高中数学必修5新教学案：2.2等差数列(第2课时)（推荐）

第一篇：高中数学必修5新教学案：2.2等差数列(第2课时)（推荐）

必修5 2.2等差数列（学案）

（第2课时）

【知识要点】

1.等差中项的概念； 2.等差数列的性质;3.等差数列的判定方法； 4.等差数列的常用设法.【学习要求】

1.理解等差中项的概念；

2.探索并掌握等差数列的性质，并会运用等差中项和等差数列的性质解题； 3.体会等差数列和一次函数的关系.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 36 页～第39页）

1.等差中项

（1）如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的.（2）如果an1anan2对任意正整数n都成立，则数列an是.22.等差数列的性质

*（1）若an是等差数列且mnpq，（m,n,p,qN）则有_____________.(2)若an是等差数列且mn2k，（m,n,kN）则有______________.**(3)思考：若an是等差数列且mpq，（m,p,qN）则有amapaq吗？

3.等差数列的设项技巧

（1）若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为_________________，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为_____________________.【基础练习】

1.已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

2.已知数列an是等差数列.（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？（2）2anan1an1(n>1)是否成立？据此你能得出什么结论？

2anankank(n>k>0)是否成立？据此你又能得出什么结论？ 【典型例题】

例1 等差数列an是递增数列，a2a416,a1a528,试求an.变式1：等差数列an中，已知a2a3a10a1136,求a5a8.例2 已知：111yzzxxy，成等差数列，求证，也成等差数列.xyzxyz

变式2：若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是.例3 在等差数列an中，已知a2a5a89,a3a5a721,求数列的通项公式.变式3：已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列.1.在等差数列an中，a510,a1a2a33,则（）.（A）a12,d3(B)a12,d3(C)a13,d2(D)a13,d2.2.若ab，两个等差数列a,x1,x2,b与a,y1,y2,y3,b的公差分别是d1,d2，则（）.（A）

d1 d23243(B)(C)(D)2334则m32,若am8，3.已知等差数列an的公差为dd0，且a3a6aa0131（）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.数列an中，a12,a21，211n2，则an=.anan1an15.48，a,b,c，-12是等差数列中的连续五项，则a,b,c的值依次为______________.6．已知等差数列an中，a3和a15是方程x6x10的两根，则

2=_________________.a7a8a9a10a 7．在等差数列an中,已知a2a3a4a534,a2a552,求公差d.8.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求此三个数.21.数列an满足a11,an1nnann1,2,，是常数.（1）当a21时，求及a3的值；

（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.必修5 2.2 等差数列（教案）

（第2课时）

【教学目标】

1．理解等差中项的概念.2.探索并掌握等差数列的性质，并会运用等差中项和等差数列的性质解题.3.体会等差数列与一次函数的联系.【重点】理解等差中项的概念，探索并掌握等差数列的性质，会用等差中项和性质解决一些简单的问题.【难点】正确运用等差数列的性质解题.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 36 页～第39页）

1.等差中项

（1）如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.（2）如果an1anan2对任意正整数n都成立，则数列an是等差数列.2N*）则有amanapaq.*2.等差数列的性质 ，,（1）若an是等差数列且mnpq，（mnpq(2)若an是等差数列且mn2k，（m,n,kN）则有aman2ak.*(3)思考：若an是等差数列且mpq，（m,p,qN）则有amapaq吗？

分析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ama1d，1mapaqa1a1pq1ddama1d.所以当首项和公差相等时成立，否则不成立.3.等差数列的设项技巧

（1）若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为ad,a,ad，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为a3d,ad,ad,a3d.【基础练习】

1.已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

解：a1pq，an1anpn1qpnqp.所以数列一定是等差数列.2.已知数列an是等差数列.（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？（2）2anan1an1(n>1)是否成立？据此你能得出什么结论？

2anankank(n>k>0)是否成立？据此你又能得出什么结论？

解：（1）因为a5a3a7a5，所以2a5a3a7.同理有2a5a1a9也成立.（2）2anan1an1(n>1)，此结论说明，在等差数列中，从第二项起，每一项（有限数列末项除外）都是它前后两项的等差中项；同样有2anankank(n>k>0)成立，结论说明在等差数列中，任取数列中的某项都是与它前后等距离两项的等差中项（保证前后两项存在）.【典型例题】

例1 等差数列an是递增数列，a2a416,a1a528,试求an.【审题要津】以性质mnpq知a2a4a1a5，运用方程思想求得a1和a5，则公差可求；也可都用a1和d表示，求解a1和d.解：a1a5a2a416，又a1a528，且数列为递增数列，a12,a514.由a514a14d24d,d3.an2n133n1.【方法总结】解题过程中运用性质进行了过度，而能用性质求解的题目只是一部分，使用基本量a1与d列方程的方法适用于任何与等差数列通项有关的题目，是通法.变式1：变式1：等差数列an中，已知a2a3a10a1136,求a5a8.解：a2a11a3a10a5a8.又a2a3a10a1136,2a5a836,a5a818.例2 已知：111yzzxxy，成等差数列，求证，也成等差数列.xyzxyz【审题要津】由于所求证的是三个数成等差数列，可用等差中项.证明：111211，成等差数列， xyzyxz2zxzxyzxyyzxy11zxy=y2.yxzxzxzxxzzxzxz 5

而2zxzxyzxyzx11.zx2.2yxzxzyxzyzzxxy成等差数列.，xyz【方法总结】对于证三数a,b,c成等差数列，常用等差中项法，即证2bac即可.变式2 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是3.解：m和2n的等差中项为4，m2n8.又2m和n的等差中项为5，2mn10，两式相加，得mn6.m与n的等差中项为

mn63.22例3 在等差数列an中，已知a2a5a89,a3a5a721,求数列的通项公式.【审题要津】要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数a2a5a89,a3a5a172列的性质，注意到a2a82a5a3a7问题就好解了.解：a2a5a89,a3a5a721,又a2a8a3a72a5, a3a72a56,a3a77,解得：a31,a77或a37,a71，a31,d2或a37,d2.由ana3n3d，得an2n7或an2n13.【方法总结】等差数列的性质应牢记，在解题中应用非常广泛.变式3 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列.解：设成等差数列的这四个数依次为a3d,ad,ad,a3d.a3dadada3d26,由题设知

adad40.1313a,a,22解之得或这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2.33d,d.22

1.在等差数列an中，a510,a1a2a33,则（A）.（A）a12,d3(B)a12,d3(C)a13,d2(D)a13,d2.2.若ab，两个等差数列a,x1,x2,b与a,y1,y2,y3,b的公差分别是d1,d2，则（C）.（A）

d1 d23243(B)(C)(D)2334则m32,若am8，3.已知等差数列an的公差为dd0，且a3a6aa0131（A）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.数列an中，a12,a21，2211n2，则an=.nanan1an15.48，a,b,c，-12是等差数列中的连续五项，则a,b,c的值依次为33,18,3.6．已知等差数列an中，a3和a15是方程x6x10的两根，则

2=15.a7a8a9a10a 7．在等差数列an中,已知a2a3a4a534,a2a552,求公差d.解：由a2a3a4a534，知a2a517，又a2a552.a24,a513或a213,a54.所以d3或d3.8.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求此三个数.解：设三个数分别为ad,a,ad，由题意有adaad9，aad6ad.解得：a3,d1.所以这三个数为4，3，2.21.数列an满足a11,an1nnann1,2,，是常数.（1）当a21时，求及a3的值；

（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.2解：（1）由于an1nnann1,2,,且a11，所以当a21时，得

12，故3.从而a3222313.（2）数列an不可能为等差数列.证明如下：

2由a11，an1nnan得 a22,a362,a41262.若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即521，解得=3.于是a2a112,a4a3116224.这与an为等差数列矛盾.所以，对任意，an都不可能是等差数列.

第二篇：高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

2.2等差数列

（二）一、教学目标

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；

2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．

三、教学过程

（一）、复习

1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或 an=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d: ① d=an－an

1② d=

ana1aam

③ d=n

nmn14.{an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =()

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq

特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1.在等差数列{an}中

(1)若a5=a, a10=b, 求a15;

(2)若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3)若a5=6, a8=15, 求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m(3)a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33(4)66111, 77122,2a6a1a11, 2a7a2a12从而(a11a12a15)(a1a2a5)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法: 证明an-an-1=d(常数)例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3.已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p

它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。[探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

三、课堂小结：

1.等差数列的性质；

2.判断数列是否为等差数列常用的方法．

四、课外作业

1.阅读教材第110～114页；

2.教材第39页练习第4、5题． 作业：《习案》作业十二

第三篇：高中数学必修5新教学案：1.1.2余弦定理(第1课时)

【知识要点】

1.三角形的边角关系；2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.3.余弦定理与勾股定理之间的关系.【学习要求】

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理；

2.会运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5 页～第6 页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边.3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.例2 在ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面积S.变式: 在ABC中，已知a=8，c=

41），面积s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（学案）（第1课时）

11.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.x+2=0的两

1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5,求c的长度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教学目标】

1．通过对三角形边角关系的探索, 能证明余弦定理, 了解可以从向量、解析法和三角法等多种途径证明余弦定理.2．了解余弦定理与勾股定理之间的联系.3.能够应用余弦定理解三角形.【重点】: 通过对三角形边角关系的探索, 证明余弦定理, 并能应用它解三角形.【难点】: 余弦定理的证明.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5页～第6页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?(完全确定)

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.证法１（向量法）：见教材.证法２（解析法）：如图,以A点为原点，以ABC的边AB,所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由连点间的距离公式得：BC2(bcosAc)2(bsinA0)2，即

abcosA2bccosAcbsinA

所以 abc2bccosA,同理可证b2a2c22accosB ,c2a2b22abcosC

证法３（三角法）：提示：先分锐角，钝角两种情况。过C作CDAB(或其延长线)于D，则CD=bsinA，然后求出BD,在RtABC中，用勾股定理得

222

BCCDBD,化简即可.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.【审题要津】 由条件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法总结】已知三角形的两边及其夹角可直接用余弦定理求解

例2在ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面积s.【审题要津】根据已知条件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面积用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB

bsinAa

12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.Sabc

absinC【方法总结】(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角时,有时要讨论解的个数问题.变式: 在ABC中，已知a=8，c=4

1），面积S

.解:由正弦定理,得S

acsinB,即B=60,或B120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=84



1284





1



96,∴b,cosA

bca

2bc

222

,A45.C180AB180456075.0000

1.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 显然C最大,由cab2abcosC,得cosC



abc

2ab

222



3437234

1

2,∴C=1200.4.在ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的两

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.由根与系数关系知abab2, ,C120, 又2cosab1,cosC12

222

c=a+b-2abcosC=ab2ab2abcosC=12-4-4×

=10,C



1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5求c的长度.12

解:由SabsinC,得

=

45sinC,所以sinC

,∵C为三角形的内

角，∴C60或C120，当C60时，cab2abcosC45245cos60

21，∴C

00

当C120时，222220

cab2abcosC45245cos120

61，∴C

第四篇：高中数学 2.2《等差数列》教案 新人教A数学必修5

2.2等 差 数 列(1)教学目标 1．明确等差数列的定义．

2．掌握等差数列的通项公式，解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入

1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.课本41页的三个实际问题

【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。二．等差数列

1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式: 设数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列.由定义有:思路1: a2a1a3a2anan1d

a2a1d

a3a2da12d

a4a3da13d……………

anan1da1(n1)d,nN*

思路2: a2a1d a3a2d

a4a3d

……………

an1an2d

anan1d

两端相加:

ana1(n1)d nN故等差数列的通项公式为:

*

ana1(n1)d nN其中:

*

an为第n项,a1为首项,d为公差.(共有四个量,知三求一)利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式: anam(nm)d

3.等差数列的递推公式: an1and,nN*

三.例题分析

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

2.在等差数列{an}中,已知a510,a1231求首项a1与公差d

3.已知数列{an}的前n项和公式(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明

Snn2n

2{an}是等差数列.m1,m3,m9 4.已知等差数列的前三项分别为(1)求m的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12a1(121)d,即时10=33+11d

解之得：d7

因此，a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103, 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小结 五.作业

1.已知下列等差数列,求通项公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差数列{an}中(1)a34,a716,求a1,d ,11a,d求a5(2)232(3)

an

a32,d4,an30求n

2S2n4n 3.数列{an}中,前n项和n(1)求通项公式an

(2)证明{an}是等差数列

【探究】设{an}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第*kN（）构成一个新的数列{bn}，你能求出{bn}的通项公式吗？

4k1项，

第五篇：高中数学《等差数列》教案2 苏教版必修5

第 4 课时：§2.2等差数列（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；

2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

二、过程与方法

通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

三、情感、态度与价值观

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【教学重点与难点】：

重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题 1．复习等差数列的定义、通项公式 ；（1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))

ana1n

1anamnm

（3）公差d的求法：① dan-an1②d2．等差数列的性质：

③d

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d

anamnm

(mn)；

（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

用心爱心专心

3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？

（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa，A，b成等差数列A

2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？（2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq 求证：①amanapaq②apaq(pq)d

amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

ab

2ab2

．

证明：①设首项为a1，则

∵ mnpq∴amanapaq

② ∵apa1(p1)daq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d ∴ apaq(pq)d

探究：等差数列与一次函数的关系

注意：（1）由此可以证明一个结论：设{an}成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：

a1ana2an1a3an2，同样：若mn2p 则 aman2ap

（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P37例3）已知等差数列an的通项公式是an2n1，求首项 a1和公差d。

解：a12111,a22213，∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n

1)2，等差数列an的通项公式是an2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各

点(n,an)均在直线y2x1上（如图）

例2 ①在等差数列an中，a2a7a8a136，求a6a9．②在等差数列an中，a1a4a8a12a152，求a3a13的值。解：①由条件：a6a9a7a8a2a133；

②由条件：∵2a8a1a15a4a12∴a82∴a3a132a84． 例3若 a1a2a530a6a7a1080 求a11a12a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6a1a11,2a7a2a12……从而

(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130一般的：若{an}成等差数列那么Sn、S2nSn、S3nS2n、…也成等差数列

例4 如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差

数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

解：（1）设公差为d(d0)，BCx则ABxd,CDxd

A

B

C

D

(xd)x(xd)21x7x7

由题意得：解得： 或（舍去）22

2d4d4(xd)x(xd)179

∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)

（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列an，∴a103(101)439，∴a103921521(cm)2所求正方形的面积是1521(cm)2。

四、巩固深化，反馈矫正1.教材P37练习

2.在等差数列an中, 若 a56a815 求a1

4解：a8a5(85)d即 1563d ∴ d3从而 a14a5(145)d69333 变题：在等差数列an中，（1）若a5a，a10b 求a15；（2）若a3a8m 求 a5a6 解：（1）2a10a5a15 即2baa15∴ a152ba；（2）a5a6=a3a8m

五、归纳整理，整体认识本节课学习了以下内容： 1．A

ab

2a,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义

2．在等差数列中，mnpqamanapaq（m，n，p，qN）3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321当n2时anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足∴ an6n5首项a11anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。例：已知1caba，1b，1c成AP，求证

ba，cb，ac

也成AP。

证明： ∵

111成AP∴

21a，b，c

b

1a

c

化简得：2acb(ac)

bc2

a2

c

aca2c

a



abaab

b(ac)c



bccac



ac



2ac

=

(ac)c)



acbcabac



(ab(ac)

2b

∴a，cab，c

也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列a2

n其前n项和Snn2n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3∴ a21n

a2n3

nn2

∴ 数列n不成AP但从第2项起成AP。