学生的应用意识，模仿能力；
（3）学生在活动中发表个人见解的勇气
当堂训练，巩固新知活动4
问题（出示ppt）
（1）如果等腰三角形的顶角是36°，那么它的底角的度数是__。如果顶角是60°，这个三角形的底角是___，这个三角形是___三角形。
（2）等腰三角形的两条边为4和5，求这个三角形的周长为____。
学生独立思考解决问题，师生评判。
培养学生对推理过程的规范书写，感受数学的严谨性。
环节以学生活动为核心，通过学生自主探究、合作交流，促进了学生的自主发展，突出了重点。并通过教师启发、引导，环环相扣，突破难点。
变式训练，拔高提升
（1）
等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角是___。
（2）
等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是____。
（3）
如图在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数
师生行为：学生思考，练习，教师指导，给出答案。适当小结。为满足学生学习的不同需求，在都能获得必要发展的前提下，真正做到“不同的人在数学上得到不同的发展”，我设计以下训练活动及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。
回顾课堂
感悟
收获通过本节课的学习，你有哪些收获?鼓励学生畅所欲言，各抒己见。
引导学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容，必要时给予适当的补充。学生思考后，用自己语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：1、等边对等角；2、等腰三角形三线合一；3、等边三角形性质；4、等腰三角形常用辅助线作法（作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线）
培养学生总结归纳的习惯，提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通。
课下作业
巩固发展作业设计
必做题：课本习题A组题
选做题：课本习题B组题。
尊重学生个体存在差异的客观事实，让不同的学生获得不同的发展。所以作业的设计分层要求
选做题渗透了分类、化归思想，有助于培养学生的数学应用意识，让学生感悟数学来源于生活应用于生活，激发学生学习的热情。
教学案例分析
教学设计优点：三维目标明确，教学环节紧凑，教学活动设计充分尊重学生学习的一般认知规律，能够很好的落实学习过程中学生的主体地位。
不足：教学以活动为主要方式教学，虽然有利于构建宽松愉悦的学习氛围，但相比“目标导学”的学案教学相对缺少学生自学的灵动性与自主性。课堂教学设计方面看，内容、时间安排、环节设计上都还有优化的空间和可能。
教学策略优点：新知教学从学生爱猜想和预见的天性出发，既调动了学生学习的积极主动性，又创造性的使用教材，让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般，学会运用分类、化归思想将问题转化。培养学生语言转换能力，增强理性认识，体验性质的正确性，提高演绎推理能力。关注了学生语言的规范性；学生的应用意识，模仿能力；学生在活动中发表个人见解的勇气培养学生对推理过程的规范书写，感受数学的严谨性。
不足：探究式教学虽然侧重了课堂上对学生探索发现、动手操作、合理猜想、模仿应用、演绎推理、等多方面能力的培养，但忽略了对学生学习目标和水平的要求；忽略了对学生“在已有知识经验获取新知”方法上的指引；忽略了学生自学能力的养成。
教学评价优点：本节教学以学生活动为核心，通过学生自主探究、合作交流，促进了学生的自主发展，突出了重点。并通过教师启发、引导，环环相扣，突破难点。整节课对学生的探究、动手、猜想、推理、表达诸多能力提升方面均有一定的促进作用。
不足：从学生学习经验积累和学习能力提升的角度看，一方面在“应用学生已有知识经验，把碎片化的知识形成体系”方面做得还有待提高；另一方面“新的知识经验”的内化过程还有待加强。
改进建议
教学工作中应首先明确方向和目标，然后用心去理解教材、认识学生，围绕课程目标组织教学，帮助学生学会学习，最终提高学生的核心素养。
例如：教学设计与策略方面，考虑可以把等腰三角形及相关概念的学习，充分放手给学生，并结合学习要求课前自学，预留充分时间在课上用于：以“问题”为导向呈现“学习过程”；以“小结”为落点指向“学习目标”，充分关注知识目标和能力目标的实现过程和结果。
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