电动力学知识总结

第一篇：电动力学知识总结

第一章 电磁现象的普遍规律

一、主要内容：

电磁场可用两个矢量—电场强度

和磁感应强度 ，来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。

二、知 识 体 系：

三、内容提要：

1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：

对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：

（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）

（3）电磁感应定律

①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场

本质不同。

②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。（4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与

之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。

② 若空间各点与无关，则，为稳恒电流，电流线闭合。

均与无关，它产生的场也与无关。稳恒电流是无源的（流线闭合），2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程

其中：

1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。2当，过渡到真空情况：

3当时，回到静场情况：

4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出介质中：

3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质

1、电磁场较弱时：

与，与的关系。

均呈线性关系。向同性均匀介质：，2、导体中的欧姆定律

在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布，单位体积受的力：

洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。

说明：①②

5.电磁场的边值关系

其它物理量的边值关系：

恒定电流:

6、电磁场的能量和能流

能量密度： 能流密度： 三．重点与难点

1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。2．麦克斯韦方程、电荷守恒定律、边值关系、极化强度与极化电荷的关系、磁化强度与磁化电流的关系、应用它们进行计算和证明。3．电磁场的能量及其传输

第二章 静 电 场

一、主要内容：

应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时的静电场问题。

本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远开式。

二、知 识 体 系： 1.静电场的微分方程：

边值关系：

静电场的能量：

2.静电边值问题的构成：

3．静电边值问题的基本解法：（1）镜像法（2）分离变量法

条件：电势满足拉普拉斯方程：（3）电多极矩(4)格林函数法

三、内容提要： 1．静电场的电势 引入标量函数即静电势

后

空间两点电势差：

参考点：

（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点

（２）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。连续分布电荷：无穷远处为参考点

2.电势满足的微分方程

泊松方程： 其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。

对的区域：电势满足拉普拉斯方程：

3.边值关系

①.两介质界面上边值关系

②.导体与介质界面上的边值关系

③.导体与导体界面上的边值关系

其中是导体的电导率

4.静电场的能量 用电势表示：

注意：①不是静电场的能量密度;是自由电荷密度,而则是空间所有电荷的电势，②5.唯一性定理： ①均匀单一介质

只适用于静电场。

当区域V内自由电荷分布V内场（静电场）唯一确定。② 均匀单一介质中有导体

已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已当区域V内有导体存在，给定导体之外的电荷分布量，则内电场唯一确定。，当1或已知，每个导体电势

四、.静电边值问题的基本解法： 1.镜像法：

理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。镜像法：

用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的未知面电荷分布，然后用空间点电荷和等荷迭加给出空间电势分布。条件：

①所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）或是连续分布。

②导体边界面形状规则，具有一定对称性。③给定边界条件。要求：

①做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不 能变）。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。②不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。③一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。④坐标系根据边界形状来选择。2.分离变量法：

条件：电势满足拉普拉斯方程：

①空间处处用拉普拉斯方程。，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界②在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势中电势可表示为两部分的和

为已知，不满足，但表面上的电荷产生的电势使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：边值关系还要用而不能用。

拉普拉斯方程的通解：

轴对称通解：

为勒让德函数，…

球对称通解：若与均无关，即具有球对称性，则通解为：

解题步骤

①选择坐标系和电势参考点

坐标系选择主要根据区域中分界面形状 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限

②分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解 ③根据具体条件确定常数

外边界条件： 电荷分布有限 导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定（接地）

一般在均匀场中，：

（直角坐标或柱坐标）

内部边值关系：介质分界面上

(表面无自由电荷)3.电多极矩

讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远,即l<

小区域电荷体系在外电场中的相互作用能

其中 是点电荷在外电场中的相互作用能

是电偶极子在外电场中的相互作用能

是电四极子在外电场中的相互作用能

电偶极子在外电场中受的力

若外电场均匀:

电偶极子在外电场中受的力矩

三．重点与难点

本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法。本章难点：镜象法、分离变量法（柱坐标）、电多极矩。

第三章 稳恒电流的磁场

一、主要内容：

在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。

二、知识体系： 1．矢势法： 基本方程:

边值关系：

静磁场的能量：

① 能量分布在磁场内，不仅仅是分布在电流区.②不是能量密度

2．磁标势法

引入磁标势的条件：求解区域内作任意的闭合回路L，闭合回路L内都无电流穿过，即，即引入区域为无自由电流分布的单连通域。

基本方程: 边值关系:解法：当时，用分离变量法求解，解法与第二章相同.3．磁矢势多极展开：

本章重点：

1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量

2、引入磁标势的条件,磁标势满足的方程与静电势方程的比较

3、利用磁标势解决具体问题 本章难点：利用磁标势解决具体问题

第四章 电磁波的传播

电磁波：随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，就是电磁波。

一、主要内容：

研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况;在真空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。

二、知识体系： 1．自由空间（介质）：指，的无限大充满均匀空间.-

定态波亥姆霍兹方程基本解：，性质：（1）与的关系：，构成右手螺旋关系（2）与同位相；

（3），振幅比为波速（因为相互垂直，）。

（4）平面电磁波的能量和能流

 能量密度：，电场能等于磁场能，能量密度平均值为 能流密度：

（为

方向上的单位矢量）

平均值：2.良导体：，基本解：，其中3.电磁波在界面反射和折射

。4.谐振腔

定态波边值问题：

在求解中主要用到

解为：

两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定。谐振频率：

（1）给定一组，解代表一种谐振波型（本征振荡, 在腔内可能存在多种谐振

时，谐振腔才处于谐振态。，则。

可以分解到波型的迭加）；只有当激励信号频率（2）不存在中两个为零的波型，若（3）对每一组任意两个方向。

值，有两个独立偏振波型，这是因为对于确定的（4）最低频率的谐振波型

假定，则最低谐振频率为

该波型为（1，1，0）型，所以，但是在一般情况下。，为横电磁波。

5.矩形波导管

矩形波导管由四个壁构成的金属管，四个面为一般情况下让电磁波沿理想导体边界条件:

轴传播,对理想导体:，满足方程：，其解：

其中，的解由截止频率：

确定 最低截止频率为：（），（）；

最高截止波长为: 波。，一般把波长的波，称为超短波即微本章重点：

1、电磁场的波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波

2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系，偏振

3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应

4、谐振腔和波导管中电磁波的运动形式 本章难点：

1、振幅、位相关系

2、导体内电磁波的运动

第五章 电磁波的辐射

一、主要内容：本章讨论高频交变电流辐射的电磁场的规律。

二、知识体系：

其解：

设电荷、电流分布为随时间做正弦或余弦变化，即：

将此式代入推迟势的公式后得到（）：

令 则：，如果讨论的区域有关系式：。

三、电偶极辐射：

当时，上式可以仅取积分中的第一项，有：，此式代表的是偶极辐射。由此我们得到在度：

条件下偶极辐射的磁感应强

利用得到偶极辐射的磁感应强度：

若选球坐标，让沿

轴，则：

（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；（2）电场、磁场正比于，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波，在时可以近似为平面波；

（3）要注意如果（）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM波）辐射能流、角分布和辐射功率平均能流密度矢量：

平均功率：

P==，平均功率与电磁波的频率4次方成正比。

重点：电磁势及方程,电偶极辐射场、平均能流、平均功率的计算.难点：达朗贝尔方程的解，辐射场的计算

第六章 狭义相对论

主要内容：讨论局限于惯性系的狭义相对论的时空理论，相对论电动力学以及相对论力学

一．狭义相对论基本原理：

1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展）（1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。（2）一切惯性系都是等价的，不存在绝对参照系。

2、光速不变原理

真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c，且与光源运动速度无关。二．洛仑兹变换：

坐标变换： 逆变换：

速度变换：，三．狭义相对论的时空理论：

1．同时是相对的：在某一贯性参考系上对准的时钟，在另一相对运动的贯性参考系观察是不对准的。

2．运动长度缩短：沿运动方向尺度收缩。其中是物体相对静止系的速度；

3．运动时钟延缓：运动物体内部发生的自然过程比静止的钟测到的静止物体内部自然过程经历的时间延缓。

⑴ 运动时钟延缓：

只与速度有关，与加速度无关；

⑵ 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； ⑶ 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； ⑷ 它与长度收缩密切相关。四．电磁场的洛仑兹变换:

五．相对论力学：

1．运动质量：

2．相对论动量：3．质能关系：物体具有的能量为

4．相对论动能：5．相对论力学方程：

本章重点：

1、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹变换解决具体问题

2、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，并会利用相关公式计算.3、了解相对论四维形式和四维协变量

4、了解相对论力学的基本理论并解决实际问题 本章难点：

1、同时的相对性、时钟延缓效应的相对性

2、相对论的四维形式

3、电动力学的相对论不变性的导出过程

第二篇：电动力学总结 郭版

库仑定律FQQQ'Qr

电场强度E=r

电场强度磁通量的高斯定理Eds= s040r340r3静电场的散度 ·E= 旋度 ×E=0

恒定电流时有·J=0 0=0 J是电流密度 t电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）·J+安培环路定律LBdl=0I

LBdl=0sJds

恒定磁场的一个基本微分方程×B=0J

恒定磁场的散度·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律×E=-麦克斯韦方程组×E=-

B

位移电流JD=0E ttB

×B=0J+00E

·E=

·B=0

0tt洛伦兹力公式F=qE+qv×B

自由电荷密度f

束缚电荷密度p 电位移矢量D：D=0E+p ·D=f

介质极化率e：p=e0E 磁场强度H：H=10B-M

×H=Jf+

D

磁化率m：M=mH t介质中的麦克斯韦方程组×E=-介质中电磁性质方程D=E B=H

J=E

B

×H=J+D

·E=

·B=0

tt分别为电容、磁导、电导率

边值关系en×（E2-E1）=0

en×（H2-H1)=a

en·（D2-D1)=

en·(B2-B1)=0

w=-f·v

能流密度S=E×H t1能量密度变化率w=ED+HB

w=(E·D+H·B)ttt2能量守恒定律微分形式·S+真空中S=10E×B

w=

1212(0E+B)

022静电势基本微分方程（泊松方程）=-

2边值关系12

211 nn导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线方向，表面为等势面，整体电势相等。导体表面边值条件=常量

1

静电场总能量wdv n2v静电场唯一性定理设区域V内给定自由电荷分布p（x），在V的边界S上给定1）电势或2）电势法线偏导

sns，则V内电场唯一确定。

有导体存在的唯一性定理设区域V内有导体，给定电荷分布p，给定导体上总电荷Qi 以及V的边界S上的 或拉普拉斯方程2 值，V内电场唯一确定 n122 nn=0

两绝缘介质上的边值关系12

1给出导体总电荷Q导体面上边界条件为=常数（待定）格林公式()dv(22dsQ nvnn)ds

恒定电流磁场的基本方程×H=J

·B=0 磁场的失势A

B=×A 物理意义：它沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。

失势A的微分方程×(×A)=J

取（·A=0）得（泊松方程）A=J 边值关系en·(A2-1A)=0

en×（1磁场总能量w(JJe)(AAe)dv

2212A2-

111A)=a

电流J在外场 Ae中相互作用能量为wJAedv

磁标势m: Hm

v电磁场的基本方程组是麦氏方程组

自由空间中电磁场运动规律(0,J0)

222电场E的偏微分方程E-002E=0

磁场B的偏微分方程B-002B=0

tt212122令c（波速）=的波动方程 E22E=0

B22B=0

ctct0012时谐波的麦氏方程组EiwH

HiwE

E0

H0

i一定频率下的麦氏方程组EkE0

E0

BE

w22平面电磁波:电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，及E和B仅与x，t有关，与y，z无关的电磁波。平面电磁波：E(x,t)E0cos(kxwt)E0ei(kxwt)

k2 k

旋度E(ei(kxwt)k)E0ikE BEekE

k真空中EB100c特性：1）横波，E,B都与传播方向垂直2）E,B垂直，E,B沿波矢方向3）E,B同向，振幅比为v

2Eekvwek平面电磁波电场磁场能量相等wEB

能流密度SEH212时谐电磁波边值关系：en(E2E1)0

en(H2H1) 菲涅耳公式：E垂直于入射面E'sin(“)E”2cossin“

Esin(”)Esin(“)E平行于入射面E'tan(”)E“2cossin”

Etan(“)Esin(”)cos(")导体内部的麦氏方程组（0,JE）

全反射：反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，因此电磁波能量被全被反射出去的现象。趋肤效应：对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内。静电场

静磁场

E0

H0 E(fp)0

Hm0 pP

m0M

D0EP

B0H0M

E

Hm 2(fp)0

2mm0

亥姆霍兹方程：EkE0 22Q1121(pDij)电多级矩：(x)40RR6i,jxixjR1

第三篇：电动力学试题(04B)

电动力学试题(04B)

考生姓名：专业：学号：

警示：考试作弊，不授予学士学位

1．无限长圆柱型电容器两电极的截面半径分别为a和b的，单位长度荷电 分别为f，两极间填充电导率为 的非磁性线性均匀介质.证明：在介质内任何时刻任何一点上，传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场.2．半径为R0的导体球置入均匀电场E0E0ez中，导体球接地.（1）求出静电势的分布，解释结果的物理意义；

（2）如果作用于导体球的平面电磁波电场为EE0ezei(kxt)，且波长R0时，求出导体球产生的辐射场B、E，以及平均辐射能流S.3．设非导电介质是线性均匀的.证明:

（1）介质内的E和B完全可由矢势A决定；

（2）若取0，这时A满足哪两个方程？

4．平面电磁波垂直射到金属表面上，证明透入金属内的电磁波能量全部变为焦耳热.设金属表面为z0的平面，此处电场振幅为E0.5．惯性系Σ以速度v沿Σ系的x轴运动

(1)若粒子体系在Σ系中的总能量为W，动量p与x轴的夹角为，找出这粒 子体系在Σ系中的总能量W和动量p；

(2)光源在Σ系中辐射的角频率为，光束与x轴的夹角为，立体角为d,求在Σ系中观测到的频率和光束的立体角d.

第四篇：电动力学1教案

第一章 电磁现象的普遍规律

本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；

找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；

引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。

§1.电荷和静电场

一、库仑定律和电场强度

1.库仑定律

QQr一个静止点电荷Q对另一静止点电荷Q的作用力为:F

34or2.点电荷电场强度

每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。

对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。

描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F，则

FQr E(x) 3Q40r它与试探点电荷无关，给定Q，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。3．场的叠加原理（实验定律）

n个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：nnQiriE(x)Ei。34ri1i10i4．电荷密度分布

QdQ V0VdVQdQ面密度： xlim S0SdSQdQ线密度 ： xlim l0ldl体密度： xlimdQxdV QxdV,QxdS,Qxdl

VSL5．连续分布电荷激发的电场强度

xrxrE(x)dV或E(x)dS 33V4S4rr00xrdl 或 E(x)3L40r

二、高斯定理与静电场的散度方程

1.高斯定理 SQEdS QxdV

0V ⑴ 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。⑵ 它适用求解某种具有对称性的场强。

⑶ 它反映了电荷分布与电场强度在某给定区域内的关系，不反应场点与点的关系。⑷ 电场是有源场，源心为电荷。2.静电场的散度方程。S1EdSEdVV0VxdV

 由于它对任意V均成立，所以被积函数应相等，即有E。

0⑴ 它又称为静电场高斯定理的微分形式。

⑵ 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的无关。（但要注意：E本身与其它点电荷仍有密切关系）， E0，但EdS0。

S⑶ 它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况

电力线发源于正电荷，E0, 电力线终止于负电荷，E0,0 0

0 无电荷处电力线连续通过，E0,⑷ 它仅适用于连续分布的区域，在分界面上，一般不连续不能用。⑸ 由于E有三个分量，仅此方程不能确定E，还要知道E的旋度方程。

三、静电场的环路定理与旋度方程

1.环路定理 Edl0

L⑴ 静电场对任意闭合回路的环量为零。

⑵

说明在L回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。证明（不要求）

1rxdl LEdl40VdVLr3rxdV3dS0

VS40r12.旋度方程

∵ LEdlEdS0（由于L任意）∴ E0

S⑴ 它又称为环路定理的微分形式。

⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。

⑶ 在分界面上一般E不连续，旋度方程不适用，且它仅适用于静电场，变化场E0。⑷ 有三个分量方程，但只有两个独立的方程，这是因为E0



四、静电场的基本方程

 E0,E 微分形式

0 LQ1Edl0，EdSS00VxdV 积分形式

物理意义：反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性。物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。

[例]：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点场强的散度和旋度。

§2.电流和静磁场

一、电荷守恒定律

1.电流强度和电流密度（矢量）

Q；II： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）

t 若是一个小面元，则用dI表示，dI

dQt

J：方向：沿导体内一点电荷流动方向

大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。



dQdI J，JdIJdScosJdS JtdScosdScosI与J的关系 IdIJdS，SS此外对单一粒子构成的体系 Jv

2.电荷守恒的实验定律 a)语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统，单位时间流出电荷总量等于V内电量的减少率。b)积分形式：单位时间流出封闭曲面总电量为闭合曲面内电量的减少率为SJdS（流出为正，流入为负），dQ，dtdQd 又 ∵ QdV ∴dVdV

VVtdtdtV 所以有： JdSSVtdV

dQ 若为全空间，总电量不随时间变化，故0，总电荷守恒。

dtJdSJdVdV 微分形式：∵ SVVt而V是任意的，∴ J，或 J0 tt ⑴ 反映空间某点与J之间的变化关系，电流线一般不闭合。

⑵ 若空间各点与t无关，则0,J0为稳恒电流，t稳恒电流分布无源（流线闭合），，J均与t无关，它产生的场也与t无关。

二、磁场以及有关的两个定律

1.磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。

假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似，称为磁场。磁场也

是物质存在的形式，用磁感应强度B来描述。

2.毕——萨定律（电流决定磁场的实验定律）

0Idlr闭合导线： 电流元 dB

4r30Idlr 闭合电流 BL4r3

0Jdvr闭合导体: 体电流元 dB］ 34r0 闭合电流 B4VJrdV r33.安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律）

线电流元 dFIdlB

体电流元 dFJdVB

闭合回路： FIdlB 或FJBdV

LV

三、安培环路定理和磁场的旋度方程

 1.环路定理 。Bdl0I（IJdS为L中所环连的电流强度JJx）LS

说明： ⑴ 静磁场沿任一闭合回路L的环量等于真空磁导率乘以从L中穿过的电流强度。

⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有很高对称性的问题可求出B

2.旋度方程B0J

由LBdlBdS0JdS

Ss因为s为任意回路所围面积，所以被积函数相等 说明：

1)磁场为有旋场，但在无J分布区，旋度场为零，J必须是连续函数，J不连续区只要用环路定理；

2)该方程可直接由毕萨定律推出（见教材p16－19）

3)它有三个分量方程，但B0,故只有两个独立，它只对稳恒电流成立。

四．磁场的通量和散度方程

通量： SBdS0

1.散度方程：B0

证明：SBdSBdV0，因为V任意，所以B0

V说明：

1)静磁场为无源场（指通量而言），磁力线闭合； 2)它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。

五．静磁场的基本方程

微分形式：B0J，B0

积分形式：LBdL0I，SBdS0

反映静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合的。它的激发源是流动的电荷（电流）。注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在可无宏观静电场）。例1． 见教材p18例题

§3.麦克斯韦方程组

麦氏方程在电动力学中的地位就像牛顿定律在经典力学中的地位一样。麦氏方程建立的实验基础是电磁感应定律，理论基础是静电场、磁场的场方程。

一、电磁感应定律

1． 电磁感应现象

1831年法拉第发现：当一个导体回路中电流变化时，在附近的另一个回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律：

dB，（BBdS）iSdt其中S是闭合电路L所围的任一曲面，dS与L满足右手关系。

实验发现：B变化率大于零，i与L反向；B变化率小于零，i与L同向。因此公式中加一个负号。

2． 磁通变化有三种公式：

a)回路相对磁场做机械运动（B与t无关，但BBt），b)回路静止不动，但磁场BBt，感生电动势，c)两种情况同时存在。3． 物理机制

有电流，说明电荷受到了电的作用，动生可以认为是电荷受到磁场的洛伦兹力，感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用（无外电动势，由于它不是由静止电荷产生的场，故称为感生电场Ei（对电荷有作用力是电场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）。

电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场EiEit 

二、总电场的旋度和散度方程 1．Ei和i的关系

F外dlL一般情况： iLE外dl Q其中E外为单位电荷受到的非电场力。2．Ei的旋度方程

d

电磁感应定律形式可以写为 LEidldtSBdS 

这是L可认为是电磁场中的 任一闭合回路。感生电动势是由于变化磁场产生了电场而出现的与导体是否存在无关。（与静电场由Q激发，与场中是否存在无关的道理类似）由斯托克斯定理

LEidlEidSS 且

dBBdSdSStdtS得

BBEdSdSE

iit SSt（1）它反映感生电场为有旋场（Ei又称漩涡场）,与静电场ES本质不同。（2）它反映变化磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。3．感生电场的散度方程

由于Ei不是由电荷直接激发，可以认为SEidS0，即Ei0

从这里可认为Ei为无源有旋场。

4．总电场的旋度与散度方程



假定电荷分布t激发的场为ESt，它包括静电场，称为库仑场（指ES0，tES）总电场为EESEi

0tB,E

E t0因此空间中的电场是有源有旋场，他们与试验结果一致。

三、位移电流假设

1． 变化电场激发磁场假设：

与变化磁场产生感生电场类比，人们提出变化电场同样可激发磁场。因此，总磁场一般为传导电流产生的磁场与变化电场产生的磁场之和。2． 位移电流假设



对于静磁场：，它与J0相一致，∵ B0J0

对于一般情况B0J不适用，因为J0tJJ(t)

在变化情况下电流一般不再闭合（交流电路，电容器被充、放电，但两极中间无电荷通过）

要导出一个旋度方程并与电荷守恒定律不矛盾。麦氏假定电路中存在位移电流JD，JJD构成闭合电流，即JJD0，这样可有B0JJD。若要与电

荷守恒不矛盾：

tE0E0

又由E 0ttt，设JD JJDttEE

即 JD0JD0ttE

麦克斯韦取 JD0，及变化电场产生位移电流。

t

JD并不表示电荷移动，它仅在产生磁场的作用上与J相同。

四、总磁场的旋度和散度方程

E引入JD后

B0J00

tB（1）

t为总磁场感应强度。（2）若Jt0，Bt仍为有旋场。

（4）

关于B的散度：稳恒时B＝0，同样，变化电场产生的磁场也应该是无源场。所以可认为B＝0

B实际上它可由E导出：

t（3）可认为磁场的一部分直接由变化电场激发。

BE0 即B0Bfx与t无关。

tt

当t0时，x处无磁场或仅有静磁场则fx0t0，那么以后fx0。

五、真空中的电磁场基本方程——麦克斯韦方程

BEtEB0J00微分形式

t

E0B0dLEdldtSBdSBdlIdEdS000LSdt积分形式



1EdSdVSV0SBdS0说明：

（1）真空中电磁场的基本方程

揭示了电磁场内部的矛盾和运动，电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。

（2）线性偏微分方程，E,B满足叠加原理

（3）预测空间电磁场以电磁波的形式传播 具体求解方程还要考虑空间中的介质，导体以及各种边界上的条件。

（4）方程通过电磁感应定律加位移电流假设导出，它们的正确性是由方程与实际情况相比较验证的。

§

4、介质的电磁性质

一、介质的极化和磁化

1、介质：电介质由分子组成，分子内部有正电的原子核及核外电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁场。

2、宏观物理量：因我们仅讨论宏观电磁场，用介质中大量分子的小体元内的平均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限小，在微观上无限大）。在没有外场时，介质内不存在宏观电荷、电流分布，因此宏观场为零。

3、分子分类：  有极分子：无外场时，正负电中心不重合，有分子电偶极矩。但取向无规，不表现宏观电矩。 无极分子：无外场时，正负电中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。 分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。无外场时，分子电流取向无规，不实现宏观电流分布。

4、极化和磁化： ⑴ 在外场作用下，（指宏观电磁场），无极 分子正负电中心分离，成为有极分子。分子的 电偶极矩沿外场方向规则取向产生宏观电荷分 布，产生宏观电矩。这称为介质的极化。

⑵ 在外场作用下，分子电流出现规则取向，产生宏观电流分布，出现宏观磁偶极矩，称为介质的磁化。极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。磁化和极化使内部出现的电流统称为诱导电流。

这些电荷，电流分布反过来也要激发宏观电磁场，它们与外场迭加构成总电磁场。

二、介质存在时电场的散度和旋度方程

pi1、极化强度：p 单位体积内总电偶极矩，描述宏观极矩分布。

V

2、束缚电荷密度

pp可以证明：pdVpdS

（体积V内的总束缚电荷）

vs面密度：当介质为均匀介质时，束电荷只分布在介质表面与自由电荷附近表层上。将积分

形式用在介质表面（或两介质分界在上）薄层内，取小面元ds，电荷为ds =spds(p1dsp2ds)

pds(p2p1)dsnp(p2p1)n

其中n为界面法线方向单位矢量，由1—2。

3、电位移矢量的引入

fp不敷出在存在束缚电荷的情况下总电场包含了束缚电荷产生的场, E

0一般情况f是可知的,但p难以得到(即任意实验到p,p的散度也不易求得)为计算方便，想办法消掉p。

(0E)p+f=fP （0EP）f

引入D0EP(电位移矢量)

它仅起辅导作用并不代表场量，E与D关系可由实验上确定。

4、散度、旋度方程

B D

Et引入D，可使方程不含P，但E值与p有关，场方程仍与p有关，只是含在D中。

三、介质存在时磁场的散度和旋度方程.

1、磁化强度:Mmi ,单位2体积内的磁偶极距,描述宏观磁偶极距分布。

V

2、磁化电流密度： JM=M

可以证明：IMLJMdlJMdS

SP3、极化电流密度：p随变化产生的电流。JP

t设每个带电粒子位置为xi,电荷为ei，p

4、诱导电流：JPJM

exiiVp

pvpJP。

tJM0JMM0 ppPJPPJP0tttt

5、磁场强度：介质磁场由Jf，JP，JM即变化电场共同决定：0JfJPJM00

tP将JP，JMM代入，T P0Jf0000tt1PDJf0，即J f0ttt0（磁场强度）引入 H0它仅是一个辅助量并不代表磁场的强度，才描述磁场的强度。H与的关系可由实验给出。

6、散度、旋度方程

D

0，HJf

t

引入H可使方程不显含JP，JM，但场量仍与JP，JM有关。

四、介质中的麦克斯韦方程

微分形式

积分形式

tDJ

tD0dSLdlStdlIdDdS LdtdSQSDSdS0D0P，

0说明：

1、介质中普适的电磁场基本方程，使用于任意介质0，回到真空情况。



2、有12个未知量，6个独立方程，求解必须给出D与E，B与H的关系。

五、介质中的电磁性质方程

若为非铁磁介质



1、电磁场较弱时：P与E，M与H，D与E，B与H均呈线性关系。

⑴各向同性均匀介质

 P=e0E

0—介质极化率（有实验得到）

D（D=0E+P=0E+e0E=01+eE=0rE=E）

r1e相对介电常数

0r介电常数

M=MH

—介质磁化率

 

或

00 01

0r

r1

0r

为相对磁导率和磁导率 以上结果对介质正均匀同样适用 ⑵各向异性介质（如晶体）

D

为张量（介电常数张量）

 11ii12ij32kj33kk（共九项）

它的分量形式：

D11111221333D221121222133合写成Diijj i13

j1D313113122333写成矩阵形式：

D11112131D

22122232 D33132333

为磁导率张量

2、电磁场较强时：



D与呈准线性关系

Dijijjijkjkijkljkli1,2,3

jkjkl

对于铁磁物质：与不仅呈非线性，且为非单值，在此不讨论。

在电磁场频率很高时，介质还会出现色散，，为频率的函数。

3、导体中的欧姆定律

J

—电导率

它使用于变化电磁场

在有电源时，电源内部J非，非为准静电力的等效场。



六、洛伦兹力公式

麦氏方程反映了电荷（及电流）激发电磁场以及电场，磁场相互激发的一般规律。但它没有给出由磁场对带电体系的反作用。而实际上二者互相联系，互相制约。

库仑定律、安培定律反映了静电场，静磁场对带电体系的作用。

FQE

dFJBdV

考虑到电荷连续分布,密度为,定义力密度f，单位体积受到的作用力fEJB

洛伦兹力公式

洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了该式的正确。

若对一个以速度v运动的点电荷q

FqEqvB

说明：

①对于连续分布电荷和电流J,f中包括,和J激发的电磁场.②对于点电荷情况,F中的E,B不包含q激发的场.§5.电磁场的边值关系

当电磁场中存在介质时，两介质分界面上，可能有电荷，电流分布，这时，，等对于两种介质的取值不同，由此会造成物理量在界面突变。

在界面处微分方程不能适用，但可用积分方程，从积分方程出发，我们可以得到在界面上场量间关系，这称为边值关系，它是表示方程积分形式在界面上的具体化，只有知道边值关系，才能求解多介质情况下场方程的解。

一、场量的边值关系



1、D和E的法向分量边值关系：



2、B、H的法向分量边值关系

nB2B10,由Bds0，B1nB2n总连续s

nB2H10对于均匀各项同向介质u1H1nu2H2n不连续

二、切向分量边值关系



1、H的边值关系

DHdl(J)dsLst,用在界面上D)hb 由H22H11测线环量(Jt这里2，1面电流分布：limJh Jh0注意：（1）当电流仅分布在介质表面附近一个薄层时，可是体电流分布。意义是在界面上沿电流方向单位时间内通过单位横截线的电量。（2）一般在理想导体导体中才有面电流分布，（此时）。

在导体内部J0，E0

DH0,h0,Jh,则环量0t当H2H1tb

bnH2H1b，bnH2H1bnH2H1，b为任一矢量，故 回路L为任取，H2tH1tt一般情况H切向分量不连续。但是对于大多数非理想导体，0，所以H在以后讨论的大多数问题中连续。

也可类似导出B的切向边值关系：nB2B10M。

2、E的切向边值关系

nE2E10,E2tE1t，总连续，但D切向一般不连续。

三、其它边值关系

dvnP2P1psPdsvTMdlJdsnMM21MLsMd

sJMdsdtdvnJ2J1T,与t无关或恒压电流，J2nJ1n

例题：



1、已知均匀各项同性线性介质中放一导体，导体表面静电场强度为E，证明E与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。

解：在静电平衡时，内部P1E1D10,E2E

①由fnD2D1D2nEn由nE2E10，EtE2tE1t0所以EEnn（垂直于导体面）fEfpfp②由nE2E1，E，p00EE0E0

由此得f与p的关系：p01f10f

2、有一均匀磁化介质球，磁化强度为M（常矢）。求磁化电流分布。

JmvM,M常矢，Jm0，只有面电流分布解： 由mnM2M1，M20，M1M

mnMMerMezerMsineφ

3、无限大平衡极点容器能有两层介质，极上面电荷分为f，求带场和束缚电荷分布。解：

（1）根据对称性，电场沿n方向，且为均匀场，极板为导体，在表面处：用

ffnDcD1fE1,E1n11E2f2f,E2n

2（2）介质与导体板分界面上电荷分布：

33pf由nE2E1，在这里3f00ff000E2nE1n011221）（2）3介质整个是点种性的。（ppp03pf §

6、电磁场的能量和能流

一、能量守恒与转化

能量：物质运动的量度。表示物体做功的物理量。机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。

守恒与转化：能量可以相互转化，但总量保持不变。

电磁能：电磁场作为一种物质，具有能量和动量，电磁场弥散于全空间，电磁能也应弥散于全空间。

认识一种新物质的能量从能量转化入手。

热能：从机械能转化认识到热能和存在与怎样量度。电磁能：从电磁场中带电体系做功入手。

二、机械功与场能的变化关系

1、电磁场对运动带电体系所作的功

设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为drv，Jv

dt，运动速度为

△ 带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）fJV

dr△ 在dt间隔内，对体元dv所做元功：fdVdr(v)

dt

fvdVdtvvvdVdtJdVdt

dA△ 对整个带电体单位时间所做功：dtV，电磁场对物体所做功JdV（功率）转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦耳热）

2、功与场量的关系：

DD由HJ ,JHttD得FJH 利用 tHHEH

 tHHEHHEHtDBfvEJHEH

ttDBHdVEHdVJdVVttWwdVwDBdAV令H,SH,EJdVfvw

VVtttdtdAwdW则dVSdSd

＊

Vdttdt

三、能量密度与能流密度矢量

1、能量密度

V，Sdd0 H原因：运动电荷产生的电磁场一般由两部分组成： ⑴向外传播的电磁波（他在无穷远处为零）； ⑵与场源有关的场

12,H2s2,2S,而dr2

在此种情况下11dAdWdW dtdtdt假定介质无热损耗（介质极化要产生热能，导体电流流动要产生焦耳热），全空间只有运动带电体系电磁场。因此由能量守恒可知：洛伦兹力

对带电体所做的功变为带电体能量的增加

dWdW，因而电磁场能量减少电磁，dtdt场能量增加率为

dWddW，W代表电磁场总能量（体wdV代表电磁场能量增加率，dtdtdtVwDB积V）。代表单位体积能量的增加率，w为能量密度。ttt对于均匀各项同性线性介质：D，

D11DHB  wDHB ttt22



第五篇：2004年电动力学教学教案

《 电动力学》教学教案

教材

高教出版社

作者

蔡圣善

第一周

授课时间

章节名称 预备知识 矢量分析初步

§

1、标量与矢量

§2物理量的空间积累 §3物理量的空间变化率（1）

教学内容

1、标量场 定性描述一个标量常可以使用等势面的概念 定量描述为一个标量通常使用空间与时间的函数 (x,t)标量函数的空间变化率的最大值—— 梯度

2、矢量场 定性描述用场线的方法 定量描述为一个空间，时间的矢量函数

EE(x,t)。

3、掌握 研究矢量场的基本方法 空间的积累

4、通过对矢量场的通量的研究，（大于零，小于零，等于零）来判断区域内是否有源、是否有汇、是否连续。

5、通量的局限性，教学难点

1、通量大于零，小于零，等于零时，封闭面与场线的关系。

2、梯度的定义式与在各种正交坐标系中的表达式的不同。例题

1、求 ▽r ▽· r

▽（授课时间

章节名称 §3物理量的空间变化率（2）

§

4、算符的二级运算

§5曲线坐标系

教学内容

1）r = xi + yj + zk r1、通过对矢量场的环量的研究来讨论矢量的性质。由其是否等于零来判断是否为有势场。

2、旋度的定义及旋度在直角坐标系中的表达式。

3、算符的二级运算，梯度的旋度，旋度的散度，梯度的散度以及旋度的旋度。

4、场点与源点在数学表示方法上的区别，哈密顿算符的场点与源点的区别。

5、体积元在柱坐标系与球 坐标系中的表示方法。

教学难点

1、梯度，散度及旋度是算符的一级运算，对应的是一阶偏微分方程，在数学上，一阶偏微分方程较难计算。为了将一阶偏微分方程换成二阶偏微分方程，引入算符的二级运算。

2、为了今后计算方便，以下的计算结果应该熟记。▽，▽，得区别。▽ ρ（x）φ（x），▽ρ（x）φ（x）的计算结果是不同的。但是电荷守恒原理▽·（j，t）+ 中，为了简单，常常将一瞥省略。，， = 0t

3、体会公式 E(X)14o(xx)(x,)dv,，3(xx)中的场点与源点的区别。

4、体积元在柱坐标系与球 坐标系中的表示方法。

rrpr例题

▽×r ▽·（3）▽×（3）▽（3）

rrr

第二周

授课时间

章节名称 §6 δ函数与并矢

§7矢量场的唯一性定理

第一章 麦克斯韦方程组

§

1、静电场（1）

教学内容

1、质点，点电荷的共性，δ函数

▽（21）=▽不随时间变化时，上述定义与稳恒情况相同。3.达朗伯尔方程组的推倒。

4.范变换与规范变换不变性。通过例题（184页）复习标势和矢势在两种不同的规范条件下所满足的微分方程，不同的规范导致标势和矢势的不同，但是电场强度和磁感应强度是唯一的。

5.洛仑兹规范的优点是使得标势和矢势的微分方程的形式统一，但是并不能完全限制住标势和矢势的自由度。

授课时间

章节名称

§3 电偶级辐射 教学目的

1、掌握 偶振子的模型。

A,在物理量t2、近区与远区的定义。

3、电偶级辐射在近区和远区的特点。教学难点

1、偶振子的矢势与标势的表达式。

2、已知矢势和标势求电场强度和磁感应强度。

r3、▽t

cr,第十三周

授课时间

章节名称

§3 电偶级辐射 教学内容

1、在球坐标系下，偶振子的能量问题的讨论。

2、证明洛仑兹规范与电荷守恒定律的同一性。

3、偶振子在无限大理想导体的一侧，求辐射区空间的E ,B,S。教学难点

1、在证明洛仑兹规范与电荷守恒定律的同一性时，难点在于算符分别对场点和源点作用的不同，特别是▽·J(x,t)的计算，x,是显函数，而t是x得隐函数。

2、偶振子与像偶振子在空间激发的磁场，t t中的r是不同的。在指数的位置上，不能省略。

授课时间

章节名称

第六章

狭义相对论

§

1、伽利略的时空观与力学相对论 §

2、狭义相对论的实验基础

§

3、相对论的理论基础

洛仑兹的坐标变化

（1）

教学目的

1、复习伽利略的时空观和力学相对性原理，即坐标变换，时间间隔，空间间隔的不变性，速度叠加原理，力学规律的相对性。

2、光行差试验与迈克尔逊试验在寻找以太的问题上的矛盾性。

3、光速不变性的直接结果——时空不变性，同时性的相对性。

4、在时空图上，讨论同时性的相对性。

教学难点

1、爱因斯坦的相对论对伽利略理论的继承和否定。

2、在时空图上，分别用狭义相对论和伽利略的速度叠加原理讨论同时性的相对性。，，，，,第十四周

授课时间

章节名称

§

3、相对论的理论基础

洛仑兹的坐标变化

（2）

§

4、相对论的时空观

教学目的

1、考虑到两个坐标系的坐标变换应该是线性的，在低速的情况下满足伽利略的坐标变化和光速不变原理推出洛仑兹坐标变换公式。

2、相对论的速度叠加公式。

3、掌握 同时性的相对性，时间的延缓和运动尺子的缩短。原时和固有长的定义。

4、时空间隔不变性的讨论 教学难点 １、授课时间

章节名称

§

4、相对论的时空观（习题课）238页，例1分别用运动学原理，原时与运动时之间的关系解题。

290页习题三，分别用

1、洛仑兹坐标变化，2、运动学原理，3、时空间隔不变性解题。第十四周学生劳动 第十五周 授课时间

章节名称

§5四维时空和物理量的分类 教学内容

1、从两维空间的坐标变换

算术式

x = cosθx + sinθy

y =－ sinθx + cosθy

矩阵式

（x，y）=，，同时、原长的定义。

cossinsinx

cosy 求和约定

X，i = αij Xj

导出四维时空的坐标变换关系式。

2、坐标转换中的不变量。三维时空中是长度L2 =x2+y2+z2，而在四维时空中是使空间隔不变量

s2 = c2t2-x2 + y2 + z2

3、洛仑兹标量的定义，光速，时空间隔，原时，静止质量。

4、洛仑兹矢量的定义（在四维时空中，定义物理量的原则）a、任何一个四维物理量必须是洛仑兹标量和洛仑兹矢量的数学运算的结果。b、在进行坐标变换时应满足Aμ=α变换.c、在低速时过渡到三维物理量。

5、注意四维物理量是三维物理量的结合。

μν

Aν教学难点

1、洛仑兹坐标变换矩阵的应用。

2、各洛仑兹矢量中的第四维分量的物理意义。授课时间

章节名称

§6 相对论电学

教学目的

1.四维电流密度，四维势，四维波矢量。

2.电荷守恒原理，达朗贝尔方程，洛仑兹规范的四维形式和协变性 3.从电磁场张量写出麦克斯韦方程组的四维式。4.从电磁场张量导出电磁场不变量

E21B2,BE。在不同的惯性系中看平面电

cc2磁波，其振幅，频率传播方向均发生变化，但是电场与磁场的振幅之比及电场与磁场的振幅相对垂直的关系不变。