正交分解法教案

第一篇：正交分解法教案

正交分解法

一、正交分解法

把力按相互垂直的两个方向分解叫正交分解

FxFcosFyFsin

二、用力的正交分解求多个力的合力

1、建立直角坐标系（让尽量多的力在坐标轴上）

2、正交分解各力（将各力分解到两个坐标轴上）

3、分别求出x 轴和y 轴上各力的合力：

FFFFx1x2x3x FyF1yF2yF3y

4、求出FX 和 Fy 的合力，即为多个力的合力

大小：FFxFyFyFx22

方向：tan

三、用力的正交分解求解物体平衡问题

1、画出物体的受力图。

2、建立直角坐标系。

3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上）

4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。FxF1xF2xF3x0 FyF1yF2yF3y05、根据方程求解。

例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上，它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的大小。

例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上，它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的大小。

∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：

FcosN由y方向合外力为零，有：

NFsinmgF解得：mgcossin

例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。

解析：

∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：

mgsinN由y方向合外力为零，有：

Nmgcos解得： sintancos

练习一：如图所示，质量为m的光滑小球放在倾角为θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板对小球的弹力。

练习二：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物体与墙壁间的动摩擦因数。

正交分解法巩固：

1、如图，物体重力为10N，AO绳与顶板间的夹角为45º，BO绳水平，试用计算法求出AO绳和BO绳所受拉力的大小。FAOY=FAOcos45=G FAOX=FBO=G

2、如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形，若测得绳子与水平面的夹角为37˚，已知气球受到空气的浮力为15N，忽略氢气球的重力，求： ①氢气球受到的水平风力多大？

②绳子对氢气球的拉力多大？

风

3、如图，物体A的质量为m，斜面倾角α，A与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面固定，现有一个水平力F作用在A上，当F多大时，物体A恰能沿斜面匀速向上运动？ 解：FN=Fsinα+Gcosα

Fcosα=Gsinα+Ff

Ff=μFN

用力的正交分解求解物体平衡问题

1、画出物体的受力图。

2、建立直角坐标系。

3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上）

4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。

FxF1xF2xF3x0 FyF1yF2yF3y05、根据方程求解。

第二篇：分组分解法教案

9.16 分组分解法

上海市民办中芯学校

张莉莉 教学目标：

1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．

2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解．

教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式.教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程： 一

复习引入

1.什么是因式分解？

2.学过几种因式分解的方法？

3.思考：如何将多项式(1)axaybxby分解因式？

二

新知探究

环节1

内容 ：因式分解(1)axaybxby

教师：提出问题

指导学生一题多解

引入定义

学生：思考 回答 板书练习

意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维

2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。

3.探索 讨论 总结分组的原则

要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作

分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．

试一试：分解因式（1）

xy2xy2

（2）abab1

22（4）x4yx2y

（4）9ab3ab

22环节2

如何将多项式(2)a2abb1分解因式？

教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？

学生：尝试 探索 总结

意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？ 要点：组和组之间存在平方差的联系

巩固练习：（1）x10xy25yx5y

（2）a3aab3b

222（3）x2xa2a 22

三

课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点评，总结

四

作业布置：练习册：9.16

补充思考题：

环节3 巩固练习：

1.多项式x2yxyx运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）A.(x2y)(xyx)

B.(x2xy)(yx)C.x2(yxyx)

D.(x2yxy)x

2.多项式x-a-2a1运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）A.(x2-a2)(-2a1)

B.x2-(a22a1)C.(x2-a2-2a)1

D.(x2-2a)(-a21)

3.多项式 x2xy2y运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）22A.(x2x)(y2y)

B.(x2y2)(xy)

C.(x2y)(y2x)

D.(x2xy)y2 5.因式分解.（1）abab1

（2）a2abacbcb（3）x2x4y22y

（4）a4b12bc9c

教师：指导学生分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.学生：实践巩固 应用问题 意图：举一反三 触类旁通

注意：分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.三 归纳小结

渗透学法

22222按字母分组四项多项式如何分组？两两分组

符合平方差公式的两项分组差公式三一分组先完全平方公式后平方作业布置：练习册9.16 补充思考题：

（1）x4y

（2）x3xy36y

22（3）x-4xy4y2x-4y

（4）18a32b18a24b

22444224提示：（3）是三项多项式，但不是完全平方式的形式，也不能用十字相乘法分解，应该怎么处理？可以在原式的基础上增减项使得配成完全平方式的形式

x43x2y236y4x412x2y236y49x2y2(x412x2y236y4)9x2y2(4)的思路同（3）

(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性.(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.(3)分组时要用到添括号法则，注意添加带有“－”号的括号时，括号内每项的符号都要改变.(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

提公因式法¨22)平方差公式:ab(ab)(ab（适用两项的多项式）公式法222完全平方公式:a2abb(ab)（适用三项的多项式）十字相乘法（适用三项的多项式）

【分析】（1）这是一个四项式，它的各项没有公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但是，如果分组后在局部分别分解，就可以创造整体分解的机会．（2）符合公式的两项分组

（3）观察多项式，前三项符合完全平方公式

要点：分组后组间能分解因式

第三篇：分组分解法教案

9.16分组分解法

教材解读：

本章主要介绍提公因式法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法和分组分解法四种最简单、最常用的分解因式的方法。本节内容分组分解法是为前面三种方法的运用创造条件，即把多项式各项适当分组，使之能够应用以上三种方法。分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解。因式分解和整式的乘法运算都是整式的一种恒等变形，因式分解是整式乘法的一种逆向变形，也是今后学习分式的基础。课程标准要求：在因式分解中，所涉及的多项式不超过四项；不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。用公式法分解因式时，只涉及平方差公式和完全平方公式。不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解；关于一般的二次三项式的因式分解，将通过后续学习主要掌握求根公式法。由于因式分解需要学生有较高的观察能力、分析能力和应用能力，因此要关注学生不同的思维方式，鼓励、引导学生积极思考，勇于探索，培养学生潜在的思维能力和创新能力。

教学目标：

1.理解分组分解法的概念.2.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式.3.经历分组分解法分解含有四项的多项式的过程,体会因式分解的基本方法之间的联系和区别,提高观察、分析和解决综合问题的能力.重点:分组分解法分解含有四项的多项式.难点:选择适当的分组方法，继续因式分解.教学过程： 一． 复习

师：我们已经学习了因式分解的哪几种基本方法？ 生：提公因式法、公式法、十字相乘法。

师：好，下面让我们试一试用这些基本方法来因式分解吧！分解因式，并归纳解题模块：

6a26b2

归纳解题模块：

两项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式2.“套”平方差公式

2a24ab2b23a15a182

归纳解题模块：

三项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式

2.“套”完全平方公式或十字相乘法

设计意图：通过三道题目的练习，引导学生归纳出两项式和三项式因式分解的解题模块，训练学生的归纳能力。

二、新课探索

师：同学们已经掌握用提公因式法、公式法、十字相乘法这些解题工具来解二项式与三项式的因式分解的题目，那么还有哪些未知的题目有待我们去研究呢？ 问题一：

师：将①axay②bxby分别因式分解 生： ①axayaxy

②bxbyb(xy)

师：你发现这两个式子有公因式是什么？ 生：xy

师：将①、②两个式子组合成axaybxby怎么因式分解呢？

生：先两项与两项分组后，可先用提取公因式法分解因式，然后继续用提取公因式法分解因式，得到最终结果。师：这道题除了第一项与第二项分一组，第三项与第四项分一组来因式分解之外，还能怎么分组来解呢？

生：还能第一项与第三项分一组，第二项与第四项分一组来解。师：请你比较这两种做法有什么相同点？解出来的答案一样吗？ 生：做法差不多，答案也一样。问题二：

师：将a22abb2因式分解？

师：现在我在这个式子的后面添-1变成a22abb21应该如何因式分解呢？ 生：先把前面三项分一组用完全平方公式因式分解，再与后面一项利用平方差公式继续因式分解。

师：你是把前面三项分一组，后面的一项分一组。还有没有其他分组方法？ 生：没有了。

师：请再做一题分解因式3a26ab3b23

生：先提取公因式，再进行分组。

师：以上研究了两道关于四项式因式分解的问题，都提到了要分组，利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。那么分组的目的是什么呢？

生：分组为前面三种方法的运用创造条件，即把多项式各项适当分组，使之能够应用以上三种方法。分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解。

师：你能不能归纳一下四项式因式分解的解题模块？ 归纳解题模块：

四项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式

2.“分”组：①两项与两项分组后，可先用提取公因式法分解因式，然后继续用提取公因式法分解因式，分解到不能分解为止。②三项分一组用完全平方公式因式分解，再与后面一项利用平方差公式继续因式分解，分解到不能分解为止。设计意图：由于考虑到如果直接给学生四项式来因式分解有一定难度，所以我用了先分解再组合再分解的教学策略，化解这一难点，符合学生的最近发展区。

三、巩固练习

题组训练1：分解因式

6k26mn9km4kn4a212ab9b24x2 2x32x2y8y8x注意：有公因式先提，最后检查要分解到不能分解为止。

题组训练2：选择题

因式分解a44b2c2a2b24a2c2，下列说法中正确的是（）①可以a44b2c2a2b24a2c2分组 ②可以a4a2b24b2c24a2c2分组 ③结果为a24c2a2b2 ④结果为a2ca2cabab

改错题：分解因式

4x24x1y24x4x1y224xx11y1ya2b2c22bc

ababcc2b

题组训练3：分解因式

3x2y6xy4x894x212xy9y2 x32x2y9x18y

题组训练4：开放性问题

1.在多项式a2b22a的括号内填入单项式，使这个多项式在有理数范围内能够分解因式。（写出至少两种情况，并把所得的多项式分解因式）

2.在多项式a2b2的括号内填入单项式，使这个多项式在有理数范围内能够分解因式。（写出至少两种情况，并把所得的多项式分解因式，注意不能与第一题有重复）

四、课堂小结

师：请同学说说对于二项式、三项式、四项式分解因式的解题模块分别是什么？ 生：两项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式

2.“套”平方差公式

三项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式

2.“套”完全平方公式或十字相乘法

四项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式

2.“分”组：①两项与两项分组后，可先用提取公因式法分解因式，然后继续用提取公因式法分解因式，分解到不能分解为止。②三项分一组用完全平方公式因式分解，再与另一项利用平方差公式继续因式分解，分解到不能分解为止。

五、中考链接

（2000上海）分解因式x2y2xy_________(2003上海)分解因式：ab2a1＝_________

六、竞赛链接

分解因式题组1 分解因式题组2

22abc2d2cda2b2 a23a2 xyxy4y1 a123a12

x设计说明：

2xx2x32

xx1x2x32

张景中院士说：练武功的上乘境界是“无招胜有招”，但武功仍要从一招一式入门。解题也是如此。这种无招胜有招就是大巧，但是小巧固不足取，大巧也确实太难，对于大多数的学生，还是重视有章可循的招式，大巧无定法，小巧一题一法，中巧，则希望用一种方法解出一类题目，也就是把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法。徐汇区特级教师陈永明老师提出了解题模块的理论，教师应该引导学生归纳出能够解一类题的解题模块。本节课我与学生共同归纳了二项式、三项式、四项式的解题模块，发展了学生的归纳能力。在引入分组分解法的概念时，利用了先分解再组合再分解的教学策略，使同学自然而然的想到了要把四项式进行分组，符合学生的最近发展区。通过对分组的目的的探讨提高学生的局部与整体的观念。在题组训练中提高学生的观察能力，分析能力和解决问题的能力。

第四篇：一元一次方程及其解法教案

一元一次方程及其解法

教学目标：

1、经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元一次方程的过程，体会学习方程的意义在于解决实际问题。

2、通过观察，归纳一元一次方程的概念。

3、理解等式的基本性质，并利用等式的基本性质解一元一次方程。教学重点、难点

教学重点：对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程。教学难点：对等式基本性质的理解与运用。教学过程： 一：情境导入

今有雉兔同笼，上有三十五头 下有九十四足，问雉兔各几何 二：导入课题

§3.1一元一次方程及其解法 三：问题情境导入 问题1：

在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有18人，比跳水运动员的2倍少4人，参加奥运会的跳水运动员有多少人？

如果设参加奥运会的跳水运动员有x人，则根据题意可列出方程 2x－4=18 问题2 王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？

如果设再过 x年，则x年后王玲的年龄是 岁 则x年后爸爸的年龄是 岁 由题意可得：（让让学生做，然后交流。）四：想一想

看看式子： 2x－4=18 36＋x＝2(12＋x)

1、它们属于我们小学里学过的什么内容？ 方程：含有未知数的等式叫方程。

2、上面的两个方程的左右两边的式子属于我们学过的代数式中的哪一类式子？

它们都是整式

3、如果方程的两边都是整式，我们就把这样的方程叫整式方程。五：合作探究 观察方程：2x－4=18 36＋x＝2(12＋x)这两个方程有什么特征？（从未知数的个数与未知数的次数两方面去考虑）[ 一元一次方程：象上面的两个方程，只 含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程。六：相信你会判断

判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。(1)x+3y=4()(2)x2-2x=6()(3)-6x=0()(4)2m +n =0()(5)2x-y=8()(6)2y+8=5y()

七、回顾交流

1:请同学们自己写出几个一元一次方程的例子。2:请同学们回顾一下什么叫方程的解？

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。3:解方程：求方程解的过程叫做解方程。做一估：判断括号里的数是不是方程的解 1.2x－4=18（x=11)2.36＋x＝2(12＋x)(x=12)

3、3x+1=7(x=3)

八、知识导航

我们在小学里已经学过等式的基本性质，谁能告诉老师等式基本性质的内容吗？ 等式的基本性质

1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

2、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

九、做一做

说明下列变形是根据等式的哪一条基本性质得到的？

1、如果5x+3=7，那么5x=4

2、如果－8x=16，那么x=－2

3、如果－5a=-5b, 那么a=b

4、如果3x=2x+1，那么x=1

十、课堂小结

1.通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑问？ 作业：

1、课堂作业p91页习题3.1第2题

2、课后预习下一节。预习要点

1、什么叫移项？

2、会用移项的方法解一元一次方程。

第五篇：一元一次方程的解法教案

8.4一元一次方程的解法（1）

学习目标：

1、掌握移项法则，会用移项法则对方程进行变形

2、掌握解一元一次方程的基本步骤：“移项”、“合并同类项”和“化未知数的系数为1”。

3、会解简单的一元一次方程。重点：

一元一次方程的解法步骤。难点： 移项法则

一、检查课前预习。（指一列学生说出下列题目的答案）

1、下列方程是一元一次方程的是（）A、x+x=1 B、3x-2y=5 C、2xx154x D、 55x

22、等式的基本性质是什么？（等式的基本性质是学习本节课的重要依据，学生回答后，全班同学齐读一遍）

3、利用等式的基本性质完成下列填空

（1）如果x+3=10,那么x=10-()（2）如果2x-7=15，那么2x=15+()

4、利用等式的基本性质把下列一元一次方程化成“x=a”的形式.（1）x57（2）5x5

课内探究： 环节1：自主学习

1、结合课前预习中的内容，自学课本P.165－166，解方程x-2=

52x=x+3（1）你发现将方程的一项由等式一边移到另一边时，它的符号发生了什么变化？（学生先自学，然后同桌讨论交流）

（2）把方程中某一项_______________，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做＿＿＿＿。注意：（1）移项一定要改变符号

（2）一般的，把含有未知数的项移到方程左边，不含未知数的项（常数项）移到右边。

巩固新知：

下列方程的变形正确吗？如果不正确，怎么改正?（1）由方程z+3=1，移项得z=1+3

（2）由方程3x=4x-9，移项得3x-4x=-9

(3)由方程3x+4=-5x+6,移项得3x+5x=6-4

(4)由方程5-2x=x-9,移项得-2x-x=9-5 强调：（移项一定要改变符号，不移项符号不变。）环节

2、交流提升：

以小组为单位，学习交流课本例1、2、3，共同讨论解一元一次方程的步骤和注意事项，每组找代表汇报课本例1、2、3的解法，师用幻灯片显示解答过程。集体交流解题步骤。1.移项，2.合并同类项，3.把未知数的系数化为1,4.检验。根据学到的方法，解答下列方程。试一试：

（1）x57(2)4x3x4

31x3（3）2x4(3)2

（指做得最快的4名同学在黑板上做出4道题然后集体交流，找出薄弱环节，加强练习）环节

3、精讲点拨：

问题：解方程要注意“移项”与“化未知数的系数为1”的区别。求下列方程的解是移项还是化未知数的系数为1？并说明变形的根据。

(1)5x3(2)5x2

2x5(3)9(4)5x =3x – 5

（再找做得快的其他4名同学上黑板做出这4道题，每名同学讲出自己的做题依据。找出典型错误，订正）温馨提示：（1）移项：要先改变符号再移项

（2）合并同类项：移项后，把方程左右两边的同类项合并，将方程化为ax=b的形式（3）化未知数的系数为1：将方程ax=b未知数x的系数x化成1。

环节4：巩固检测

1、(1)3 + x = 6(2)x — 15 = 2

11x1;(2)2x1 x3;(3)4x76x2x（4）82

43x4(6)7x—5 = —3x（5）3

（同桌交换所做练习，集体交流答案，标出对错，教师了解学生的掌握情况）

课堂小结：通过对本节课的学习，你能说出解简单方程的步骤吗？在每一步中有哪些注意事项？

三、课后延伸：（1-3题巩固作业，为必做题；

4、5题拓展提升，可选做）

1、解方程

(1)3 – x = 6(2)

(3)2x + 3 = 3x(4)2x – 1 = 5x + 7(5)

2、解下列方程，并写出方程变形的根据：

（1）x + 1.6 = 0（2）-2.8y － 0.7 = 1.4

3、填空题（1）若2x32k1x =4 21311x=0(6)x – 3 = 5x + 32242k41是关于x的一元一次方程，则k的取值是______________.（2）、如果方程3x+2a=12和方程3x-4=2的解相同，那么a=__________.4、解答题：

当x取何值时，2x+1 与 —

1x —2的值，2（1）相等（2）互为相反数

5、回顾：

整式的加减中的去括号法则你还记得吗？利用去括号法则完成下列题目

1、（1）3x +(2x –x)(2)3(x + 6)– 9 + 5(1 – 2x)

2、尝试解下了方程：

（1）3(x + 6)= 9 – 5(1 – 2x)

（2）（y + 1）1）= 1 – 3y