一 大数的认识
一、计数单位与数位顺序表
1.一(个)、十、百、千、万、十万、百万……都是计数单位。
2.数位顺序表。
3.在数位顺序表中,从个位起向左数,每四位为一级,分别是个级、万级、亿级……
4.每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这就是十进制计数法。
二、大数的读法、写法
1.大数的读法:
(1)读数时,要从高位读起,按照数位顺序表划分数级,先读亿级,再读万级,最后读个级。
(2)读亿级上的数时,先要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“亿”字;读万级上的数时,先要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。
(3)每级末尾不管有几个0,都不读,其他数位上有一个或者连续几个0,都只读一个零。
2.大数的写法:
(1)写数时,从高位起一级一级往下写,即先写亿级,再写万级,最后写个级。
(2)哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。
三、数的大小比较
1.比较大数的大小时,首先要看数的位数,位数多的那个数就大。
2.如果位数相同,就比较最高位,最高位上的数大的那个数就大。
3.如果最高位上的数相同,就比较下一位上的数,下一位上的数大的那个数就大。
4.如果最高位的下一位上的数也相同,就按照上述方法依次比较下去,直到比较出大小为止。
四、数的改写
1.改写整亿、整万的数。
(1)改写整万的数时,先分级,然后去掉万级后面的4个0,并在末尾写上“万”字。
(2)改写整亿的数时,先分级,然后去掉亿级后面的8个0,并在末尾写上“亿”字。
2.用“四舍五入”法求近似数
用“四舍五入”法求一个数的近似数,精确到哪一位就看它的下一位是大于5,等于5,还是小于5。
(1)如果精确位的下一位大于或等于5,就把精确位后面的数全部舍去,并向前一位进1。
(2)如果精确位的下一位小于5,就直接把精确位后面的数全部舍去。
10个十万是一百万,10个一百万是一千万,10个一千万是一亿。
计数单位与数位的区别:
计数单位是指计算物体个数的单位;数位是指一个数中每个数字所占的位置。
易错点:误认为计数单位之间的进率都是10,这是不对的,一定要注意“相邻”二字。
读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。如97000000读作:九千七百万,而不是9千7百万。
举例:707450055
错解:七亿七百四十五万五十五
正解:七亿零七百四十五万零五十五
写亿以上数时,除了亿级外,万级和个级都要保证有四位数。
巧记
大数比较数数位,数位相同看首位;
首位相同比下位,比出大小巧解答。
“≈”是约等号,读作“约等于”。
易错点:只有整亿的数改写成以“亿”为单位的数时,才可以用“=”连接,而非整亿的数改写后是一个近似数,要用“≈”连接。
二 乘 法一、三位数乘两位数的计算法则
1.三位数乘两位数(进位,因数中间和末尾没有0)
(1)较大的数写在上面,相同数位对齐。
(2)用两位数的个位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与个位对齐。
(3)用两位数的十位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与十位对齐。
(4)将两次乘得的积加起来。
2.三位数乘两位数(一个因数中间有0)
下面的两位数的个位或十位与0相乘后,加上进位数,写在相应位置,如果没有进位,就在这一位上写0。
3.三位数乘两位数(因数的末尾有0)
先将0前面的数相乘,再看两个因数末尾一共有几个0,就在积的末尾添上几个0。
二、三位数乘两位数(估算)
在进行三位数乘两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。
三、积的变化规律
在乘法算式中,一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几(0除外),积也乘(或除以)相同的数。如:
18×2=36 45×3=135
180×2=360
45×30=1350
180×20=3600
450×30=13500
巧记
三位数乘两位数,竖式计算别马虎,大数在上位对齐,下面的数最辛苦,个位乘完十位乘,对准各自积尾数,所得的积加一起,就是最后的得数。
易错点:
哪一位去乘上面的数,积的末位就和那一位对齐。因数末尾有0,只需先乘0前面的数,再把0添上。
易错点:
把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”还是该“五入”。
易错点:
乘法算式中,一个因数乘几(0除外),另一个因数除以几(0除外),积不变。
三 运
算
定
律
一、加法运算定律
1.加法交换律
两个数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律。
用字母表示:a+b=b+a
2.加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加再加第三个数,或者先把后两个数相加再加第一个数,和不变,这叫做加法结合律。
用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c)
3.加法算式中的简便计算
利用“加法交换律”和“加法结合律”
可以使计算更简便。简便计算的基本原则是“凑整”。
如下所示:
582+115+118+385
=582+118+115+385 ……(加法交换律)
=(582+118)+(115+385)
……(加法结合律)
=700+500
=1200
二、乘法运算定律
1.乘法交换律
两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这叫做乘法交换律。
用字母表示:a×b=b×a
2.乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变。这叫做乘法结合律。
用字母表示:(a×b)×c=a×(b×c)
3.乘法分配律
两个数的和与一个数相乘,可以先用这两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。这叫做乘法分配律。
用字母表示:(a+b)×c=a×c+b×c
4.乘法算式中的简便计算
(1)25×13×4
=25×4×13
=100×13
=1300 …………(乘法交换律和结合律)
(2)102×39
=(100+2)×39
=100×39+2×39
=3900+78
=3978 …………(乘法分配律)
(3)35×89+65×89
=(35+65)×89
=100×89
=8900 …………(乘法分配律)
巧记
加法乘法运算律,用的巧妙可简便,交换加数、因数位,所得结果不会变,一个数乘两数和,看看能否用简便,如果可以凑成整,分乘再加和不变。
易错点:
一个数连续减去两个数,可以用这个数减去两个数的和。
不管运用什么定律,凑整数是简便计算最基本的原则。要根据每一题的实际情况,判断应该用什么方法更简便。
四 线 与 角
一、线段、射线和直线
1.线段
线段有两个端点,可以量出长度。
2.射线
射线只有一个端点,可以向一端无限延长。也可以将射线看作是把线段的一端无限延长,得到一条射线。射线不能测量长度。
射线:
3.直线
直线没有端点,可以向两端无限延长。也可以将直线看作是将线段的两端无限延长,得到一条直线。直线不能测量长度。
直线:
4.两点之间线段最短。
如下图:
通过观察,第③条路线最短,也就是两点之间线段最短。
二、角
从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。角通常用符号“∠”来表示。
1.角的度量
(1)角的计量单位是“度”,用符号“°”表示,把半圆分成180等份,每一份所对的角的大小是1度,记作1°,量角的工具是量角器。
(2)量角的步骤
①将角的顶点与量角器的中心点重合。
②让量角器的0刻度线与角的一条边重合。
③角的另一条边所对的量角器上的刻度就是角的度数。
2.角的分类
锐角是小于90°的角;直角是等于90°的角;钝角是大于90°且小于180°的角;平角是等于180°的角,平角的两条边在同一条直线上;周角是等于360°的角,周角的两条边互相重合,在同一条直线上。
1平角=2直角 1周角=2平角=4直角
3.画角
画角的步骤(以画一个65°的角为例):
(1)画一条射线。
(2)使量角器的中心点和射线的端点重合,0刻度线和射线重合。
(3)在量角器65°刻度线的地方点一个点。
(4)以画的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。
巧记
射线一路跑到黑,直线两端无头尾,线段两端被固定,要量长度不用愁。
易错点:
直线:是直的,没有端点。有些曲线,虽然也没有端点,但不属于直线。
易错点:
角的大小与角两边的长短无关。角的顶点确定角的位置,角的两边叉开的大小确定角的大小。
巧记
角的分类看大小,锐角直角和钝角,还有平角和周角,从小到大错不了。
一副三角尺有两个,其中一个三角尺是等腰直角三角形,分别是45°、45°、90°的角,另一个三角尺分别是30°、60°、90°的角,利用一副三角尺,可以画出很多特殊的角,比如:15°、105°、135°、150°等。
用量角器量角时,一定要明确是读内刻度线,还是读外刻度线。
五 方向与位置
一、描述物体的方向
1.确定一个点的位置,除了知道方向,还要知道距离。方向和距离是确定位置的两要素。
2.根据方向和距离确定物体位置
首先要确定方向;再确定距离,在位置图中,可以用单位长度的线段表示较长的实际距离,根据实际距离确定图中线段的长度;最后画出物体具体位置,标明名称。
如上图:以学校为观测点,要确定小芳家、小红家、小刚家、小亮家的位置,就要分别确定它们的方向和距离,小芳家在学校的西北方向,距离是4个格,每格代表200米,即800米;小红家在学校的西南方向,距离是1000米;小刚家在学校的东北方向,距离是1000米;小亮家在学校的东南方向,距离是800
二、描述路线图
描述路线图时,三个要素不能少,一是观测点,观测点是不同的;二是方向要找准;三是注意单位距离表示的实际距离。按照先后顺序依次描述出行时走的方向和距离。
如上图中,要描述每个赛段所走的方向和路程,首先从起点出发,向1号点行进,1号点在起点的东北方向,要走5个单位长度,也就是250米;然后从1号点向西北行进250米到达2号点;再以2号点为观测点向西南行进200米到达终点。
三、用数对确定物体的位置
用数对确定物体的位置,主要是确定物体所在的“列数、行数”,确定了物体所在的列和行,就可以写出数对。也可以根据数对表示出来的列数和行数,确定物体的位置。
如:A同学在教室中的位置是第3列、第5行,他的位置用数对表示为(3,5);B同学的位置用数对表示为(2,4),那么他在教室中的位置是第2列、第4行。
四、魔术纸圈
莫比乌斯圈
德国有一位数学家叫莫比乌斯,在1858年发现了这样一个奇妙的纸圈。所以人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。
莫比乌斯圈只有一个面,一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。沿着莫比乌斯圈的中心线剪开,不会像普通纸圈一样得到两个纸圈,而是得到一个更大的纸圈。
位置具有相对性,找准观测点很关键,在观测点处用虚线画出方向标,可以帮助确定方向。
易错点:
在表述两个方向中间的方向时,通常把东、西放在前面,把南、北放在后面。
易错点:
观测点不是一成不变的,要随着行程的变化而变化。
描述行走路线时,要先描述起点,再描述方向,最后描述距离。
易错点:
虽然人们常习惯说“行、列”,但数对的格式是(列数,行数)。
莫比乌斯圈在实际生活中的应用非常广泛。
六 除 法一、三位数除以两位数的计算
1.两、三位数除以整十数
可以先将被除数和除数都看作是几个十,然后按照除数是一位数的方法去口算。
比如:150÷30
想:150是15个十,30是3个十,因为15÷3=5,所以150÷30=5。
2.除数不是整十数的笔算除法
把除数看作与它接近的整十数来试商,试得的商和除数相乘,如果余数比除数小,说明试得的商是合适的。
比如:72÷12
想:把12看作10,72看作70,试商7,然后用7×12=84,发现商大了,调小一些,商6,6×12=72,商正好,可得72÷12=6。
3.三位数除以两位数
(1)从被除数的最高位除起。
(2)先用除数去试除被除数的前两位,如果比除数小,再试除前三位。
(3)除到哪一位,就在那一位上面写商。
(4)每次除得的余数都要比除数小。
4.试商法:
四舍法:当除数的个位上是1、2、3、4时舍去,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常大些,如不合适应调小。
五入法:当除数的个位上是5、6、7、8、9时进一,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常小些,如不合适应调大。
二、三位数除以两位数(估算)
在进行三位数除以两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。
比如:812÷91
把812看作810,91看作90,810÷90=9,那么812÷91≈9,但是有时候为了让商是整数,被除数不满5也要进一。比如:713÷79,如果把79看作80,那么就要把713看作720,因为72是8的倍数,因为71不是8的倍数,所以即使713个位上的数字不满5,也要向十位进一。
同样的道理,为了方便计算,有些算式的被除数的个位满5也要舍去,比如:
216÷29,估算时要把216看作210,把29看作30,216个位上的数字虽然大于5,也要舍去,因为21是3的倍数。
三、商不变的性质
除法算式中,被除数和除数同时乘或除以同一个不为0数,商不变,余数也跟着乘或除以同一个不为0的数。
比如:59÷8=7……3
590÷80=7……30
5900÷800=7……300
四、单价、数量和总价的关系
单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
五、速度、时间和路程之间的关系
速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度
巧记
除法要从高位起,除到哪里商哪里,余数不能大除数,这个道理别忘记。
易错点:
用“四舍”法估计除数来试商,得到的商容易偏大;用“五入”法估计除数来试商,得到的商容易偏小。
易错点:
把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”,还是该“五入”。
易错点:
被除数和除数变化的倍数必须统一,余数也要跟被除数或除数有同样的变化。
易错点:
如果题目中不止有一种商品,注意单价、数量和总价要相对应。
速度是指单位时间内行走的路程,单位时间可以是时、分、秒等其他时间单位。
七 用计算器探索规律
一、认识计算器
1.计算器是生活中比较普及的计算工具,它通常分为显示器与键盘区两部分。
开机键是ON,关机键是OFF,有时也用一个键开机和关机是ON/OFF,清除键是C或者AC,有时清除键和开机键是ON/C,还有数字键0~9,运算符号键“+、-、×、÷”以及“=”等其他功能键。
2.如何运用计算机进行计算。
比如:27+39
(1)开机按ON/C键。
(2)按数字键2、7,显示屏显示27。
(3)按+,显示屏显示27。
(4)按数字键3、9,显示屏显示39。
(5)按=键,显示屏显示计算结果为66。
二、用计算器探索规律
计算过程中,我们可以先用计算器计算,然后通过观察、比较、归纳、类比发现并表达同组算式中的规律。
比如:1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
首先我们可以用计算器计算前三个算式的结果,通过计算和观察规律,乘法算式的两个因数是相同的,由若干个1组成,因数有几个1,乘积就先从1排列到几,然后从几排到1,比如:1111×1111=1234321,两个因数由4个1组成,积就从1排到4再排到1,即1234321,这样我们就可以推断出下一个算式的乘积为11111×11111=12345321。
计算器的种类和型号有很多种,不同种类和不同型号的计算器,其构造和作用也不一样,但均有最基本的运算能力。
用计算器计算时,输入运算符号,并不显示运算符号。
要找规律,可以从数字的个数,排列规律等方面去类比,看有什么变化。
八 条形统计图
一、认识条形统计图
1.用一个单位长度(如1厘米)表示一定的数量,根据数量的多少,画成长短相应成比例的直条,并按一定顺序排列起来,这样的统计图,称为条形统计图。
2.条形统计图的特点
能清楚地表示出数量的多少,是统计图资料分析中最常用的图形。
按照排列方式的不同,可分为纵式条形统计图和横式条形统计图。
纵式条形统计图:
“图书角”图书统计图
横式条形统计图:
鸿丰商场2016年6月某周矿泉水销售量统计图
二、制作条形统计图
1.从同一顶点画出两条射线分别作为统计图的纵轴和横轴。
2.确定好纵轴或横轴代表的是什么,一般纵式条形统计图中都会用纵轴来表示变化的数据。
3.确定纵轴上1格代表几个单位。
4.在横轴上正确的位置画出长条,表示数据。
观察条形统计图,可以从图中读出我们需要的信息,要注意1格代表几个单位。
纵式条形统计图和横式条形统计图的原理是一样的,只是在不同情况下更为方便。
易错点:
如果数据只是在一个范围内,而这个范围的最低值又比较大,统计图中起始格可以用曲线表示0至最低值,从最低值开始有规律地上升。
九 可 能 性
一、确定事件与不确定事件
1.确定事件
确定事件分两种,一种是确定必然会发生的,描述时一般用到“一定”“必须”等词语。比如:太阳每天一定从东方升起。
一种是确定必然不会发生的,描述时一般用到“绝不”“不可能”等词语,比如:地球不可能围绕月球转动。
2.不确定事件
不确定事件是指事件的结果有不同的可能性,描述不确定事件常用到“可能”“不一定”“也许”等词语。比如:雨后可能出现彩虹,雨后出现彩虹这个事件有可能发生,也有可能不发生。
二、事件发生的可能性大小
通过事件的实际条件,可以判断出某种情况出现的可能性大小。
比如:投骰子,骰子有六个面,每个面上的点数是从1到6。
这六个面出现的可能性相同,机会均等。
确定事件或不确定事件,要根据实际情况来判断。
事件发生的可能性大小和游戏的公平性有关,要想让获胜的机会均等,必须有相等的机会。
十 数学百花园
一、重叠问题
1.当两个计数部分中有重复包含的内容时,我们称之为“重叠问题”。
2.数量关系
实际人(或物)数=第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-重叠部分人(或物)数
解答重叠问题时,必须从条件入手认真分析,有时可以根据条件画图来帮助我们思考,找出哪些是重复的,重复了几次,明确求的是哪一部分,从而找出解题的方法。
比如:四(1)班同学每人至少参加一种课外活动小组,参加美术组的有18人,参加音乐组的有17人,两组都参加的有10人,求四(1)班一共有多少人?
计算时确定关键的三个量:第一类人数,就是参加美术组的人有18人;第二类人数,就是参加音乐组的人有17人;重叠人数,就是两组都参加的有10人。根据关系式“实际人(或物)数=第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-重叠部分人(或物)数”,列出算式为18+17-10=25(人)。
二、方阵问题
1.学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵。我们在这一部分主要研究最外层人(或物)数与每边人(或物)数的关系以及方阵总人数的问题。
2.数量关系:
每边人(或物)数=[四周总人(或物)数÷4]+1
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]
×4
方阵总人(或物)数=每行人(或物)数×行数
三、编码
生活中,常用一些数字或字母等有规律的编排在一起,来表达一定的信息,如我们的身份证号、电话号码、商品编码等。
以身份证为例,排列顺序从左至右依次为:六位数字地址码,八位数字出生日期码,三位数字顺序码和一位数字校验码。
地址码(身份证前六位)表示编码对象第一次申领居民身份证时的常住户口所在县(市、区)的行政区划代码。
出生日期码(身份证第7位到第14位)表示编码对象出生的年、月、日,其中年份用四位数字表示,年、月、日之间不用分隔符。比如:1981年05月11日就用19810511表示。
顺序码(身份证第15位到17位)是县、区级政府所管辖派出所的分配码,每个派出所分配码为10个连续号码,比如“000-009”或“060-069”,其中单数为男性分配码,双数为女性分配码。
身份证最后一位是校验码。
在解答重叠问题时,要找准关键的数量,尤其是重叠部分的数量,要明确求哪一部分。如果是求重叠部分,需要用:第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-实际人(或物)数。
如果每个角上都有物体,那么这个物体在计算时可能会被重复计算,所以我们要先用每边人(或物)数减1,再去计算。
编码时,要用固定的某几位数字去表达固定的信息,才能形成有规律的编码。
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