第一章因式分解单元测试
一.单选题（共10题；共30分）
1.4x2-12x+m2是一个完全平方式，则m的值应为（）
A.3 B.-3 C.3或-3 D.9
2.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）
A.x2+xy+y2 B.x2-2x-1 C.-x2-2x-1 D.x2+4y2
3.已知多项式分解因式为，则的值为（）
A.B.C.D.4.下列分解因式正确的是（）
A.B.C.D.5.若m＞-1，则多项式m3-m2-m+1的值为（）
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
6.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A.（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B.x2+x﹣5=x（x+1）﹣5
C.x2+4x+4=（x+2）2 D.x2﹣4=（x﹣2）2
7.如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）
A.m=﹣2，n=5 B.m=2，n=5 C.m=5，n=﹣2 D.m=﹣5，n=2
8.﹣（3x﹣1）（x+2y）是下列哪个多项式的分解结果（）
A.3x2+6xy﹣x﹣2y B.3x2﹣6xy+x﹣2y C.x+2y+3x2+6xy D.x+2y﹣3x2﹣6xy
9.不论a，b为何有理数，a2+b2﹣2a﹣4b+c的值总是非负数，则c的最小值是（）
A.4 B.5 C.6 D.无法确定
10.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）
A.m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B.（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6
C.x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x D.x2+1=x（x+）
二.填空题（共8题；共24分）
11.因式分解：a2﹣2a=________
.12.因式分解：x2﹣1= ________.13.分解因式：9a﹣a3=________ ．
14.分解因式：4x3﹣2x=________
15.分解因式：4ax2﹣ay2=________．
16.分解因式：a3﹣a=________．
17.已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=________．
18.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=________．
三.解答题（共6题；共42分）
19.已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
20.分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
21.已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．
22.我们对多项式x²+x﹣6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x2+x﹣6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab
所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2．
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．
（1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式为x﹣1，求m的值；
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
24.（1）计算：（﹣a2）3b2+2a4b
（2）因式分解：3x﹣12x3
．
答案解析
一.单选题
1.【答案】C
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【分析】根据完全平方式的构成即可得到结果。
【解答】∵4x2-12x+m2=(2x)2-2×2x×3+m2，∴m2=32=9，解得m=
故选C.【点评】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式。
2.【答案】C
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【解答】x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2；-x2-2x-1=-（x+1)2；x2+4xy+y2=（x+2y)2，故选C．
【分析】由于x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2，-x2-2x-1=-（x+1)2，x2+4xy+y2=（x+2y)2，则说明只有-x2-2x-1能用完全平方公式分解因式．本题考查了运用完全平方公式分解因式：a2±2ab+b2=（a±b)2
．
3.【答案】C
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】去括号可得。
故
故选择C。
【点评】本题难度较低，主要考查学生对分解因式整式运算知识点的掌握，去括号整理化简即可。
4.【答案】D
【考点】因式分解的意义
【解析】【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．
选项A、，故错误；
选项B、，故错误；
选项C、，故错误；
选项D、，故正确．故选D．
5.【答案】C
【考点】多项式，因式分解的应用，因式分解-分组分解法
【解析】【解答】多项式m3-m2-m+1
=（m3-m2）-（m-1），=m2（m-1）-（m-1），=（m-1）（m2-1）
=（m-1）2（m+1），∵m＞-1，∴（m-1）2≥0，m+1＞0，∴m3-m2-m+1=（m-1）2（m+1）≥0．
选：C．
【分析】解此题时可把多项式m3-m2-m+1分解因式，根据分解的结果即可判断
6.【答案】C
【考点】因式分解的意义
【解析】【解答】解：A、（a+3）（a﹣3）=a2﹣9是多项式乘法运算，故此选项错误；
B、x2+x﹣5=x（x+1）﹣5，不是因式分解，故此选项错误；
C、x2+4x+4=（x+2）2，是因式分解，故此选项正确；
D、x2﹣4=（x﹣2）（x+2），故此选项错误．
故选：C．
【分析】根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．
7.【答案】C
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．
故选C
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
8.【答案】D
【考点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：3x2+6xy﹣x﹣2y=（3x﹣1）（x+2y），A错误；
3x2﹣6xy+x﹣2y=（3x﹣1）（x﹣2y），B错误；
x+2y+3x2+6xy=（3x+1）（x+2y），C错误；
x+2y﹣3x2﹣6xy=﹣（3x﹣1）（x+2y），D正确．
故选：D．
【分析】根据分组分解法把各个选项中的多项式进行因式分解，选择正确的答案．
9.【答案】B
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+c=（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c=（a﹣1）2+（b﹣2）2+c﹣5≥0，∴c的最小值是5；
故选B．
【分析】先把给出的式子通过完全平方公式化成（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c≥，再根据非负数的性质，即可求出c的最小值．
10.【答案】A
【考点】因式分解的意义，因式分解-十字相乘法
【解析】【解答】解：A、符合因式分解的定义，是因式分解，故正确；
B、是多项式乘法，故不符合；
C、右边不是积的形式，故不表示因式分解；
D、左边的多项式不能进行因式分解，故不符合；
故选A.二.填空题
11.【答案】a（a﹣2）
【考点】因式分解-提公因式法
【解析】【解答】a2﹣2a=a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
12.【答案】（x+1）（x﹣1）
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）
【分析】代数式利用平方差公式分解即可．
13.【答案】a（3+a）（3﹣a）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】
9a﹣a3，=“a”
（9﹣a2），=a（3+a）（3﹣a）．
【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
14.【答案】2x（2x2﹣1）
【考点】公因式
【解析】【解答】解：4x3﹣2x=2x（2x2﹣1）．
故答案为：2x（2x2﹣1）．
【分析】首直接提取公因式2x，进而分解因式得出答案．
15.【答案】a（2x+y）（2x﹣y）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）
=a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
16.【答案】a（a+1）（a﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
17.【答案】6
【考点】因式分解-提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=6．
故答案为：6．
【分析】首先将原式提取公因式ab，进而分解因式求出即可．
18.【答案】xy2（y﹣3）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=xy2（y2﹣6y+9）=xy2（y﹣3）2，故答案为：xy2（y﹣3）2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
三.解答题
19.【答案】解：∵x的多项式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一个因式是x+2，当x=﹣2时多项式的值为0，即16+20﹣2+b=0，解得：b=﹣34．
即b的值是﹣34．
【考点】因式分解的意义
【解析】【分析】由于x的多项式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一个因式是x+2，所以当x=﹣2时多项式的值为0，由此得到关于b的方程，解方程即可求出b的值．
20.【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），∴x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的两个根，∴2-3+m+7+n=032-24+4m-14+n=0，解得：m=-103n=-83
【考点】因式分解的意义
【解析】【分析】由“多项式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的两个根”，所以将其分别代入该方程列出关于m、n的方程组，通过解方程组来求m、n的值．
21.【答案】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），∴ab（a﹣b）=（﹣2015）×（﹣）=2016．
【考点】代数式求值，因式分解-提公因式法
【解析】【分析】首先把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．
22.【答案】解：（1）由题设知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，故m=n﹣1，﹣n=﹣15，解得n=15，m=14．
故m的值是14；
（2）由题设知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b．
解得：k1=32，k2=﹣1．
∴t1=﹣2，t2=3．
∴b1=b2=2kt=﹣6．
【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；
（2）解答思路同（1）．
23.【答案】解：（1）证明：
z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）
=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）
=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2
=﹣7x2+9y2
∵x是3的倍数时，∴z能被9整除．
（2）当y=x+1时，则z=﹣7x2+9（x+1）2
=2x2+18x+9
=2（x+92）2﹣632
∵2（x+98）2≥0
∴z的最小值是﹣632
．
【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用
【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；
（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．
24.【答案】解：（1）原式=﹣a6b2+2a4b；
（2）原式=﹣3x（x2﹣1）=﹣3x（x+1）（x﹣1）．
【考点】整式的混合运算，提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
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