第一篇：相似复习教案
相似复习教案
教学目标：
知识与技能目标：
1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质； 2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.过程与方法目标：1.经历知识探究的过程，使学生将实际问题转化为相似三角形这一数学模型，达到熟练、灵活运用；在解决实际问题的过程中,提高学生建立数学模型的能力.2.经历对图形的观察、探究、交流、归纳的的过程，提高同学们的画图能力和对图形的感知意识．
情感态度与价值观：在教学活动中发展学生的转化意识和探究合作交流的习惯；更进一步地体会相似三角形的实际应用价值；让学生深刻地体会到数学来源于生活,又应用到生活中, 增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受；提高学生对图形的感知水平，发展学生的审美意识． 教学重点：利用相似三角形性质和判定的知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形
教学难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.教学过程：
一、教师引入本节课课题，学生自主复习，然后小组内自主交流总结知识点。教师深入学生中查看完成的情况．记录下所出现的问题，以便集中处理．找学生展示学习成果．
教师给与点评和分析，同时就刚才检查过程中发现的问题处理好，就本单元所用知识一并总结．
根据学生的复习情况，师生共同总结本章重要知识点并多媒体展示。
二、衔接中考，强调重要知识点一，即对应角相等，对应边成比例。
知识点一：
并提出例题，及时强化。给予学生充分的思考时间。学生自主思考，完成练习。
练习：如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠ D、∠G的大小和EH的长度。
知识点二：相似三角形的性质和判定
多媒体出示重要知识点，给予学生充分地时间，把自己整理的知识点有遗漏的补充完整。对于5号6号学生给予时间对其进行强化记忆。
多媒体出示相似三角形性质和判定的中考题，学生自主思考，小组讨论，教师行间巡视，及时解决问题，及时了解学生的出错点和难点。
教师提出问题，学生开始解答． 对于问题6，学习小组可展开讨论，最后小组推举出代表叙述解答本题的思路．
教师听取后，及时地补充、完善、鼓励，最后给出题目的详细讲解．
教师出示，点拨解决思路，学生书写解题的过程，并总结解决此题所用到的知识点有哪些.知识点三：位似
1、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心．
2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小 位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.知识点出示后，及时出示中考题进行练习。
教师出示例题，学生尝试独立完成；教师展示个别同学的成果
三、课堂小结：这节课你学会了什么？你的收获是什么？
四、达标检测：
2.如图，矩形ABCD中，m为BC上一点.DE⊥Am于E，若AB=6，AD=20，Bm=8，求DE的长．
3.（2015德州）
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间 为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
当堂达标在课堂上要及时进行反馈，尤其第三题是2015德州中考题，很具有代表性，学生自主思考，小组合作后，学生如有困难，教师可给予思路的引导和适当的帮助，此题需要做出重点讲解。
五、作业布置 作业布置：
必做题：导训52页：
1、8题
53页14题
选做题：
57页16题
学生认真完成作业，进一步巩固知识．
第二篇：相似三角形复习教案
相似三角形复习教案
教学目标: 本课为相似三角形专题复习课，是对本章基本内容复习基础上的深化，通过对一个题目的演变，紧紧围绕一线三直角这个基本模型展开，由浅入深对相似三角形进行，同时结合数学中的方程思想，分类思想，模型思想，数形结合思想等拓展深化.教学重点:相似三角形的一些基本图形特别是一线三直（等）角的复习.教学难点: 一线三直（等）角模型的拓展深化.教学过程: 练习:1.如图，AB＞AC，过D点作一直线与AB相交于 点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.2.如图，直角梯形ABCD中，E是BC上的一动点，使△ABE与△ECD相似，则AB、BE、CE、CD之间满足的关系为____________.得到相似中最基本的几种图形，即：
A型 斜A型 一线三直角反射型
在得到上述基本图形后，通过找相似三角形，让学生体会基本图形的应用。并通过对这个题目的演变，将本课内容提要呈现出来.例1：在平面直角坐标系中，两个全等Rt△OAB与Rt △A’OC’如图放置，点A、C’在y轴上，点A’在x轴上，BO 与A’ C’相交于D.你能找出与Rt△OAB相似的三角形吗？ 请简要说明理由 在上述条件下，设点B、C’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），将△ A’OC’绕点O逆时针旋转90°至△ AOC，如图所示：
（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；
（2）设抛物线的对称轴交x轴与点M，P为对称轴上的一动点，求当∠APC=90°时的点P坐标.本题主要是应用一线三直角这个基本图形，从而利用相似三角形的对应边关系求解，在教学过程中对P点的位置应作说明，可借助于几何画板演示.【变一变】线段BM上是否存在点P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出点P坐标，如不存在，请说明理由.本例让学生进一步应用基本图形，同时体会到数学思想——分类思想的应用.【拓展一】若点N是第一象限内抛物线上的一动点，当
∠NAA’=90°时，求N点坐标.通过添加一条辅助线构造一线三直角来提升对学生的要求。另外利用本题比较特殊的情况，即△AOA为等腰直三角形的 条件，采用一题多解的方法，帮助学生提高解题的能力.【拓展二】点N是抛物线的顶点，点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线绕Q点旋转180°后得到新抛物线的顶点为M，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点M、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
/本例难度较大，通过引导让学生知道本题仍然可通过构造一线三直角的模型来解决，因为要添加较多辅助线，教师可将第一种情况和辅助线添加出来，从而让学生类比得到第二种方法的辅助线.课堂小节:对本节课复习模型的整理;相似应用的技巧梳理;学生疑惑的交流.
第三篇：相似三角形复习课教案
《相似三角形》复习课教案
城区二中 章松岩
目的：使学生掌握相似三角形的判定和性质和应用，并能灵活运用。重点：相似三角形的判定和性质和应用。难点：相似三角形的灵活运用。教法：三疑三探。教具：多媒体。过程：
课前热身：时间为3分钟
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为什么？
(1)∠A=120°，AB=7，AC=14
∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21
(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°
2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比为，则△ABC 与△A′B′C′的周长比为＿＿对应高的比为＿＿对应中线的比为＿＿对应角平分线的比为＿＿面积比为＿＿。提问学生后教师简单总结,并让学生说说本单元的复习任务是什么？ 相似三角形的判定
（1）两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。（2）三边对应成比例，两个三角形相似。（3）两角对应相等，两个三角形相似。相似三角形的性质
（1）相似三角形对应边成比例，对应角相等。（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。要求学生读几遍。介绍相似三角形的应用： 相似三角形的应用：
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等；
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。课堂抢答：
１、D是△ABC的边AB上的点, 请你添加一个条件，使△ACD与△ABC相似, 这个条件是（）
２、如果一个三角形三边长分别为5、12、13,与其相似的三角形最大边长是39，则该三角形最短的边长为（）
３、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延长线上的一点，ＤＥ交ＢＣ于点Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，则△ＢＥＦ与△ＣＤＦ的周长比为（）；若△ＢＥＦ的面积为８平方厘米，则△ＣＤＦ的面积为（）
４、如图，铁道口的栏杆的短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.8米时，长臂端点升高（）（杆的宽度忽略不计）
５、如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树高为（）
A、4.8m
B、6.4m
C、8m
D、10m 竞赛角
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F。求证：BD·CF=CD·DF 证明：∵CD⊥AB，E为AC的中点
∴ DE=AE
∴∠EDA=∠A
∵ ∠EDA=∠FDB
∴∠A=∠FDB
∵∠ACB= Rt ∠
∴ ∠A=∠FCD
∴ ∠FDB=∠FCD
∵ △FDB∽△FCD
∴ BD：CD=DF：CF
∴ BD·CF=CD·DF 中考链接：
在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
大胆质疑：
通过本节课的学习同学们还有什么疑问或新的发现请大胆提出来？ 教师预设：
某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图）他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元 ／米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由。
小结：
通这一节的复习之后你有哪些收获？
（1）掌握相似三角形的判定方法及性质；
（2）能灵活运用相似三角形的判定方法及性质进行计算或证明；（3）利用相似解决一些实际问题
（4）分类讨论思想： 遇到没有明确指明对应关系的三角形相似时，要注意考虑对位相似和错位相似两种情况，采取分类讨论的方法解决问题.作业：
1、必做题：学习指导第82页2,3,5题。
2、选做题： 板书设计： 教后记：
相似三角形复习课教案
城区二中
章松岩
2013年1月8日
教后反思
结合上课时的感受及课后评课，我对这节课作出如下反思： 成功地方：
1．能科学运用三疑三探模式上课。
2．能有效开展小组活动。充分发挥小组协作功能。
3．注重学生动口动手能力的培养，教师只起辅助引导作用。不足地方：
1.课前可创设问题情境，结合日常生活实际设计一个问题。2.课前热身习题可设计成学案的形式。3.学生评价素质有待于进一步提高。
4.部分习题处理过快影响了中差生的学习。5.中招链接题因为时间关系为处理。6.竟赛角题目设计过难。7.教师未使用普通话。整改措施：
1.复习期间认真备好复习课。2.注重发挥教研组集体协作功能。
3.注重数学思想方法的教学，注重讲题的效果，注重总结归纳解题方法。4.精选习题，不搞题海战术。5.注重批改，反馈，考后总结。6.注意培优补差，努力降低过差率。
第四篇：相似三角形复习教案
设计意图：
1、通过学生对一道中考题的解答，让学生认识到有时利用相似三角形解决问题较简便。
2、以小题目的形式来回顾梳理相似三角形的基本图形，并重点得到“三垂直型”；
使学生熟练掌握基本题型。
3、通过变式训练让学生感受图形从一般到特殊的变化；感受到题目的多解性；提高培养学生分析问题、解决问题的能力。
4、通过拓展训练让学生感受图形从特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加强学生对图形的感觉。
5、通过课堂及作业训练学生会用分类思想解决问题；巩固“三垂直型”和 “三角相等型”。设计方案：
一、情境：
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）
A．1 B．
C． D．2（检查学生做的情况，大部分学生利用勾股定理计算。）
这道题目也可以利用相似三角形来计算。有时利用相似三角形解决问题较简便。今天我们复习相似三角形。（出示课题）
二、梳理相似三角形基本图形： 在我们学习相似三角形这一章时同学们做了许多题目，今天我们来回顾一下，看看他们之间有没有联系，同时检验一下同学们对图形的感觉。
1、如图（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，则DE=____(2)如图（2）若CE=，则DE=____.2、如图（3），在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，则CD的长为（）
，（A）1（B）2（C）（D）
3、如图（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，则BD的长为（）
（A）36（B）16（C）6（D）
4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，FC=9,则EF的长为（）
（A）6（B）16（C）26（D）
（这四道题目先留时间给学生在下面做，再让一个学生上黑板讲解。）由这四条题目让学生感受图形从一般到特殊的变化。
归纳小结相似三角形的基本图形：
“A”型 公共角型 公共边角型 双垂直型 三垂直型
（母子型）（母子、子子型）
“X”型 蝴蝶型
（老师在黑板上逐一画出基本图形）
三、学生探究：
1、在△ ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.变式：在Rt△ABC中，∠C=90埃?SPAN>AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.（先让学生在下面画，再让一个学生上黑板画、其他学生上黑板补充）让学生感受图形从一般到特殊变化时，题目的答案从四解减少到三解。
2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF
变式：如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，若使图中△BEF与△ABE相似，需添加条件：。
（让学生感受三垂直型）
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P在BC边上，若△ABP与△DCP相似。△APD一定是（）（A）直角三角形
（B）等腰三角形
（C）等腰直角三角形
（D）等腰三角形或直角三角形 变式： 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若点P在BC边上，则△ABP与△DCP相似的点P有 个。
（进一步让学生感受“三垂直型”，并提醒学生注意全等三角形是特殊的相似三角形）
四、拓展：
1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD （将“三垂直型”拓展到“三角相等型”，让学生感受图形从特殊到一般。） 2、如图，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=3时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（作辅助线：过点D作DH⊥BC于H。构造“三垂直型”） 五、课堂小结： 我们要善于在题目中发现和构造基本图形，利用相似三角形解决问题。从“三垂直型”到“三角相等型”我们会发现有很多题目中都隐藏着到“三角相等型”，只要我们善于归纳总结，就不难发现题目之间的联系，就会将题目归类。在解题时我们还要注意到特殊情况和多解的情况。 六、作业： 1.如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，点P在AB上滑动。若△DAP与△PBC相似，且 AP= 求PB的长。 （本题有两解） ，2、已知：点D是等边三角形ABCBC边上任一点，∠EDF=60啊?/SPAN> 求证：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．（本题有两解） 教学后记： 本节课用一道中考题做引例既说明有时利用相似三角形解决问题较简便，同时又提高了学生的关注度。前面放了足够的时间让学生做、学生讲基本题，照顾了差生，但由于节奏慢了一点点，后面拓展中的第2题（构造“三垂直型”）课上没有时间讲了（一点遗憾）。在学生探究中，这三条题目以及它们的变式每个学生都积极去思考了，尤其在第2题的变式中，当学生添加了有关角的条件后，我再问：可以添加有关线段的条件吗？当学生添加了有关比例线段的条件后，我又追问：可以添加角和比例线段以外的条件吗？几个学生又能想到：添点E是AD的中点。（是这节课的一个高潮）。第3题，我在课件上将选择题改成了填空题，学生异口同声地回答：直角三角形。这时我再给出选择，学生一看，又想到了等腰三角形时△ABP与△DCP全等，是相似的特殊情况。（这样的设计学生的印象深刻）。在最后的拓展中，将“三垂直型”拓展到“三角相等型”，让学生感受图形从特殊到一般。（是这节课的又一亮点）。总之，本节课有相似三角形的基本图形的梳理；通过图形的不断变化，让学生感受到图形之间的联系、题目之间的联系。“三垂直型”的提出是学生感到新鲜的，并将它拓展到“三角相等型” 让学生感受到数学的学习从薄到厚，又从厚到薄的过程。培养学生善于归纳总结，将题目归类，会用数学思想解决问题。教学目标基本达到。 教学心得： 我认为，数学复习课没有一个基本公认的课堂教学模式。复习课并非单纯的知识的重述，而应是知识点的重新整合、深化、升华。复习课更应重视发展学生的数学思维能力，巩固旧知，是为了获取新知，同时，要尽可能兼顾每一位不同学习层次的学生，要让每一个学生都有所得。让不会的学生会，让会的学生熟，让熟的学生精，让学生逐步走出“以题论题”的困境，达到“以题论法”，从而实现“以题论道”。在课堂上，我们不仅要考虑到老师怎么讲，还要考虑到学生怎么学。让学生感觉到复习课不仅仅是知识的回顾、题目的重复，还要感觉到自己站得更高了，以前做过的题目有好多都是有联系的，题目由多变少了。让我们根据不同的内容、不同的学生设计出更加有效的复习课，提高学生的综合素质。 相似 1．成比例线段 用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比． 如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作ac或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内bd若项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的 (3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形周长比等于相似比； (5)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等； (2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比； (4)相似多边形面积的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例线段 如图13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三对相似三角形)； 图13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用时要证明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用时要证明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用时要证明)8．位似 (1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． (2)如果两图形F与F′是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么 ①设A与A′是一对对应点，则直线AA′过位似中心O点，并且②设A与A′，B与B′是任意两对对应点，则 OAk.OA'ABk若直线AB，A′B′不通过位AB似中心O，则AB∥A′B′． (3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小． (4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． ．．．．9．相似图形的应用 二、例题分析 例 1已知：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB＝3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值． 图13－2 分析 由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，只要使夹∠ABP及∠CBF的两边对应成比例． 解 如图13－3． 图13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF． BM14BM1BC，即，BM1＝3时，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． 3BPAB44BM2BCBM2416当即,BM2时，△CBM2∽△PBA．相似比k 4ABBP33316∴当BM＝3或BM时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似比分 3当4别为1和 3说明 (1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形． (2)注意当相似比k＝1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例． 例 2已知：如图13－4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q 图13－4 (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值． 解 (1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE． PBPR,PC1 RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵点R是DE中点，∴DR＝RE． PQPCPC1,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ， ∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 说明 (1)如图13－5，“若DE∥BC，则△ADE∽△ABC”．这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构． 图13－5(2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若△PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图13－4中其他各图形的面积吗?并说明你的理由． (1)△BPC的面积＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面积＝______．理由是__________________________________________；(3)四边形PCER的面积＝______．理由是____________________________________；(4)四边形APRD的面积＝______．理由是____________________________________； „„ 例3 如图13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B． 图13－6(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么?(2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由． 解 (1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE． BCAD2，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原2问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得 BPAB，可得BP·PC＝AB·CECEPC＝6． 设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x． ∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6． 答 当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3． 例4 如图13－7，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直． 图13－7(1)求证：Rt△ABM∽Rt△MCN； (2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积； (3)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解 (1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°． ∴ ∠CMN＋∠AMB＝90°． 在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，ABBM4x，即 MCCN4xCNx24xCN 4yS梯形ABCN1x24x4(4)2411x22x8(x2)210.22当x＝2时，y取最大值，最大值为10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知 AMAB MNBMAMAB MNMC∴BM＝MC． ∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2． 例5 如图13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P． 图13－8 (1)设DE＝m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示(2)在(1)的条件下，当 FH的值； HGFH1时，求BP的长． HG2解 (1)如图13－9，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N点．在正方形ABCD中，图13－9 ∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH． FHMH HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中点． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中点． 11DEx.22由已知，不难得出四边形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． MHHN121x.21mFHMHm2，1HGHN24m12m2其中0＜m＜12． FH1m1时，，解得m＝8． HG224m2欲求BP的长，只要求AP的长． 在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2 AE413,AH213,sinEAD13(2)当∵FP⊥AE于点H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD． AH13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1． 说明 (1)在解 (2)在解 图13－12 ∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM． DEEF HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即aba,得ac＝(b－a)(b－c)． bcc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b． 例8(2008哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则解 MC的值是______． AM2 3提示 注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况． MCBC2；(2)AMAEMCBC2 点E在AD的延长线上时，如图13－13(b)，△CMB∽△AME，AMAE3(1)点E在线段AD上时，如图13－13(a)，△CBM∽△AEM． 图13－13 四、课标考试达标题(一)选择题 1．如图13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）． 图13－14 A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．如图13－15所示，小刚身高AB为1.7m，测得他站立在阳光下的影子AC长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子AD长为1.1m，那么小刚举起的手臂BE超出头顶 （）． 图13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如图13－16，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线与AB相交，使得构成的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）． 图13－16 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．如图13－17，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）． 图13－17 A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 5．如图13－18，在8×8正方形的网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）． 图13－18 A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处 6．如图13－19，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝2，则此三角形移动的距离PP′是（）． 图13－19 A．1 2B． C．1 D．21 (二)填空题 7．已知：如图13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面积等于81，则四边形BCED的面积为______． 图13－20 8．如图13－21，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，点G，H在DC边上，BC＝12，GH1DC.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为______． 2 图13－21 9．如图13－22，△ABC与△A′B′C′的位似中心为点O，若AB＝2，A′B′＝5，则△ABC与△A′B′C′的面积比是______，AC与A′C′的比是______． 图13－22 10．如图13－23，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作 11．如图13－24，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线)；请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由． 图13－24 12．如图13－25，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C． 图13－25(1)求证：△ABF∽△EAD； (2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； (3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．(计算结果可含根号) 13．如图13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． 图13－26(1)求梯形ABCD的面积； (2)求四边形MEFN面积的最大值； (3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，写出正方形MEFN的面积． 参考答案第五篇：相似教案
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