相似多边形的教案

第一篇：相似多边形的教案

4.3 相似多边形

学习目标：

1、会说出相似多边形的概念和性质.2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3、会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.重点与难点：

1、本节教学的重点是相似多边形的定义和性质.2、要判断两个多边形是否相似，需要看它们的边是否对应成比例、对应角是否相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点.教学方法：自主探究 教学用具：多媒体 教学过程

一、创设问题情境，导入新课 ：

1.下面请同学 们观察下面两个多边形: 计算机显 示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗? 学生回答后,教师: 这样的两个多边形叫做什么多边形？ 2.引入课题：相似多边形

二、归纳定义及运用

（学生根据观察和体验的过程，归纳定义，提高语言表达能力）1.合作探究: 在图4-11中的两个多边形中,是否有对应相等的内角?设法验证你的猜测.在图4-11中的两个多边形中,夹相等内角的两边是否成比例?(同桌一人测角,一人测边,共同得出结论:这种形状相同的多边形各对应 角相等、各对应边成比例.然后尝试给相似多边形下一个定义.)2.获得新知:(自读课本,时间3分钟,然后回答老师提出的问题:①多边形相似需满足几个条件? ②相似多边形的记法有什么要求?③什么叫相似比?求相似比要注意什么?)3.议一议:(1)观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？图（2）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么启发？与同桌交流.（2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？

(通过对两个典型范例的分析,加深对相似多边形的本质特征的理解.让学生充分发表看法，然后老师总结。)4.巩固新知:（巩固相似多边形的定义这一最基本的判断方法。）例 下列每组图形是相似多边形吗？试说明理由。（1）正三角形ABC与正三角形D EF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH.５．想一想——反过来会怎样？

如果两个多边形相似，那么它们的 对应角有什么关系？对应边呢？

（老师总结：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重要的性质.）６.做一做 一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

（让学生独立作出判断，并说明理由．通过这个易出错的例子,使学生认识到直观有时是不可靠的，需要通过定义的两个条件进行判断．）

三、课堂小结

通过这节课的学习你有什么收获？

（学生自由回答，培养学生的语言表达力）学生归纳总结：相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角。相似比有顺序 要求

第二篇：九年级数学4.3 相似多边形教案

4.3 相似多边形

【教学目标】

经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义.【教学重难点】

重点:探索相似多边形的定义过程，以及用定义判断两个多边形是否相似.难点:探索相似多边形的定义过程.【教学过程】

一、课前准备

活动内容：图片收集(提前布置）以小组为单位，开展收集活动: 各尽所能收集生活中各类相似图形

二、情境引入(获取信息，体会特点）

1.活动内容:各小组派代表展示自己课前所收集得到的资料 2.教师展示课件(播放动画)

三、例题讲解

例:下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH.1.各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.2.相似多边形对应边的比叫做相似比.3.相似用“∽”表示，读作“相似于”.四、合作学习

1.(想一想)如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 板书:相似多边形的对应角相等，对应边成比例

2.如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？

3.通过反例分析，使学生进一步理解相似多边形的本质特征.4.—块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板，镶在其外围的木制边框宽7.5 cm，由边框的内外边缘所构成的矩形相似吗？为什么？

五、巩固练习活动内容：

2.如图，下面的两个菱形相似吗？为什么？满足什么条件的两个菱形一定相似？

六、活动与探究

如图，将一张长、宽之比为√2的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.（1）矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN 长与宽的比改变了吗？（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？

七、课堂小结 本节课应掌握： 两个图形的相似必须同时满足:各角对应相等、各边对应成比例，两个条件缺一不可，两个图形不相似时，它们的对应角也可能相等(如两个矩形），或者对应边也可能对应成比例(如两个菱形).⑴全等图形是相似比为1的相似图形.(2)相似比具有顺序性，例如两个相似多边形，前一个多边形与后一个多边形的相似比为k，那么后一个多边形与前一个多边形的相似比为1/k(3)相似多边形的定义既可以作为相似多边形的性质，也可以作为相似多边形的判定依据.八、布置作业

教材P90〜91习题4.5

第三篇：相似多边形教学反思

反思一：相似多边形教学反思

在初二·一班上完《相似多边形》之后，淡淡的喜悦伴随着淡淡的遗憾萦绕心间，下午看了自己的课堂实录，将自己的在以下几个方面的感受整理如下：

一、反思学案设计

本节课在学案设计的过程中结合了教材提供的内容和我班学生的实际水平，对教材提供的内容进行了整合，更符合我班学生的水平。有以下几点比较满意；

1、问题情景的设计。先给学生利用课件展示一组图片，让生通过观察找出形状相同的图片。本题形象直观，学生都能通过观察得出结论。趁势教师出示如下题目：

一块黑板，长3米，宽1.5米，加一7.5厘米的边框，边框外围与边框里边的矩形形状相同吗？

学生往往会不假思索地认为相同。教师告诉学生其实不相同，本节课的内容就是告诉你为什么不相同，顺势导入课题。

2、操作题的设计。本节课教材提供的引例，我把它改成操作题放在了学完相似多边形定义之后，用来巩固相似多边形的判定。此题为开放式操作题，学生自选工具，自己设计操作方法，组内成员自己分工，合作探讨两个六边形是否相似，结论不唯一。

3、思想教育见缝插针。在学完本节课所有知识之后，我让学生利用本节课所学知识在对问题情境中的黑板问题做出判断，并结合此题进行思想教育：在生活中经常需要我们做出判断，我们在做出判断时不能太相信直观，有用事实说话，用数据说话。凡事三思后行。

二、反思课堂生成

看完录像后，我比较满意的一点是我的学生融进了我的课堂中，合作探讨交流落到实处，而不是一种形式，突出表现为本节课有两个课堂生成的学习片段很精彩，我个人的处理也比较到位。

教师生成的课堂资料

课本上安排了一个例题：探讨任意两个正三角形、正四边形的角、边的关系。学生经过自主探讨后很轻松的得出了结论：他们的对应角相等，对应边成比例。学生处理这个问题比较轻松，出乎我的预料之外。于是我临时追加了一个问题：所有的正多边形都具备这个特点吗？同学们围绕这个问题在小组内合作探讨，众人拾柴火焰高，竟然解决的很好。

学生生成的学习片段

在处理操作题是出现了两种不同的结论； 孙卓一组的结论：两个六边形对应角相等，对应边的比值相等，因此相似。

王敏一组：对应角相等，对应边不成比例，她对自己组内得出的结论显然不太自信，不敢说。我一再鼓励他实事求是的说出自己小组内得出的结论。最后终于说出：两个六边形不相似。我首先让同学为他们实事求是大胆发言的精神鼓掌，然后引导学生：同一个问题为什么出现两种结果？到底谁的结论正确？最后引导学生说出两种结果都对，因为在测量时存在误差。这个片段非常精彩，是本节可我最满意的一个教学片断。

三、反思遗憾

任何一节课都不是完美无缺的，一节课没有最好只有更好。正因为课堂教学存在遗憾，自己的业务才有提升的空间。

遗憾一：

学生展示自己的热情不够，表现拘谨，放不开。针对这一点，我在课后专门与学生进了沟通，学生反映听课教师多，害怕出错，还担心自己错了让我难堪。学生的回答让我非常感动，我的学生非常善良，能够站在我的立场上思考问题。我耐心的告诉他们，他们才是课堂的唯一主角，无论什么时候，也不管有没有人听课，老师都以自己的学生大胆展示、勇敢表现为荣。我们相约：我在数学课上尽量给他们表现的机会，而他们也要抓住机会大胆展示。

遗憾二：

本节课在操作题上，花的时间比预计的多，因此导致拖堂。

四、反思疑惑

操作题、开放式问题引入课堂，学生在探讨的过程中往往会生成一些教学片段，因此时间不好把握，导致拖堂或完不成教学任务，到底如何看待这种现象？我在课堂上（或其他教师的课上）常常碰到因为探究而不能完成预设教学内容的情况，感到预设与生成之间的矛盾不知如何解决，盼各位老师给予指导。

反思二：相似多边形教学反思

1、在新课程教学法的指导下，精心设计了《相似多边形》这节课的教学设计并进行了教学。总思想是面向每一位学生，激发每一个学生的学习欲望和学习热情，2、培养学生的主体意识，尊重学生的主体地位，让学生拿出自已准备的相似图形的图片仔细观察、自主思考。根据自己的理解，猜测、推断出结论，培养学生主动学习、自主探究的意识，真正成为课堂学习的主人。

3、根据学生的个体差异，注意因材施教、分层教学，在教学中结合课本想一想、议一议、做一做等教学环节调动学生的潜能，为每一位学生创设施展才能的空间，让学生学得轻松、愉快，培养学生的成就感，使每一位学生都能获得不同程度的成功。同时把学生的活动贯穿于教学的整体过程中，提供学生学习合作、交流、探索、归纳的机会，使学生最大限度的动手、动口、动脑、同伴互助，让学生通过实际感悟相似多边形的概念，找出相似多边形的性质。通过读一读，让学生感受到数学的实际应用价值。

4、不足之处：对学生自主探索的问题拓展不足，应给学生充分时间和空间去自主学习，更加关心和爱护每一名学生，对需要指导的学生给予适当的指导。在教学方法和教学语言的选择上，尽可能注意知识的衔接，既不违反科学性，又符合可接受性原则，教师在课堂上要起好主导作用，并让学生有充分的活动机会，使得课堂气氛有新鲜感． 对实现人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展做得还不够。

反思三：相似多边形教学反思

本节课主要是相似多边形的定义，这节课主要是让学生自学，将定义和相似比等概念进行理解记忆，通过与相似三角形的定义的对比，得到要理解相似多边形的概念，要从以下几方面入手：（1）两个多边形相似，必须具备两个条件：①各角对应相等；②各边对应成比例，这两个条件缺一不可；（2）在相似多边形中，对应相等的角是对应角，对应成比例的边是对应边；（3）两多边形相似用∽表示，读作：相似于；（4）形状相同的多边形相似。

在这里，初学者因为有相似三角形的基础，往往在判定两个多边形相似时出现只说明满足一个条件便下结论是相似多边形的错误。另外在符号表示两个多边形相似时，要把表示对应角的顶点写在对应位置上，这样可以一目了然地知道它们的对应角和对应边。

对于第一个容易出现的错误，通过两个例子说明了这个问题，一个命题是各角对应相等的多边形是相似多边形，举出的反例是：一般的长方形和正方形，另一个命题是各边对应成比例的多边形是相似多边形，举出的反例是：一般的菱形与正方形。这样既说明理解了概念，又强调了判定两多边形相似时两个条件不可或缺，必须同时成立。然后又对课本上的做一做进行了处理，黑板外边镶边的问题，咋一看，内外两个矩形是形状相同的，所以几乎所有的学生都认为这两个矩形是相似的，然后通过计算，发现这两个矩形的长宽之比并不相同，所以两个矩形并不相似，在学生的惊讶之中完成了证明。给学生总结：数学是说理的学科，是培养逻辑思维能力的学科，思维要严密，不能看着像就是，而要用数据来说明你的结论是正确的。

课本例1的处理是让学生自己看课本，然后仿照课本例题仿写学案上的例4和基础训练上的第2题，因为学生的初级阶段是模仿，模仿也是很好的学习方式，特别是自学时用处最大。学生通过模仿例题，都能迅速的做对这两道题。任务达成。

然后是课外知识的延伸纸张的大小，让学生自学课本的读一读了解纸张的国际标准，拓展知识面，通过了解这个知识，试着做学案上的一题：一张纸，每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，问纸张的长和宽应当满足什么条件？这就需要用到多边形的相似，通过计算得到长宽之比是，这才真正体会到学数学，用数学的乐趣。

本节课基本上将课本上的内容，学案上的内容以及基础训练上的内容处理完毕了，感觉效果不错。实用是硬道理！

反思四：相似多边形教学反思

上完《相似多边形》之后，经过反思，下面将自己的在以下几个方面的感受整理如下：

一、学生融入了课堂中，合作探讨交流落到实处，而不是一种形式，例如：课本上安排了一个例题：探讨任意两个正三角形、正四边形的角、边的关系。学生经过自主探讨后很轻松的得出了结论：

第四篇：23.4相似多边形的性质

23.4相似多边形的性质

教学目标： 知识与技能：

理解相似多边形的有关性质：对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

会运用相似多边形的性质解决有关问题。过程与方法：

会将多边形问题转化为三角形问题。了解事物在一定条件下，可以相互转化的辩证观点。体会转化思想和类比的方法在解决数学问题中的作用。情感、态度和价值观

感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法。教材分析： 内容分析：

在学习本节内容之前，相似多边形的基本知识及相似三角形的判定和性质已经学过。特别是相似三角形的周长比、面积比，对于学习本节内容起很大促进作用。

本节内容除了要学生掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系外，更重要的是经历探索相似多边形的性质过程。通过温故知新、知识迁移，引导学生发现新的结论；通过比较、分析、应用获得的知识达到理解并掌握的目的。重点：

相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；运用相似多边形的比例关系解决实际问题。

难点：

相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学过程： 情景引入：

很久以前，某地发生大旱，地里的庄稼都干死了，于是大家到庙里向神祈求下雨。神说，如果你们做一个比现在的方桌大一倍的方桌来祭我，我就给你们降水。于是大家重新做了一个摆设祭品的方桌。新方桌的边长是原来的2倍。可是神愈发怒了。

思考：

神为什么发怒？

边长扩大2倍，面积也扩大两倍吗？ 引入课题，问题探究：

提问：还记得相似三角形的性质吗？

1、相似三角形的对应角平分线的比、对应高的比、对应中线的比等于相似比;

2、相似三角形周长的比等于相似比;面积比等于相似比的平方。

探究：从三角形到四边形

四边形ABCD ∽四边形A1B1C1D1,相似比为k。讨论：它们的周长比会是多少？

它们的面积比会是多少？

学生活动：想一想

相似四边形的周长比等于________，面积比等于______________。

如果把四边形换成五边形，你们刚才的结论是否仍然成立呢 议一议：

五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,相似比为K，它们的周长比会是多少？它们的面积比会是多少？

结论还成立吗？

如果把五边形换成六边形,那么结论又如何? ……? 换成n边形呢?

通过上面的活动,你得出了什么结论? 师生共同归纳总结：

相似多边形周长的比等于

, 对应对角线的比等于

, 应三角形相似,且相似比等于

, 对应三角形面积的比等于

;相似多边形面积的比等于

.结论：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。巩固提高：

练一练：

1）如果把一个n边形各边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。对吗？

2）如果把一个四边形的面积扩大为原来的9倍，那么它的四边也都扩大为原来的9倍。对吗

3）在一张比例尺为1:5000的地图上，一块多边形地区的周长是72cm，面积是320平方厘米。求这个地区的实际周长与面积。

性质应用：

例1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2,BC=8,EF∥BC,且EF分别交AB、DC于点E、F.（1）若梯形AEFD∽梯形EBCF,求EF的长；

（2）求满足（1）条件下的梯形AEFD与梯形EBCF的周长比。

例2.如图，在△ABC中，∠C=90°,以它的边为对应边，在三角形外分别作三个相似多边形。问斜边上多边形的面积S1与两直角边上多边形面积之和（S2+S3）有什么关系？为什么？

自我测试

1、两个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么它们的相似比是

,周长比是

,面积比是

.2、老师在电脑上画了一个六边形，上课时发现，原来一条5厘米的边在投影屏幕上变成了15厘米，那么投影屏幕的放大比例是（），这个六边形的面积扩大为原来的（）倍。

3、如图，已知△ABC∽△ADE，且BC=2DE，则△ADE与四边形BCDE的面积比为（）

(A)1：2

(B)1：3

(C)1；4

(D)1：5 目标回顾：

师生共同总结回顾复述本节课所学的的主要内容。作业设计：

必做题

习题23.4的2、4、5

选做题：习题的6

第五篇：相似教案

相似

1．成比例线段

用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比．

如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作ac或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内bd若项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形周长比等于相似比；

(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．相似多边形的性质

(1)相似多边形的对应角相等；

(2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比；

(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例线段

如图13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三对相似三角形)；

图13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用时要证明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用时要证明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用时要证明)8．位似

(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

(2)如果两图形F与F′是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么

①设A与A′是一对对应点，则直线AA′过位似中心O点，并且②设A与A′，B与B′是任意两对对应点，则

OAk.OA'ABk若直线AB，A′B′不通过位AB似中心O，则AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小．

(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． ．．．．9．相似图形的应用

二、例题分析

例

1已知：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB＝3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．

图13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，只要使夹∠ABP及∠CBF的两边对应成比例．

解

如图13－3．

图13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即，BM1＝3时，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． 3BPAB44BM2BCBM2416当即,BM2时，△CBM2∽△PBA．相似比k 4ABBP33316∴当BM＝3或BM时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似比分

3当4别为1和

3说明

(1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形．

(2)注意当相似比k＝1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例． 例

2已知：如图13－4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q

图13－4

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

PBPR,PC1 RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵点R是DE中点，∴DR＝RE．

PQPCPC1,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 说明

(1)如图13－5，“若DE∥BC，则△ADE∽△ABC”．这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构．

图13－5(2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若△PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图13－4中其他各图形的面积吗?并说明你的理由．

(1)△BPC的面积＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面积＝______．理由是__________________________________________；(3)四边形PCER的面积＝______．理由是____________________________________；(4)四边形APRD的面积＝______．理由是____________________________________； „„

例3 如图13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

图13－6(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么?(2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BCAD2，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原2问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CECEPC＝6．

设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如图13－7，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

图13－7(1)求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，ABBM4x，即

MCCN4xCNx24xCN

4yS梯形ABCN1x24x4(4)2411x22x8(x2)210.22当x＝2时，y取最大值，最大值为10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB MNBMAMAB MNMC∴BM＝MC．

∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．

例5 如图13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．

图13－8

(1)设DE＝m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示(2)在(1)的条件下，当

FH的值； HGFH1时，求BP的长． HG2解

(1)如图13－9，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N点．在正方形ABCD中，图13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中点． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中点． 11DEx.22由已知，不难得出四边形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． MHHN121x.21mFHMHm2，1HGHN24m12m2其中0＜m＜12．

FH1m1时，，解得m＝8． HG224m2欲求BP的长，只要求AP的长．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2 AE413,AH213,sinEAD13(2)当∵FP⊥AE于点H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

说明

(1)在解

(2)在解

图13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

DEEF HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即aba,得ac＝(b－a)(b－c)． bcc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则解

MC的值是______． AM2 3提示

注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况．

MCBC2；(2)AMAEMCBC2 点E在AD的延长线上时，如图13－13(b)，△CMB∽△AME，AMAE3(1)点E在线段AD上时，如图13－13(a)，△CBM∽△AEM．

图13－13

四、课标考试达标题(一)选择题

1．如图13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）．

图13－14 A．4对

B．5对 C．6对

D．7对

2．如图13－15所示，小刚身高AB为1.7m，测得他站立在阳光下的影子AC长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子AD长为1.1m，那么小刚举起的手臂BE超出头顶

（）．

图13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如图13－16，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线与AB相交，使得构成的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）．

图13－16 A．1条

B．2条 C．3条

D．4条

4．如图13－17，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）．

图13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如图13－18，在8×8正方形的网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）．

图13－18 A．P1处

B．P2处 C．P3处

D．P4处

6．如图13－19，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝2，则此三角形移动的距离PP′是（）．

图13－19 A．1 2B．

C．1

D．21

(二)填空题

7．已知：如图13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面积等于81，则四边形BCED的面积为______．

图13－20 8．如图13－21，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，点G，H在DC边上，BC＝12，GH1DC.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为______． 2

图13－21 9．如图13－22，△ABC与△A′B′C′的位似中心为点O，若AB＝2，A′B′＝5，则△ABC与△A′B′C′的面积比是______，AC与A′C′的比是______．

图13－22 10．如图13－23，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作

11．如图13－24，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线)；请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．

图13－24

12．如图13－25，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．

图13－25(1)求证：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；

(3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．(计算结果可含根号)

13．如图13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

图13－26(1)求梯形ABCD的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值；

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，写出正方形MEFN的面积．

参考答案