第一篇：勾股定理的验证教学设计
课题学习：利用拼图验证勾股定理
初四 王江波
教学目标：
1．经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理的认识。
2．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。教学重点：
拼图验证勾股定理 教学难点：
利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。教学方法：
小组交流合作 学生动手操作 教师利用多媒体课件演示 课前准备：
学生：根据课本制作“五巧板”模型 教师：制作几何画板演示课件 教学过程：
一、导入新课：
勾股定理是数学史上一个非常写生要的定理，早在3600多年前，古巴比伦人就已经发现了勾股定理，我国约在3000多年前发现了勾股定理，而在西方，2000多年前的毕达格拉斯学派道德证明了勾股定理，所以在国际上一般把它称之为毕达格拉斯定理，传说毕达格拉斯学派在发现了勾股定理以后宰了100头牛庆祝，所以又称为“百牛定理”。
勾股定理是数学史上证明方法最多的一个定理，有一千多种证法，总体上可分为三大类：一是通过严密的理论推导证明，由于知识所限，我们这里不做研究；二是通过一些图形的面积计算进行验证，比如我们在前面接触过的一个证法，如图：
由学生根据图形回答： bac(ab)222122ab4c22a2abbab22abc2
c 三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。你能根据这幅弦图来说明勾股定理吗？
学生思考作答： cbacc2122ab4(ba)222222abab2abc2
ab上面的第一幅图也是毕达格拉斯用来说明勾股定理的图形，不过它是通过另一种简单的方式来验证的，如图：
bac
他通过图形的移动拼接，左图中的空白部分与右图中空白部分的面积是相同的，而左图中的空白部分面积是c2,右图中空白部分的面积是a2+b2，所以有a2+b2=c2，这种方法简单明了，这也就是勾股定理证明中的第三类：利用拼图验证。我们这一节课就通过自己的努力，来感受一下拼图验证勾股定理的奥妙。
二、新授：
1．教师介绍“五巧板”的制作方法及特点，学生拿出准备好的硬纸板制作的“五巧板”。步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得到了一幅五巧板.通过制作方法不难看出，这五块板组合成的面积就是c2，我们只要能通过这五块板组合成两个边长分别为a、b的正方形，就可以验证勾股定理。
2．学生活动：利用五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形。（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
25431 3．演示学生的拼图并加以点拨：
1、3可以拼在一起，2、4、5可以拼在一起。
4．用上面的两幅五巧板，还可共同拼出其它图形，在图形中既可看出5块板拼成的边长为c的正方形，还能看出边长为a、b的正方形，从而验证勾股定理。如图，教师演示一个，然后学生亲自实践，小组合作操作，加深对五巧板拼图验证勾股定理的理解，在学生有结果时加以展示。（这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作。）
2c54abcba413a5、在学生完成上面拼图过程后，教师进一步介绍几种拼图验证勾股定理的方法：
（1）青朱出入图：我们中国古人利用拼图验证勾股定理的方法，这只是其中一种，还有多种分割拼接的方式，课后同学们可以自己试试看。BIAHCA
（2）达芬奇的证明方法：
（3）西方出现的一种拼图证法：
三、课堂总结
从这节课中你有哪些收获？
（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）
在学生总结的基础上给学生课件展示勾股树，激发学生的兴趣。
四、检测：下面是美国总统伽菲尔德对勾股定理的一个证法的图形，你能利用这个图形来说明勾股定理吗？
ba ccba
第二篇：验证勾股定理的证明
验证勾股定理的证明—拼图的应用
几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫 “勾股定理”或“商高定理”，在国外叫“毕达哥拉斯定理”。相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜若狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫“百牛定理”。勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。但是，在现实中，有什么方法，可以证明勾股定理呢？看着三角形的边边角角让我想到七巧板，拼图。
于是我动手做了几个五巧板，如下图：
b 然后，利用这些五巧板我做了以下实验：
1）用两副五巧板，将其中的一副拼成一个以c为边长的正方形；将另一副拼成两个边长分别为a、b的正方形。
523 b 4 5a
S1、S2、S3、S4、S5组成；
S1、S3组成；
S2、S4、S5
2）用上面的两副五巧板，还可以拼出如下所示的图形：5 353
a
通过上面两个实验，利用现实生活得物体验证了勾股定理，使我对这个定理的理解和应用有了更深的体会。
第三篇：课例设计：勾股定理的验证及简单应用
课例设计：股定理的验证及简单应用
●山东省博兴县纯化镇中学 张海生 邮编：256507 设计说明: 本节课的教学内容是人教2005版八年级数学下册 P72-75《18.1勾股定理》.一、教学目标
1、知识目标：
（１）经历用拼图法（“演段算法”）验证勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；
（２）了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用.２、能力目标：
经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会形数结合的思想； ３、情感目标：
（１）通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.（２）通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.二、教学重点、难点
拼图验证勾股定理蕴涵着如“数形结合”等丰富的数学思想，同时还关注学生是否能与同伴进行有效的合作交流，关注学生是否积极的进行思考，关注学生能否探索出解决问题的方法，为了使这些要求在课堂中得到较好的体现，本节课重点确定为：通过拼图验证勾股定理及其在数学发展史中的作用；在勾股定理的应用过程中使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验.其中利用“数形结合”的方法验证勾股定理是本节难点.三、教学实录
１、创设情境 引入勾股定理
教师：上课开始，先请同学们欣赏一棵“美丽的勾股树”.漂亮吗？
学生：哇！太漂亮了！
（几何画板课件展示动态上图，同时闪烁画圈图形，这足以让学生震憾.第一步“预设”成功.创设的“美丽”却又“神秘”情境，能够充分地调动不同层次学生的“有意识注意”及积极主动性，激发他们的学习愿望和参与动机，体验 “数学的美”.）
教师：再请同学们欣赏伴随着我们的课本封面，从电脑中飞出的“弦图”.学生：课本封面？！（有的学生翻阅课本封面，说明对于此虽然“熟视”却又“无睹”.但是此时学生好像有所悟.以“课本封面弦图”创设情境，再一次让学生经历和感受“生活处处是数学”.）
教师：这两个图形中蕴藏着反映自然界规律的一条重要结论，它历史悠久，在数学的发展中起着重要的作用，现实中也有广泛的应用——勾股定理.（课件闪烁突出“弦图”，并从图片中分离出如上两图形.引出课题.）
2、勾股定理的探索及验证(1)猜想结论
教师：如图1、2所示，已知直角三角形的两条直角边是a、b，斜边长为c，猜想一下它的三边之间有怎样的数量关系呢？并运用图形验证你与同伴找到的结论.学生：a2+b2=c2„„勾股定理.（大部分学生几乎脱口而出.这也意味着学生已经预习，并且明确了老师前一环节所创设情境的目的.显然教师“预设”不成功.根据 “课堂现场”发生的情况，适时调整“预案”，舍去“发现结论”教师的启发，转为“结论验证”故事学生的讲解，以使教学活动收到更好的效果.）
教师：非常正确，是勾股定理.相信大家，已经阅读过有关勾股定理的知识！有谁能给同学们讲一下？！（顺水推舟）
(2)学生讲解 验证结论
学生1：相传2500年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯，有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面(如右图)中反映了直角三角形三边的某种数量关系.相传为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又叫做“百牛定理”.进而我们也可以借助于“毕达哥拉斯”的方法，将图1放在方格纸中进行验证：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.（学生很自信并争先恐后的给学生介绍.教师同时展示“预案”中的课件片段如图3.）
学生2：我知道：还有古巴比伦人在三千多年前也了解到这条定理.学生3：你们是不是有点“崇洋媚外”了.其实，我国早在三千多年前商高与周公的一段对话中就提到了“勾三，股四，弦五”，所以曾一度把它叫做“商高定理”或“勾股弦定理”.我国古代的数学家们不仅很早发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理进行理论
性的证明.最早对勾股定理进行
证明的是三国时期的数学家赵爽.他在注解数学著作《周髀算经》提到，勾股术(即勾股的计算方法)是禹在治理洪水计算水位差的过程中发现的.赵爽创造了一幅“勾股圆方图” 即我们的图2来证明勾股定理，后来人们称它为“赵爽弦图”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较
长的边称为股，斜边称为弦，所以，把它叫做勾股定理（师展示图4）
学生4：2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，“赵爽弦图” 还成为大会会徽的图案呢！（师展示图5）.教师：太棒了！看来同学们是纵览古今中外，悉知勾股定理.老师真心希望同学们在学习知识的同时，还要注意这些故事的人文价值.毕达哥拉斯告诉我们：看似平淡无奇的现象有时却蕴藏着深刻的道理.赵爽给我们展示的我国的古代文明，相信现代文明下的你们，将来一定能发扬中华民族的智慧更好、更快、更强的建设我们的国家！学生：呵呵.（学生笑了）
(3)验证结论
教师：其实“赵爽弦图”„„ 学生5：老师，对于毕达哥拉斯的方法„我„我不是很明白„„您看„„（话没说完，被学生的提问打断了.笔者愕然，完全出乎意料之外，“预设”又一次失败.）教师：别着急！大家一块帮帮他吧！（学生1和同小组内的学生主动与学生5交流.其他的学生也交流起来！“这里应该没有什么问题？还是放手让学生合作探究出现的问题吧.说不定能碰撞出现思维的火花！”）教师：可以了吗？你能给大家介绍一下交流的结果吗？ 学生5：对于毕达哥拉斯的方法：由于等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形.我们在一张学案纸上作出一
个等腰直角三角形，并分别以此直角三角形的三边为边向形外作三个正方形.按图6将蓝色小正方形分①、②、③、④剪下，然后拼成在红色大正方形上，正好覆盖，说明面积相等.即等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方.还可以按图7将①、②、③、④拼在红色大正方形周围进行验证.对于一般的直角三角形如图8也可以不利用网格线直接计算面积，而是直接把图形进行“割”和“补”验证.最大的正方形的面积是由以c为边长的正方形和四个直角三角形组成，即（a+b）22= c+4×1/2ab，进而验222证得出a+b=c.（学生实物投影展示自己的作图）教师：“人多力量大，众人拾柴火焰高”，“团队”的力量是无穷的.学习也是如此，对于不懂的问题一定要知道“合作”.其实老师刚才要讲的就是这种验证的方法.“赵爽弦图”是我国“演段算法”的起源.所谓“演段算法”，就是把图形作适当的 “分割”，然后进行 “移补凑合”而使问题得到解决的一种数学方法.这种方法对于大家应该不陌生，因为在学习整式的运算，中平方差公式、完全平方公式就是用拼222图如图推出(a+b)=a+2ab+b的.（课堂上老师大胆的放手让学生合作探究出现的问题，也许 是“教师的课堂智慧”吧.）
教师：再来展示一下古代数学家赵爽的证明思路.由（3）图知c= 1/2 ab×4+(b-a)，化简得c=a+b.（学生点头微笑，为赵爽的证明所折服.）正因为此，“赵爽弦图”才成为2002年在北京召开的了第24届国际数学家大会会徽图案.（学生又一次点头.可能是为古代数学家的聪明才智所动容.）2
222
2(3)拓广、延伸验证
教师：数学家确实伟大！其实数学家就在我们身边！学生：呵呵，不可能.（学生惊喜，但有点怀疑“老师是
激励我们吗？还是……”）
教师：学生5的图8中就有一种简单的方法.学生：不会吧！（就连学生老师学生1也不相信.此时教师只是在学生5的图8上轻轻一画，如图9.）学生：真的是!学生5真是不得了！（学生5的笑容表明：自信心提高了！）
教师：相信自己就是数学家！中国数学的发展还要靠大家的努力！加油！
教师：勾股定理的验证方法不胜枚举，据统计有400多种，仅由卢米斯1940年编写的《毕达哥拉斯定理》一书就搜集了370种证明方法.参与寻求方法的不仅是数学家还有总统呢！1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地《在新英格兰教育杂志》上发表了勾股定理的一个证明方法.据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话.学生: 能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗? 师：可以.如图10所示.这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，大家不妨与上面的方法用全等的4个直角三角形
拼出来的图形对比一下，看有什么联系.学生：总统拼出的图形恰好是上面方法拼出的大正方形的一半.教师： 同学们不妨自己从图10中推导出勾股定理.学生6：图10形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法: 既可以表示为 1/2(a+b)×
2(a+b)，又可以表示为 1/2 ab×2+ 1/2 c.对比两种表示
2方法可得 1/2(a+b)×(a+b)=1/2 ab×2+ 1/2 c.化简，222
可得a+b=c.教师：很好.同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法.（可以指导学生在Internet网查询浏览或到图书室查找相关资料；也可以给学生准备的阅读资料《勾股定理的证明》作为学案附件.）
教师：好，前面同学们验证了直角三角形三边满足的222
关系a+b=c.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?.观察图11，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否也满足.教师：图11中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形? 学生：不难看出△ABC中，∠BCA>90°.△ A′B′C′中，三个内角都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形.教师：△ ABC的三边上“长”出三个正方形.谁来帮老师数一下每个正方形含有几个小格子? 学生7：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b 2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2
=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积.a2+b2=9+8=17，而c2=29，所以在钝角三角形ABC中，a2+b2≠c2.教师：那么在锐角三角形A′B′C′中又如何呢? 学生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2
=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积.而a2+b2
=5+8=13≠9，所以在锐角三角形 A′B′C′中，a2+b2≠c2
.(4)归纳定理 验证继续
教师：通过对上面两个图形的讨论我们可进一步认识到，只有在直角三角形中，三边a、b、c才有a2+b2=c
2(2 其中a、b是直角边，c为斜边)这样的关系成立.（板书勾股定理：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2）.学生8：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系: a2+b2
教师：同学们对于勾股定理的探究与验证非常成功！也知道了勾股定理是研究了直角三角形三边之间的数量关系.其实大家不知道发现了没有，勾股定理就在我们的生活中，并且应用非常广泛.例题：健妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.晓健量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
学生1：由于29英寸的电视机指的是其屏幕对角线长为74厘米.因此抽象出图形直角△ABC，其中AB=74.如果在△ABC中AC=46，BC=58，利用勾股定理得到：AB2= AC2+ BC，进一步求得AB的值，即可验证售货员是否搞错了.4、反悟课堂 简记收获
教师：太棒了！看来这节课，同学们不仅有效的探究、验证了勾股定理，而且能够运用勾股定理解决生活中的问题！相信一定收获颇丰！与同伴交流一下，并将自己的所得写在数学日记中.（日记摘录：①本节课探索、验证直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②还利用勾股定理，解决生活中的问题.③方法归纳：一是数方格看图找关系，利用面积不变的方法；二是用直角三角形三边表示正方形的面积，“割补演段算法”.④知道了关于勾股定理相关历史、验证方法和人文价值.⑤我们一定要学习赵爽等古人的智慧，为我国数学的发展做出点贡献.⑥查阅资料知道：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．勾股定理还有一个名字叫做“驴桥定理”，但是在课堂上老师没有讲到……）
5、带着勾股定理 走进生活
作业1：图（甲）所示，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图3（乙）所示，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少m.作业2：Internet网查询浏览有关勾股定理的知识 作业3：探究“勾股树”的奥秘.（与情境引入部分前后呼应.）
作者简介：
张海生，男，中学二级数学教师.山东省博兴县初中数学教学能手.从教10年来，教学成绩优异.撰写的多篇教育教学论文发表在《中国教师报》、《基础教育参考》、《上海教育》、《德育报》、《新课程研究》、《中国中学生报》、《现代教育导报》等国家、省级报刊杂志上.如《浅谈现代教育技术中的媒体应用问题》2006年发表于《基础教育参考》杂志，《再谈教材中的折叠问题》2007.3发表于《中学数学教学参考.初中版》，还有《让数学课堂冲满浓郁的文学色彩》发表在山东省教师教育学会会刊《创新教育》2008年第一辑发表等；辅导类文章200余篇发表在《中学生数理化》、《中学生数学》、《数学辅导报》、《少年智力开发报.数学专页》、《学苑新报》、《数学周报》上.并有50多个课件收录在教育部信息技术在教学中的应用重大课题研究成果《华夏教育软件系列中学数学多媒体课件人教课标版课时课件》中.2007年参与了市级课题“十一五”重点课题“实施教学案一体化 促进师生共同发展”的研究.山东省博兴县纯化镇中学
张海生 邮编：256507 E-MAIL: zhanghaisheng200412@yahoo.com.cn 联系电话:***
第四篇：勾股定理教学设计（通用）[范文模版]
勾股定理教学设计（通用5篇）
作为一位无私奉献的人民教师，很有必要精心设计一份教学设计，借助教学设计可以更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展。那要怎么写好教学设计呢？以下是小编精心整理的勾股定理教学设计（通用5篇），欢迎大家分享。
勾股定理教学设计1一、教学目标
1、让学生通过对的图形创造、观察、思考、猜想、验证等过程，体会勾股定理的产生过程。
2、通过介绍我国古代研究勾股定理的成就感培养民族自豪感，激发学生为祖国的复兴努力学习。
3、培养学生数学发现、数学分析和数学推理证明的能力。
二、教学重难点
利用拼图证明勾股定理
三、学具准备
四个全等的直角三角形、方格纸、固体胶
四、教学过程
(一)趣味涂鸦，引入情景
教师：很多同学都喜欢在纸上涂涂画画，今天想请大家帮老师完成一幅涂鸦，你能按要求完成吗?
(1)在边长为1的方格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形。
(2)再分别以这个三角形的三边向三角形外作3个正方形。
学生活动：先独立完成，再在小组内互相交流画法，最后班级展示。
(二)小组探究，大胆猜想
教师：观察自己所涂鸦的图形，回答下列问题：
1、请求出三个正方形的面积，再说说这些面积之间具有怎样的数量关系?
2、图中所画的直角三角形的边长分别是多少?请根据面积之间的关系写出边长之间存在的数量关系。
3、与小组成员交流探究结果?并猜想：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a，b，c具有怎样的数量关系?
4、方法提炼：这种利用面积相等得出直角三角形三边等量关系的方法叫做什么方法?
学生活动：先独立思考，再在小组内互相交流探究结果，并猜想直角三角形的三边关系，最后班级展示。
(三)趣味拼图，验证猜想
教师：请利用四个全等的直角三角形进行拼图。
1、你能拼出哪些图形?能拼出正方形和直角梯形吗?
2、能否就你拼出的图形利用面积法说明a2+b2=c2的合理性?如果可以，请写下自己的推理过程。
学生活动：独立拼图，并思考如何利用图形写出相应的证明过程，再在组内交流算法，最后在班级展示。
(四)课堂训练
巩固提升教师：请完成下列问题，并上台进行展示。
1.在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c
已知a=6,b=8.求c.已知c=25,b=15.求a.已知c=9,a=3.求b.(结果保留根号)
学生活动：先独立完成问题，再组内交流解题心得，最后上台展示，其他小组帮助解决问题。
(五)课堂小结，梳理知识
教师：说说自己这节课有哪些收获?请从数学知识、数学方法、数学运用等方向进行总结。
勾股定理教学设计2教学目标具体要求：
1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。
3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。
重点：
勾股定理的应用
难点：
勾股定理的应用
教案设计
知识点1：（已知两边求第三边)
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为xx。
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是xx。
3．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长？
知识点2：
利用方程求线段长
1、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？
（2）DE与CE的位置关系
（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？
利用方程解决翻折问题
2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当折叠时，顶点D落在BC边上的'点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。
谈一谈你这节课都有哪些收获？
应用勾股定理解决实际问题
三、课堂练习以上习题。
四、课后作业卷子。
本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程；第二课时是通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。
勾股定理教学设计3教学目标：
理解并掌握勾股定理及其证明。在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神
重点
探索和证明勾股定理。
难点
用拼图方法证明勾股定理。
教学准备：
教具
多媒体课件。
学具
剪刀和边长分别为a、b的两个连体正方形纸片。
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的活动1 创设情境→激发兴趣 通过对赵爽弦图的了解，激发起学生对勾股定理的探索兴趣。
活动2 观察特例→发现新知 通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望。
活动3 深入探究→交流归纳 观察分析方格图，得出直角三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。
活动4 拼图验证→加深理解 通过剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数形结合思想，激发探索精神。
活动5 实践应用→拓展提高 初步应用所学知识，加深理解。
活动6 回顾小结→整体感知 回顾、反思、交流。
活动7 布置作业→巩固加深 巩固、发展提高。
勾股定理教学设计4一、教案背景概述：
教材分析： 勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它是直角三角形特有的性质，是初中数学教学内容重点之一。本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。
学生分析：
1、考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。
2、以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。
设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。
教学目标：
1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体现数形结合思想。
2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的文化价值。
3、培养学生学习数学的兴趣和爱国热情。
4、欣赏设计图形美。
二、教案运行描述：
教学准备阶段：
学生准备：正方形网格纸若干，全等的直角三角形纸片若干，彩笔、直角三角尺、铅笔等。
老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投影图片。
三、教学流程：
（一）引入
同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。（板书课题：探索直角三角形三边关系）
（二）实验探究
1、取方格纸片，在上面先设计任意格点直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形外作正方形，设网格正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，观察并计算每个正方形的面积，以四人小组为单位填写下表：
（讨论难点：以斜边为边的正方形的面积找法）
交流后得出一般结论：（用关于a、b、c的式子表示）
（三）探索所得结论的正确性
当直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c时，是否一定成立？
1、指导学生运用拼图、或正方形网格纸构造或设计合理分割（或补全）图形，去探索本结论的正确性：（以四人小组为单位进行）
在学生所创作图形中选择有代表性的割、补图，展示出来交流讲解，并引导学生进行说理：
如图2（用补的方法说明）
师介绍：（出示图片）毕达哥拉斯，公元前约500年左右，古西腊一位哲学家、数学家。一天，他应邀到一位朋友家做客，他一进朋友家门就被朋友家的豪华的方形大理石地砖的形状深深吸引住了，于是他立刻找来尺子和笔又量又画，他发现以每块大理石地砖的相邻两直角边向三角形外作正方形，它们的面积和等于以这块大理石地砖的对角线为边向形外作正方形的面积。于是他回到家里立刻对他的这一发现进行了探究证明……，终获成功。后来西方人们为了纪念他的这一发现，将这一定理命名为“毕达哥拉斯定理”。1952年，希腊政府为了纪念这位伟大的数学家，特别选用他设计的这种图形为主图发行了一枚纪念邮票。（见课本52页彩图2—1，欣赏图片）
如图3（用割的方法去探索）
师介绍：（出示图片）中国古代数学家们很早就发现并运用这个结论。早在公元前2000年左右，大禹治水时期，就曾经用过此方法测量土地的等高差，公元前1100年左右，西周的数学家商高就曾用“勾三、股四、弦五”测量土地，他们对这一结论的运用至少比古希腊人早500多年。公元200年左右，三国时期吴国数学家赵爽曾构造此图验证了这一结论的正确性。他的这个证明，可谓别具匠心，极富创新意识，他用几何图形的割、来证明代数式之间的相等关系，既严密，又直观，为中国古代以“形”证“数”，形、数统一的独特风格树立了一个典范。他是我国有记载以来第一个证明这一结论的数学家。我国数学家们为了纪念我国在这方面的数学成就，将这一结论命名为“勾股定理”。
20xx年，世界数学家大会在中国北京召开，当时选用这个图案作为会场主图，它标志着我国古代数学的辉煌成就。
师介绍：（出示图片）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹，从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政界要人——美国第20任总统加菲尔德，也加入到对它的探索证明中，如图是他当年设计的证明方法。据说至今已经找到的证明方法有四百多种，且每年还会有所增加。，有兴趣的同学课后可以继续探索……
四、总结：
本节课学习的勾股定理用语言叙说为：
五、作业：
1、继续收集、整理有关勾股定理的证明方的探索问题并交流。
2、探索勾股定理的运用。
勾股定理教学设计5一、教学目标
（一）知识点
1、体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理。
2、会利用勾股定理解释生活中的简单现象。
（二）能力训练要求
1、在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
2、在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力。
（三）情感与价值观要求
1、培养学生积极参与、合作交流的意识。
2、在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。
二、教学重、难点
重点：探索和验证勾股定理。
难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理。
三、教学方法
交流探索猜想。
在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系。
四、教具准备
1、学生每人课前准备若干张方格纸。
2、投影片三张：
第一张：填空（记作1.1.1 A）;
第二张：问题串（记作1.1.1 B）;
第三张：做一做（记作1.1.1 C）。
五、教学过程
创设问题情境，引入新课
出示投影片（1.1.1 A）
（1）三角形按角分类，可分为xx。
（2）对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？
（3）有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角形一定全等吗？
第五篇：勾股定理教学设计
勾股定理教学设计
罗
勇 【教学目标】
一、知识目标
1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程.2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
二、数学思考
在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想.三、解决问题
1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。
2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
四、情感态度目标
1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学
说理的重要性。
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。【重点难点】
重点：探索和证明勾股定理。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。【教学过程设计】 【活动一】
(一)问题与情景
1、你听说过“勾股定理”吗？
(1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理
(2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。
2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？
（二）师生行为
教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。【活动二】
（一）问题与情景
（1）以直角三角形的两直角边a,b拼一个正方形，你能拼出来吗？（2）面积分别怎样来表示，它们有什么关系呢？
（二）师生行为
教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。
学生展示分割、拼接的过程
学生通过图形的拼接、分割，通过数学的计算发现结论。
教师通过（FLASH课件演示拼接动画）图1生共同来完成勾股定理的数学验证。
得出结论：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
教师引导学生通过图
1、图2的拼接（FLASH课件演示拼接动画）让学生发现结论。
【活动三】
（一）问题与情景
例题：例
1、甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？
例
2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 练习：在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c(1)已知∠C是Rt∠,a=6,b=8.则c=
(2)(2)已知∠C是Rt∠,c=25,b=15.则a=
(3)已知∠C是Rt∠,a:b=3:4,c=25,则b=
（二）师生行为
教师提出问题。学生思考、交流，解答问题。教师正确引导学生正确运用勾股定理来解决实际问题。针对练习可以通过让学生来演示结果，形成共识。【活动四】
（一）问题与情景
1、通过本节课你学到哪些知识？有什么体会？
2、布置作业
①通过上网收集有关勾股定理的资料，以及证明方法。② P77复习巩固1、2、3、4题
（二）师生行为
教师以问题的形式提出，让学生归纳、总结所学知识，进行自我评价，自我总结.学生把作业做在作业本上，教师检查、批改.勾股定理【教学反思】
罗
勇
教学的成功体验：《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”.数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程.本节课我结合勾股定理的历史和毕答哥拉斯的发现直角三角形的特性自然地引入了课题，让学生亲身体验到数学知识来源于实践，从而激发学生的学习积极性.为学生提供了大量的操作、思考和交流的学习机会,通过 “观察“——“操作”——“交流”发现勾股定理。层层深入,逐步体会数学知识的产生、形成、发展与应用过程.通过引导学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的见解，学生自主地发现问题、探索问题、获得结论的学习方式，有利于学生在活动中思考，在思考中活动.勾股定理【教学反思】
本节课是公式课，探索勾股定理和利用数形结合的方法验证勾股定理。勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它是解直角三角形的主要根据之一，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用.由此可见，勾股定理是对直角三角形进一步的认识和理解，是后续学习的基础。因此，本节内容在整个知识体系中起着重要的作用。
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生„做‟数学”，选用“引导探究式”教学方法，先由浅入深，由特殊到一般地提出问题，接着引导学生通过实验操作，归纳验证，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.通过教师引导，学生动手、动脑，主动探索获取新知，进一步理解并运用归纳猜想，由特殊到一般，数形结合等数学思想方法解决问题。同时让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。本节课采用的教学流程是：创设情境→激发兴趣→提出问题→故事场景→发现新知→深入探究→网络信息 →规律猜想→数字验证→拼图效果→实践应用 →拓展提高→回顾小结→整体感知等环节共六个活动来完成教学任务的。在这一过程中，让学生经历了知识的发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，从而更好地理解勾股定理，应用勾股定理，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心。
本节课中的学生对用地砖铺成的地面的观察发现，计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积，对直角三角形三边关系的发现，自我小结等，都给学生提供了充分的表达和交流的机会，发展了语言表达和概括能力，增强了合作意识。由展示生活图片，感受生活中直角三角形的应用，引导学生将生活图形数学化。感受到生活中处处有数学。由实际问题：工人师傅要做出一个直角三角形支架，一般会怎么做？引导学生思考：直角三角形的三边除了我们已知的不等关系以外，是不是还存在着我们未知的等量关系呢？调动学生的学习热情，激发学生的学习愿望和参与动机。由学生观察地砖铺成的地面，分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求出这三个正方形的面积,尤其计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积。这样学生通过正方形面积之间的关系主动建立了由形到数，由数到形的联想，同时也初步感受到对于直角三角形而言，三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样的设计有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。得出结论后，还要引导学生用符号语言表示勾股定理，如符号语言：Rt△ABC中，∠C＝90，AC2+BC2＝ AB2（或a2＋b2＝c2）,因为将文字语言转化为数学语言是数学学习的一项基本能力。其次，介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形；最后介绍古今中外对勾股定理的研究，这样可让学生更好地体会勾股定理的丰富内涵与文化背景，陶冶情操，丰富自我，从中得到深层次的发展。
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