数值线性代数课设课件资料

第一篇：数值线性代数课设课件资料

数值线性代数课程设计报告

姓名:陶英 学号:081410124

任课教师:杨熙

南京航空航天大学

2016 年 6 月 22日

求解线性方程组的三种迭代法及其结果比较

摘要

当今的环境下，数值计算越来越依赖于计算机。大规模科学计算和工程技术中许多问题的解决，最终归结为大型稀疏线性方程组的求解，其求解时间在整个问题求解时间中占有很大的比重，有的甚至达到80%。由于现今科学研究和大型项目中各种复杂的可以对计算精度和计算速度的要求越来越高。因此，作为大规模科学计算基础的线性代数方程组的高效数值求解引起了人们的普遍关注。这种方程组的求解一般采用迭代法。

关于迭代法，是有很多种解决公式的：Jacobi，G-S和超松弛迭代法。这三种方法的原理大致相同，Jacobi需要给定初向量，G-S则需要给定初值，超松弛法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造。而本文则是对大型稀疏线性方程组迭代求解与三种迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超松弛迭代法）的收敛速度与精确解的误差比较做出研究。

关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；线性方程组 方法与理论的叙述

1.1迭代法简介

1.Jacobi迭代法：

对于非奇异线性方程组Ax=b，令A=D-L-U，其中

则原方程组可改写为：

其中

给定初始向量：

由（2.2）可以构造迭代公式：

其分量形式为：

2.2）（2.Guass-Seidel迭代法： 类似于Jacobi迭代法，给定初值：

令

则得到Guass-Seidel公式：

其分量形式为：

3.超松弛迭代法（SOR 迭代法）：

SOR迭代法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造，即

为Guass-Seidel迭代解，即

它的分量形式为：

其中ω称为松弛因子，当ω>1时称为超松弛；当ω<1时叫低松弛；ω=1时就是

Guass-Seidel迭代。

上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1。

谱半径不易求解，而在一定条件下，通过系数矩阵A的性质可判断迭代法的收敛性。定理1：

若系数矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。定理2：

（1）SOR迭代法收敛的必要条件是0

（2）若系数矩阵A严格对角占优或不可约对角占优且0

2.1问题

考虑两点边值问题：

d2ydya,0a12 dxdxy(0)0,y(1)1.1a(1e)ax 容易知道它的精确解为：y1/1ex为了将微分方程离散，把[0,1]区间n等分，令h=1/n，xiih,i1,2,...n1，得到差分方程

(h)yi1(2h)yiyi1ah2，从而得到迭代方程组的系数矩阵A。

对=1，a=1/2,n=100,分别用jacobi，G-S，超松弛迭代法分别求线性方程组的解，要求4位有效数字，然后比较与精确解的误差。

对=0.1，=0.01，=0.001，考虑同样问题。

1.方程的表示及存储

由于本题中线性方程组的系数矩阵为三对角矩阵，所以可以采用紧缩方法存储，即

然后在矩阵乘法时对下标处理一下即可。但是考虑到三种迭代方法的一般性，且本题中n=200并不是很大，所以实验中并没有采用紧缩存储，而是采用了直接存储。2.边值条件的处理

由于差分得到的方程组的第一行和最后一行中分别出现了边值y(0)与y(1)作为常数项，因此要在常向量的第一项和最后一项作一些修改：

3.迭代终止条件

首先确定要求的精度tol，我们希望当

则停止迭代。对于迭代格式，若

且，则迭代序列的

第k 次近似解和精确解之间有估计式由题目要求知我们需要有

。，而由上面的迭代估计，只要，即取为，因此最后令迭代终止条件为

即可。而本题中q可近似

4.SOR 迭代中最佳松弛因子的选取

由于SOR 迭代法的效果和其松弛因子w的选取有关，所以有必要选取合适的松弛因子。当选择最佳松弛因子

时，SOR 方法的迭代速度最快。

Matlab实现：

迭代矩阵是n-1阶的，不是n阶；

等号右端向量b的最后一项，不是ah^2，而是ah^2-eps-h

2.2精确解

1ay(1e)ax 1/1ex带入a=1/2,=1 代码： >> clear >> x=linspace(0,1);truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1))*(1-exp(-x./1))+x.*0.5;figure;plot(x,truy,'g','LineWidth',1.5);hold on;Grid

图：

2.3三种迭代法

Jacobi法：代码见附录 Eps=1 结果：

迭代次数k：22273 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.1 结果：

迭代次数k：8753 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.01 结果：

迭代次数k：661 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

G-S迭代法：代码见附录 Eps=1 结果：

迭代次数k：11125 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.1 结果：

迭代次数k：4394 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.01 结果：

迭代次数k：379 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

超松弛法：代码见附录 Eps=1 w=1.56 结果：

迭代次数k：3503 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.1 w=1.56 结果：

迭代次数k：1369 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.01 w=1.56 结果：

迭代次数k：131 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）分析讨论及心得体会

3.1三种方法的比较

Jacobi、G-S、超松弛法，三者都能够取得对精确解的良好逼近，但是，在相同的精度条件下，三者的收敛速度是不一样的，jacobi

3.2心得体会

这次课程设计，平时感觉挺简单的那些枯燥单调的代码和数学公式，真正到了自己运用的时候却无从下手，但是，解决问题的过程恰是不断学习的过程：数学算法转换为代码的过程要对题目有深入的了解，然后对程序函数定义还要有一定的掌握能力，通过这个的过程让我巩固了自己的数学知识，对数学专业知识和MATLAB的操作有了更深的体会。

课程设计中遇到的问题只凭自己苦思冥想是不能全部解决的，这是同学老师的建议和网络给了我很大的帮助。遇到自己解决不了的问题时，多多向老师同学请教，或许问题就能迎刃而解。

4参考文献

[1]徐树方.数值线性代数.北京:北京大学出版社,1995.[2]马昌凤.现代数值分析.北京:国防工业出版社.2013.[3]刘春凤,米翠兰.实用数值分析教程.北京冶金工业出版社.2006

5附录

源代码

1.Jacobi：

function [y,k]=jacobi2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end

for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end

for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end

if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end

end end

b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end

b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end

L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end

end end

U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i

end end

B=D(L+U);g=Db;while 1 z=B*y+g;if norm(z-y,inf)

y=z;k=k+1;end

x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;grid hold on;plot(y,'b')

2.G-S: function [y,k]=gs2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end

for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end

for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end

if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end

end end

b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end

b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end

L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end

end end

U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i

end end

B=D(L+U);g=Db;while 1 z=(D-L)U*y+(D-L)b;if norm(z-y,inf)

y=z;k=k+1;end

x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;grid hold on;plot(y,'b')

3.SOR：

function [y,k]=sor(a,eps,h,delta,w)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end

for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end

for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end

end end

b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end

b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end

L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end

end end

U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i

end end

B=D(L+U);g=Db;Lw=((D-w*L)^-1)*((1-w)*D+w*U);while 1 z=Lw*y+w*(D-w*L)^-1*b;if norm(z-y,inf)

y=z;k=k+1;end

x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;grid hold on;plot(y,'b')

第二篇：高频课设资料

一、课程设计目的

由于高频振动器所产生的高频振动信号的功率很小，不能满足发射机天线对发射机的功率要求，所以在发射之前需要经过功率放大后才能获得足够的功率输出。本次课程设计使通过已学的电路基础知识，模拟高频振动功率放大器，使发射机内部各级电路之间信号功率能有效传输，这就要求放大器输入端和输出端都能实现阻抗匹配。即放大器输入端阻抗和信号阻抗匹配，放大器输出端阻抗和负载阻抗匹配。我们知道能量是不能放大的，高频信号的功率放大，其实质在输入高频信号的控制下将电源直流功率转换为高频功率，因此除要求高频功率放大器产生符合要求的高频功率外，还应要求有尽可能高的转换率。主要是根据已知数据设计一个丙类高频功率放大器。

二、课程设计题目描述和要求

设计一高频功率放大电路； 1.要求三极管工作在丙类状态；

2.主要技术指标：输入已调波的峰值为100mV；载波频率为6.5MHz，输出功率≧1w，负载50Ω，效率≧80%；

3.用相关仿真软件画出电路并对电路进行分析与测试。

三、课程设计报告内容

3.1 设计方案的论证

高频功率放大器的主要功用是放大高频信号，并且以高效输出大功率为目的，它主要应用于各种无线电发射机中。发射机中的振荡器产生的信号功率很小，需要经多级高频功率放大器才能获得足够的功率，送到天线辐射出去。高频功率放大器输出功率范围，可以小到便捷式发射机的毫瓦级，大到无线电广播电台的几十千瓦，甚至兆瓦级。目前，功率为几百瓦以上的高频功率放大器，其有源器件大多为电子管，几百瓦已下的高频功率放大器则主要采用双极晶体管和大功率场效应管。如图所示是一个采用晶体管的高频功率放大器的原理线路，除电源和偏置电路外，它是由晶体管、谐振回路和输入回路三部分组成的。高频功放中常采用平面工艺制造的NPN高频大功率管，它能承受高电压和大电流，并有较高的特征频率fT。

由先修课程可知，低频功率放大器可以工作在甲类状态，也可以工作在乙类状态，或甲乙类装态，乙类状态要比甲类状态效率高（甲类效率最大可达到50％；乙类效率最大可达78.5％），为了提高效率，高频功率放大器多工作于丙类状态。为工作保证在丙类状态下工作，基极偏置电压Eb应使晶体管工作在截止区，一般为负值，即静态时发射结为反偏。此时输入激励信号应为大信号，一般在0.5V 以上，可达1～2V,甚至更大。也就是说，晶体管工作在截止和导通（线性放大）两种状态下，基极电流和集电极电流均为高频脉冲信号。与低频功放不同的是，高频功放选用谐振回路作为负载，既保证输出电压相对于输入电压不失真，还具有阻抗变换的作用，这是因为集电极电流是周期性的高频脉冲，其频率分量除了有用分量（基波分量）外，还有谐波分量和其他有用频率成分，用谐振回路选出有用分量，将其他无用分量滤除；通过谐振回路阻抗的调节，从而使谐振回路呈现高频功放所要求的最佳负载阻抗值，即匹配，使高频功放高效输出大功率。

图2 集电极电流波形

我们知道能量（功率）是不能放大的，高频信号的功率放大，其实质是在输入高频信号的控制下将电源直流功率转换成高频功率，因此，除要求高频功率放大器产生符合要求的高频功率外，还应要求具有尽可能高的转换效率。要想提高效率有两种途径，一是提高电压利用系数ξ，即提高Uc，这通常靠提高回路的谐振阻抗Rl来实现，另一个是提高波形系数γ，γ与有关，即ζ越小，γ越大，效率ε越高。可以根据集电极电流导通角ζ的大小划分功放的工作类型。当ζ=180°时，放大器工作在甲类；当90°<ζ<180°时，为甲乙类；当ζ=90°，为乙类；当ζ<90°时，则为丙类。对于高频功放，ζ<90°，为了兼顾输出功率P1和效率ε，通常选ζ在65°~75°范围。

图3γ、α0(ζ)、α1(ζ)、α2(ζ)、α3(ζ)与ζ的关系

根据实验要求可知，本次设计需要两级放大，但由于丙类放大器的电流波形失真太大，因而不能用于低频功率放大，只能采用谐振回路作为负载的谐振功率放大。由于调谐回路具有滤波能力，回路电流与电压波形仍然极近于正弦波形，失真很小。因此，第一级放大为甲类放大，放大激励信号，为第二级丙类功率放大器提供大信号激励源；第二级为丙类放大，放大输出功率。其中甲类功放采用晶体管3DG130A(NPN型硅管、最高反向电压为45V、损耗功率PCM为700mw、电流放大倍数>40)丙类功放采用晶体管3DA89(NPN型硅管、最高反向电压为40V、损耗功率PCM为750mw、电流放大倍数>=10)。级间采用变压器进行耦合，采用12V直流电源作为电源。

图4 高频功率放大电路总体设计框图 3.2 丙类谐振功率放大器的效率与功率

功率放大器是依据激励信号放大电路对电流的控制，起到把2.3.1 丙类谐振功率放大器的效率与功率。

集电极电源直流功率变换成负载回路的交流功率的作用。在同样的直流功率作用条件下，转换的功率越高，输出的交流功率越大。集电极电源0V提供的直流功率：

式中C0I为余弦脉冲的直流分解系数

式中，CMI为余弦脉冲的最大值：0C（）为余弦脉冲的直流分解系数。

式中，BBU'为晶体管的导通电压；BBV为晶体管的基极偏置；bmV为功率放 大器的激励电压振幅。集电极输出基波功率：

式中CU为回路两端的基频电压，C1I为余弦电流脉冲基频电流，LR为回路 的谐振阻抗。集电极效率：

式中，为集电极电压利用系数；1()cα为余弦脉冲的基波分解系数。功率放大器的设计原则是在高效率下取得较大的输出功率。在实际运用中，为兼顾高的输出效率和高效率，通常ooC=6080～。

3.3 丙类放大器的负载特性

欠压状态：在欠压区至临界点 的范围内，放大器的输出电压CU随负载电阻LR的增大而增大，而电流cmaxＩ、C1I、C0I基本不变，输出电流的振幅基本上不随CCU变化而变化，故输出功率基本不变。临界状态：负载线和bU正好相交于临界线的拐点。放大器工作在临界状态时，输出功率大，管子损耗小，放大器的效率也就较大。其对应的最佳负载电阻值，用PR表示，即：

当PR变小时，放大器处于欠压工作状态，如C点所示。集电极输出电流较大，集电极电压较小，因此输出功率和效率都较小。PR变大时，放大器处于过压工作状态，如B点所示。集电极电压虽然较大，但集电极电流凹陷，因此输出功率较低，但效率较高。为了兼顾输出功率和效率的要求，谐振功率放大器通常选择在临界工作状态。设计谐振功率放大器为临界工作状态的条件是： CCcmcesV-U=U。

式中，cmU为集电极输出电压幅度；CCV为电源电压；cesU为晶体管饱和压降。

过压状态：放大器的负载较大，在过压区，随着负载LR的加大，1cI要下降，因此放大器的输出功率和效率也要减小。输出电流的振幅将随CCV的减小而下降，故输出功率也随之下降。

其负载特性如图2 谐振功率放大器的负载特性。

3.4 丙类高频功放的振幅特性

高频功放的振幅特性是指只改变激励信号振幅bU时，放大器电流、电压、功率及效率的变化特性。由图3 高频功放的振幅特性可以看出，在欠压区，C0I、C1I、CU随bU的增加而增加，但并不一定是线性关系。在过压区，cU基本不随bU变化，可以认为是恒压区，放大等幅信号时，应选择在此状态。2.3.4 欠压、临界、过压工作状态的调整

调整欠压、临界、过压三种工作状态，大致有以下几种方法：改变集电极负载LR；改变供电电压CCU；改变偏压BBU；改变激励bU。

方法1:改变LR，但bU、CCU、BBU不变：当负载电阻LR由小至大变化时，放大器的工作状态由欠压经临界转入过压。在临界状态时输出功率最大。

方法2:改变CCU，但LR、bU、BBU不变：当集电极供电电压CCU由小至大变化时，放大器的工作状态由过压经临界转入欠压。

方法3: bU变化，但CCU、BBU、LR不变或BBU变化，但CCU、bU、LR不变：这两种情况所引起放大器工作状态的变化是相同的。因为无论是bU还是BBU的变化，其结果都是引起beU的变化。当BBU或bU由小到大变化时，放大器的工作状态由欠压经临界转入过压。

3.5 原理图分析及参数计算

1.确定放大器的工作状态

在CCV=+12V的条件下，晶体管2N2219A的参数：CC VP cm =700mW,ICM=300mA U CES ≤0.6V,β≥30，fT≥150MHz，放大器功率增益AP≥6dB.。为了获得

较高的效率及最大输出功率，选丙类功率器的工作状态为临界状态，取ζ=700，得出谐振回路的最佳负载电阻RP为：

得集电极基波电流振幅

得集电极电流脉冲的最大值Icm及其直流分量

得电源供给的直流功率P为：

得放大器转换效率为

2.计算谐振回路

若取谐振回路电容：固定电容C=50PF 得回路电感

3.偏置电路电压

3.6 软件设计

Multisim是一个专门用于电子电路仿真和设计的EDA软件，它具有直观、方便的操作界面，创建电路、选用元器件和虚拟测试仪器等均可直接从屏幕图形中选取，操作简便。它具有完备的电路分析功能，可以完成电路的瞬态分析和稳态分析、时域分析和频域分析、器件的线性和非线性分析、交直流灵敏度分析等电路分析方法。在进行仿真的过程中，可以存储测试点的数据、测试仪器的工作状态、显示的波形。它先进的高频仿真设计和功能，是目前众多仿真电路所不具备的。

Multisim 用软件的方法虚拟电子与电工元器件，虚拟电子与电工仪器和仪表，实现了“软件即元器件”、“软件即仪器”。Multisim 是一个原理电路设计、电路功能测试的虚拟仿真软件。

Multisim 的元器件库提供数千种电路元器件供实验选用，同时也可以新建或扩充已有的元器件库，而且建库所需的元器件参数可以从生产厂商的产品使用手册中查到，因此也很方便的在工程设计中使用。

Multisim 的虚拟测试仪器仪表种类齐全，有一般实验用的通用仪器，如万用表、函数信号发生器、双踪示波器、直流电源；而且还有一般实验室少有或没有的仪器，如波特图仪、字信号发生器、逻辑分析仪、逻辑转换器、失真仪、频谱分析仪和网络分析仪等。Multisim 具有较为详细的电路分析功能，可以完成电路的瞬态分析和稳态分析、时域和频域分析、器件的线性和非线性分析、电路的噪声分析和失真分析、离散傅里叶分析、电路零极点分析、交直流灵敏度分析等电路分析方法，以帮助设计人员分析电路的性能。

Multisim 可以设计、测试和演示各种电子电路，包括电工学、模拟电路、数字电路、射频电路及微控制器和接口电路等。可以对被仿真的电路中的元器件设置各种故障，如开路、短路和不同程度的漏电等，从而观察不同故障情况下的电路工作状况。在进行仿真的同时，软件还可以存储测试点的所有数据，列出被仿真电路的所有元器件清单，以及存储测试仪器的工作状态、显示波形和具体数据等。Multisim 有丰富的Help功能，其Help系统不仅包括软件本身的操作指南，更要的是包含有元器件的功能解说，Help中这种元器件功能解说有利于使用EWB进行CAI教学。另外 Multisim还提供了与国内外流行的印刷电路板设计自动化软件Protel及电路仿真软件PSpice之间的文件接口，也能通过Windows的剪贴板把电路图送往文字处理系统中进行编辑排版。支持VHDL和Verilog HDL语言的电路仿真与设计。利用Multisim 可以实现计算机仿真设计与虚拟实验，与传统的电子电路设计与实验方法相比，具有如下特点：设计与实验可以同步进行，可以边设计边实验，修改调试方便；设计和实验用的元器件及测试仪器仪表齐全，可以完成各种类型的电路设计与实验；可方便地对电路参数进行测试和分析；可直接打印输出实验数据、测试参数、曲线和电路原理图；实验中不消耗实际的元器件，实验所需元器件的种类和数量不受限制，实验成本低，实验速度快，效率高；设计和实验成功的电路可以直接在产品中使用。Multisim 易学易用，便于电子信息、通信工程、自动化、电气控制类专业学生自学、便于开展综合性的设计和实验，有利于培养综合分析能力、开发和创新的能力。3.7 硬件设计

3.8测试结果

四、结论

通过在电脑软件Multisim上的模拟，和在元件与功能电路的选择，参数计算，此电路基本达到设计要求，优点是此电路的效率达到了82%。

五、结束语

课程设计是培养学生综合运用所学知识，是发现、提出、分析和解决实际问题、锻炼实践能力的重要环节，是对学生实际工作能力的具体训练和考察过程。这次的高频课程设计，加深了我对电子电路理论知识的理解，并锻炼了实践动手能力，具备了高频电子电路的基本设计能力和基本调试能力。

回顾起此次高频课程设计，至今我仍感慨颇多。的确，从选题到定稿，从理论到实践，在整整一星期的日子里，可以说得是苦多于甜，但是可以学到很多很多的的东西，同时不仅可以巩固了以前所学过的知识，而且学到了很多在书本上所没有学到过的知识。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正学到属于自己的知识，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。在设计的过程中遇到的问题，可以说得是多如牛毛，因为基础不牢固，再加上缺乏实际设计及动手的经验，所以难免会遇到过各种各样的问题。同时在设计的过程中我也发现了自己的很多的不足之处，比如说发现自己 对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固。

不过，这次实验的最大收获就是锻炼了我独立思考的能力，由于参数的计算有点复杂，需要自己独立思考各个参数的意义和各个参数之间的联系，这就要求我在设计过程中必须认真思考，绝不能马虎，否则，算出来的可能就是错误答案。而参数不对，最终将直接影响到仿真的结果。

课设的这段日子真的是给我留下了很深的印象。我总结出，在每次课设中，遇到问题最好的办法就是请教别人，因为每个人掌握的情况都不一样，一个人不可能做到处处都懂，必须发挥群众的力量，复杂的事情才能够简单化。这一点我深有体会，在很多时候，我遇到的困难或许别人之前就遇到过，向他们请教远比自己在那边摸索来得简单，来得快。虽然我现在已经初步学功率放大器，但是离真正能够利用已学的知识自由设计使用电路会了如何设计符合要求的高频谐振的还有一段的距离。课设的这段时间我确实受益匪浅，不仅是因为它发生在特别的实践，更重要的是我的专业知识又有了很大的进步。

参 考 文 献

【1】郑长明.《高频电路实验与仿真》.科学出版社

【2】张新喜《Multisiml0 电路仿真及应用[M]》北京:机械工业出版社.2012 【3】杜武林,李纪澄,曾兴宪.《高频电路原理与分析(第二版)》.西安电子科技大学出版社.1994

【4】赵淑范.《电子技术实验与课程设计[M]》.北京:清华大学出版社.2009 【5】刘泉主.《通信电子线路》.武汉理工大学出版社.2007.1

【6】谢自美.《电子线路设计·实验·测试》.华中科技大学出版社.2007.8

【7】胡宴如.《模拟电子技术基础》.高等教育出版社出版社。

【8】杨志忠.《数字电子技术基础》.高等教育出版社

【9】曾兴雯.《高频电路原理与分析》.西安电子科技大学出版社

利用选频网络作为负载回路的功率放大器称为谐振功率放大器，这是无线电发射机中的重要组成部分。根据放大器电流

导通角ζ的范围可分为甲类、乙类、丙类及丁类等不同类型的功率放大器。电流导通角ζ愈小，放大器的效率ε愈高。如甲类功放的ζ=180，效率ε最高也只能达到50%，而丙类功放的ζ<90º，效率ε可达到80%，甲类功率放大器适合作为中间级或输出功率较小的末级功率放大器。丙类功率放大器通常作为末级功放以获得较大的 利用选频网络作为负载回路的功率放大器称为谐振功率放大器，这是无线电发 射机中的重要组成部分。根据放大器电流导通角ζ的范围可分为甲类、乙类、丙类

及丁类等不同类型的功率放大器。电流导通角ζ愈小，放大器的效率ε愈高。如甲类功放的ζ=180，效率ε最高也只能达到50%，而丙类功放的ζ< 90º，效率ε可达

到80%，甲类功率放大器适合作为中间级或输出功率较小的末级功率放大器。丙类 功率放大器通常作为末级功放以获得较大的输出功率和较高的效率。

图3-1 高频功率放大器

图3-1 为由两级功率放大器组成的高频功率放大器电路，其中VT1组成甲类功 率放大器，晶体管VT2 组成丙类谐振功率放大器，这两种功率放大器的应用十分广 泛，下面介绍它们的工作原理及基本关系式。前 言

在高频范围内为获得足够大的高频输出功率，必须采用高频放大器，高频功率放大器主要用于发射机的未级和中间级，它将振荡产生的信号加以放大，获得足够高频功率后，再送到天线上辐射出去。另外，它也用于电子仪器作未级功率放大器。

高频功率放大器要求功率高，输出功率大。丙类放大器它是紧紧围绕如何提高它的效率而进行的。高频功率放大器的工作频率范围一般为几百KHZ—几十MHZ。一般都采用LC谐振网络作负载，且一般都是工作于丙类状态，如果要进一步提高效率，也可工作于丁类或戊类状态。三．

实验原理及公式推导

高频谐振放大器的主要作用是使电路输出功率大，效率高；主要特点是用谐振回路来实现阻抗变换，并且为了提高效率常工作在丙类状态。

高频功率放大器一般有两种：1.窄带高频功率放大器；2.宽带高频功率放大器。前者由于频带比较窄，故常用选频网络作为负载回路，所以又称为谐振功率放大器。而宽带高频功率放大器的输出电路则是传输线变压器或其它宽带高频功率放大器，以高效率，小失真得到较大输出功率。因此一般都工作在丙类状态。其导通角小于π，其通角小于π/2。如图1所示是丙类功率放大器原理图。图中LC谐振回路为集电极的负载，Ec为集电极直流电源，Eb为基极负偏置电源。Ub是高频输入信号，Ub=Ubm cosωt。可见，只有输入信号电压足够大时，即Ub>Eb+Eb1(Eb1为晶体管截止偏压)时晶体管才导通。显然电流的通脚<π/2，集电极电流Ic呈脉冲形状，这个电流经集电极谐振回路选出Ic的基波分量Ic1，再经过变压器耦合，在RL上得到一个放大的基波功率。从而实现了丙类功率放大。

高频功率放大器是由输入回路，晶体管负载和电源几部分组成。

1．高频丙类功率放大器的输出功率和效率。为了便于计算脉冲电流Ic,将晶体管 的动态转移特性曲线ic-Ubc用折线gm表示。如图2所示，由图2所知： ic =gm（Ubζ—E＇b）= gm（UbmCosωt+E b＇—b E＇b）gm为跨导。当ωt=ζ时，ic = 0 E＇b+Uc1m cosωt），所以，当ic较大时，Uce的减少使得管子集电极损耗Pc减少，从而提高效率。

3．要提高效率，也可增大g1(ζ)。ζ的减少，可使g1(ζ)增大，于是提高效率。ζ减少，意味着减少ic与Uce均不为零的时间，从而可用甲，乙，丙3种工作状态的集电极电压，电流波形来说明，如图3所示。

甲类在一个周期中都有ic流通，因而Uce正半周，也有ic，所以管耗大，效率低。乙类ic只有半个周期流通，而且，当放大器的负载为电阻时，ic流通半周正好与Uce负半周相对应，此时，Uce小，因而效率比甲类高。

丙类工作时波形，ic流通时间小于半个周期，当集电极谐振回路对激励信号谐振时，ic仅在Uce负半周瞬时值较大时流过，此时Uce较小，所以丙类比乙类效率高。当ζ<π/2，是否可能接近于零，得到最高效率呢？

当ζ→0时，使得输出功率也显著下降，为了兼顾输出功率和不使激励功率过大，因而ζ不能太小，从而限制效率提高。一般情况下ζ=π/3-7π/18时，相应的集电极效率较大，ε在80%-90%之间。

2．丙类功率放大器的负载特性

丙类功率放大器的负载特性是指在Ec,Eb,Ubm不变的条件下，各种电流输出电压，功率和效率等随Re变化的曲线。

因为高频功率放大器的工作状态取决于Rc,Ubm,Eb和Ec四个参数。如果保持Ubm,Eb和Ec不变，则工作状态仅取决于Rc。（1）负载变化对工作状态的影响

如果保持Ubm,Eb和Ec不变则Re变化影响工作状态的变化如图3 从图3看出：

1.动特性表示Re较小时，这时Uc1m也较小，动态负载线A1在线性放大区，这种状态称为欠压状态。在欠压状态，ic呈余弦脉冲。

2.动特性随Rc增加，动态负载线A2在临界线上，称这种状态为临界状态，此时ic还是呈余铉脉冲。3.动特性随Rc继续增大，A3也进入饱和区，此时ic呈凹脉冲，这种状态称过压状态，在过压状态，随Rc增大，ic的幅度也迅速下降，但它的基波输出电压振幅基本不变，即Uc1m≈Ec。

（2）负载Re变化对Ico,Icm，Uc1m,Pout,Po和ε的影响。

当维持Ubm,Eb和Ec不变时，放大器Ico,Icm，Uc1m,Pout,Po，Pc和ε随负载阻 抗Re变化。因为，Uc1m=Ic1m*Re。如图5：

在欠压区：Ic1m与Ico基本不变，仅随Re增加略有下降，Uc1m也随Re增加而直线增加，Pc管耗下降。把放大器看成恒流源。在过压区：Uc1m几乎不变，Ico和Ic1m则随Re的增大也急剧下降。把放大器看成恒流源。从图4看出：集电极电源输入功率Po=Eo*Ico。由于Ec不变，因而Po与Re关系曲线和Ico曲线的形状相同。

放大器输入功率Pout=1/2 Ic1m*Uc1m，Pout与Re关系是根据Uc1m、Ic1m两条曲线相乘求出来。

在临界状态时，Pout达到最大值，放大器效率也较高。这就是希望放大器工作在临界工作状态的原因。

集电极损耗功率Pc=Po – Pout，故Pc曲线由Po与Pout曲线相减得出。

在欠压区，当Re减小，Pc上升很快；当Re=0时，Pc达到最大值，可能使晶体管烧坏。（这种情况是短路）放大器的效率ε=Pout/Po.在欠压状态时，Po变化小，所以ε随Pout增加而增加，到临界状态后，Pout下降没有Po快，在过压状态时，Pout主要是随Ic1m急剧下降而下降，因而ε也略有下降，故在靠近临界的弱过压状态ε出现最大值。3．放大器各级电压对工作状态的影响（1）Ubm对工作状态的影响

在讨论激励电压幅度Ubm的变化对放大器工作状态影响，设Ec,Eb,Re不变。当Ubm较小时，Ubemax=Eb+Ubm也较小，从ic-Ubc动态特性看出：放大器工作在 欠压状态，集电极电流为尖顶余弦脉冲。

当Ubm增大时，Icmax,Ic1m也增大，而引起Uce=Ec-Ic1m*Rc的减少。从而使放大器由欠压状态过渡到过压状态。如图6所示：

（a）为ic-Ubc此称平面上ic的动特性。（b）为集电极电流脉冲波形。（c）Ic1m,Ico,Icm-Ubm的关系。从图6可看出：在欠压状态时，随着Ubm的增加，将引起icmax增加，于是Ic1m,Ico和Uc1m与Ubm几乎成正比增加。在过压状态时，随着Ubm的继续增加，虽然电流脉冲高度继续增大，但其凹度增大。所以Ic1m,Ico在过压区增加不大。在欠压区，Uc1m与Ubm成线性关系。

（2）Eb变化对工作状态影响

设Ec,Ubm,Re不变。

由于Ubemax=Eb+Ubm。所以Eb变化与Ubm变化一样，都要引用Ubemax的变化。

当Ec，Ubm,Re不变时，| Eb|减小相当于Ubm的增大。这样，当Eb反向偏置向正向 偏置变化时，icmax增大，放大器从欠压状态转入过压状态。因此，Eb变化对集电极 电流脉冲波以及Ico,Ic1m和Uc1m的影响与Ubm变化引起的影响类似。

如图7，在欠压状态改变Eb,可控制高频输出电压，这就是基极偏压调幅的原理。Eb1

（3）集电极电源Ec对放大器的影响 设Eb,Ubm,Re不变。当Eb,Ubm不变时，Ubemax=Eb+Ubm也不变，若Re不变，则ic-Uce坐标平面上的ic的动特性的斜率也不变。假设放大器原来工作在临界状态，则当Ec增大，ic动特性向右平行移动，放大器将工作与欠压状态。反之，Ec减小，ic动特性向左平行移动，放大器工作于过压状态。如图8所示。当Ec>Ec2时，放大器工作在欠压状态。由于Ubemax不变，所以Ec减小而使得 Ucem减小时，icmax略有下降，ζ变化也很小，故Ic1m,Ico随Ec减小而略有下降。这 样，欠压状态，Ec对Ic1m不能有效控制。

当Ec

第二．在过压区，Ico随Re的减少而迅速增加，这对集电极谐振回路的调谐提供了一个标准。在调谐时，适当降低Ec的值，使放大器工作在过压状态。调节谐振回路，当Ico为最小时，说明电路谐振于工作频率。

四．实验电子线路

如图8所示，输入信号频率为4MHZ，电源电压为Ec=15V,输入信号由高频信号发生

器产生，经过BG1,BG2三极管放大推动未级功放管BG3。BG1集电极输出信号经L1、C7、C8组成的T型匹配电路接BG3基极。输出是由L和C10组成的谐振回路，谐振于4MHZ频率。当开关K1拨在“天线”时,其负载就是天线。当开关K1拨到R时，表示以电阻作为输出负载。本实验要求在75Ω负载电阻上，使信号Ub=0.6V，输出功率最大值。

第三篇：给水课设资料

1设计题目

市区地表水水厂初步设计

2设计原始资料

2.1 用水资料

（1）生活用水

市区规划人口数30万人；给水普及率按88%考虑；设定房

屋平均层数为6层。城市用水量较均匀，时变化系数为1.44。

（2）工业用水

假定该市有大型工业企业2家，用水量情况如下表所示：

工业企业用水量情况统计表

企业用水

编号

A

B 厂名 钢铁厂 化工厂 水压 生产班制（时间）24 18 量（m3/d）(kg/cm2)10000 4000 2.5 2.5 注：上述各厂供水水质要求同生活用水。

（3）其他

绿化浇洒道路每日以500m计。

2.2原水水质资料

编号项目 色度 单位 度 分析结果 40 附注33 4 5 6 7 8 9 10 11

SS 嗅和味 PH值 总硬度 溶解性总固体

铁 锰 氟化物 细菌总数 大肠菌群

mg/Ｌ 度mg/Ｌ mg/Ｌ mg/Ｌ mg/Ｌ mg/Ｌ 个/Ｌ 个/Ｌ

600 合格 6.9 480 760 3.0/0.2 0.01 0.6/1.5 6000 800

以CaCO3计

2.3地形地貌与地质

按平坦地形设计，平均海拔高度在800米左右。

工程地质良好，适宜于工程建设，地质构造一般皆为四层，耐压力在2kg/cm2以上；

第四篇：线性代数_课件LA1-1B

线性代数讲稿

讲稿编者：使用教材：《线性代数》

教学参考：《线性代数典型题分析解集》张 凯 院

西北工业大学出版社 西工大数学系编 西北工业大学出版社 徐 仲 等编

第一章

n阶行列式 §1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,,pn构成的不同排列有n!种．

解 在n个元素中选取1个

n种取法

在剩余n1个元素中选取1个

在剩余n2个元素中选取1个

n1种取法 n2种取法

„„„„„„

„„„„

在剩余2个元素中选取1个

2种取法

在剩余1个元素中选取1个

1种取法

------------------

总共n!种取法

2．标准排列：n个不同的自然数从小到大构成的排列．

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数：

(1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）

之间有1个逆序．

(2)排列p1p2pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作(p1p2pn)．

算法：固定i(2,,n), 当

满足pjji时，iipi的“pj”的个数记作（称为p的逆序数），那么(p1p2pn)2n．

271032261

4例2 排列6372451中, ．

例3 排列13(2n1)(2n)(2n2)42, 求逆序数．

解

记作p

1p2pnpn1pn2p2n1p2n

20, ,n10

n2221, n3422，„, 2n2(n1)

2[12(n1)]n(n1)4．奇偶性：排列p

(p1p2pn)(p1p2pn)p2pn

奇数时, 称为奇排列； 偶数时, 称为偶排列．

5．对换：

相邻对换：p

一般对换：p

1pipi1pnp1pi1pipn pipjpnp1pjpipn(ij)

1定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．

证

先证相邻对换：(1)

(2)

ab：对换后aaba1alabb1bma1albab1bm

2增加1, 不变, 故tbbt11； t11． ：对换后不变, 减少1, 故ta所以t与t的奇偶性相反．

2再证一般对换：(1)

(2)

(3)

a1alab1bmbc1cn a1alb1bmabc1cn a1albb1bmac1cn

(1)(2)经过m次相邻对换

(2)(3)经过m1次相邻对换

(1)(3)经过2m1次相邻对换, 所以t与t的奇偶性相

31反．

推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数．

偶排列标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 n阶行列式的定义

1．二阶： a11a21a11a12a22a12a22a32a11a22a12a21

a13a23a33a11a23a32a12a21a33a13a22a31 2．三阶： a21a31a11a22a33a12a23a31a13a21a32

(1)乘积中三个数不同行、不同列：a

行标(第1个下标)：标准排列 123

列标(第2个下标)：p11p1a2p2a3p3

p2p3是

1,2,3的某个排列(共6种)

(2)正项：123, 231, 312为偶排列

负项：132, 213, 321为奇排列

a11a12a22a32a13a23a3

3于是 a21a312(1)(p1p2p3)a1p1a2p2a3p3，(p1p2p3)．

3．n阶：n个数aij(i,j1,2,,n), 称

a1na2nanna11a12a22an2

Da21an1



为n阶行列式, 它表示数值

(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn, (p1p2pn)

其中, 求和式中共有n!项．

a11a12a22a1na2nanna11a1,n1a2,n1a1na21an例3 计算D1，D2.解 数为

D1中只有一项a11a22ann不显含0, 且列标构成排列的逆序(12n)0, 故D1(1)a11a22anna11a22ann．

D2中只有一项a1na2,n1an1不显含

0, 且列标构成排列的逆序数为

(n21)12(n1)n(n1)2

故D

n(n1)2(1)a1na2,n1an1(1)2a1na2,n1an1．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素

的乘积, 并冠以符号(1)

特例：

1n(n1)2．

1212n，2n(n1)(1)212n

nn

定理2

a11Da21an1

(2)

证a12a22an2a1na2nann(1)(q1q2qn)(q1q2qn)aq11aq22aqnn

(p1p2pn)由定义知

D (1)a1p1a2p2anpn6(p1p2pn)

(1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

(3)

①

(q1q2qn)偶数

q1q2qn12n(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(q1q2qn)a1p1a2p2anpn

偶数次对换

偶数次对换 偶数 12np1p2pn

所以(p ② (q

11p2pn)q2qn)奇数

奇数次对换

奇数次对换 奇数 , 由(3)可得

(p1p2pn)q1q2qn12n12np1p2pn

所以(p

因此(1)

(1)1p2pn)(1)(q1q2qn)(p1p2pn)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)a1p1a2p2anpn

同理可证(1)中的项都是(2)中的项．

课后作业：习题一

1，2，3

§1.4 行列式的性质

a11a1nanna11an1ann

性质1 设D

证 令b

DΤan1，DΤa1n, 则DΤD．

ijaji(i,j1,2,,n), 则

b11b1nbn1(1)(p1p2pn)b1p1b2p2bnpn

(p1p2pn)

bnn

(1)(p1p2pn)ap11ap22apnnDai1ainajn

(根据Th2)

aj1ajnain

性质2 设ij,Daj1，D1ai1, 则D1D．

证

bikajk,bjkaik(k1,2,,n)

li,j:blkalk(k1,2,,n)

bi1tbinbjn

D1bj1(1)(bipibjpj)

(pipj)

推论1 (1)(1)(bjpjbipi)

t(pjpi)

(1)(1)(aipjajpi)ttqipj,qjpili,j:qlpl

(1)(1)(aiqiajqj)DDt(qiqj)

对调两列得D2D2D．

TT证 因为D对调两列得D, 相当于D对调两行得D

2所以D 2D2DTTD

推论2 D中某两行(列)元素对应相等D0．

证 因为对调此两行(列)后,D的形式不变

所以DDD0

12b23c03

例如, 对于任意的a,b,c, 都有a1a11a1nkainkDanna11．

ka1jkanja1nkD

性质3 kai1an1，an1

ann

证(1)左端(1)[a1p

推论1

推论2 DD1(kaipi)anpn]

(ppp)

1ink(1)(a1p1aipianpn)kD

中某行(列)元素全为0D0． D0． 中某两行(列)元素成比例ij

性质4 若对某个i, 有aa11a1na11bijcij(j1,2,,n), 则

a1na11a1ncinann

ai1an1ainbi1annan1binci1annan1

证 左端(1)(a1p

1aipianpn)

(ppp)

1in(1)(a1p1bipianpn)(1)(a1p1cipianpn)

右端(1)+ 右端(2)[注] 性质4对于列的情形也成立．

ai1ain

性质5

rikraji1aj1ainajn(ij)

aj1ajnaj1ajn [注] 性质5对于列的情形也成立．

1533

例5 计算D20113112.413115331533153

解 D01055211110161011500023(5)0002021911011102115331533

1110111(5)00023(5)002355

0031000112xaa

例6 计算Dxana．

aax111

解 r1(r2rn)Dxan[x(n1)a]a

aax111

[x(n1)a]0xa0

00xa

[x(n1)a](xa)n1

3131

12210030103010n00

例7 计算Dn3n．

n01t2100

解 c1jc0jDnj2,,n0001(2n)

221

§1.5 行列式按行（列）展开

余子式：在n阶行列式中，将元素a所在的行与列上的元素划

ij去，其余

元素按照原来的相对位置构成的n1阶行列式，称为元素a的

ij

余子式，记作M．

ij

代数余子式：元素a的代数余子式Aijij(1)ijMij．

a11a12a22an2a1na2nann

定理3 Da21an1



ai1Ai1ai2Ai2ainAin

(i1,2,,n)(j1,2,,n)a1jA1ja2jA2janjAnj

证

证明第一式, 分以下3步．

a11a1,n1

第1步：Mnnan1,1(1)(p1pn1)a1p1an1,pn1

an1,n1(1pin1)

a11a1,n1an1,n10a1nan1,nann

an1,10(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn

(1)pnnpnn(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn+

(1)

ann(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn a1p1an1,pn1

MannAnn(1)nn(p1pn1n)

(p

D21pn1n)(p1pn1)

annMann(1)nnnna1jD1ai1,j

第2步： D(i,j)00aijai1,janj00

D3D4a1jD1D2ai1,j

(1)(ni)(nj)ai1,jD3000D40anjaij

(1)(ij)aijMijaijAij

第3步：DD(i,1)D(i,2)D(i,n)

ai1Ai1ai2Ai2ainAin

15011712331133121

例8 计算D234．

160010211解 D23116(1)3221471321

20010a51(1)(1)122

(1)272075155

baaccbddd00(1)(2n1)12nb

例9 计算D2n．

c

解 D2n(1)11a0D2(n1)00db0c0D2(n1)0

(2n1)

(1)(2n1)(2n1)adD2(n1)(1)(1)n1(2n1)1bcD2(n1)

(adbc)D2(n1)(adbc)acbdD2

D2adbc

D2n(adbc)n

111200023003n10n1n

例10 计算Dn111．

解 DnnDn1(1)n1(n1)!

(n1)1

n(n1)Dn2(1)(n11)!(1)n1(n1)!

n(n1)Dn2(1)nn!n1(1)n1n!n

n

4n(n1)3D2(1)n!3(1)n!n1(1)n1n!n

D2111221(1)2(1)1

2334n1(1)2(1)(1)(1)Dn(n!)123n

课后作业：习题一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2

1x11x2x2x2n121xn1xn1xn1n121xnxnxnn12 例11 证明Dnx1x12(x1jinixj).n1 14

11(x2xn)x2(x2xn)x2n21(xn1xn)xn1(xn1xn)xn1(xn1xn)n21000 证 D(i)xn(i1)nin,,2(x1xn)x1(x1xn)x1n2

(x1xn)(x2xn) (1)(x D D Dkn1n(x1xn)(x2xn)(xn1xn)Dn1

xn1)(xnxn2)(xnx1)Dn1

(xkxk1)(xkxk2)(xkx1)Dk1(kn,n1,,3)

21x11x2x2x1

n(xnxn1)(xnxn2)(xnx2)(xnx1)

(xn1xn2)(xn1x2)(xn1x1)

„„„„„„

(x3x2)(x3x1)

(xa11am1a1mamm00b11bn100b1nbnn2x1)

例12 证明 D

a11a1mb11b1n a11a1mammam1p1

ammbn1bnn 证 D行倍加1am1pmp1pm

b11b1nbnn D列倍加q102bn1p1q1qnqn00

pm0q1 D前m行“行倍加”后n列“列倍加”(p1pm)(q1qn)D1D2

qn 定理

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn04 设ij, 则 a1iA1ja2iA2janiAnj0．

证 只证第一式.ij时, 有

ai1ainajnainainai1Aj1ai2Aj2ainAjnaj1Aj1aj2Aj2ajnAjn Daj1ai1

0ai1

[注]结合定理3与定理4可得

Dai1Aj1ai2Aj2ainAjn0a1iA1ja2iA2janiAnj1241433334122(ij)(ij)(ij)(ij)

D0

例13 D241, 求A11A21A31A41．

12414333341220 解法1 因为D1111 D与D的第1列元素的代数余子式相同

所以将D按第1列展开可得AA21A31A410．

解法2 因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式相乘求和

为0,即 3A 所以

§1.7 Cramer法则

考虑线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2 an1x1an2x2annxnbna11a12a22an2a1na2nanna21an1113A213A313A410

A11A21A31A410

D

b1a12a22an20a1na2nanna11b1b2bna13a23an3a1na2nann(j)D(1)b2bn，D(2)a21an1, „„

 定理5 若D 证 存在性., 则方程组存在唯一解xjDD(j1,2,,n).17 bib1~ Dbibnai1a11ai1an1aija1jaijanjaina1nr1ainri1ann0(r1ri1)

 第1行中元素a的代数余子式为

ij~ Ab1ija11an1a11a1,j1an,j1a1,j1an,j1a1,j1an,j1b1bna1n(1)1(j1)bn

a1nD(j)a1,j1an,j1ann (1)j2(1)j1an1

ann~ 将D按第1行展开可得

biDai1(D(1))aij(D(j))ain(D(n))0

因为D ai10, 所以

aijD(j)D(1)DDjainD(j)D(n)Dbi(i1,2,,n)

故方程组有解 xD(j1,2,,n)

*1 唯一性.设方程组还有解xa11a1,j1an,j1a1,j1an,j1a1,j1an,j1*,x2,,xn, 则

**a1jxjanjxj*a1,j1an,j1*a1n x*jDan1a11

***anna1,j1**(a11x1a1jxja1nxn)(an1x1anjxjannxn)b1bna1,j1an,j1a1nannD(j)a1n an1a11

an,j1ann an1

同理可得 xjDD(j)于是 x*jD xjDxjxj(j1,2,,n)

* 例

x1x22x1x214 解线性方程组3x12x2x1x29, D(1)9, D(2)18(3)x32x40x3x40x35x45x3x41.解 D

D x 127, D(4)9

1, x22, x33, x41

a11x1a12x2a1nxn0a21x1a22x2a2nxn0 齐次方程组 

an1x1an2x2annxn0

定理6 若D0, 则齐次方程组只有零解.D0.推论 齐次方程组有非零解 [注] D0齐次方程组有非零解.(定理3.5之推论)

例

x1x2x3015 已知 x1x2x30 有非零解, 求xxx0231.111(2)(1)02 解 D111, 故1或2. 19

a1b1a2a2b2a2anananbn 例16 计算Dna1a1(bi0). 解 采用加边法.10a1a1b1a1a111a1b100a20b20a2a2a2b2a2an0ananananbnt0a1b100a20b20an00bn Dn00

1100bn0

tbb1ana1a21bbbb2n12nb1b2bn

课后作业：习题一

8，9

第二章

矩阵及其运算 §2.1 矩阵

1.方程组由其系数和右端项确定

a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2 am1x1am2x2amnxnbma11a12a22am2a1na2nammb1b2bm

a21am1



2.矩阵

设mn个数a表

ij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成m行n列的数

a11a12a22am2a1na2namn

a21am1



用括号将其括起来, 称为mn矩阵, 并用大写字母表示, 即

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n, amn

简记为A(aij)mn.(1)方阵

(2)矩阵

(3)矩阵 aij

称为A的i行j列元素

(4)mn

称A为aijR

称A为实矩阵

(5)m1,n1 称A为行aijC

称A为复矩阵

(6)m1,n1 称A为列

零矩阵：所有元素都是0 的矩阵.100010010；对角矩阵 01000

单位矩阵 En200n

3.线性变换与矩阵

设变量y为

1,y2,,ym可由变量x1,x2,,xn表示y1a11x1a12x2a1nxny2a21x1a22x2a2nxn ymam1x1am2x2amnxn

称之为由变量x矩阵

A(aij)mn1,x2,,xn到变量y1,y2,,ym的线性变换, 它与是一一对应关系．

§2.2

矩阵的基本运算

同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵．

矩阵相等：设A(a

ij)mn,B(bij)mn, 若 , 称AB.aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n))mn,B(bij)mn

1.线性运算：A(a

加法：AB(aijijbij)mna11b11am1bm1a1nb1n amnbmn

数乘：kA(kaij)mnka11kam1)mnka1n kamn

负矩阵：A(1)A(a

减法：AB(abij)mnij

a1nb1namnbmnija11b11am1bm122



算律：设A,B,C为同阶矩阵，(1)

(2)

(3)

(4)

例1 ABBAk,l为常数, 则有

(5)1AA

(6)(kl)Ak(lA)

(kl)AkAlAk(AB)kAkB(AB)CA(BC)AOA

(7)

(8)

08, B552364 A(A)O231设A4

满足2AX

解 1B2X, 求X．

212X(B2A)3121

2.矩阵乘法：

q1q2qn

特殊情形 P1np1p2pn，Qn1

一般情形 PQp1q1p2q2pnqn

A(aij)ms,B(bij)sn

b1jb2jabababi11ji22jissjbsj

cijai1ai2ais

a11ABam1a1samsb11bs1b1nc11bsncm1c1ncmn

[注] A的列数 = B的行数．

AB的行数 = A的行数；AB的列数 = B的列数．

A与B的先后次序不能改变．

例2 3A01130，1B0021110，3AB01260231301

[注] BA无意义．

例3

1A122，1B111

1AB1BA10, BA100 0O [注] AB ；AO, B, 但是BAO．

算律：(1)

(2)

(3)

(4)(AmsBsn)CnlA(BC)Ams(BsnCsn)ABAC(AmsBms)CsnACBCk(AmsBsn)(kA)BA(kB)

则

nEmAmnA，AmnEnA

验证(1)设A(a

ij)ms,B(bij)sn,C(cij)nl，[(AB)C]ijaikbk1k1sc1jaikbknk1cnjst1saikbktctjk1

[A(BC)]ijai1nbc1ttjt1aisnbstctjt1nabcikkttjk1t1s

nt1saikbktctj[(AB)C]ijk1

(i,j)

a11a应用：A21am1a12a22am2a1nx1a2nx, x2amnxnb1b2bbmy1y2yym,，线性方程组的矩阵形式 Axb

线性变换的矩阵形式 yAx

3.方阵的幂：

Ann, k,l为正整数

A1A, Ak1AkA(k1,2,)

算律：(1)AkAlAkl

(2)(Ak)lAkl

101

例4 A20k, 求A(k2,3,)．

1101101102 解法1 A22020220

11110210110

A3A2A22020231110k

可以验证：Akk20

1 25

30

1 解法2

1A021101k20010k000k110BC0k

BCCB(BC)C2BkBkCCk1

OAk(BC)BkkBC

k1

112k1k10k01020010110000002k100

000

4.矩阵的转置：

a11a21Aam1a12a22am2(A)(kA)TT2kk01



a1na11a2na, AT12amna1na21a22a2nTam1am2amnATTT

算律：(1)

(3)

验证(4)

A kA

(2)

T(AmnBmn)(AmsBsn)TBT

T

(4)

BA

A(aij)ms, B(bij)snTT

ABC(cij)mn, BAD(dij)nm

左ijcjiaj1ajsb1iaj1b1iajsbsibsi

右

故

ijdijb1iaj1bsib1iaj1bsiajscjiajs

dijcji(i1,2,,n;j1,2,,m)，即(AB)TBTAT．

T

对称矩阵：指A满足AnnA26，即aijaji(i,j1,2,,n)

反对称矩阵：指A满足AnnTA，即aijaji(i,j1,2,,n)

5.方阵的行列式：指A(a的

行列

算律：(1)

(3)detATij)nn的元素按照原来的相对位置构成, 记作detA, 或者A．

(2)

(4)

det(lA)ldetA

nkdetAdet(AB)(detA)(detB)

detA(detA)k

[注] 方阵是数表, 而行列式是数值．

6.伴随矩阵：A(aa11a21Aan1a12a22an2*ijAnnBnnBA, 而det(AB)det(BA).)nn, detA中元素a的代数余子式为A．

ijij

*a1nA11a2nA，A*12annA1nA21A22A2nAn1An2Ann

重要性质：AAAA(detA)E

．

7.共轭矩阵：复矩阵A(a

算律：(1)

(3)

§2.3 逆矩阵

定义：对于Annij)mn的共轭矩阵记作A(aij)mn(AB)AB

(2)

(kA)kAT

T记作H(AB)AB

(4)

(A)(A)A , 若有Bnn满足ABBAE1, 则称A为可逆矩阵，且B为A的逆矩阵, 记作A

B．

定理1 若Ann为可逆矩阵, 则A的逆矩阵唯一．

证

设B与C都是A的逆矩阵, 则有

定理2

ABBAE，ACCAE

BBEB(AC)(BA)CECCAnnAnn为可逆矩阵为可逆矩阵1detA0；

A11detAA*．

证

必要性．已知A存在，则有

AA1EdeAtdeAt1deAt01

充分性．已知detA0，则有

AA*AA(detA)EA*AEdeAtdeAt1A*A*

*

由定义知A为可逆矩阵，且A [注]detA0时, 亦称A1detAA．

为非奇异矩阵；

detA0时, 亦称A为奇异矩阵．

推论1 对于A

证

nn, 若有Bnn满足ABE, 则A可逆, 且A1B．

ABEdetAdetB1detA0A可逆 , 则A可逆, 且A1A1A1EA1(AB)(A1A)BEBB

推论2 对于A

算律：

(1)Ann, 若有Bnn满足BAEB．

可逆1A1可逆, 且(AA1)1A．

1

对于A, 取B

(2)A, 有A1BAAE1k．

A1可逆, k0kA可逆, 且(kA)A11．

1

对于kA, 取B

1k, 有(kA)B(kA)(28

1kA)AA1E．

(3)Ann与Bnn都可逆B1ABA1可逆, 且(AB), 有

11B1A1．

对于AB, 取C

(4)(AB)C(AB)(BA1A1)A(BBT)A1E)T．

可逆TAT可逆, 且(A(A1)1(AT1．

1

对于A, 取B

(5)

(6)A)T, 有ABA(AT)T(A1A)TE．

可逆detA与Bnn11detA．

***Ann都可逆(AB)BA1．

1

证(AB)[det(AB)](AB)[(deBt)B01*[(detA)(detB)][B1A1]

][(deAt)A]BA1**

则有

负幂：A可逆, 定义A

例1

例2 设A 解 2El，klAk(A)k(k1,2,), AAA3A21klkl，(A)Ak

(k,l为整数)

4121131111014，A151*1A10550

nn满足A22A4EO，2求(A

E)1．

A2A4EOA2A3EE

应用：

(AE)(A3E)E(AE)1A3E

(1)n阶线性方程组求解

(2)求线性变换的逆变换

(3)矩阵方程求解

设A

Annxb, detA0xAyAnnx1b1

y，detA0xA

mm可逆，Bnn可逆, 且Cmn已知, 则

例3 AXCXAC11

XBCXCB

1AXBCXA1CB

1055设A22131016，2C23 满足AXC2X, 求X．

解

并项：

计算：(A2E)XCX(A2E)1

131223130751011C

1设A11511050111*412111 1

例4 满足A

*XA12X, 求X．

解

并项：

左乘A：

计算：

密码问题：

(A2E)XA1[(detA)E2A]XEdeAt4

X(4E2A)112(2EA)111041110011

a1, b2,c3, „ ,z02126

111

1A1021132 2121，A1

action：1, 3, 20, 9, 15, 14

167加密：A3442043，981A15521443

发出∕接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 43

解密：A1671443 4320，A181952154314

明码：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

§2.4 分块矩阵

11A0011A00000000001120112010A111A21310B113

A12 A22

B2B3B4

用若干条横线与纵线将矩阵A划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵

为A的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵．

特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；

同列上的子矩阵有相同的“列数”．

1.加法：AA11As1A1rAsrmn，BmnB11Bs1B1rBsr

A11B11ABAs1Bs1A1rB1rAsrBsr

要求：A与B同阶, 且分块方式相同．

2.数乘：kAkA11kAs1kA1rkAsrA1tAstmn

B11Bt1B1rBtr

3.乘法：AmlA11As1，Bln

 32

CijAi1B1jAitAi1B1jAitBtjBtj

C11ABCs1C1rCsr

要求：A的列划分方式与B的行划分方式相同．

10A11B***100E0A211104201B111B210OE

例1

E B22

B11ABA21B11B21EA21B221121TA11AT1r024110330131T

4.转置：AmnA11As1A1rAsr，ATAs1TAsr

特点：“大转”+“小转”

5.准对角矩阵：设A,A,,A都是方阵, 记

12s

A1Adia(gA1,A2,,As)A2As

性质：(1)

(2)detA(detA1)(detA2)(detAs)A可逆Ai(i1,2,,s)可逆

(3)Ai(i1,2,,s)可逆A1A11A211As

例2 5A000320A11O1OA2

012013

A1A11O15O01A20

OB

例3 设A 解

mm与Bnn都可逆，Cnm，AMC, 求M．

1detM(detA)(detB)0M可逆

X1X3X1X2X3X4M1X1X3X2X4，ACOBX2EmX4OAOBB111OEn

AX1EmAX2OCX1BX3OCXBXE24n1

CA1

MA11BCAO1B

课后作业：习题二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第三章

矩阵的初等变换 §3.1 矩阵的秩

1.子式：在A原来的 mn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k个数按照

相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作D．

k

对于给定的k, 不同的k阶子式总共有C 2.矩阵的秩：在AmnkmCn个．

k中，若

r

(1)有某个r阶子式D0；

(2)所有的r1阶子式D

称rankO0 Ar1． 0（如果有r1阶子式的话）

r(A)r的秩为r, 记作rankAr, 或者

rankAmnmin{m,n} k0．规定：

性质：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)例1 2A21时rank(kA)rankA

TrankAAArankA

中的一个D中所有的D8212124r0rankAr

r10rankAr3123, 求r(A)．

解

位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D

计算知, 所有的3阶子式D[注] Amn3222312300

0, 故r(A)2． , 若rankAm, 称A为行满秩矩阵；

若rankAn, 称A为列满秩矩阵．

Ann, 若rankAn, 称A为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）；

若rankAn, 称A为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．

§3.2 矩阵的初等变换

1.初等变换

行变换

列变换

① 对调

rirj

cicj

② 数乘(k0)kri kci

③ 倍加 rikrj cikcj

Amn经过初等变换得到Bmn, 记作AmnBmn．

2.等价矩阵：若

有限次AmnBmn, 称

Amn与

Bmn等价, AmnBmn．

(1)自反性：AA

(2)对称性：AmnBmnBmnAmn

(3)传递性：AmnBmn，BmnCmnAmnCmn

定理1 AmnBmnrankArankB．

证

只需证明1次AmnBmnrankArankB．

设rankAr, 仅证行变换之(3)的情形：

记作

irkriijAjkjBj

(1)若rmin{m,n}, 则有

Dr1不含ri(B)：D(B)r1Dr10(B)r1(A)

(A)(A)Dr1含ri(B), 不含r：DjjDr1kDr10倍加

D(B)r1含r, 且含r：Di(B)r1Dr10

(A)

故B中所有的r1阶子式D

kranBk, BAranArikrj(B)r10rankBrrankA

于是可得rankArankB．

(2)若rm或者rn, 构造矩阵

O O(m1)(n1)

AA1OOB, B1O(m1)(n1)Orikrj

由(1)可得A

1B1rankA1rankB1

ranAk1ranAkkranBkranAranBk1ranBk

其余情形类似．

例2 2A2131239636418212124, 求r(A)．

360140440 解 0A01行61行4040, 故r(A)2．

1行最简形：A00行310010000123041行230000103230223B0

1标准形：A00行与列00H0

定理2 若rankA0行A0mnr(r0), 则

b1irb2irbrir00***B00b1i1b1i2b2i1

：行阶梯形

0行A0[i1]101[i2][ir]00100

***H00

：行最简形

定理3 形． 若rankAmnr(r0)，Er则AOOO, 称为A的等价标准 推论1 若A 推论2 nn满秩, 则AEn．

． AmnBmnrankArankB§3.3 解线性方程组的消元法

例如

2x1x23x314x12x25x342x362x12x1x23x314x2x32x2x352x1x23x31x2x353x318(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

(2)2(1)(3)(1)

x19x21x63

(5)4(6)(5)(6)

解线性方程组的初等变换：(1)互换两个方程的位置(2)用非零数乘某个方程

(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程

用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：

A2b42200行12011035212行4060313141311010125001

91 6

11行50180

方程组： a11a21am1a12a22am2b

a1na2namnx1b1x2b2 xbnm 或者

Axb

~A

增广矩阵：A

设rankAr, 且A的左上角r阶子式D10行~A0000100000100b1,r1b2,r1br,r100b1nb2nbrn00r0, 则

d1d2drdr10： 行最简形

Axb的同解方程组为

x1b1,r1xr1b1nxnd1xb2,r1xr1b2nxnd22xbxr1brnxndrr,r1r0dr1

(3.4)

若d

若dr10, 0, 则方程组(3.4)无解：rankA~~r1rrankArankA

r1则方程组(3.4)有解：rankAr方程组(3.4)成为

„，xndn

(1)

(2)rn时, x1d1, x2d2，是其唯一解

rn时, 方程组(3.4)成为

x1d1b1,r1xr1b1nxnx2d2b2,r1xr1b2nxnxrdrbr,r1xr1brnxn

一般解为

x1d1b1,r1k1b1nknrxd2b2,r1k1b2nknr2xrdrbr,r1k1brnknrxk1r1knrxn40

其中k

定理4

(1)

(2)1,k2,,knr为任意常数．

Amn，~AAb

~Axb有解rankArankA；

Axb有解时, 若rankAn, 则有唯一解；

若rankAn, 则有无穷多组解．

定理5(1)

(2)

课后作业：习题三

1, 2, 3, 4

例3 求解Ax1~A21100行Amnx0有非零解rankAnAnnx0有非零解detA0；

．

b，341A2146224234120011046232221 0，b422583

242200310

解

141051行803020001052 2

51行1000~ranAkranAk24Axb有无穷多解

x122x2x4x31x4

同解方程组：x1x2一般解：x3x4

22k1k21k1k2k2

（k1,k2为任意常数）

例4 求解Ax~A111b，111A1111111111，1b210

100121111

解 11101行121100110001

1010100

111行1012行1111(1)11

(1)

1

x21x1同解方程组：x3(1)x1x(1)(2)x14x1x2一般解：x3x41(1)kkk

（k为任意常数）

(1)(2)k

(2)1

1(x2x3x4)

同解方程组：xx1x2一般解：x3x41

1k1k2k3k1k2k3

（k1,k2,k3为任意常数）

例5 讨论方程组Ax

解

计算可得

(1)

b何时有唯一解, 无穷多解, 无解?

1A121111，3b44

detA(1)

0且1：根据Cramer法则, 方程组有唯一解．

(2)

0： 1~A100111131行40400011011行1043030101104313

(3)

ranAk2，~rankA3，故方程组无解．

1且0： 1~A11101行2101111110131行404121行1040101010110031行1041201011214

 1211212时, 时，~rankA3, rankA2, 故方程组无解． 故方程组有无穷多解．

~rankArankA23, §3.4 初等矩阵

定义

对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．

[注] 对单位矩阵进行一次初等列变换, 相当于对单位矩阵进行一次

同类型的初等行变换．因此, 初等矩阵可分为以下3类：

ErirjE01E10(i)ΔE(i,j)(j)E

1.43

2.EEkrikΔE[i(k)] E

(k0)

3.ErikrjEEcjkciE1Ek1(i)ΔE[i,j(k)] (j)E(i)ΔE[i,j(k)](j)E1Ek1

Amna11a21am1a12a22am21a1nia2njamnm，Amn1,,i,,j,,n

性质1

1jEm(i,j)Aim，1kiEm[i(k)]Ajm，iEm[i,j(k)]Akjjm1

因此可得：对A进行一次初等行变换, 相当于给A左乘一个

同类型的初等矩阵．（定理6的结论之一）

性质2

AEn(i,j)1,,j,,i,,n  AEn[i(k)]1,,ki,,j,,n 44

AEn[i,j(k)]1,,i,,jki,,nB3

cjkciΔ

注意：AB3

因此可得：对A进行一次初等列变换, 相当于给A右乘一个

同类型的初等矩阵．（定理6的结论之二）

性质3

定理7 AnndetE(i,j)1，[E(i,j)]1E(i,j)

1detE[i(k)]k0, detE[i,j(k)]1，[E(i(k))]E[i(1k)]

[E(i,j(k))]1E[i,j(k)]

可逆A可以表示为有限个初等矩阵的乘积．

AEn，证

必要性．已知detA0, 则A满秩

P1,,Ps故存在初等矩阵

及Q1,,Qt, 使得，AP1PsQtQ11111PsP1AQ1QtEn1

而P与Q都是初等矩阵．

i1j

充分性．显然成立．

矩阵求逆方法之二（初等行变换法）：

deAtnn0AP1P2Ps

（P都是初等矩阵）

i1111PsP2P1EAPsP2P1AE111



PsP2P1111AEEA1

由此可得：对n2n矩阵A

E

施行“初等行变换”，当前n列

（A的位置）成为E时，则后n列（E的位置）为A．

1

例6 1A2121332, 4213213010324求A．

1

解 A1E21100行1003140001001行00101001111231010010341121111010315111001001

213

1226501行100011行4030

100行0012651111143

故A12651431001a．

例7 1aA2a3a1aa21a01aa2, 求A．

1

解 A1aE2a3a***00001

依次作初等行变换

10E00010000100001r4ar3，r3ar2, r2ar1可得

1a0001a0001a

A00 01 46

故 A11a1a1a1．

定理8 设Amn,Bmn, 则AmmB , 使得PAQB

存在可逆矩阵P

证

必要性．已知A等

矩阵Q1和Qnn．

1B, 则存在m阶初等矩阵P,,Ps和n阶初,,Qt, 使得PsP1AQ1QtB, 令

则有PAQ

充分性．已知PAQ为

PP1,,Ps，QQ1,,Qt

BB． , 则由定理7知，P和Q都可以表示

有限个初等矩阵的乘积, 即

故P

第四章

向量组的线性相关性 §4.1 向量及其运算

1．向量：n个数a

1sPP1,,Ps，QQ1,,QtB

P1AQ1QtB, 也就是A． ,a2,,an构成的有序数组，47

记作(a1,a2,,an)，称为n维行向量．

ai–– aiR称为向量的第i个分量

–– 称为实向量（下面主要讨论实向量）称为复向量 aiC––

零向量：(0,0,,0),a2,,an)

负向量：()(a 2．线性运算：

相等：若a

加法：i1(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn)

bi(i1,2,,n), Δ称．

(a1b1,a2b2,,anbn)

Δ

数乘：k(ka

减法： 3．算律：

(1)

(2)Δ1,ka2,,kan)

()(a1b1,a2b2,,anbn)(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), (c1,c2,,cn)



(5)

(6)

1

()()k(l)(kl)

(3)

(4)

(7)

(8)

k()kk(kl)kl()

4．列向量：n个数a1,a2,,an构成的有序数组，a1a2记作an，或者(a1,a2,,an)T, 称为n维列向量．

00零向量：0

a1a2负向量：()an

5．内积：设实向量

(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn)，称实数

[,]a1b1a2b2anbn为与的内积．

算律：(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), (c1,c2,,cn)

(1)[,][,]

(2)[k,]k[,]

（k为常数）

(3)[

(4),][,][,]2 时，[,]0． 时, [,]0；(5)[,]证(5)[,][,]

tR, 由[t,t]0可得

[,]2[,]t[,]t20

04[,]4[,][,]0[,][,][,]

6．范数：设实向量, 称实数

性质：(1)

(2)

(3)

(4)

证(3)

[,]为的范数．

k时, 0；时, 0．

k

(kR)

2

[,][,]2[,][,]

证(4)

222

2,()



[,]() 7．夹角：设实向量,, 称

arccos(0)

为与之间的夹角．

正交：若[,]0, 称与正交, 记作．

(1)

(2)

单位化：若

§4.2 向量组的线性相关性

1．线性组合：对n维向量及

1,时, 2；

或时, 有意义, 而无意义．

1, 称0为与同方向的单位向量． ,,m, 若有数组k11,,km使得

k11kmm,,m, 称为,,m的线性组合，或可由例1 1110, 2111411线性表示．，4531，3311

判断可否由解

设4,2,3线性表示? k11k22k33，比较两端的对应分量可得

第五篇：数值线性代数课程设计—超定方程组的求解

《数值线性代数课程设计》

专业： 信息与计算科学

班级： 13405011 学号： 1340501123 姓名： 实验日期：报告日期：实验地点：邢耀光 数理学院五楼机房

2016.05.09

2015.05.13

超定方程组的求解

邢耀光

（班级：13405011 学号1340501123）

摘要：在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定条件的情况下，求一个最接近的解。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

关键字：最小二乘问题，残量，超定方程组，正则化方程组，Cholesky分解定理。

正文：

最小二乘法的背景：

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法经常运用在交通运输学中。

交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。

最小二乘问题：

最小二乘问题多产生于数据拟合问题。例如，假定给出m个点t1,...,tm和这m个点上的实验或观测数并假定给出在ti上取值的n个已知函数1(t),...,n(t)。考虑i 的线性组合，f(x;t)x11(t)x22(t)...xnn(t)，（1）

我们希望在t1,...,tm点上f(x;t)能最佳的逼近y1,...,ym这些数据。为此，若定义残量 据y1,...,ymj1

则问题成为：估计参数x1,...,xn，使残量r1,...,rm尽可能地小。（2）式可用矩阵-向量形式表示为

ri(x)yixjj(ti)，i1,...,m，（2）

n r(x)bAx，（3）其中

1(t1)n(t1)y1A, b，(t)(t)y1mnmm

TT)r(x(x,...x，x)(r(x),...,r(x)).1nm1

当mn时，我们可以要求r(x)0，则估计x的问题就可以用第一章中讨论的方法解决。当mn时，一般不可能使所有残量为零，但我们可要求残向量r(x)在某种范数意义下最小。最小二乘问题就是求x使残向量r(x)在2范数意义下最小。

定义1：给定矩阵ARmn及向量bRm，确定xRn，使得

bAx2r(x)2minr(y)2minAyb2.（4）

yRnyRn这就是所谓的最小二乘问题，简称为LS问题，其中的r(x)常常被称为残向量。

在所讨论的最小二乘问题中，若r线性依赖于x，则称其为线性最小二乘问题：若r非线性依赖于x，则称其为非线性最小二乘问题。

最小二乘问题的解x又可称做线性方程组

Axb,ARmn

（5）的最小二乘解，即x在残向量r(x)bAx的2范数最小的意义下满足方程组（5）。当mn时称（5）式为超定方程组。

定理1:（Cholesky分解定理）若ARnn对称正定，则存在一个对角元均为正数的下三角阵LRnn，使得

ALL.（6）（6）式称为Cholesky分解，其中的L称作A的Cholesky因子。

因此，若线性方程组Axb的系数矩阵是对称正定的，则我们自然可按如下的步骤求其解：

（1）计算A的Cholesky分解：ALL ；

（2）求解Lyb得y ；

（3）求解Lxy得x； 简单而实用的方法是直接比较ALL两边的对应元素来计算L。设

TTTTl11ll2122.Llllnnn1n2T比较ALL两边对应的元素，得关系式

aij 首先，由a11l11，得

l11再由ai1l11li1，得

li1ai1l11，i1,...,n.这样便得到了矩阵L的第一列元素。假定已经算出L的前k1列元素，由

akk得 2lp1jipjpl，1jin（7）

a11.lp1k2kp，122 lkkakklkp.（8）

p1k1再由

得

aikliplkpliklkk，ik1,...,n，p1k1k1 likaikliplkplkk，ik1,...,n.（9）

p1这样便求出了L的第k列元素。这种方法称为平方根法。

记最小二乘解的解集为LS，即

定理 ATAxATb.（10）

方程组（10）常常被称为最小二乘问题的正则化方程组或法方程组，它是一个含有n个变量和n个方程的线性方程组。在A的列向量线性无关的条件下，AA对称正定，故可用平方根法求解方程组（6），这样，我们就得到了求解最小二乘问题最古老的算法———正则化方法，其基本步骤如下：

（1）计算CAA, dAb;

（2）用平方根法计算C的Cholesky分解：CLL;（3）求解三角方程组Lyd和Lxy.TTTTT

2：xLS 当且仅当

LSxRn:x是LS问题(3)的解，实验 ：

一：超定方程组的求解

原理：设A是mn阶矩阵mn，则线性方程组Axb为超定方程组，这里xR,bR。如

mm果A的秩为n，则称A为列满秩矩阵。超定方程组的解满足法方程AAxAb，该解使得

TTbAx 22min，称之为最小二乘解。

11 题目： 111TT1.11.12121.21.2221.31.3x3

21.41.441.51.525

用正则化方法求解，要求:（1）BLL 不得使用MathCAD指令Cholesky；（2）BLL使用MathCAD指令Cholesky。

11解：（1）A111 1.11.126.58.5551.21.22T8.5511.375 1.31.32 , 则 BAA6.51.41.428.5511.37515.2981.51.5215B21,20.5L2.907 , gATbLB2.236, 211111L1128.25

L31 B3123.824 , L22B22L210.316 , L11 4 LB32L31L2132L0.822 , LL2233B3331L320.037 , 22

2.236002.2362.9073.824 即 L2.9070.31600.037 , LT00.3160.822, 3.8240.822000.037

6.70810 则yL1g3.162xLT1y10 ,  , 9.27310132.4781011

x即为所求的最小二乘解。

11.11.1211.21.22（2）A2.2360011.31.32cholesky(B)2.9070.316011.41.423.8240.8220.03711.51.52，2.236002.2362.9073.824 则 L2.9070.3160，LT00.3160.8223.8240.8220.037000.037，6.70810 则yL1g3.162xLT1y10 , 

9.27310132.4781011,x即为所求的最小二乘解。

二：已知如下数据： xi0.00.20.40.60.81.01.2yi0.91.92.83.34.05.76.5 利用最小二乘法拟合曲线 ya1xa2.0.00.90.21.9解：令B0.00.20.40.60.81.01.20.42.80.91.92.83.34.05.76.5 ,x0.6，y3.3 0.81.04.05.71.26.510.010.210.41 则A10.6XATAATy0.8434.571，即p(x)0.8434.571x， , 10.811.011.2故最小二乘法拟合曲线为y4.571x0.843.程序附录： 一；

11.11.12111.21.22256.58.55A11.31.32b3AxbBATA gATb, B6.58.5511.37511.41.428.5511.37515.298,45, ，11.51.52 f(B)nrows(B)

Lidentityn()fork1nLkkBkkifk1k1LkkBkkLkp2otherwisep1forik1nBLkikiLifk1kk(break)ifknk1BikLipLkpLikp1LotherwisekkL

15g20.5, , 28.25，002.23602.23602.2362.9073.824Tf(B)2.9070.3160L2.9070.3160L00.3160.82200.0373.8240.8220.037,Lf(B),3.8240.8220.037,0，6.708103.16210yx119.27310132.4781011TyLg , xLy ,, ，二；

120.00.20.40.60.81.01.2TT B , xB , yB, 0.91.92.83.34.05.76.5

00.90.21.90.42.8x0.6 ,y3.3 , x0, x0.2,nrows(x),n120.8415.71.26.507,i1n , Ai11，.111Ax,AXy,A1i2i111p(s)0.8434.571x.0.20.410.843,p(s)XT1

TTAy ,X0.6,XAA4.571s0.811.2

心得体会：

通过本次的课程设计，让我学会了很多，学会了简单的MathCAD 软件的用法。让我更加深刻了解最小二乘问题，和以往对知识的疏忽得以补充。不仅掌握了学习的知识，而其还可以培养和熟练使用资料，运用工具书的能力，把我们所学的课本知识与实践结合起来，起到温故而知新的作用。

参考文献：

1，《数值线性代数》（第二版）北京大学出版社 徐树方，高立，张平方，编著。2013.01

email：974671870qq.com

1340501123：邢耀光

2016.05.13