乘法交换律与乘法结合律

第一篇：乘法交换律与乘法结合律

《乘法交换律与乘法结合律》教学设计

宋利华

教学内容

人教新课标版小学四年级数学下册34——35页，乘法交换律和乘法结合律

教学目标

1、让学生经历乘法交换律和乘法结合律的探索过程，理解并掌握规律，能用字母表示规律。

2、通过猜想—验证—应用，引导学生经历知识发展的全过程，培养学生探究知识的能力，培养学生观察、比较、分析、综合和归纳、概括等思维能力。

3、增强合作意识，激发学生学习数学的兴趣。教学重、难点

引导学生概括出乘法结合律，并运用乘法结合律进行简便计算。而乘法结合律的推导过程是学习的难点。教学准备：课件、课堂测试卡

设计理念：这部分内容是在教学了加法的运算定律及相关简便运算后学习的。对于乘法运算定律的教学，不应仅仅满足于学生理解、掌握乘法定律和运用乘法定律进行一些简便计算，更重要的是让学生经历一个数学学习的过程，在学习中受到科学方法、科学态度的启蒙教育，这才是教学的重点及难点。教学中，通过创设情境——比赛激趣，激发学生的学习兴趣，让学生在“赛”中发现问题，提出猜想、学生小组合作进行验证、总结应用的思路进行的，让学生自主、合作、探究学习，养成良好的学习习惯，培养学生自学能力、创新精神和实践能力。从而提高课堂效益，减轻学生课业负担。应该说这样的思路是符合当今新教学理念的——“高效课堂”。乘法结合律的编排与加法结合律相似，但对学生探索的要求有所提高。教师应通过一些启发性的提问，引导学生探索并在小组内交流，发现并归纳出乘法结合律。

教学过程

一、比赛激趣，引入新课

1、谈话

师：在数学课上，大家都非常欣赏思维敏捷、反应快的同学，下面给大家一个机会，我们进行一次计算比赛，看哪位同学最先博得大家的欣赏！

2、教师报题，学生抢答。

3、大家的速度都很快，很难分出高下，下面换一种比赛形式。

4、启发猜想：这几天我们在学什么，（加法交换律和加法结合律），想知道乘法有哪些定律吗？（想）那我们猜一猜！（生猜，乘法也有交换律、结合律）。好！今天这节课，我们一起来验证我们的猜想，好吗!(好)[设计意图：用比赛的形式拉开序幕，激发学生学习的兴趣，活跃了课堂气氛，让学生在轻松的环境中开始学习。以复习加法交换律和结合律作为教学的起点，为学生探索规律作好了知识铺垫。]

二、猜测验证，探究新知 1 课件主题图，根据条件提出问题（1）负责挖坑、种树的一共有多少人？（2）一共要浇多少桶水？

2、出示预习提纲

（1）、针对上面的问题1列出算式，有几种列法。（2）、为什么列的算式不同，它们的计算结果是怎样的？（3）、两个算式有什么特点？你还能举出其他这样的例子吗？（4）、能给乘法的这种规律起个名字吗？能试着用字母表示吗?（5）、乘法交换律有什么作用？

（6）、根据前面的加法结合律的方法，你们能试着自己学习乘法中的另一个规律吗？

（7）、这组算式发现了什么？ 举出几个这样的例子。用语言表述规律，并起名字。字母表示。

【设计意图：预习不仅能提高学生的自学能力，还能提高学生的知识迁移能力。在预习过程中，学生不仅要完成预习提纲所要求的课本知识，还要完成预习检测。这就要求学生学会怎样运用所学知识去解决问题，从而培养和提高学生的知识迁移能力。通过预习，使老师能够了解学生的预习效果，从而进一步做到在课堂上有针对性地讲解】

3展示互动

师：（猜一猜）乘法可能有哪些运算定律？乘法是否具有你们猜测的规律呢?怎样确认自己的猜测?看看哪个小组能完成这个光荣而又有意义的任务！(要求每人都把自己的想法介绍给自己的合作伙伴)学生分组研究，教师巡视。(及时参与学生的讨论，寻找教学生成资源)【设计意图：提出与旧知相关联的问题，让学生产生疑问、猜想，有效地激发了学习动机】。

全班交流汇报

师：看到每个小组的同学都积极地讨论，为了验证我们的猜想，为了学习新的知识，同学们结合课本提出的情景，结合预习提纲，快快把你们的成果汇报给大家。（学生汇报围绕以下几点

1、小组讨论乘法的交换律、结合律用字母怎样表示；

2、各小组展示自己小组记定律的方法；

3、分别说说是用什么方法记住这些运算定律的；

4、讨论为什么要学习运算定律。）

【设计意图：放手让学生去探索规律，并通过小组合作想办法予以确认，这样不仅充分激发了学生学习的积极性，而且使学生体会了发现新规律的方法。这一大环节中出示例题、猜想及验证，学习新知。让学生在自己的探索中学习，体现了新课程下的自主、合作学习方式。充分发挥优生的小师傅作用，积极鼓励兵教兵，兵强兵】

老师根据学生的汇报恰当的引导，并板书。

例1:4×25=100人 25×4=100人 例2：（25×5）×2 25 ×（2×5）

=125 × 2 = 25×10 =250 桶 = 250桶 4×25 = 25×4（25×5）×2 = 25 ×（2×5）（学生举例）（学生举例）（1）、教师引导比较等号两边的算式，有什么相同点和不同点？（2）、教师引导请同学们也写几组这样的等式，把你们小组的发现在这里交流。能用自己的语言描述一下乘法交换律和乘法结合律吗?（3）、教师引导学生用不同方法识记规律

【设计意图：乘法结合律与交换律相比，用语言完整地表述有一定难度。教师引导学生交流各人总结规律时的想法，不仅帮助学生规范了数学语言，而且为学生展示自身才能创造了足够的空间。】

（3）教学试一试（用简便方法计算）

43×25×4 25×43×4 43×125×8 125×43×8

三、巩固深化，应用拓展

1、谈话

师：刚才我们已经学习了乘法的运算定律，现在看看同学们有没有掌握呢？学习了本课结合律和交换律你能解决哪些数学问题？

师：回想一下，在我们的学习中有没有得到过乘法交换律和结合律的帮助?(生：我们验算乘法时就应用了乘法的交换律。)

2、基本练习。（必做）P35/做一做1、2

3、发展练习。智慧闯关：（课件出示）第一关。

做一做：根据运算定律填空，并说说运用了哪个运算定律。①45×16＝16×□

②5×（14×9）＝（5×□）×14 ③125×（8×13）＝（□×□）×13 ④a×25×4＝□×（□×□）⑤6×13×5＝13×（□×□）第二关

选择正确答案的序号填入括号内。

①乘法交换律

②加法交换律

③乘法结合律

④加法结合律 ⑥加法交换律和加法结合律 ⑦乘法交换律和乘法结合律（1）17×125×8＝17×（125×8），这是应用（）（2）25×37×4＝25×4×37，这是应用（）

（3）50×125×8×2＝（50×2）×（125×8），这是应用（）（4）37＋448＋63＝448＋（37＋63），这是应用（）第三关 试一试：

29×4×5 4×（35×25）125×23×8（1）学生先独立计算，教师巡视搜寻生成资源。（2）指名不同算法的学生板演。（3）比较辨析，体验简便算法

【设计意图：练习的层次鲜明，目标明确；培养学生根据算式特点灵活运用知识能力，在巩固知识的同时有效培养优化意识和思维灵活性，促进全体学生构建新的知识网络。】

四、自我评价和小组评价

同学们，这节课你们收获大吗？对自己的表现满意吗、给自己一个满意的笑脸！

五、全课小结，布置作业

快乐的时光总是短暂的，转眼间，40分钟就要过去了，老师真想让时间停下来，可这是不可能的。今天我给大家留个特殊的作业，写一篇数学日记。让这篇数学日记来记录我们的精彩！请看数学日记的内容要求。

课件出示：今天学习的内容是什么，你有什么收获？把这节课我们共同探究的过程、应用时出现的问题及错误原因、这节课给你带来的乐趣或你还存在的疑问为内容，写一篇数学日记。写好后交给老师。

六、课堂测试卡（略）

七、板书设计

乘法交换律与乘法结合律

例1：负责挖坑、种树的一共有多少人？ 例2：一共要浇多少桶水？ 4×25=100(人)25×4=100（人）（25×5）×2 25 ×（2×5）

=125 × 2 = 25×10 = 250（桶）= 250（桶）4×25 = 25×4（25×5）×2 = 25 ×（2×5）（学生举例）（学生举例）

交换两个因数的位置，积不变 先乘前两个数，或先乘后两个数，这叫做乘法交换律。积不变，这叫做乘法结合律。用字母表示：a×b=b×a(a×b)×c=a×(b×c)5

第二篇：乘法结合律和乘法交换律

《乘法结合律和乘法交换律》教案

教学内容：

探索乘法结合律和乘法交换律，并会用它们来进行简便运算。在实际生活中，运用它们可以来口算，乘法交换律可用来验算。

教学目标：

1.通过探索活动，使学生进一步体会探索的过程和方法。2.通过具体事例，使学生发现乘法结合律，并懂得用字母进行正确的表示。

3.使学生在理解乘法结合律的基础上，会对一些乘法算式进行简便运算。

4.通过简单的事例，使学生发现乘法交换律，并会用字母表示，知道乘法交换律可用于乘法的验算。

教学重难点：

重：探索发现乘法结合律和乘法交换律，并初步理解运用乘法结合律和乘法交换律进行简便运算。

难：会对一些题进行拆、组合，运用乘法结合律和乘法交换律来进行简便算。

教学准备：

长方体模型，多媒体课件

教学过程：

一． 复习旧知

1.28×16×45 23×（52×34）=448×45 =23×168 =20160 =40664（用意：让学生复习两位数乘两位数，两位数乘三位数，并复习有小括号的运算，因为这节课主要讲乘法结合律，用到乘法，大多数题带小括号，复习前面的旧知防止在新课中出现错误。）

学生做完，提示在乘法算式中，不带括号的，谁在前面先算谁，而带括号的，应先算括号里面的。

二．讲授新课

1.用实例引出新课

我的朋友问我一个问题，想让咱班同学帮忙解决，出示一个长方体模型，出示问题：用了几个小正方块？

学生思考、讨论，老师提问不同做法的同学，共有多少种做法？然后老师出示自己的做法，并引导学生从上面看；从前面看得出的算式。

（3×5）×4 3×（5×4）有什么相同点，有什么不同点？

引导学生举出一些类似的例子，你发现了什么规律？

老师再举出例子，来验证学生发现的规律，针对不同错误纠错，再完善学生得出比较正确的结论，从而得出结论：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变。取名叫：乘法结合律。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）2.应用规律，解决问题。课本第45页的“试一试”

先让学生观察算式，引导提问：这里的数字有什么特征，你有什么体会？学生：“25×4=100,125×8=1000”应用乘法结合律会使计算简便。学生板演，下面的，老师巡视，然后学生反馈结果，呈现正确的板演过程，针对不同错误纠错，提出要注意的地方。

3.出示一些例子：4×5=5×4 12×10=10×12，让学生自己举例，发现等号左边和右边有什么相同点，你发现了什么规律。照着前面的如何用字母表示这一规律。学生总结，老师完善。呈现：两个因数交换位置，积不变。称为：乘法交换律 用字母表示：a×b=b×a 问：乘法交换律可用在哪？有什么好处？

（可用于简便运算，使运算简便，可用于验证乘法算式。）4.出示练习题，巩固新知（出一些乘法结合律和乘法交换律混用的习题）

5.拓展题 如25×16 看到25想到和4相乘，而16恰好是4×4再比如125×88看到125想到和8相乘，而88=8×11 提示：一定要记住5×2=10 25×4=100 125×8=1000 如果两个数相乘能凑成整十数，整百数„„那么就先把这两个数相乘，有些题要用乘法拆开。

三．布置作业

出示作业题

四．小结 回顾这节课内容，你有什么收获，在利用新规律时要注意什么?

第三篇：乘法交换律和结合律说课稿

《乘法交换律和加法结合律》说课稿

一、说教材

“乘法交换律和乘法结合律”是国标版苏教版小学四年级上册第7单元中的内容。乘法交换律和加法结合律是运算中进行简便计算的两种必要的理论依据，它们是学生正确、合理、灵活地进行计算的思维素质，掌握的好坏将直接影响学生今后的简便计算和计算速度。这部分内容是在学生已经学过的加法交换律和结合律，掌握了两位数乘两、三位数乘法计算和验算的基础上进一步探究，从感性上升到理性的内容。教材安排两个运算定律教学时，采用了不完全的归纳推理，教材从学生熟悉的实际问题的解答引入新课，列出两个不同的算式组成等式，再例举类似的等式进行分析、比较、找到共同点，抽象、概括出乘法交换律和乘法结合律。教材有意识地让学生运用已有的经验，经历运算律的发现过程，使学生在合作与交流中对运算律的认识由感性逐步发展到理性，合理的构建知识。

二、说学情

数学课程标准中提出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础上。对于四年级的学生来说，已经具备一定的发现问题、提出问题、解决问题的能力。所以，在合作探索运算过程及掌握运算律时，我提倡让同学们通过观察、计算、发现规律、小组探究规律的方法进行学习，这一点会大大地减少学生推导乘法运算律的难度，为学生探索知识过程提供了一个构建知识的桥梁。

三、教学目标

根据学生的生活经验和知识背景及本课的知识特点，我预设如下教学目标： 1.知识与能力目标：

结合学生已有的知识经验和具体情境，学习乘法交换律和乘法结合律，并能应用乘法运算律进行简便计算。

2.过程与方法目标：

经历观察、比较、分析、综合、归纳和概括的过程，培养选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。

3.情感态度与价值观目标：

感受数学与现实生活的联系，使学生在数学活动中获得成功的体验，进一步增强对数学学习的兴趣和信心，初步形成探究问题的意识和习惯。

四、教学重难点

教学重点：引导学生概括出乘法交换律和结合律，并运用乘法运算律进行简算。教学难点： 乘法交换律与结合律的推导过程是本节课的教学的难点。

五、教学法分析

1、充分发挥学生的主体作用，在教学中注意让学生自主探索、发现规律、理解规律，通过猜测—验证，引导启发学生发现规律。引导学生积极、主动地参与到知识的形成过程中去。

2、自始至终注意培养学生观察、比较、抽象概括能力，教给学生观察、比较、抽象概括的方法。在教学中不仅引导学生有序地观察比较，还充分运用小组合作讨论的手段，进行小组合作讨论，各抒己见，取长补短，在观察到的感性材料的基础上加以抽象概括，形成结论。

四、教学设计

1、复习

我们刚刚学习了两条加法运算定律，同学们还记得么？谁能说一说？什么是加法交换律，用字母应该怎样表示？加法结合律呢？

【设计意图】通过复习加法交换律和结合律，有效得为接下来乘法交换律和结合律作铺垫。

2、设疑引入

（1）能根据加法中所学到的知识，猜一猜乘法可能有哪些运算定律吗？（相机板书）（2）乘法中到底有没有这些规律呢？今天这节课我们一起来验证一下。

【设计意图】以学生猜测乘法中是否有乘法交换律和结合律引入新课，激发学生学习兴趣。

（二）探标

1、探索乘法交换律

（1）PPT出示例一：希望小学最近要开展踢毽子比赛，同学们都在练习。看！这是老师在校园里看到的情景。（出示图片踢毽子）

师：从图片中你获得了哪些数学信息？有几组同学？每组几人？你能提出什么数学问题？怎样列示？还可以列成怎样的乘法算式？ 师：观察这两道算式，什么变了？什么没变？（相机板书：乘数的位置、积不变）这两个算式得数一样，我们可以用“=”把它们连接起来，改写成3×5 = 5×3。

（2）你能再写出几个这样的等式吗？像这样的等式能写完吗？

（3）观察这几个乘法算式之后，你发现了什么规律吗？也就是说我们的猜想是正确的，乘法里确实有乘法交换律。这就是我们今天要学习的第一个规律。（相机板书课题）

（4）你能仿照加法交换律，描述一下乘法交换律吗?你能用字母来表示乘法交换律吗？ 同桌交流后得出：

两个因数交换位置，积不变，这叫做乘法交换律

如果用字母a、b表示两个因数，则可以写成axb=bxa 探索乘法结合律

（1）PPT出示：华风小学6个年级的同学参加跳绳比赛，每个年级有5个班，每个班23人参加。一共有多少人参加比赛？

师：从题目中你获得了哪些数学信息？要我们解决什么问题？你是怎么想的？先算出什么？按照这位同学的想法可以怎样列式？还可以先算出什么？怎样列式？这两种方法都是求一共有多少人参加比赛，它们的结果相等，可以用等号来连接这两个式子。

比较三组等式左右两个式子：有什么不同点？有什么相同点？你发现什么规律了吗？也就是乘法里也有结合律。这就是我们今天学习的第二个规律（相机板书课题：乘法结合律）（3）你能仿照加法交换律，描述一下乘法交换律吗?你能用字母来表示乘法交换律吗？

1、先填空，再想想运用了什么运算律。45×16=16×

5×（14×9）=（5×)× 6×13×5=13×（×）

【设计意图】巩固乘法交换律和结合律，检验学生对新知的掌握情况。

2、递等式计算 小组竞赛：

①37×4×5 ②25×13×2

37×（4×5）13×（25×2）【设计意图】以小组竞赛的形式，让每一个学生体会到用加法结合律凑整十或整百数可以使计算更快捷、简便。

3、试一试：

你能用简便方法计算吗？ 23×15×2 5×37×2 【设计意图】培养学生在计算时用乘法结合律凑整十数进行简便计算的意识。

4、想想做做第三题

5、挑 战 场 492×5×2 25×16×4

五、板书设计

乘法交换律和结合律

乘法交换律 a×b=b×a乘法结合律（a×b）×c = a×（b×c）

第四篇：乘法结合律和交换律教案

四年级数学上册第四单元 乘法结合律和交换律

教者：汶肖云

教学目标 ：

1、让学生经历探索过程，发现乘法结合律和交换律，并会用字母表示。通过探索活动，使他们进一步体会探索过程和方法。

2、使学生在理解乘法结合律和交换律的基础上，会对一些算式进行简便计算。

3、感受数学探索的乐趣，培养他们自主探究问题的能力。教学重、难点 ：

1、重点：探索、发现、理解和应用乘法结合律和交换律。

2、难点：乘法结合律和交换律的探索过程。

教学过程 ：

一、谈话引入

1、师：同学们，通过这段时间的接触，老师对大家也有了一定的了解，知道咱们班的同学都特别喜欢数学，对吧？那你认为学习数学最重要的是什么？

老师认为最重要的一点就是敢想，会想，世界上不少数学家的成功都遵循了这样一条规律：猜想—验证—结论。今天我们这些未来的数学家也来走一走：猜想—验证—结论之路。怎么样，有没有信心把自己最优秀的一面表现出来？

2、上节课我们学习了有关加法的一些运算定律，现在让我们迈出通向成功的第一步：猜一猜乘法可能会有哪些运算定律呢？

3、乘法是否具有大家所说的这些运算定律呢，老师说了也不算，让我们一起走出迈向第二步：验证我们的猜想。

二、验证猜想一：

请完成导学案第一部分

三、验证猜想二： 请大家打开课本45页

1．一共用了多少个个小正方体？

2．计算小正方体的个数，并且在小组内汇报交流自己的计算方法。

将自己及小组成员的计算方法都整理出来，书写在上面。（计算方法不止一种呀）

方法一： 方法一： 师引导从上面、正面观察 上面：（3×5）×4 正面：（4×5）×3 师：老师在这些算式中发现了两组特别的算式。

师擦掉其它算式，留下（3×5）×4 3×（5×4）

3．比一比

（3×5）×4 3×（5×4）

请同学们比较这两个算式你发现了什么？把你的发现告诉大家。

师：运算顺序不同，但结果相同，这究竟是巧合还是有一定的规律呢？ 4．用别的三个数这样计算会不会结果也相同呢？叫一位学生任意说出三个数，组长板书，四人小组一起计算，验证。

5．从刚才大家所举的例子来看，每一组的结果都是相同的。那么从中你能发现乘法运算中的规律吗？

学生同桌交流后反馈，概括规律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和

相乘，或者先把

相乘，再和

相乘，它们的 不变，我们把这种规律叫乘法结合律。（板书）6．用字母表示乘法运算定律。为了方便记忆和书写，在数学上通常用用字母来表示数，你能用字母写出乘法结合律和交换律吗？请完成导学案第二部分第7小题

（1）在数学上，我们通常用字母a和b表示任意的两个乘数，那么，乘法交换律可以写成：()（2）用a、b、c分别表示任意三个乘数，乘法结合律可以写成()7．看来大家对乘法交换律和结合律已经非常了解了，老师想考考大家，敢不敢接受挑战？

请同学们试着用我们今天学到的运算律完成导学案第8小题 38×25×4

42×125×8

三、现在大家独立完成导学案第三部分课内巩固训练，做完以后两人小组交流答案，有困难的可以4人小组交流。

四、课堂小结

师：通过今天的学习，你有什么收获？今天，我们通过大胆猜想，举例验证，推导出有关乘法的一些运算规律，他们是：乘法结合律和交换律。

其实，生活中这样的数学规律和奥妙还有很多很多，希望大家留心观察，用心发现，努力探索，真正爱上数学，学好数学！

板书设计

乘法结合律和交换律

(a×b)×c=a×(b×c)

a×b=b×a

第五篇：说乘法交换律和乘法结合律

人教版四年级下册：

乘法交换律和乘法结合律

教 学 设 计

授 课 人：扶

波

授课时间：2009年3月24日 教学目标：

1.引导学生探究和理解乘法交换律、结合律，能运用运算定律进行一些简便运算。

2.培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。

3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。

教学重难点：引导学生理解和掌握乘法交换律和乘法结合律。教学过程：

一、导入：

学校举行队列活动，共有7个方阵，每个方阵有25列，每列有4人。

（1）7个方阵一共有多少列？（2）学校一共有多少人参加活动？

二、新授

1、要求学生在练习本上解决问题一。引导学生对解决的问题进行汇报，师板书。

（1）7×25=175（人）

25×7=175（人）

师：两个算式有什么特点？

（7×25 = 25×7）板书：交换两个因数的位置，积不变。

你还能举出其他这样的例子吗？（教师根据学生的举例进行板书）

你们能给乘法的这种规律起个名字吗？（板书：乘法交换律）师：你们能用字母表示这个定律吗? 学生字母表示：a×b=b×a

……（师适时板书）师：想想我们在原来的学习中用过乘法交换律吗？

生：（师提示）在验算乘法时，可以用交换因数的位置，再算一遍的方法进行验算，就是用了乘法交换律。

2、根据前面学习的知识，你能解决问题二吗？

教师巡视，适时指导。（抽生回答，让生说说是怎么想的，并板书）

(7×25)×4

7×（25×4）

=175×4

=7×100

=700（人）

=700（人）

① 这两个算式它们有什么异同？

生发现：计算顺序不同，但计算结果相同；(7×25)×4=7×（25×4）

还可能发现：后一个算式比第一个算式计算起来更简便。② 举出几个这样的例子。（师板书）③ 让生用自己语言来叙述规律，并起名字。④ 字母表示。

(a×b)×c=a×(b×c)…… 教师根据学生的汇报，进行板书整理。

三、巩固练习P35/做一做1、2

四、小结

学生小结本节课的学习内容。教师引导学生回忆整节课的学习要点。完善板书。

五、作业：课堂练习板书设计：

乘法交换律和乘法结合律

（1）4个方阵一共有多少列？

（2）学校一共有多少人参加活动？

7×25=175（列）

25×7=175（列）

（7×25）×4 7×（25×4）

7×25=25×7

=175×4

=7×100 a×b=b×a

……┆（学生举例）

=700（人）

=700（人）

（7×25）×4=7×（25×4）

(a×b)×c=a×(b×c)…… 交换两个因数的位置，积不变。

先乘前两个数，或者先乘后两个数，这叫做乘法交换律。

积不变。这叫做乘法结合律。

教学反思：

乘法交换律和乘法结合律我准备用两堂课进行讲解，一堂进行知识理论的推导，一堂让学生在练习中明白乘法交换律和乘法结合律在计算过程中的简便。这节课教学意图是让学生能通过教师的引导归纳和总结出乘法交换律和乘法结合律，重要的是培养学生的自主探索能力和归纳推理能力，重视了学生获取知识的思维过程。通过一堂课的讲解，我自己发现，对本章知道还有考虑不周全的地方，例如：在引导学生推理的时候，逻辑不是很慎密，往往忽略了一些环节，这些是备课时想到，但在课堂教学却没有应用出来的；其次整堂课教师还是没有放开手脚让学生进行推理，希望通过下一堂的讲解弥补此堂的不足。