示范教案(3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一))说课(课堂实录)（5篇）

第一篇：示范教案(3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一))说课(课堂实录)

3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一)

从容说课

本节课由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)这节课通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、解法以及解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.本节课通过复习引入课题，通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式的概念、解法和解法与二次函数的关系以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.

整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.

教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.

3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0;

(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0;

(3)≥0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0;

(4)≤0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.

解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)——标根——画线——选解.

教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.

2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；

2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集； 3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；

4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.进一步提高学生的运算能力和思维能力； 2.培养学生分析问题和解决问题的能力；

3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.

教学过程

导入新课

师 上节课我们已经知道，一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的解和二次函数的图象的关系.如果一个一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个根x1＜x 2，则x

1、x 2就把实数（x轴）分成了三部分，要解ax2+bx+c＞0，就要找这三部分中使ax 2+bx+c大于0的部分；同样，解ax 2+bx+c＜0，就是要找这三部分中使ax2+bx+c小于0的部分.解一元二次不等式的程序是什么？

生(1)将二次项系数化为“+”：y=ax2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：

①Δ＞0时，求根x1＜x2，若y＞0，则x＜x1或x＞x2; 若y＜0,则x1＜x＜x2;

②Δ=0时，求根x1=x 2=x0，若y＞0，则x≠x0的一切实数； 若y＜0，则x∈; 若y=0，则x=x0；

③Δ＜0时，方程无解，若y＞0，则x∈R; 若y≤0，则x∈.(3)写出解集.

师 利用这种思想，我们来研究一元二次不等式的应用.

【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：

s120x1180x. 2在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h） 生 由题设条件应列式为

120x1180x＞39.5，移项、整理、化简得不等式x+9x-7 110＞20.

推进新课

师 因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数y=x +9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x＜-88.94或x＞79.94}.在这个实际问题中x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.

师 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？

生 设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x+220x＞6 000.移项、整理得x2-110x+3 000＜0.

［教师精讲］

因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益. ［知识拓展］

【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0. 思路一：利用前节的方法求解.

思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号， ∴原不等式的解集是下面两个不等式组x1＞0,x4＜0

222

与x1＜0x4＞0的解集的并集，即x1＞0x1＜0x Ux∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.书写时可按下列格式：

x4＜0x4＞0解：∵(x-1)(x+4)＜0x1＞0x4＜0或x1＜0x4＞0x∈或-4＜x＜1-4＜x＜1，

∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.

思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.

解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）. ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：

（-∞，-4）

x+4 x-1

--

（1，+∞）

+ + +(x-1)(x+4)+ ③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}. 点评：此法叫区间法，解题步骤是： ①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-xn)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x 求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，1)(x-x2)…(x-x n)=0，两个分界点把数轴分成三部分……

②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.

练习1：解不等式：(1)x-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}. 教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0. 解：①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为-2，1，3； ③列表如下：

x+2 x-1（-∞，-2）

（1，3）

+ +-各因式积-+ ④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.

思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.

由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间. 这种方法叫数轴标根法.

练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）. 教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0； ②求得相应方程的根为-1，0，2，3；

③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图： ④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}. ［合作探究］

师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0. 解：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或2＜x＜3}.

说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根.

∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.

【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x +4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)≤0； ②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如右图：

④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.

点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.

［教师精讲］

师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如x3x7＜0，22

nx3x2x2x3220等都是分式不等式.

师 分式不等式的解法.

由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.

解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式. 【例5】 解不等式：x3x7＜0.

解法一：化为两个不等式组来解. ∵x3＞0x3＜0x∈或-7＜x＜3-7＜x＜3，＜00或∴原不等式的解集x7x7＜0x7＞0x3是{x|-7＜x＜3}.

解法二：化为二次不等式来解.

(x3)(x7)＜0＜0-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}. ∵x70x7x3点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}. 【例6】 解不等式：x3x2x2x3220.

解法一：化为不等式组来解(较繁).

22(x3x2)(x2x3)0解法二：∵20

2x2x3x2x30x3x22(x1)(x2)(x3)(x1)0, (x3)(x1)0,∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}. 练习：解不等式x3x5＞2.

答案：{x|-13＜x＜-5}. ［方法引导］ 讲练结合法

通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.

课堂小结

1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义. 2.求解一般的高次不等式的解法.

特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“.”）.

3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为

f(x)g(x)＞0(或

f(x)g(x)＜0的形式，转化为f(x)g(x)＞0,f(x)g(x)＜0,，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式. g(x)0g(x)0布置作业

完成第90页习题3.2A组第5、6题，习题3.2B组第4题.

板书设计

一元二次不等式的解法的应用

（一）例题

例题

练习

一元高次不等式解题步骤

备课资料

备用例题 【例1】 已知关于x的方程2x 2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围. 探路:列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组. 解:已知方程有两个负根的等价条件是

212m23m10（4m)42(3m1)0m或m1112＜m≤或m＞0x1x22m＜0321m＞13m1x1x2m＞＞0332m≥1.

∴m的取值范围是（,1132]∪ [1，＋∞）.

点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故Δ≥0，因此列成Δ＞0是错误的.又若只列成Δ≥0也是错误的，Δ≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2＞0,x 1+x 2＜0的条件.

2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用. 【例2】 已知A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.（1）若B A，求a的取值范围；

（2）若A∩B是单元素集合，求a的取值范围.

探路:先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值范围. 解:解不等式x-3x+2≤0得A= [1，2]；而B={x|(x-1)(x-a)≤0}.（1）若BA，如图（1），得a的取值范围是1≤a＜2.

（1）

（2）若A∩B是单元素集合，如图（2），A∩B只能是集合{1}，

（2）

∴a的取值范围是a≤1.

点评:集合B的最简表示只能是B={x|(x-1)(x-a)≤0}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间.

3.2.3 一元二次不等式的解法的应用(二)

从容说课

上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系以及解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元2二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和二次不等式解法与一元二次函数的关系以及一元二次不等式解法、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.又讲解了分式不等式和高次不等式的解法.本节课通过一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.

整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.

教学重点 1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.

教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;

2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.

三维目标

一、知识与技能

1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;

2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;

3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.

二、过程与方法

1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;

2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；

2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；

3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.

教学过程

导入新课

师 上节课我们已经知道，不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为

f(x)g(x)的形式.解分式不等式，切忌去分母.

生 板演：

1.解不等式：-x2+5x＞6({x|2＜x＜3}).

22.解不等式：x-4x+4＞0({x|x∈R,x≠2}). 3.解不等式：x2+2x+3＜0(Δ=-8＜0,x∈). 4.解不等式：x3x5＞2（{x|-13＜x＜-5}）.

师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小. 推进新课

师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab). 生 将原不等式展开，整理得(a-b)x＞ab(a+b). 讨论：当a＞b时，x＞ab(ab)abab当a=b时，若a=b≥0时x∈；若a=b＜0时x∈R.

ab(ab),∴x∈(,+∞).

当a＜b时，x＜ab(ab)ab,∴x∈(-∞，ab(ab)ab).

师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0. 生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0， 若a＞-(a-1),即a＞若a=-(a-1),即a=1212,则x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞).

12,则(x-1[]2)2＞0.∴x∈{x|x≠12,x∈R}.

若a＜-(a-1),即a＜,则x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).

师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)＞0.

②相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？ ③讨论：

（ⅰ）当-a＞4，即a＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜4或x＞-a}.

（ⅱ）当-3＜-a＜4，即-4＜a＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜-a或x＞4}.

（ⅲ）当-a＜-3，即a＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-a＜x＜-3或x＞4}.

（ⅳ）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|x＞-3}.

(ⅴ)当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|x＞4}.

师 变题：解关于x的不等式2x+kx-k≤0.

师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.

2生 Δ=k+8k=k(k+8).

(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根. 所以不等式2x+kx-k≤0的解集是 {x|kk(k8)4xkk(k8)

422};

(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根， 所以不等式2x+kx-k≤0的解集是{22

k4}，即{0,2}；

(3)当Δ＜0,即-8＜k＜0时，方程2x+kx-k=0无实根， 所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为.

练习解不等式：mx-2x+1＞0.

师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴当m＜0时,Δ＞0,此时x111mm＜x211mm 2

.

∴解集为{x11mm＜x＜11mm }.

12当m＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x＜

11mm},

11mm当0＜m＜1时,Δ＞0，此时x1＞x2,

∴解集为{xx＞11mm或x＜11mm}.当m＝1时,不等式为(x-1)＞0,

2∴其解集为{x|x≠1};

当m＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.

师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. ［教师精讲］

对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.

（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.

（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏. 总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好. ［知识拓展］

【例2】 关于x的不等式ax+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞－ax-bx+c＞0的解集. 师

由题设a＜0且x2-52ba522

12}，求关于x的不等式，ca1，从而ax-bx+c＞0可以变形为x1222baxca＜0，即x+1＜0.∴12＜x＜2.∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}.

引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围. 师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0. 生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须a＜0,＜0，a＜0a＜0a＜01即 a＜1223(a1)4a(a1)＜03a2a1＞0a＞1或a＜3∴a的取值范围是a∈(-∞,13).

师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）

2师 变题：若函数f(x)=kx-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围. k＞00＜k1. 显然k=0时满足.而k＜0时不满足236k4k(k8)2∴k的取值范围是 [0,1].

练习：不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|-［教师精讲］

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏. ［合作探究］

12＜x＜

13}，求a、b.(a12,b2) 【例3】 若不等式2x2kxk4x6x3222＜1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

生 ∵2x2kxk4x6x322＜12x2kxk4x6x321＜02x2(k3)x3k4x6x322＞0

2x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x-2(k-3)x+3-k＞0对x取任何实数均成立.

22∴Δ= [-2(k-3)]-8(3-k)＜0k-4k+3＜01＜k＜3.∴k的取值范围是（1，3）. 师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 【例4】 当m取什么实数时，方程4x +(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解：设方程4x+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.

①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：

2(m2)16(m5)0m2＞04m5＞0

42220x1x2＞0xx＞012m220m840m＜2m＞5m16或m14m∈. m＜2m＞5∴此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.

②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：

(m2)216(m5)＞0＞0m5m＜5. ＜0x1x2＜04∴此时m的取值范围是(-∞,5).

③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足： (m2)16(m5)＞0＞0m2xx＞0＞0m＜2.∴此时m的取值范围是(-∞,2). 124xx＜012m5＜04④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：

2m20m8400(x1)＞02m311)(x2＞0m∈. (x11)(x1)＞042m64＜0∴此时m的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1.

师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习：

1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是……（A.(14,+∞)

B.(-∞, 14)

C.[14，+∞）

D.(14,0)∪(0,+∞)

提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜14，∴选D.

答案：D

2.若不等式ax 2+5x+b＞0的解集为{x|

13＜x＜

12}，则a、b的值分别是__________.a＜0a＜0＞0＞0提示：由xx11a6,123255a6b1.x1x211b132a6答案：-6，-1

3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.

0［(k2)]2160提示：由xk6或k21x2＜0k2＜0 k≤-6. x1x2＞04＞0k＜2师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.师 解：要原方程有两个负实根，必须

k102(k1)02k1kk2002k14k＜0k＞o或k＜-2＜k＜-1或2＜k＜1. x1x2＜01)12(k3x1x2＞03k2＞0k＞2或k＜2(k1)31k＞2[]3或k＜-1）

∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或

23＜k＜1}.

练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围. 生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和{x|x＜若a-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，

2a21＜03a1＜0必须-＜a＜1.

225＜0(a1)4(a1)(1)＜012}；

2∴实数a的取值范围是(［方法引导］

35,1)∪{1}=(35,1］.

讲练结合法

通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神. 课堂小结

1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.

2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围；

（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳整合，作出结论.

3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.

4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.布置作业

（1）已知不等式x2+5x+m＞0的解集为{x|x＜-7或x＞2}，求实数m的值.(答案：m=-14)（2）已知关于x的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0})(3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a,b,c的值（答案：.a=2,b=4,c=-6）(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围. 解：要使原方程有两个负实根，必须 k10k122k1)0（kk202k1024k-2＜k＜-1或＜k＜1. ＜0k＞0或k＜13x1x2＜02(k1)2xx＞0k＞或k＜13k212＞032(k1)∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或

2＜k＜1}. 例1、2

3板书设计

一元二次不等式的解法的应用

（二）例3

例4

第二篇：3.2一元二次不等式及其解法教案

3.2一元二次不等式及其解法（3课时）

（一）教学目标

1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；

2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；

3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

（二）教学重、难点

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

（四）教学设想

[创设情景] 通过让学生阅读第84页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，即

x25x0

[探索研究] 首先考察不等式x5x0与二次函数yx25x以及一元二次方程x5x0的 关系。

容易知道，方程x5x0有两个实根：x10,x25

由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知x10,x25是二次函数222yx25x的两个零点。通过学生画出的二次函数yx25x的图象，观察而知，当x0,x5时，函数图象位于x轴上方，此时y0，即x5x0；

2当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时y0，即x5x0。

22所以，一元二次不等式x5x0的解集是x0x5

从而解决了以上的上网问题。

[总结归纳] 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式axbxc0或

2ax2bxc0(a0)的解集：可分0,0,0三种情况来讨论。

引导学生将第86页的表格填充完整。

[例题分析]：

一.分析、讲解例2和例3，练习：第89页1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3）二.分析、讲解例1和例4 练习：第90页（A组）第5题，（B组）第4题。[知识拓展]：

下面利用计算器，用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：

下面是具有一般形式axbxc0(a0)对应的一元二次方程

2ax2bxc0(a0)的求根程序：

input “a,b,c=”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)q=sqr(abs(d))/(2*a)if d<0 then print “the result is R” else x1=p-q x2=p+q if x1=x2 then print “the result is {x/x<> “;p,”}” else print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}” endif endif end 练习：（B组）第3题。[新知小结]：

1.从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式； 2.应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；

3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：

[课后作业]：习题3.2（A组）第1、2、6题；（B组）第1、2题。

第三篇：一元二次不等式及其解法公开课教案(精)

公开课教案

课题:3.2一元二次不等式及其解法 授课时间: 年月日(星期第节授课班级: 执教者: 指导教师:项目内容

一、学习目标1.会通过函数图像知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;2.会解一元二次不等式;

二、重点与难点重点:解一元二次不等式;难点:对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解。

三、教学过程教学导航与学生平台 设计意 图

(一板书课题(二出示目标(三自学指导

(四先学(一板书课题:3.2一元二次不等式及其解法(二通过投影揭示本节课的学习目标以及学习重难点。(三自学指导(四先学

自学课本76-77页内容,并完成自学指导。1.一元二次不等式的定义

一般地,只含有,并且未知数的最高次数是的整式不等式,叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集的定义

一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。

3.一元二次不等式的一般形式: 20 ax bx c ++>(0 a>或20 ax bx c ++<(0 a> 4.探究一元二次不等式2760 x x-+>的解集

(1一元二次方程2760 x x

-+=的根与二次函数276 y x x =-+的零点的关系: ①求解方程2760 x x-+=的根 ②画出函数276 y x x =-+的图像并求出该函数的零点

结论:一元二次方程的 就是所对应的一元二次函数的。当x 取 时,y>0? 当x 取 时,y<0?(3由图象得: 不等式2 760x x-+> 的解集为;不等式2760x x-+< 的解集为;5.根据上述方法,请将下表填充完整。24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆< 2y ax bx c

当x 取 时,y=0?(2

=++(0a >的图像 20 ax bx c ++=(0a >的根 没有实数根 20 ax bx c ++>(0a >的解集 2 ax bx c ++<(0a >的解集 20 ax bx c ++≥(0a >的解集 20 ax bx c ++≤(0a >的解集 思考:对于一元二次不等式

20ax bx c ++>(0a ≠或20ax bx c ++<(0a ≠ 当二次项系数0a <时应如何求解? 总结:解一元二次不等式的一般步骤是: 一看:看二次项系数是否为正,若为负化为正。

二算:算△及对应方程的根。

三写:由对应方程的根,结合不等号的方向,根据函数图象写出不等式的解集。

自学检测: 解不等式:(12x 2-3x-2>0;(2-x 2+3x-2>0;(34x 2-4x+1≤0;(4x 2-2x+2>0.(五后教

1.帮助学生解决自学过程中存在的问题,以及本节的重、难点及注意事项.2.更正当堂检测存在的问题(先由学生检查更正,更正时用红色粉笔把认为错误的部分用斜线画掉,在旁边更正,保留原有答案,最后师再针对存在的问题进行讲解

过渡:下面我们一起看板演的内容。3.新知延伸 解下列不等式 1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解集的定义 3.一元二次不等式的一般形式: 20ax bx c ++>(0a >或20ax bx c ++<(0a > 4.解一元二次不等式的一般步骤 课后作业: 课本p80 练习1.（1、（2、（3、(5 课时训练16(五后教（六、课堂总结（七、作业布置

四、板书设计

1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解集的定义 3.一元二次不等式的一般形式: 20 ax bx c ++>(0 a>或20 ax bx c ++<(0 a> 4.解一元二次不等式的一般步骤

五、教后记（教学反思）

第四篇：含参数的一元二次不等式及其解法教案（本站推荐）

含参数的一元二次不等式及其解法教案

三维目标: 1.知识与技能

掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有字母参数的一元二次不等式的解法.2.过程与方法

通过体验解题的过程，提高学生的逻辑分析能力.3.情感态度价值观

通过分类讨论的过程培养学生思维的严密性.教学重点: 含有参数一元二次不等式的解法.教学难点: 分类讨论标准的划分.教学过程: 一.知识回顾

1．完成一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式间的关系表 2．检测学生一元二次不等式的解法掌握情况。

二、探索研究 例1

解关于x的不等式ax25ax6a0(aR)分析：对于含有参数的不等式，教师引导学生从以下几个方面探究，教给学生探究的方法和方向。

探究1：这个不等式是一元二次不等式吗？

探究2：当a取何值时为二次不等式；a取何值时为非二次不等式？ 探究3：是二次不等式时，它所对应的二次函数的开口方向是？ 探究4：由上可知，我们应该分哪几类去解这个不等式？ 探究5：a<0时，该不等式的解集是？ 探究6：a=0时，该不等式的解集是？ 探究7：a>0时该不等式的解集是？

223例2 解关于x的不等式x(aa)xa0(aR)解析：先让学生自主探索，写出解决这种问题的常规方法。若不等式对应方程的根x1,x2中含有参数，则须按x1,x2的大小来分类，即分x1x2三种情况。然后老师引导学生从a的取值范围进行分类，并与题型一归纳总结出解含参不等式的一般步骤。

例3 已知aR，解关于x的不等式ax2（a1)x10引导学生用通法解含参数的不等式，把总结的规律推广到一般情形。

三、探究总结（板书内容）解含有参数的二次不等式 1.数学思想：分类讨论 2.解题步骤

（1）分类（二次项系数a=0、判别式△=0（x1=x2）（2）画图，写解集（3）整合解集

四、成果验收

1．解关于x的不等式x2 (a1)x10 a

五、作业布置

已知常数aR,解关于x的不等式：ax22xa0

第五篇：2.示范教案(3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)

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3.2 一元二次不等式及其解法

3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

从容说课

本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.

教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 教具准备 多媒体及课件，幻灯片三张

三维目标

一、知识与技能

1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;

2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;

2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.

教学过程

导入新课

师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算） 一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？

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假设一次上网x小时，则A公司收取的费用为1.5x，那么B公司收取的费用为多少？怎样得来？ 生 结果是x(35x)20x(x1)x(35x)1.7x(0.1).

220x(35x)20元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x的和，即师 如果能够保证选择A公司比选择B公司所需费用少，则如何列式？ 生 由题设条件应列式为推进新课

师 因此这个问题实际就是解不等式：x-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.

什么叫做一元二次不等式？

含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.

那么如何求解呢？

师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，

y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？ 它的对应值表与图象如下：

2＞1.5x(0＜x＜17)，整理化简得不等式x-5x＜0.

2x 2 2.5 3 y-3-2-1 由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0； 当x＜3.5时，y＜0，即2x-7＜0； 当x＞3.5时，y＞0，即2x-7＞0.

3.5 0 1 4.5 2 5 3 师 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；

（2）①当a＞0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②当a＜0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.中鸿智业信息技术有限公司

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a＜0

一次函数 y=ax+b(a≠0) 的图象

一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集

a＞0

{x|x={x|x＞{x|x＜bababa

{x|x={x|x＜{x|x＞bababa} } }

} } } 师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下： x y-1 6

0 0-4-6-6-4 0 6

由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；

2当0＜x＜5时，y＜0，即x-5x＜0； 当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.

这就是说，若抛物线y=x-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.

［教师精讲］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.

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（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax 2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解

2集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2={x|x≠b2ab2a

2,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.Δ=b2-4ac 二次函数y=ax+bx+c(a＞0)的图象

ax2+bx+c=0的根

x1.22

Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

x1=x2=b2ab2a



b2a

ax2+bx+c＞0的解集

2{x|x＜x1或x＞x2}

{x|x≠}

R

  ax+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} 对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.

［知识拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因为Δ＞0，2x2-5x-3=0的解是x1=-＞3}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.

生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因为Δ=0，方程4x +4x+1=0的解是x1=x 2=2

12,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜12，或x

12.所以不等式的解集是{x|x≠12}.

【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.

生 解：整理化简，得x2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是.

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师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：

（1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况： 若y＞0,则xx1或x＞x2;①Δ＞0时，求根x1＜x2，

若y＜0,则x1＜x＜x2.若y＞0,则xx0的一切实数;②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，若y＜0,则x;

若y0,则xx.0若y＞0,则xR;③Δ＜0时，方程无解，

若y0,则x.（3）写出解集.

师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］

［方法引导］

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.

课堂小结

1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业

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1.完成第90页的练习.

2.完成第90页习题3.2第1题.

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一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

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