专题：线段的和差问题

第一篇：专题：线段的和差问题

专题：线段和差问题

线 段 的 和 差 问 题

几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。

一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。

例1 已知：已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的角平分线BD、CD相交于一点D，过D点作EF∥BC交AB与点E，交AC与点F。求证：EF=BE+CF

例2 已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F.求证：EF=BE-CF.AEFDB

CG

二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）

三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）

专题：线段和差问题

例3 如图所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC.四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正方形中有关题目类型的一种技巧。

例4 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD

专题：线段和差问题

五、等积变换法：利用三角形的面积进行证明。

例5 已知:如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，如果在BC上取一点F，过F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H.求证：FG+FH=BD.练习：

1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，AE是过点A的一条直线且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE.ADBCE

2、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于 D．求证：AD+BC=AB． 专题：线段和差问题

3、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E．求证CE=1/2 BD

4、已知:如图，在△ABC中，∠A=90º，D是AC上一点，BD=CD，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=AB.

第二篇：“截长补短法”证明线段的和差问题

“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华

线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。CED例

1、如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．

A

B 分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：

（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”

（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ACAF 12

AEAE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

6D34 BEBE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F ∵ ∴F4,又∵34 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

F 312

AEAE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

56BEFE 4F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．

分析1： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，B

D 构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．

C

证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE．

在△ABD和△AED中，ABAEBADDAE ADADA

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE． B 证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE． 在△AED和△ACD中，AEACBADDAC

ADADE

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可． 证明：延长DB到点E，使AB=BE，连结AE，E B D 则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

学以致用：

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

第三篇：初一数学教案 线段的和差

第二课时

一、教学目标

1、理解两点间距离的感念和线段中点的感念及表示方法

2、学会线段中点的简单应用

3、借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用

4、培养学生交流合作的意识，进一步提高观察、分析和抽象的能力

二、教学重点

线段中点的感念及表示方法

三、教学难点 线段中点的应用

四、学用具： 投影片、刻度尺

五、学过程：

（一）习回顾：线段长短比较的两种方法

（二）感念分析

1、线段性质和两点间距离 “想一想”

出示课本图片，从上面的两个事例中，你能发现有什么共同之处？（可让学生稍作讨论后回答）学生：选择直路，路程较短

让学生在黑板上画出图7-18（见课本），从A到B的几种路线，并用红色粉笔标出最短的路线

教师：你是怎样比较出最短的路线的？ 学生：利用观察、测量 根据学生的画图，师生共同总结出线段的性质： “两点之间的所有连线中，线段最短”

两点之间的距离：两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离。要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是图形，线段的长度是数值。

教师：“两点间线段最短”的性质在实际生活中应用较广，你能否举一些例子？

学生：从A到B架电线，总是尽可能沿着线段AB架设等。

2、线段的中点

请按下面的步骤操作：（学生做）①

在一张透明纸上画一条线段AB ②

对折这张纸，使线段AB的两个端点重合 ③

把纸展开铺平，标明折痕点C

如图1：

ACB

教师：线段AC和线段BC相等吗？你可以用是么方法去说明？ 学生1：相等。用刻度尺测出它们的长度，再比较 学生2：相等。用圆规测量比较

教师：象图1这样，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点。用几何语言表示：

AC=BC=1/2AB（或AB=2AC=2BC）

教师：刚才用折纸的方法找出AB的中点C，你还能通过什么方法得到中点C呢？ 学生：用刻度尺去量出AB的长，再除以2，就得到点C（让学生板演）填空：如图2 已知点是线段的中点，点是线段的中点，ADCB

（1）AB=＿＿ BC

（2）BC= ＿＿ AD（3）BD=_____AD “想一想”如图3，点P是线段的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。如图3：

ACPDB

可让学生讨论后再作答（教师可作如下分析：如果能得到线段CP与线段AB之间的长度比，就能求出线段AB的长。）由学生回答，教师板书完成。

解：∵

点P把线段二等分，∴

AP=PB=1/2AB ∵

点C、D把线段AB三等分，∴

AC=CD=DB=1/3AB ∴

AP－AC=1/2AB－1/3AB=1/6AB, 即

CP=1/6AB ∴

AB=6CP=6×1.5=9cm

即AB的长为9cm 课内练习P172 1、2及 P17

谈谈收获：①

两点间距离的感念

②

线段的性质“两点间线段最短”及应用

③

线段的中点的感念及简单的应用 作业： 板书：

1、线段的性质：

例解：

2、两点之间的距离：

3、线段的中点：

（板演处）

第四篇：和差问题

和差问题

志向是天才的幼苗，经过热爱劳动的双手培育，在沃土里将成长为粗壮的大树，不热爱劳动，不进行自我教育，志向这根幼苗也会连根枯死。———书霍姆林斯基

方法：画线段图。

公式：大数=（和+差）÷2小数=（和和—差）÷2

例

1、把一条长100米的绳子剪成两段，第二段比第一段长16米。第一段长多少米? 例

2、今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，爸爸多少岁？

例

3、红红期末测试语文和数学的平均分是94分，数学比语文多8分，语文得多少分? 例

4、甲、乙两校共有学生864人，为了执行教育局规定照顾学生就进入学，从甲校调入

乙校32人，这样甲校就比乙校多48人。甲校原来有多少人/

例

5、四个人年龄之和是88岁，最小是3岁，他与最大年龄之和比另外两个人年龄之和大

8岁，最大年龄是多少岁？

例

6、有灰兔、白兔、和黑兔若干只。白兔和灰兔关在一起共有10只，灰兔和黑兔关在一

起共有7只，黑兔和白兔关在一起共有5只，黑兔有多少支？

练习

1、期终考试王平和李扬语文成绩的总和是188分，李扬比王平少4分，李扬考了多少分/

2、小宁和小慧身高总和是264厘米，已知小宁比小慧矮8厘米，小慧身高多少厘米？

3、父亲今年44岁，儿子今年8岁，当两人年龄和是60岁时，父亲有多少岁？

4、

第五篇：和差问题

和差问题

教学目标：

1、通过直观演示的教学，让学生理解和差问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。

2、了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性.教学重点：

让学生通过直观演示，合作探究，掌握和差问题的特点及其解题思路。教学难点：

理解和差问题的解题思路。教学过程：

一、谈话引入

我们在小学中学习了和差问题，谁能说一说什么是和差问题吗？

二、典型例题

例1：小宁和小芳的年龄和是28岁，小宁比小芳大2岁，小芳今年几岁？小宁今年几岁？

1.学生读题，思考。2.指定学生画图分析。

师：据图所知：如果小芳增加2岁，年龄和也增加2；即28+2=30岁，30岁相当于2个小宁的年龄，因此小宁： 30 ÷2=15（岁）小芳： 15-2=13（岁）。

师：刚才我们把小芳的年龄增加了2岁，那我们能否把小宁地年龄减少2岁呢？

师：据图所知：如果小芳减少2岁，年龄和也减少2；即28-2=26岁，26岁相当于2个小芳的年龄，因此，小芳： 26 ÷2=13（岁）；小宁： 13+2=15（岁）师：我们一起来总结一下解题方法。

1）已知两个数的和与它们的差，求两个数各是多少的应用题叫做和差应用题。2）解答方法：

方法一：可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再求小数。方法二：假设大数减少到与小数同样多，先求出小数再求出大数。3）数量关系：（和+差）÷2=大数（和-差）÷2=小数

例2： 小王、小张共买了20本书，如果小王给小张6本书那么小王就比小张少2本书。问：小王、小张各买了多少本书？

师：根据“小王、小张共买了20本书”，你们知道了什么？ 生：知道了“和”

师：根据“小王给小张6本书那么小王就比小张少2 本书”，请问小王比小张多了多少本？先看PPT的演示。生：小王比小张多10本。

师：现在请同学们开始根据分析解题。解： 6+6-2=10（本）小王：（20+10）÷2=15（本）小张： 20-15=5（本）

答：小王买书15本，小张买书5本。三．巩固练习

(1)甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？(2)长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。(3)甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

（4）甲乙两车发车时共有乘客75人，到某站时甲车增加12人，乙车减少17人，此时两车乘客人数恰好相等，两车发车时车上各有乘客多少人？

5、甲、乙两筐香蕉共64千克，从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的香蕉比乙筐的香蕉多2千克。甲、乙两筐原有香蕉各有多少千克？

6、甲乙两船共载客623人,若甲船增加34人,乙船减少57人,这时两船乘客同样多,甲船原有乘客多少人？

和倍问题

教学目标：

1、通过复习，让学生理解和倍问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。

2、了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性.教学重点：

让学生掌握和倍问题的特点及其解题思路。教学难点：

理解和倍问题的解题思路。教学过程：

一、复习旧知，引入问题。根据题意写出关系式。

（1）白兔的只数是灰兔的4/5（2）美术小组的人数是航模小组的 1/4（3）小明的体重是爸爸的7/15（4）男生人数是女生的一半。

二、典型例题

二、探究交流解决问题。1.出示例题6

1、六（1）班参加篮球比赛，全场得了42分。下半场得分是上半场的一半，上半场和下半场各得多少分？

2.提问 ：从题目中获得了哪些信息？

3.阅读与理解、重点分析：下半场得分是上半场的一半，“这句话（上半场得分× ＝下半场的得分或下半场的得分×２＝上半场的得分）。” 4.解答例题。（1）画线段图，学生理解等量关系。

（2）对照板演的同学，检查自己的线段图有什么不足。（3）提问：根据题意，题中数量间有怎样的等量关系？

学生回答，教师板书：

上半场的得分＋下半场的得分＝比赛的总得分。

上半场得分× 1/2 ＝下半场的得分 下半场的得分×２＝上半场的得分（4）学生尝试列方程解答。

解：设上半场得ｘ分 解：设下半场得ｘ分 X＋ Ｘ=42 2Ｘ＋Ｘ=42 42÷（2+1）=14

【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数

总和 － 较小的数 ＝ 较大的数

较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。也可以利用比例的方法进行练习，还可以列方程解答。

三、课堂练习：

1、商店有洗衣机和冰箱共40台，洗衣机的台数是冰箱的 2/3，洗衣机和冰箱各有多少台？

2、李明爸爸妈妈每月的总收入是8000元，妈妈的收入是爸爸的3/5，李明爸爸妈妈的月收入分别是多少元？

3、果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

4、东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

5、甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

6、修一条公路，已修的长度是未修的 3/4，已修的长度比未修的少50千米，这条路共有多少千米？

7、公园里有樟树和柳树共420棵，樟树比柳树少 1/4，樟树和柳树各有多少棵？

差倍问题

教学目标：

1、通过复习，让学生理解差倍问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。

2、了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性.教学重点：

让学生掌握差倍问题的特点及其解题思路。教学难点：

理解差倍问题的解题思路。教学过程：

1、已知两个数量的和（或差）与它们的倍数关系，求这两个数量。关键找出1倍数量（或说单位1），画线段图表示题意。

【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式、方程或者比例解决问题。典型例题

1.一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的3/5，课桌和椅子的单价各是多少元？

2.某班男女生人数的比是4：5，已知女生比男生多5人，男生和女生各多少人？全班多少人？

1、学生说思路

2、指名汇报

3、集体讲解。

4、小结方法。

巩固练习(1)果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

(2)爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

(3)商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

4、一根绳子长48米，截成甲、乙两段，其中乙段绳子长度是甲段绳子的3/5。甲、乙两绳各长多少米？

5、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子价格的3/10。桌子和椅子的价格各是多少元？

6、体育馆内排球的个数是篮球的3/4，篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个？

7、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的6/10，课桌和椅子的单价各是多少元？

8、六一班男生比女生多6人，已知男生女生人数之比为5:4，男女各有多少人，全班有多少人？（多种方法解决）