高一数学必修1各章知识点总结
第一章
集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)
元素的确定性如：世界上最高的山
(2)
元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)
元素的无序性:
如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{
…
}
如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法：列举法与描述法。
u
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）
记作：N
正整数集
N*或
N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
1）
列举法：{a,b,c……}
2）
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR|
x-3>2},{x|
x-3>2}
3）
语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）
Venn图:
4、集合的分类：
(1)
有限集
含有有限个元素的集合(2)
无限集
含有无限个元素的集合(3)
空集
不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B
(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设
A={x|x2-1=0}
B={-1,1}
“元素相同则两集合相等”
即：①
任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹
B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果
AÍB,BÍC,那么
AÍC
④
如果AÍB
同时
BÍA
那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
u
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交
集
并
集
补
集
定
义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB
={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示
S
A
性
质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
(CuA)
(CuB)
=
Cu
(AB)
(CuA)
(CuB)
=
Cu(AB)
A
(CuA)=U
A
(CuA)=
Φ．
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|
x∈A
}叫做函数的值域．
2．值域
:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
4．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
5.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*． u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，当是偶数时，2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）·； （2）； （3） ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式） 说明： 注意底数的限制，且；； 注意对数的书写格式． 两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数． u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ N＝ b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果，且，，那么： ·＋； －； ． 注意：换底公式 （，且；，且；）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）；（2）． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：，且． 2、对数函数的性质： a>1 0 定义域x＞0 定义域x＞0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0） （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数． （1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
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