高等数学课件_D12_1基本概念

第一篇：高等数学课件_D12_1基本概念

第十二章第一节引例1.引例2.列车在平直路上以微分方程的基本概念例1.验证函数例2.已知曲线上点P(x, y)处的法线与x 轴交点为Q * 微分方程―积分问题―微分方程问题推广微分方程的基本概念机动目录上页下页返回结束微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章一曲线通过点(1,2), 在该曲线上任意点处的解: 设所求曲线方程为y = y(x), 则有如下关系式: ①(C 为任意常数)由②得C = 1, 因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x , 求该曲线的方程.机动目录上页下页返回结束的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解: 设列车在制动后t 秒行驶了s 米, 已知由前一式两次积分, 可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住, 以及制动后行驶了多少路程.即求s = s(t).机动目录上页下页返回结束常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶显式微分方程)一般地, n 阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束引例2 ―使方程成为恒等式的函数.通解―解中所含独立的任意常数的个数与方程―确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同.特解引例1 通解: 特解: 微分方程的解―不含任意常数的解, 定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束是微分方程的解, 的特解.解: 这说明是方程的解.是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件机动目录上页下页返回结束求所满足的微分方程.解: 如图所示, 令Y = 0 , 得Q 点的横坐标即点P(x, y)处的法线方程为且线段PQ 被y 轴平分, 第二节目录上页下页返回结束P263(习题12-1)1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6 思考与练习* * * * *

第二篇：高等数学课件 积分学

第三讲

积分学

一、不定积分

1）原函数与不定积分的概念

2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）

例1：计算。

解：原式

注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。

例2：证明：若，则

其中为待定系数，是方程不相等的实根。

证明：因为

设

（1）

则有，当取

时，（1）式恒成立，因此有

二、定积分

1）定积分的概念和性质

2）微积分基本公式：，其中

3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、2、3、如果关于直线对称，则有

4、如果关于点对称，则有5、6、7、例3：计算阿桑积分，其中。

解：因为，所以是连续函数，即

一定存在。

（1）当时，（2）当时。

注：这里利用了复数开方公式得：

4）反常积分（广义积分）

反常函数审敛法：（1）设在区间上连续，且，如果函数是在区间上的有界函数，则收敛；

（2）设在区间上连续，且，则有，收敛可得收敛；发散可得发散。

（3）设在区间上连续，则有

如果，则有和同敛散；

如果，则有收敛可得收敛；

如果，则有发散可得发散。

（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。

例4：判别下列反常积分敛散性

（1）

（2）

解：（1）

因为收敛，所以。

（2）因为，发散，所以发散。

5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。

三、重积分（二重积分、三重积分）

1）重积分的概念和性质

2）重积分的计算方法：

二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法

注意对称性的运用；

三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法

注意对称性的运用。

3）重积分的应用

曲面的面积为、物体质心、转动惯量、引力。

四、两类曲线积分

1）曲线积分的概念和性质

2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。

3）格林公式：设在上有连续偏导数，则有

4）第二型曲线积分与路径无关

五、两类曲面积分

1）两类曲面积分的概念和性质

2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。

3）高斯公式和斯托克斯公式

例5：证明：若在区间上有连续二阶导数，则

证明：因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区间上的最大值。利用泰勒公式有

其中在之间，因此我们有

又因为

所以有

由于

因此我们有

例6：证明：若函数在区间上单调，且存在，则有

证明：无妨设单调递增，取则有

因为存在，所以。

当时有

当时有

由夹逼准则可得。

例7：已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与平面所围成立体的体积。

解：线段的方程为，曲面的方程为。

例8：设函数在区域内有二阶连续偏导数，且，证明：

证明：利用极坐标可得

改变积分次序后可得

设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得

所以我们有

例9：计算，其中是上半球面与柱面的交线，的方向从轴正方向向负方向看是逆时针方向。

解：设上半球面在圆柱面内的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得

因为对应的单位法向量为，所以。

例10：计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。

解：

取为圆盘的下侧，则有

六、练习题

1）计算

2）设是上的连续函数，证明：

3）设连续，且，其中为，求。

4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使，其中是任意一条不与相交的简单正向闭曲线。

5）计算，其中为曲面的外侧。

七、

第三篇：基本概念盐的课件

盐作为五味之首，是日常饮食中不可或缺的重要调味品，这是其他调味品无法取代的。下面是小编整理的基本概念盐的课件，欢迎来参考！

【盐】

由金属离子（或铵根离子NH4+）与酸根离子组成的化合物。例如，NaCl、NH4NO3等。

大部分盐类是离子化合物，属于强电解质。少数盐如醋酸铅、氯化汞等为弱电解质。盐类在水中的溶解性不同，差别很大。一般说来，钾盐、钠盐和硝酸盐都易溶于水，而碳酸盐、磷酸盐、氢硫酸盐（硫化物）大多不溶于水。盐可以跟某些金属发生置换反应，生成另一种盐和金属（参看置换反应）；盐还可以与酸、碱或其它种类的盐发生复分解反应，生成新的酸、碱和盐（参看复分解反应）。

根据盐的组成和结构的不同，一般有如下的分类：

（1）根据盐组成中是否含有酸式酸根或氢氧根，可分为正盐、酸式盐和碱式盐。

正盐：组成中不含酸式酸根或氢氧根的盐，如NaCl、Na2CO3、KNO3 等。

酸式盐：组成中含酸式酸根的盐，如NaHCO3、KHSO4、Ca(H2PO4)2等。

碱式盐：组成中含氢氧根的盐，如Mg(OH)Cl、Cu2(OH)2CO3等。

（2）按盐组成中的阳离子或阴离子的名称而定名的，如：

钠盐：NaCl、Na2CO3、Na2SO4、Na2S 等。

钾盐：K2CO3、KNO3、KCl 等。

硫酸盐：CuSO4、K2SO4、(NH4)2SO4等。

碳酸盐：Na2CO3、K2CO3、(NH4)2CO3等。

（3）多种阳离子与一种酸根离子组成的盐叫做复盐。如KAl(SO4)2等。

化合物

【化合物】由不同种元素组成的纯净物。如水H2O，高锰酸钾KClO3、五水硫酸铜CuSO4? 5H2O 等都是化合物。

化合物是元素以化合态存在的具体形式。它具有固定的组成，即组成该化合物的元素种类、质量比和各元素的原子个数比均是固定不变的。由于化合物的组成固定，所以可以用元素符号和数字表示它的组成，这就是化学式（或分子式）。就水来说，从宏观上看，纯净的水是由氢、氧两种元素组成的，氢元素和氧元素的质量比为1∶8；从微观看，水是由同一种分子――水分子构成的，每个水分子由2个氢原子和1个氧原子构成。由于水的组成固定不变，所以可以用分子式H2O来表示水的组成。

化合物种类繁多，有的化合物由阴；阳离子构成，如氯化钠 NaCl、硫酸铵（NH4）2SO4 等；有的化合物由分子构成，如氨气NH3、甲烷CH4、五氧化二磷P2O5、二硫化碳CS2等；有的化合物由原子构成，如二氧化硅SiO2、碳化硅SiC等。化合物可以分为无机化合物（不含碳的化合物）和有机化合物（含碳的化合物，除 CO、CO2、H2CO3和碳酸盐等）两大类。按化学性质的不同，可以把化合物分为氧化物、酸类、碱类和盐类（参看单质、离子化合物、共价化合物、有机化合物等）。

单质

【单质】由同种元素组成的纯净物。

单质是元素以游离态存在的具体形式。同一种元素可以形成几种不同单质，如磷元素可以形成白磷、红磷、黑磷三种单质；碳元素可以形成金刚石、石墨等不同单质。由同种元素组成的不同单质互称“同素异形体”。目前，共发现300多种单质。从单质的结构形式看，有的单质由分子构成，如氧气O2、氢气H2、氮气N2、液溴Br2、碘片I2；有的单质由原子构成，如铁Fe、铝Al、铜 Cu、金刚石C、硅Si、硼 B、氦He、氖Ne。根据单质的性质（包括物理性质和化学性质）特点，单质又可以分为金属和非金属两大类。

单质和元素两个概念是不同的，既有联系又有区别：单质是元素的存在形式之一，一种元素可以形成几种单质，这些单质在物理性质和化学性质上有着明显的不同。如氧气O2和臭氧O3，同是氧元素组成的单质，但分子组成不同，性质不同。氧气是无色无味，臭氧是淡蓝色有鱼腥臭味的气体；臭氧比氧气的氧化性更强。单质和化合物两个概念从组成加以区分：单质里只含有同一种元素；化合物含有不同种元素（参看元素、化合物）。

第四篇：华南理工大学高等数学教学课件2

第二节

数列极限

一、整标函数与数列 ①

积分学的基本思想

高等数学的主要内容就是微积分学。积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计算几何形体的长度、面积、体积等等。下面我们用计算面积的情形了解一下积分学的基本思想。怎样计算抛物线y积？

我们主要分四步处理

1）化整为零（分割）把所处理图形剪成很多小片； 2）近似代替（作乘积）把每一小片近似看着长方形； 3）积零为整（求和）把所有小片的近似面积加起来；

4）无限趋近（取极限）当分割越来越细时，寻找和式越来越接近的数。（如图5）

131310.1481480.0348639,130.11458313,130.093333，,13130.0787037,13130.0680272,x2和直线y0,x1所围成的平面图形的面,,0.01898420.0137603,,0.0099333,11,232n6n1容易看出，当n越来越大时，所求的近似面积会越来越接近（数

3列极限），所以我们所求平面图形的面积为。

31②

数列的概念

以上我们得到的这一列数就称为数列。下面我们再看几个数列的例子：

11，,,

2482111n（等比数列）

n1,1,1,1,1,,1,

ln1,ln2,ln3,ln4,,lnn,

数列我们通常记作an，其中an称为通项。如上面所提到的数列可分别记为

111232n6nn1,2,1n,lnn

其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。例如对于数列an对任意的自然数n有唯一的数an与之对应。所以数列有时也可以记作fn。当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数。

二、极限的定义

对于数列an，我们称常数A是它的极限，是指当n越来越大时，对应的an越来越接近A。

这种说法很形象，但不够精确。当我们需要严格论证与极限有关的一些问题时，它的弊端就显露出来。例如要证明数列极限的唯一性这样一个简单命题都不太好说。

随着问题的深入，我们迫切需要一个精确的（量化的）数列极限的定义。这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出。

定义 ：如果数列an与A常数有下列关系，对任意给的正数（任意小），总存在正数N，当nN时，不等式

anA成立，则称常数A是数列an的极限，或者称数列an收敛于A。记为

limanA 或 anAn

n注1 ：定义中的正数N是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的N。

注2 ：对给定的对应的正整数N不唯一。注3 ：数列的有限项的变化对其极限没影响。例1 ：证明：lim3nn2n122n32。

0证明：对于任给(任意小)的3nn2n122

2n322n13225n2n252n

取N52，当nN时，有

3nn2n12232

所以limn3nn2n12232。

n1n0。

2例2 ：证明：limn证明：对于任给(任意小)的20

1n1n2n1n01212n

取N，当nN时，有

n1n02 所以limnn1n0。2

例3 ：设0a1，证明：limann0。

1）证明：对于任给(任意小)的0n（无妨设na0a

取Nloga，当nN时，有

a0n

na所以limn0。

注意：当0a1时，函数logax是递减函数。

三、数列极限的性质

性质1 ：（极限的唯一性）如果数A定有AB,B是数列an的极限，则一。

B证明 ：假设A。无妨设AN1时有

B，取AB2an。因为limnA，所以存在正数N1，当nanAAB2

an又因为limnB，因此存在正数N2，当nN2时有

anBAB2

取NmaxN1,N2，当nN时有

ABanBanAanBanAAB这是一个矛盾，从而证明AB成立。

如果对于数列an，存在一正数M，对任意的n都有

anM 则称数列an有界。否则称数列an无界。

性质2 ：（收敛数列的有界性）如果数列an收敛，那么数列an一定有界。

证明 ：设limannA，取1，则存在正数N，当nN时有

anA1

即有

anAanA1an1A

取

Mmaxa1,a2,,aN,1an

则对任意的n都有anM，即数列an有界。

性质3：（极限的保号性）如果数列性质an的极限为A，且A0，则存在正数N，当nN时，有an与A同号。

A2证明：无妨设A0，取当nNan，因为limnA，所以存在正数N，时有

anAA2

即有

A2anAA2anA20

N

性质4：如果数列性质an的极限为A。如存在一正数N，当n时，an0，则A0；如存在一正数N，当nN时，an0，则A0。

此命题是性质3的逆否命题。思考题：性质4中的“

四、数列子列 ,”能否换成“,”。在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序所得的新数列叫原数列的子数列。

定理：（收敛数列与子数列之间的关系）数列an收敛于A的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于A。

作业：习题1—2：2题1、2小题、4题、6题、7题。

第五篇：大学课件 高等数学期末复习资料

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

总分

得分

一、单项选择题（15分，每小题3分）

1、当时，下列函数为无穷小量的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．函数在点处连续是函数在该点可导的（）

（A）必要条件

（B）充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分也非必要条件

3．设在内单增，则在内（）

（A）无驻点

（B）无拐点

（C）无极值点

（D）

4．设在内连续，且，则至少存在一点使（）成立。

（A）

（B）

（C）

（D）

5．广义积分当（）时收敛。

（A）

(B)

(C)

(D)

二、填空题（15分，每小题3分）

1、若当时，则；

2、设由方程所确定的隐函数，则；

3、函数在区间

单减；

在区间

单增；

4、若在处取得极值，则；

5、若，则；

三、计算下列极限。

1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

1、，求

2、，求

五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算

六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分）

七、证明不等式：当时，（7分）

八、求由曲线所围图形的面积。

（7分）

九、设在上连续，在内可导且.证明：至少存在一点使

四川理工学院试题（A）

参考答案及评分标准

（2005至2006学年第一学期）

课程名称：高等数学

一、单项选择题（15分，每小题3分）

1.B

2.A

3.C

4.A

5.A

二、填空题（15分，每小题3分）

1.a=2

2.3.(0,2)单减，（，）单增。

4.5.a=2

三、计算下列极限。

1.解。原式=

（6分）

1.解。原式=

（6分）

四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

解。

2.解。

五、计算下列积分（18分，每小题6分）

解。

原式=

2.解。原式=

六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分）

所以当时，函数连续。

当时，所以

是函数的间断点。

5分

且，所以是函数的无穷间断点。

7分

七、证明不等式：当时，（7分）

＞0时

＞0，所以单增。

5分

＞0时

＞，即：

证毕。

7分

八、求由曲线所围图形的面积。

（7分）

解：如图所示：（略）

九、设在上连续，在内可导且.证明：至少存在一点使

（7分）

证明：设，显然在在上连续，在内可导（3分）

并且,由罗尔定理：至少存在一点使

而，（6分）

即：

证毕。