小学数学拓展课-空瓶换饮料

精品数学拓展课---

---空瓶换饮料

一、研究背景

（一）对课标的解读

关于解决问题的目标要求，在《数学课程标准（2011版）》中的具体要求，第一学段是：能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。第二学段是：尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。

关于解决问题的方法与策略，在《数学课程标准（2011年版）解读》中指出在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。能画图时尽量画，其实质是将抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算等数学过程变得直观，更易于学生展开形象思维。此外，也强调引导学生经历从问题提出到问题解决的全过程，将数学与生活紧密联系在一起。使学生在体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间联系的过程中不断丰富模型思想。

综上所述，基于对学生数学核心素养的培养，以及关于“解决问题”内容的课标要求，教学中都应努力引导学生经历数学抽象、数学推理与数学建模的过程，实现思维的发展，能力的提升。

（二）我们的思考

在小学数学教学中，我们遇到这样一类问题：“买了若干瓶矿泉水，喝完后几个空瓶可换一瓶水，最多可以喝到多少瓶水？”或者“现在若干人准备买水喝，已知几个空瓶可以换一瓶水，至少要买几瓶水？”这类“以瓶换水”常被我们当做思考题来考学生。学生也容易在这方面出错，如果我们尝试以“空瓶换饮料”为教学载体，对四年级孩子开展一节“等量模型解决问题”的拓展课，学会运用等量模型这一数学思想方法来解决一些简单的实际问题或数学问题，引导学生经历数学抽象、数学推理与数学建模的过程，实现思维的发展，能力的提升。

在人教版旧教材中相关内容安排在三年级下册《数学广角》单元中，其中单独设置了等量代换。在新教材中，在五年级上册设置了等式的基本性质，涉及到等量的相关知识。聚焦“空瓶换饮料”这部分内容，本课还承载着帮助学生经历从实物图到示意图，再到数量关系模型建立的抽象任务，为在类似的“空瓶换饮料”解决问题奠定基础，初步经历在解决问题中进行量与量之间的转换，代数式的恒等变形的过程，为后继学习等式基本性质作铺垫。

综上所述，本课力求强调引导学生在经历解决问题的过程中，突出感受直观模型的价值、突出解题策略的指导，进而掌握模型独立解决问题的方法，提升能力。

（三）学生情况

1.在解决问题策略方面：四年级学生的认知抽象水平有限，在理解数量关系和探寻解题方法的过程中都非常依赖直观支撑，但主动绘制准确、有效的图示帮助自己思考的意识和能力均有待提高。

2.在运用数量关系方面：学生在本课学习之前有过运用画图理解数量关系的经验。“3个空瓶换1瓶饮料通过抵消法转化成2个空瓶换一份饮料”这一过程有定的难度，需要借助直观帮助理解，抽象出数学模型，从而提升能力。

3.在理解实际问题方面：学生虽然对解决问题并不陌生，但很少有机会解决真实的生活问题。在问题情境中，面对真实而复杂的信息组合时，筛选信息和加工信息常常是阻碍学生解决问题的关键。

二、教学目标

1．通过“空瓶换饮料”问题中等量模型的抽象与应用，培养抽象、推理能力，发展模型思想。

2．经历空瓶换饮料问题的研究，学会分析问题、尝试解决问题。

3．从生活中抽象出数学问题，感受数学与生活的联系，体会数学来源于生活。

教学重点：借助图示理解问题中的等量关系。

教学难点：从具体问题中抽象等量关系，建立解决问题的模型。

三、教学过程

（一）解读信息，初步建立等量关系

1．揭题：今天我们来上一节与众不同的数学课，课题是空瓶换饮料。

2．情境：课件出示超市空瓶换饮料的活动广告。

3．解读：

（1）（板书：3个空瓶换1瓶饮料）小明有很多空瓶想拿去换，你能不能跟他解释一下这句话是什么意思？

（2）那换来的这1瓶饮料里面包含了什么？（1份饮料和1个空瓶）

4．质疑：（指着换来的空瓶）这个空瓶还能再拿去换吗？

5．归纳：原来我们说的3个空瓶换1瓶饮料，换来的是1份饮料和1个新的空瓶。（板书：3个空瓶＝1个空瓶＋1份饮料）

【设计意图】利用生活中喜闻乐见的超市促销活动，从生活语言出发引导学生解读信息，抽象数学信息，发掘隐含其中的等量关系，能从“等量”的角度思考空瓶换饮料问题，进而建立“3a＝a＋b”的等量关系。

（二）深化过程，抽象等量关系中的“抵消”

活动设计：超市推出一种促销活动：3个空瓶能换1瓶饮料，小明有12个空瓶，最多能换几瓶饮料？（活动要求：①用图、算式或文字，把“换”的过程表达清楚。②完成活动后，小组内交流你的想法。）

层次一：两种策略表征、对比，明白“换”的过程

1．素材：学生对“换饮料”不同的两种表征策略，“喝完再换”（每次除以3）、“边喝变换”（第一次减去3，以后每次除以2）。

2．对比：这两位同学的方法有什么一样和不一样的地方？

3．小结：异：换的顺序不一样；同：对于他们换的结果是相同的，都换了5瓶饮料，剩余2个空瓶。

【设计意图】引导学生经历用算式、图示等方法表示出思考的过程，经历对“空瓶换饮料”过程的多元表征。再通过对两种“换”的策略相同点和不同点的对比，进一步深化对问题情境的理解，为理解“借一还一”——即“抵消法”奠定基础。

层次二：借助“借一还一”，理解“抵消法”

1．质疑：他们还剩余2个空瓶，那你们呢？现在全班同学都浪费了2个空瓶，接下再好好想想这2个空瓶怎么把它利用好？

2.交流：先独立思考，再小组交流想办法。

①再买一瓶饮料。（那空瓶还是原来的12个吗？）

②向老板借一瓶饮料，然后还他。（借的是1瓶饮料，还的是1个空瓶，老板会同意吗？）

③借1个空瓶，3个空瓶换1瓶饮料，喝完了1个空瓶还给老板。

3.图形表征，促进理解。

（1）怎样用图来表示你们说的借和还呢？

（2）图示和语言相结合，促进学生理解“借与还”的过程。

①怎么想到要借？

②换来的1瓶饮料里又包含了什么？（1份饮料和1个空瓶）

③为什么要还？新得来的空瓶用来还哪一个？

4.抽象：像这样“有借有还”，在数学我们就叫做抵消。谁来说说看我们刚才是怎样抵消的？

5.小结：刚才实际上我们用的什么？（2个空瓶）得到的又是什么？（1份饮料）（板书：2个空瓶＝1份饮料）

【设计意图】基于“空瓶换饮料”中的“先借再还”，借助图的表征功能促进学生对这个过程的理解，最后抽象出数学中的“低消法”，帮助学生建立“2a＝b”的等量关系。

6．深化模型：那12个空瓶到底能换多少份饮料呢？能不能用一个算式表示出来？（12÷2＝6（份））

（三）推理运用，进一步深化模型思想

1．素材：14个空瓶你觉得最多可以换多少份饮料？

2．活动：用自己喜欢的方式，用图和算式表示换的过程。

3．反馈：

①喝完再换，最后剩余2个空瓶借一还一。

②边喝变换，最后剩余2个空瓶借一还一。

③每2个空瓶都用借一还一的方法，算式表征：14÷2＝7份。

4．沟通：这三种方法在换的过程中有什么不一样的？

（方法①②都只在最后用了一次抵消，而方法③每2个空瓶都用了一次抵消，所以能用14÷2＝7来计算。）

5．质疑：明明规定是3个空瓶是换1瓶饮料，为什么要除以2呢？（用了抵消法，相当于2个空瓶换1份饮料，14÷2＝7份）

6．变式：（奇数）如果空瓶的数量是5个，可以换几份饮料？

7．建模：现在你觉得你能解决几个空瓶的问题？想到用什么方法？（偶数个：空瓶数÷2＝饮料份数；奇数个：空瓶数÷2＝饮料份数＋1个空瓶）

【设计意图】课程标准提出，不同的学生在数学上得到不同的发展，要认识孩子的个体差异。当学生遇到新的问题时，允许不同的学生用不同的方法，在对比沟通的基础上，引导学生意识到应用“2个空瓶＝1份饮料”的模型解决问题的优越性，进而建立“14a＝7b”的等量模型。并通过变式的运用，深化学生对模型的理解。

四、评价标准

数学拓展课的教学追求，落脚点不再是知识的掌握和技能的形成，应该更加关注基本活动经验的积累，重视学生的思维的发展，能力的提升。基于这样的思考，我们设计了本课的评价标准分为以下3个层次。

层次1：经历3个空瓶换1瓶饮料问题的探究过程，能从“等量”的角度思考空瓶换饮料问题。

层次2：经历用算式、图示等方法表示出思考的过程，经历对“空瓶换饮料”过程的多元表征，并理解“借一还一”——即“抵消法”，建立“2a＝b”的等量关系。

层次3：体会空瓶换饮料问题中的优化方法，应用“2个空瓶＝1份饮料”的模型，能解决相关的变式问题。

五、研究分析与反思

一、关注核心素养发展，发挥数学拓展课价值。

数学拓展课的核心价值，并不在于掌握了什么知识、学会了什么技能，应该基于活动经验的积累和核心素养的发展。本节课立足于生活中的“空瓶换饮料问题”，逐步建立“3个空瓶＝1份饮料＋1个空瓶（3a＝a＋b）”、“2个空瓶＝1份饮料（2a＝b）”、“14个空瓶＝7份饮料（14a＝7b）”的等量模型，在此过程中培养学生抽象能力、推理能力和模型思想，让数学核心素养落地。

二、基于学生原始想法，促进数学能力培养。

在课堂上用于交流的素材都来自学生，设计的活动也是为了更好地暴露学生的想法，做到课堂立足于学生、来源于学生、服务于学生，经历对同伴想法的评价和对自己想法的反思过程，一步步调整解决问题的策略，努力走向数学的核心和本质。

三、经历问题解决过程，体会解决问题策略的多样性。

从生活信息出发，提炼数学问题，并引导学生经历解决问题的全过程，在此过程中体会解决问题策略的多样化。在图示、算式表征的基础上进行对比沟通，体会用“2个空瓶＝1份饮料”来解决问题的优势。