《机械制图教案》第一章第十讲（★）

第一篇：《机械制图教案》第一章第十讲

第十讲 §2—5平面的投影

课

题：

1、平面的表示法

2、平面对于一个投影面的投影特性

3、各种位置平面的投影特性

课堂类型：讲授

教学目的：

1、介绍平面的两种表示法

2、讲解三种投影面平行面和三种投影面垂直面的投影特性

教学要求：

1、熟悉平面在投影图上的表示法

2、理解并掌握各种位置平面的投影特性，并能根据投影特性判别平面对投影面的相对位置

教学重点：各种位置平面的投影特性，教

具：自制的三投影面体系模型；

挂图：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性” 教学方法：平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。

各种位置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实形的判断上；对于每一种位置平面形的投影，重点讲解其中的一种类型，其他类型可由学生自己分析解决。

教学过程：

一、复习旧课

1、复习两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判别方法。

二、引入新课题

平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。平面投影的实质，就是求平面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各点的同面投影依次连线。

三、教学内容

（一）平面的表示法

在投影图上表示平面有两种方法。

1、一组几何元素的投影表示平面

（1）不在同一直线上的三点，如图2－37（a）（2）一直线和直线外一点，如图2－37（b）（3）相交两直线，如图2－37（c）（4）平行两直线，如图2－37（d）

（5）任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，如图2－37（e）

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

图2－37

用几何元素表示平面

注意：为了解题的方便，常常用一个平面图形（如三角形）表示平面。

（二）平面对于一个投影面的投影特性

空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性

当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形，如图2－39（a）所示。

2、积聚性

当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线，如图2－39（b）所示。

3、类似性

当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形，如图2－39（c）所示。

（a）

（b）

（c）

图2－39

平面的投影特性

（三）各种位置平面的投影特性

根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。

1、投影面垂直面

垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。

举例说明：铅垂面的投影特性 强调：（1）两个投影均为类似形；

（2）一个投影积聚为直线，并反映β、γ角。总结投影面平行线的投影特性：两面一线。要求学生必须掌握表2－3中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

讲解例题（例2－9）

如图2－39（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α= 45°，求作该平面的V面和W面投影。

（a）题目

（b）解答

图2－40

求作四边形平面ABCD的投影

2、投影面平行面平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面；

举例说明：正平面的投影特性 强调：（1）两个投影积聚为直线；

（2）一个投影反映实形。

总结投影面平行线的投影特性：两线一面。要求学生必须掌握表2－4中的图例。对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

3、一般位置平面

与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。

例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－41所示。

一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。

图2－41 一般位置平面

对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。

四、小结

1、平面的两种表示法。

2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性，尤其注意：有无实形的判断。

五、布置作业

五、布置作业

习题集2－3（1）、（4）、（5）

第二篇：《机械制图教案》8讲

第八讲 2.3平面的投影

（三）课

题：

1、平面的表示法

2、平面对于一个投影面的投影特性

3、各种位置平面的投影特性

课堂类型：讲授

教学目的：

1、介绍平面的两种表示法

2、讲解三种投影面平行面和三种投影面垂直面的投影特性

教学要求：

1、熟悉平面在投影图上的表示法

2、理解并掌握各种位置平面的投影特性，并能根据投影特性判别平面对投影面的相对位置

教学重点：各种位置平面的投影特性，教

具：自制的三投影面体系模型；

挂图：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性” 教学方法：平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。

各种位置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实形的判断上；对于每一种位置平面形的投影，重点讲解其中的一种类型，其他类型可由学生自己分析解决。

教学时数：2学时 教学过程：

一、复习旧课

1、复习两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判别方法。

2、结合作业讲解直角投影定理的应用。

二、引入新课题

平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。平面投影的实质，就是求平面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各点的同面投影依次连线。

三、教学内容

（一）各种位置平面的投影特性

根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。

1、投影面垂直面

垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。

举例说明：铅垂面的投影特性 强调：（1）两个投影均为类似形；

（2）一个投影积聚为直线，并反映β、γ角。总结投影面平行线的投影特性：两面一线。要求学生必须掌握表2－6中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

讲解例题（例2－9）

如图2－11（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α= 45°，求作该平面的V面和W面投影。

（a）题目

（b）解答 图2－11 求作四边形平面ABCD的投影

2、投影面平行面

平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面；

举例说明：正平面的投影特性 强调：（1）两个投影积聚为直线；

（2）一个投影反映实形。

总结投影面平行线的投影特性：两线一面。要求学生必须掌握表2－7中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

3、一般位置平面

与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。

例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－12所示。

一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。

图2－12 一般位置平面

对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。

4、平面内的点和直线

1、平面上的点

点在平面上的几何条件是：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。

举例：如图2－13所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。

（a）（b）

图2－13

平面上的点

2、平面上的直线

直线在平面上的几何条件是：

（1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。

（2）若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。

举例之一：如图2－14所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，分别在直线AB、AC上取点E、F，连接EF，则直线EF为平面P上的直线。作图方法见图2－14（b）所示。

（a）

（b）

2-14 两相交直线

举例之二：如图2－15所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，在直线AC上取点E，过点E作直线MN∥AB，则直线MN为平面P上的直线。作图方法见图2－44（b）所示。

（a）（b）

图2－15

平面上的直线

3、讲解例题（例2－10）

如图2－16（a）所示，试判断点K和点M是否属于△ABC所确定的平面。

（a）题目

（b）解答

图2－16 判断点是否属于平面

（二）平面上的投影面平行线

1、定义

属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。

2、举例：如图2－17所示，过A点在平面内要作一水平线AD，可过a′ 作a′ d′ ∥OX轴，再求出它的水平投影ad，a′ d′ 和ad即为△ABC上一水平线AD的两面投影。如过C点在平面内要作一正平线CE，可过c作c e∥OX轴，再求出它的正面投影c′ e′，c′ e′ 和ce即为△ABC上一正平线CE的两面投影。

图2－17平面上的投影面平行线

3、讲解例题（例2－11）

△ABC平面如图2－18（a）所示，要求在△ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前10mm，试求出K点的两面投影。

（a）题目

（b）解答

图2－18

平面上取点

四、小结

1、平面的两种表示法。

2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性，尤其注意：有无实形的判断。

3、总结例题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法

五、布置作业

五、布置作业

习题集2－3（1）、（4）、（5）

第三篇：《机械制图教案》第22讲

第二十二讲 §4—1 视图 剖视图

课

题：

1、基本视图

2、向视图

3、局部视图

4、斜视图 课堂类型：讲授

教学目的：讲解基本视图、向视图、局部视图、斜视图的形成、视图配置、画法、标注规定和应用场合。

教学要求：

1、了解六面基本视图的名称、配置关系和三等关系

2、掌握向视图的画法

3、掌握局部视图和斜视图的画法和标注方法

教学重点：

1、基本视图的配置关系和各视图之间的三等关系

2、局部视图和斜视图的画法和标注方法

教学难点：

1、画六面基本视图时，对方向和位置的变化难以掌握

2、不具有封闭轮廓线的局部视图和斜视图的画法 教

具：挂图：“六面基本视图的配置”、“局部视图”、“斜视图”

教学方法：向学生明确三视图是表达物体形状的基本方法，而不是唯一方法。有时，由于物体形状复杂，需要增加视图数量；有时，为了画图方便，需要采用各种辅助视图。

教学过程：

一、复习旧课

讲评作业，复习综合运用用形体分析法和线面分析法读图的步骤。

二、引入新课题

视图是机件向投影面投影所得的图形机件的可见部分，必要时才画出其不可见部分。所以，视图主要用来表达机件的外部结构形状。

三、教学内容

国家标准GB/T17451—1998和GB/T4458.1—2002规定了视图。视图主要用来表达机件的外部结构形状。视图分为：基本视图、向视图、局部视图和斜视图。

（一）基本视图

当机件的外部结构形状在各个方向（上下、左右、前后）都不相同时，三视图往往不能清晰地把它表达出来。因此，必须加上更多的投影面，以得到更多的视图。

1、概念

为了清晰地表达机件六个方向的形状，可在H、V、W三投影面的基础上，再增加三个基本投影面。这六个基本投影面组成了一个方箱，把机件围在当中，如图6—1（a）所示。机件在每个基本投影面上的投影，都称为基本视图。图6—1（b）表示机件投影到六个投影面上后，投影面展开的方法。展开后，六个基本视图的配置关系和视图名称见图6—1（c）。按图6—1（b）所示位置在一张图纸内的基本视图，一律不注视图名称。

（a）

（b）

（c）

图7—1

六个基本视图

2、投影规律

六个基本视图之间，仍然保持着与三视图相同的投影规律，即： 主、俯、仰、（后）：长对正； 主、左、右、后：高平齐； 俯、左、仰、右：宽相等。

此外，除后视图以外，各视图的里边（靠近主视图的一边），均表示机件的后面，各视图的外边（远离主视图的一边），均表示机件的前面，即“里后外前”。

强调：虽然机件可以用六个基本视图来表示，但实际上画哪几个视图，要看具体情况而定。

（二）向视图

有时为了便于合理地布置基本视图，可以采用向视图。

向视图是可自由配置的视图，它的标注方法为：在向视图的上方注写“×”（×为大写的英文字母，如“A”、“B”、“C”等），并在相应视图的附近用箭头指明投影方向，并注写相同的字母，如图6—2所示。

图6—2

向视图

（三）局部视图

当采用一定数量的基本视图后，机件上仍有部分结构形状尚未表达清楚，而又没有必要再画出完整的其它的基本视图时，可采用局部视图来表达。

1、概念

只将机件的某一部分向基本投影面投射所得到的图形，称为局部视图。局部视图是不完整的基本视图，利用局部视图可以减少基本视图的数量，使表达简洁，重点突出。例如图6—3（a）所示工件，画出了主视图和俯视图，已将工件基本部分的形状表达清楚，只有左、右两侧凸台和左侧肋板的厚度尚未表达清楚，此时便可象图中的A向和B向那样，只画出所需要表达的部分而成为局部视图，如图6—3（b）所示。这样重点突出、简单明了，有利于画图和看图。

（a）

（b）

图6—3

局部视图

2、画局部视图时应注意：

（1）在相应的视图上用带字母的箭头指明所表示的投影部位和投影方向，并在局部视图上方用相同的字母标明“×”。

（2）局部视图最好画在有关视图的附近，并直接保持投影联系。也可以画在图纸内的其它地方，如图6—3（b）中右下角画出的“B”。当表示投影方向的箭头标在不同的视图上时，同一部位的局部视图的图形方向可能不同。

（3）局部视图的范围用波浪线表示，如图6—3（b）中“A”。所表示的图形结构完整、且外轮廓线又封闭时，则波浪线可省略，如图6—3（b）中“B”。

（四）斜视图

1、概念

将机件向不平行于任何基本投影面的投影面进行投影，所得到的视图称为斜视图。斜视图适合于表达机件上的斜表面的实形。例如图6—4所示是一个弯板形机件，它的倾斜部分在俯视图和左视图上的投影都不是实形。此时就可以另外加一个平行于该倾斜部分的投影面，在该投影面上则可以画出倾斜部分的实形投影，如图6—4中的“A”向所示。

2、标注 斜视图的标注方法与局部视图相似，并且应尽可能配置在与基本视图直接保持投影联系的位置，也可以平移到图纸内的适当地方。为了画图方便，也可以旋转，但必须在斜视图上方注明旋转标记，如图6—4所示。

3、注意

画斜视图时增设的投影面只垂直于一个基本投影面，因此，机件上原来平行于基本投影面的一些结构，在斜视图中最好以波浪线为界而省略不画，以避免出现失真的投影。在基本视图中也要注意处理好这类问题，如图6—4中不用俯视图而用“A”向视图，即是一例

四、小结

视图主要用来表达机件的外部形状，之所以产生多种视图，一方面是由于要适应机件结构形状的多样性，尽量避免在视图中出现失真的投影，例如斜视图即属这种情况；另一方面是为了让视图尽可能只表达机件可见部分的轮廓，避免使用虚线，减少重叠的层次，增加图形的清晰形，局部视图、右视图、仰视图等都有这样的作用。

五、布置作业习题集 6－1 剖视图

课

题：

1、剖视图的形成

2、剖视图的画法

3、剖视图的标注

4、画剖视图应注意的问题 课堂类型：讲授

教学目的：

1、介绍剖视图的形成和金属剖面线的画法

2、讲解剖视图的画法和标注

教学要求：

1、理解剖视图的形成

2、掌握金属剖面线的画法

3、掌握剖视图的画法和标注方法以及画剖视图应注意的问题

教学重点：剖视图的画法和标注方法 教学难点：剖切位置的选择 教

具：挂图：“剖视图的形成” 教学方法：用挂图和模型辅助讲解。教学过程：

一、复习旧课

1、基本视图的概念、名称、视图配置关系和投影规律

2、向视图的画法

3、局部视图、斜视图的概念、视图配置、画法、标注规定和应用场合，以及画图时应注意的地方。

二、引入新课题

六个基本视图基本解决了机件外形的表达问题，但当零件的内部结构较复杂时，视图的虚线也将增多，要清晰地表达机件的内部形状和结构，常采用剖视图的画法。

三、教学内容

国家标准GB/T17452—1998和GB/T4458.6—2002规定了剖视图。

（一）剖视图的形成

1、概念

想用一剖切平面剖开机件，然后将处在观察者和剖切平面之间的部分移去，而将其余部分向投影面投影所得的图形，称为剖视图（简称剖视）。

2、举例

例如，图6—5（a）所示的机件，在主视图中，用虚线表达其内部结构，不够清晰。按照图6—5（b）所示的方法，假想沿机件前后对称平面把它剖开，拿走剖切平面前面的部分后，将后面部分再向正投影面投影，这样，就得到了一个剖视的主视图。图6—5（c）表示机件剖视图的画法。

（a）

（b）

（c）

图6—5

剖视图的形成

（二）剖视图的画法

画剖视图时，首先要选择适当的剖切位置，使剖切平面尽量通过较多的内部结构（孔、槽等）的轴线或对称平面，并平行于选定的投影面。例如在图6—5中，以机件的前后对称平面为剖切平面。

其次，内外轮廓要画齐。机件剖开后，处在剖切平面之后的所有可见轮廓线都应画齐，不得遗漏。

最后要画上剖面符号。在剖视图中，凡是被剖切的部分应画上剖面符号。表6—1列出了常见的材料由国家标准《机械制图》规定的剖面符号。

金属材料的剖面符号，应画成与水平方向成45°的互相平行、间隔均匀的细实线。同一机件各个视图的剖面符号应相同。但是如果图形的主要轮廓线与水平方向成45°或接近45°时，该图剖面线应画成与水平方向成30°或60°角，其倾斜方向仍应与其它视图的剖面线一致，如图6—6所示。

（三）剖视图的标注

剖视图的一般应该包括三步分：剖切平面的位置、投影方向和剖视图的名称。标注方法如图6—5所示：在剖视图中用剖切符号（即粗短线）标明剖切平面的位置，并写上字母；用箭头指明投影方向；在剖视图上方用相同的字母标出剖视图的名称“×—×”。

（四）画剖视图应注意的问题

1、剖视只是一种表达机件内部结构的方法，并不是真正剖开和拿走一部分。因此，除剖视图以外，其它视图要按原来形状画出。

2、剖视图中一般不画虚线，但如果画少量虚线可以减少视图数量，而又不影响剖视图的清晰时，也可以画出这种虚线。

3、机件剖开后，凡是看得见的轮廓线都应画出，不能遗漏。要仔细分析剖切平面后面的结构形状，分析有关视图的投影特点，以免画错。如图6—7所示是剖面形状相同，但剖切平面后面的结构不同的三块底板的剖视图的例子。要注意区别它们不同之点在什么地方。

（a）

（b）

（c）

图6—7

几种底板的剖视图

四、小结

1、剖视图的形成、剖视图的画法、剖视图的标注。

五、布置作业

习题集 6－2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）

第四篇：《机械制图教案》第六章第六讲

第六讲 §6—7 机件表达方法综合运用举

课

题：

1、机件各种表达方法小结

2、表达方法选用原则

3、表达方法综合运用举例 课堂类型：讲授

教学目的：

1、总结机件各种表达方法

2、举实例说明如何选择机件的表达方案

教学要求：会将各种表达方法综合运用到读图和绘图中去 教学重点：综合运用各种表达方法的能力的培养和提高 教学难点：综合运用各种表达方法的能力的培养和提高 教

具：模型：“阀体”；挂图：“阀体表达方案”

教学方法：在教学中，应运用具有多种表达方法的典型机件挂图，带领学生从视图、形体、两个方面进行分析。并不知定量的课后习题，来锻炼学生独立的综合运用能力。

教学过程：

一、复习旧课

1、复习局部放大图、各种简化画法和规定画法。

2、复习第三角画法的有关知识。

二、引入新课题

本章介绍了视图、剖视图、断面图及一些规定画法和简化画法，这些表达方法在表达机件时有着各自的特点和应用场合。

对于一个机件，应根据其具体结构选择使用，以达到用少量简练的图形，完整清晰地表达机件形状的目的。

本次课以阀体的表达方案为例，从中学习表达方法的灵活运用和分析比较复杂图样的方法。

三、教学内容

（一）机件各种表达方法小结

本章介绍了视图、剖视、断面的画法、应用范围及标注方法，归纳于表6－3中。讲课时参照表6－3讲解。

（二）选用原则 实际绘图时，各种表达方法应根据机件结构的具体情况选择使用。

在选择表达机件的图样时，首先应考虑看图方便，并根据机件的结构特点，用较少的图形，把机件的结构形状完整、清晰地表达出来。

在这一原则下，还要注意所选用的每个图形，它既要有各图形自身明确的表达内容，又要注意它们之间的相互联系。

（三）综合运用举例

讲课时以图6—40所示的阀体的表达方案为例，说明表达方法的综合运用。

图6—40

阀体的表达方案

1、图形分析

阀体的表达方案共有五个图形：两个基本视图（全剖主视图“B—B”、全剖俯视图“A—A”）、一个局部视图（“D”向）、一个局部剖视图（“C—C”）和一个斜剖的全剖视图（“E—E旋转”）。

主视图“B—B”是采用旋转剖画出的全剖视图，表达阀体的内部结构形状；俯视图“A—A”是采用阶梯剖画出的全剖视图，着重表达左、右管道的相对位置，还表达了下连接板的外形及4×φ5小孔的位置。

“C—C” 局部剖视图，表达左端管连接板的外形及其上4×φ4孔的大小和相对位置；“D”向局部视图，相当于俯视图的补充，表达了上连接板的外形及其上4×φ6孔的大小和位置。

因右端管与正投影面倾斜45°，所以采用斜剖画出“E—E”全剖视图，以表达右连接 板的形状。

2、形体分析

由图形分析中可见，阀体的构成大体可分为管体、上连接板、下连接板、左连接板、右连接板等五个部分。

管体的内外形状通过主、俯视图已表达清楚，它是由中间一个外径为

36、内径为24的竖管，左边一个距底面

54、外径为

24、内径为12的横管，右边一个距底面30、外径为

24、内径为

12、向前方倾斜45°的横管三部分组合而成。三段管子的内径互相连通，形成有四个通口的管件。

阀体的上、下、左、右四块连接板形状大小各异，这可以分别由主视图以外的四个图形看清它们的轮廓，它们的厚度为8。

通过分析形体，想象出各部分的空间形状，再按它们之间的相对位置组合起来，便可想象出阀体的整体形状。

四、小结

总结例题中阀体的表达方案的特点，从而推广到对于一般机件如何确定表达方案，总的原则是根据机件的特点，灵活选用表达方法，用较少的图形，将机件的内、外结构表达清楚。

五、布置作业

习题集6－5（1）、（2）（三个图中任选一个）

第五篇：《机械制图教案》第13讲

第十三讲 §2—6 换面法

课

题：

1、换面法的概念

2、点的投影变换

3、直线的投影变换

4、平面的投影变换

5、换面法投影变换应用举例

课堂类型：讲授

教学目的：

1、讲解换面法的投影变换规律

2、讲解换面法的四个基本作图方法

教学要求：

1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律

2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践

教学重点：换面法的四个基本作图方法

教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图）教

具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线”；

“将一般位置直线变换成投影面垂直线”； “将一般位置平面变换成投影面垂直面”； “将一般位置平面变换成投影面平行面”。

教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。教学过程：

一、复习旧课

结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。

二、引入新课题

在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形、距离、夹角等。换面法就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，以达到简化解题的目的。

三、教学内容

（一）换面法的概念

1、概念

空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

2、举例

如图2－49所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向V1 面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平面的实形。

图2－49 换面法的原理

（二）点的投影变换

点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。

1、新投影面的选择

在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：

（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。（2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。

2、点的一次换面

根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。

（1）变换V面，即V／H→V1／H

如图2－50中a、a′ 为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。V1与H 的交线 X1为新的投影轴。由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′，而水平投影仍为a。

（a）

（b）

图2－50

变换V面

边作图演示边讲解作图步骤。（2）变换H面，即V／H→V／H1

从图2－51中看出，用H1代替H组成新投影面体系V／H1，由于V面不变，所以点到V面的距离不变。即a1a x1 = aa x = y坐标。

（a）

（b）

图2－51 变换H面

边作图演示边讲解作图步骤。

3、点的二次换面

点的二次变换的原理和方法与第一次变换基本相同，只是将作图过程重复一次，但要注意新、旧体系中坐标的量取，其作图方法和步骤如图2－52所示：

（a）

（b）

图2－52

点的二次变换

注意：新投影面的设置必须符合前述两个原则，而且必须交替变换，若第一次用V1面代替V面，组成V1／H新体系，第二次变换则应用H2面代替H面组成V1／H2体系，可如此交替多次变换达到解题目的。

（三）直线的投影变换

直线是由两点决定的，因此当直线变换时，只要将直线上任意两点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。

在解决实际问题时，根据实际需要经常要将一般位置线变换成平行或垂直于新投影面的位置。

1、直线的一次换面

（1）将一般位置线变换为投影面平行线

当一般位置线变换为投影面平行线时，就可以求出线段的实长和对投影面的倾角。举例：如图2－53所示，AB为一般位置线，如要变换为正平线，则必须变换V面，使新投影面V1面平行AB，这样AB在V1面上的投影a1′ b1′ 将反映AB的实长，a1′ b1′ 与X1轴的夹角反映直线对H面的倾角α。

（a）

（b）图2－53 一般位置线变换为投影面平行线（求α角）

边作图演示边讲解作图步骤。

（2）将投影面平行线变换为投影面垂直线

举例：如图2－55所示，将正平线AB变换为垂直线。根据投影面垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，只要变换水平投影面，即作新投影面H1面垂直AB，这样AB在H1面上的投影重影为一点。

（a）

（b）图2－55

正平线变换为投影面垂直线

边作图演示边讲解作图步骤。

在上例中，如果要求将水平线AB变换为垂直线，只要变换正投影面，即作新投影面V1面垂直AB，这样AB在V1面上的投影重影为一点，如图2－56所示。边作图演示边讲解作图步骤。

（a）

（b）

图2－56 水平线变换为投影面垂直线

2、直线的二次换面

直线的二次换面可以将一般位置线变换为投影面垂直线。第一次将一般位置线变换为投影面平行线，第二次将投影面平行线变换为投影面垂直线。

举例：如图2－57所示，AB为一般位置线，如先变换V面，使V1面平行AB，则AB在V1／H体系中为投影面平行线，再变换H面，作H2面垂直AB，则AB在V1／H2体系中为投影面垂直线。

（a）（b）

图2－57

一般位置线变换为投影面垂直线

边作图演示边讲解作图步骤。

（四）平面的投影变换

平面的投影变换，就是将决定平面的一组几何要素的投影加以变换，从而求得平面的新投影。根据具体要求，可以将平面变换成平行或垂直于新投影面的位置。

1、平面的一次换面

（1）将一般位置面变换为投影面垂直面 当一般位置面变换为投影面垂直面时，就可以求出平面对投影面的倾角。

举例：如图2－58所示，△ABC为一般位置面，如要变换为正垂面，则必须取新投影面V1代替V面，V1面既垂直于△ABC，又垂直于H面，为此可在三角形上先作一水平线，然后作V1面与该水平线垂直，则它也一定垂直H面。

（a）

（b）图2－58 一般位置平面变换为投影面垂直面（求α角）

边作图演示边讲解作图步骤。

在上例中，如果要求△ABC 对V面的倾角β，可在此三角形平面上先作一正平线AE，然后作H1面垂直AE，则△ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴的夹角反映△ABC对V面的倾角β，如图2－59所示。边作图演示边讲解作图步骤。

图2－59 一般位置平面求β角

（2）将投影面垂直面变换为投影面平行面

举例：如图2－60所示为铅垂面△ABC，要求变换为投影面平行面。根据投影面平行面的投影特性，重影为一直线的投影必定为不变投影，因此可以变换V面，使新投影面V1平行△ABC，这样△ABC在V1面上的投影△a1′ b1′ c1′ 反映实形。

（a）

（b）

图2－60

垂直面变换为平行面

边作图演示边讲解作图步骤。

2、平面的二次换面

平面的二次换面可以将一般位置面变换为投影面平行面。第一次将一般位置面变换为投影面垂直面，第二次将投影面垂直面变换为投影面平行面。

举例：如图2－61（a）所示为△ABC为一般位置面，为了求出它的实形，必须变换两次，先将△ABC变换为垂直面，再变换为平行面。

（a）

（b）

图2－61 一般位置面变换为投影面垂直面

边作图演示边讲解作图步骤。

同理，也可以先变换H面，在此基础上再变换一次V面，如图2－61（b）所示，△a2′b2′c2′为所求实形。

（五）换面法投影变换应用举例

1、讲解例题（例2－12）

求C点到AB直线的距离。如图2－62（a）所示。

作图方法与步骤如图2－62(b)所示：

（a）

（b）

图2－62 求点到直线的距离

2、讲解例题（例2－13）

求D点到平面△ABC的距离。如图2－63（a）所示。

作图方法与步骤如图2－63(b)所示。

（a）

（b）

图2－63 求点到平面的距离

3、讲解例题（例2－14）

求交叉两直线AB、CD间的距离。如图2－64（a）所示。

作图方法与步骤如图2－64(b)所示。

（a）

（b）

图2－64

求两交叉直线间的距离

4、讲解例题（例2－15）

求两平面△ABC、△ABD之间的夹角。如图2－65（a）所示。

作图方法与步骤如图2－65(b)所示。

（a）

（b）

图2－65

求两平面之间的夹角

四、小结

总结例题，归纳直线和平面投影变换的作图方法和步骤。

五、布置作业

习题集2－4（1）～（8）