一元二次不等式的应用教案

第一篇：一元二次不等式的应用教案

2.2 一元二次不等式的应用

一教学重点：

1.从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型。

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。

3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则，把它们转化与其等价的两个或多个不等式（组）（由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定），于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集。同时注意分式不等式的同解变形有如下几种：（1）f(x)>0f(x).g(x)>0且g(x)0； g(x)f(x)<0f(x).g(x)<0且g(x)0。g(x)f(x)0f(x).g(x)0且g(x)0； g(x)f(x)0f(x).g(x)0且g(x)0。g(x)(2)(3)（4）解简单的高次不等式一般有两种思想，即转化法和数轴标根法，其中转化法就是应用实数乘法的运算性质，把高次不等式转化为低次不等式组。数轴标根法的基本思路是：整理（分解）——标根——画线——选解。

二 教学难点：1.深入理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式的关系。

2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应该是不等式的等价变形。在等价变形时，要注意什么时候取并集。带等号的分式不等式，要注意分母不能为零。由于各个不等式组的解集是本组各个不等式解集的交集，计算较烦，且容易出错，同学们一定要细心。另外，再取交集，并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可以避免出错。

教学过程

上一小节中，我们讨论了一元二次不等式的解法，本小节我们将一起研究一元二次不等式的应用。

例1：m为何值时，方程x(m3)xm0有实数解？ 解：方程x(m3)xm0有实数解，等价于：

2(m3)24m0；

即：m10m90。

这是关于m的一元二次不等式，按求解程序，可得这个不等式的解集为m|m1,或m9。2所以，当m1,或m9时，原方程有实数解。例2：解下列不等式。

x15x10（2）3 x3x1x10可转化成不等式（x+1）解：（1）按商的符号法则，不等式（x-3）0但x3.x3（1）解这个不等式，可得x1,或x>3，即知原不等式的解集为x|x1,或x>3

5x15x13可改写成30 x1x12(x1)0；

即：x1（2）不等式可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0； 解得：1x1.所以，原不等式的解集为x|1x1。

在前面，我们借助一元二次不等式yax2bxc的图像，研究了一元二次不等式的解法，下面我们再探究一些简单的高次不等式的解法。例3：解不等式：(x1)(x2)(x3)0

解：这是一个一元二次不等式，我们还是利用对函数图像的分析来解决这个问题：设

f(x)=(x1)(x2)(x3)。

（1）显然，yf(x)的图像与x轴的交点有三个；它们的坐标依次是（1，0）；（2,0）;(3,0)。（2）函数yf(x)的图像把x轴分成了四个不相交的区间，它们依次为：（-，1）；(1,0);(2,3);(3,+ )。

（3）当x>3时，f(x)>0，又函数yf(x)的图像是一条不间断的曲线，并且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，由此可知yf(x)的函数值的符号如图3-12所示：

变化规律很明显，从右到左每个区间符号正负相间。

通过分析知道不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为（1，2）（3，+）.如果把函数f(x)图像与x轴交点（1，0）；（2,0）;(3,0)。形象地看成针眼，函数f(x)的图像看成“线“，那么上述这种求解不等式(x1)(x2)(x3)0的方法，我们形象的把它称为”穿针引线法’.课堂小结：

1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义。2.求解一般的高次不等式的解法：

特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解一次或二次的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：（1）左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；（2）注意边界点（数轴上表示是“。”还是“.”）.3.分式不等式，切记去分母，一律移项通分化为

f(x)f(x)>0（或<0的形式，转化为g(x)g(x)f(x).g(x)>0;且g(x)0；（或f(x).g(x)<0;且g(x)0，即转化为一次。二次或特殊高次不等式。）

布置作业：

习题3——2A组。8，B组，2.

第二篇：一元二次不等式教案

§2.2.4一元二次不等式

【授课班级】10级微机化工班 【授 课 人】相福香

【授课时间】2011年1月11日

一、教学目标 1.知识目标：

（1）使学生了解一元二次不等式的概念；（2）使学生掌握用配方法解一元二次不等式。2.能力目标：

培养学生动手、观察分析、抽象概括、归纳总结等系统的逻辑思维能力，以及良好的思维方法和思维品质。3.情感目标：

渗透抽象与具体、特殊与一般等辩证唯物主义的观点和方法，培养学生的自信心理。

二、教学分析 1.知识结构

本节课主要内容是用配方法解一元二次不等式。首先介绍了一元二次不等式的概念，然后由对特殊形式的讨论推广到一般的情形，从而总结出用配方法解不等式的一般步骤。2.重点、难点分析

本节课的重点是掌握一元二次不等式的解法；难点是将一元二次不等

（1）(x2)24

（2）(x1)29 例9 解下列不等式：

（1）x22x30（2）2x25x30 4.反馈演练，巩固新知 练习1 解下列不等式：

（1）(x1)264

（2）(x2)2100 练习2 解下列不等式：

（1）x23x20

（2）3x2x20 5.课堂小结

（1）使学生了解一元二次不等式的概念；（2）使学生掌握用配方法解一元二次不等式。6.作业布置

课后练习：课本习题 第8题和第9题 作业： 课本练习2-5 第3题和第5题

第三篇：优质课一元二次不等式教案

一元二次不等式及其解法

一、教学目标：

1、知识目标：理解“三个二次”的关系，从而 熟悉掌握看图象找一元二次不等式的解集。

2、能力目标：通过图像找解集，培养学生从“形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“ 从特殊到一般”的归纳概括能力。

3、情感目标：创设问题情境，激发学生的学习热情，强化学生参与意识及主体作用，培养学生的数学兴趣。

二、教学重点：一元二次不等式的图像解法。

三、教学难点：“三个二次”的关系，从图像上找一元二次不等式的解集。

四、教学过程：

（一）创设情境，引入新课

问题：在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6米的矩形。假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地，那么矩形带长为多少时，树苗会不够栽？

这个问题两天前在微信群里就让学生讨论思考，学生们已经建立好了数学模型，大大的激发了学生的学习兴趣。

解决：设绿化带长为x m，则依题意有x(x6)40

整理为

定义：一般地，含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等

200）式。它的一般形式是ax2bxc（或者axbxc0(0），其中a0。

（二）复习旧知，确立思想 例：请同学们解下面的方程和不等式。1.2x60 2.2x60 3.2x60

为完成本题，首先将学生们每五人分为一组。让学生以小组为单位进行讨论，并派代表展示结果。结果如下图（教师随后展示的标准图）：

师生一起归纳出“三个一次”的关系：

①2x-6=0的解恰是函数y=2x-6的图象与x轴交点的横坐标x=3 ②2x-6>0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合x|x3 ③2x-6<0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合x|x3

“三个一次”的一般结论：

若ax+b=0(a>0)的解为x0，则函数y=ax+b的图象与x轴交点为（x0，0）①ax+b>0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合x|xx0

②ax+b<0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合x|xx0

（三）依旧悟新，引出“三个二次”的关系

师：我们一起来求解一元二次不等式x2x60,x2x60吧！

先让学生自己动手画出二次函数yx2x6的图像然后再用多媒体展示出标准图，如下：

学生以小组为单位继续对图像上纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x的取值范围进行讨论并派小组代表说出讨论结果：

①方程x2x60的解是x12或x23；一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴的交点。

②不等式x2x60的解集是x/x2或x3;一元二次不等式大于零的解集就是x轴上方二次函数图像对应的自变量x的取值范围。

③不等式x2x60的解集是x/2x3.一元二次不等式小于零的解集就是x轴下方二次函数图像对应的自变量x的取值范围； 此时，学生已经揭示“三个二次”之间的紧密关系，找到了利用二次函数图象来解一元二次不等式的方法，突破了本节课的重难点。

（四）归纳提炼，得出“三个二次”的关系

师：我们能不能进一步将特殊、具体的结论转化成一般结论呢？也就是如果把yx2x6变为, 这种情况下你还能根据图象与x轴的相对位置关系分别将Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下相应不等式的解集表示出来吗？现在我们进行抢答把下面的表格填写完整。一、二、三！开始！

通过三轮抢答以及老师的引导完成了表格，从而揭示了“三个二次”的一般关系，同时也再一次强化了学生的数形结合思想，提高了学生归纳概括的能力，让学生体验到数学的乐趣。

注：表中

.（五）例题讲解，形成结论 例题：解下列不等式

21、-3x6x22、3、解：

1、因为二次项系数为-3<0,将不等式两边同时乘以-1，得

3x25x20的解为方程

所以3x25x20的解集为，1即原不等式解集为，1

2323

22、由于22-413-80,故方程x2x30没有实数根本，所以原不等式的解集为R.23、因为二次项系数4>0，44410.方程4x24x10的解为x1x211，所以原不等式的解集为。22

（六）运用新知，强化练习

2x1、6x400（让学生利用学到的知识自我解惑刚刚遗留的数学实际问题，长为多少时，树苗不够栽？）

22、x3x100

22x4x20

3、（七）反思小结，提高认识 解一元二次不等式的“四部曲”

（1）把二次项的系数化为正数；

（2）计算判别式Δ；

（3）解对应的一元二次方程；

（4）根据一元二次方程的根，结合图像，写出不等式的解集。概括为：一化正 → 二算Δ → 三求根 → 四写解集

（八）作业布置

阅读：教材章节2.3 书写：练习2.3A 组 1（1）（2）（4）2 思考：寻找不等式的生活运用

第四篇：一元二次不等式习题[

一元二次不等式基础的练习题一、十字相乘法练习：

1、x2+5x+6=

2、x2-5x+6=

3、x2+7x+12=

4、x2-7x+6=

5、x2-x-12=

6、x2+x-12=

7、x2+7x+12=

8、x2-8x+12=

9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12= 22

练习：

1、解下列不等式：

（1）3x2-7x>10；（2）-2x26x50；

（3）x24x50 ；（4）10x233x200；

（5）-x24x40；（6）x2(2m1)x+m2+m<0；

（7）(x5)(3x)0；（8）(5-x)(3-x)<0；

x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（100；x+3

2x(11)0；4x2、(1)解关于x的不等式x22ax3a20

(2)解关于x的不等式x(1a)xa0.3、（1）若不等式ax2bxc0的解集是{x-3

（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2

A.a<0;B.-20a<0;C.-20a0;........D.-20

（3）对任意实数x，不等式x2+x+k>0恒成立，则k的取值范围是___________

第五篇：一元二次不等式基础练习题

一元二次不等式强化一、十字相乘法练习：

1、x2+5x+6=

2、x2-5x+6=

3、x2+7x+12=

4、x2-7x+6=

5、x2-x-12=

6、x2+x-12=

7、x2+7x+12=

8、x2-8x+12=

9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12=二、一元二次不等式 22

解一元二次不等式时

化为一般格式：ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；

练习：

1、解下列不等式：

（1）3x2-7x>10；（2）-2x26x50；

（3）x24x50 ；（4）10x233x200；

（5）-x24x40；（6）x2(2m1)x+m2+m<0；

（7）(x5)(3x)0；（8）(5-x)(3-x)<0；

x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（100；x+3

2x(11)0；4x2、(1)解关于x的不等式x22ax3a20

(2)解关于x的不等式x(1a)xa0.3、（1）若不等式ax2bxc0的解集是{x-3

（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2

A.a<0;B.-20a<0;C.-20a0;........D.-20

（3）对任意实数x，不等式x2+x+k>0恒成立，则k的取值范围是___________