电动力学导论自学指导书

电动力学导论自学指导书

（函授生用）

童国平编

浙江师范大学数理学院物理学系

第一章

电磁现象的普遍规律

通过静电场和静磁场的实验定律的分析，再研究变动情况下新的实验定律，由此总结出Maxwell方程组和洛仑兹力公式。电磁场是物质存在的一种形态，它有特定的运动规律和物质属性。

一、内容提要

1．库仑定律

2．电场强度

电场强度的定义：

点电荷：

点电荷组：

电荷连续分布：

3．电荷在电场中的受力

4．高斯定理和电场的散度

高斯定理：

或者

（在内）

电场的散度：，表明静电场是有源场。

静电场的环路定理：

电场的旋度：，表明静电场是无旋场。

5．电荷守恒定律

或者

其中

或者

稳恒电流：

6．毕奥-萨伐尔定律

或者

它是一个实验定律。

电流元在磁场中的受力：

7．磁场的环量和旋度

（是在内）

或者

磁场的旋度：，有旋场。

8．磁场的散度

磁场的高斯定理：

散度：，静磁场是无源场。

9．电磁感应定律

或者

若回路是固定的，则有

也可表示为：，这是磁场对电场的作用的基本规律。

10．位移电流密度

（真空）

11．介质的极化

极化强度矢量：，是点函数。

对各向同性的线性介质：

12．介质的磁化

磁化强度的定义：，是点函数。

对各向同性的非铁磁物质：

13．麦克斯韦方程组

真空情形：

有介质的情形：，洛仑兹力公式

+

麦克斯韦方程组

=

电动力学理论基础

14．诱导电流

磁化电流和极化电流：

总诱导电流：

15．电磁场边值关系

16．电磁场能量密度和能流密度

能量密度：（介质）

（真空）

能流密度或坡印亭矢量：

17．能量守恒定律

积分式：

微分式：

洛仑兹力公式：（力密度）

二、基本概念

1．静电场的散度：

电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷。没有电荷分布的地点，故在该点上电场的散度为零，既没有电力线发出，也没有电力线终止，但可以有电力线连续通过。

局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而与其他地点的电荷分布无关；电荷只激发其邻近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。对运动电荷实验证明，其局域关系仍然成立，但场不能用库仑定律形式表示出来。

对点电荷而言，2．

静电场的旋度：，表明静电情况下，电场没有旋涡状结构。

3．一个半径为，电荷密度为，均匀带电球体，球表面的面电荷密度。同样，对一个半径为，单位长度电荷为的均匀带电圆柱体，其表面的电荷面密度也为零。根据电荷面密度的定义：，这里是表面电荷区域的厚度。

4．磁场的散度和旋度：，表明磁荷不存在，磁场是无源场。这一关系在一般变化磁场的情况下也是成立的。

对静磁场的旋度，因为电流密度是点函数，具有局域性，表明有电流分布的地方才有静磁场的旋度。

对于变化的场，磁场的旋度要修改为，是位移电流密度，如果在真空中，这里的即为传导电流密度；若在介质中，可理解为。

5．均匀介质中有自由电荷的地方才有极化电荷

电介质内部：极化电荷体密度与自由电荷体密度的关系为

电介质的表面：极化电荷面密度与自由电荷面密度的关系为

6．磁化电流与自由电流的关系，即有自由电流的地方才有磁化电流。对于面磁化电流而言，是介质1指向介质2的法线。

7．电磁场的物质性

电磁场具有能量也具有动量，它是一种物质，具有内部运动。电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。

电磁场的能量密度是：，它是空间位置和时间的函数。电磁场的能流密度，它描述能量在场内的传播。数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

8．能量守恒定律

电磁场能量守恒定律的积分形式是：

物理意义是：单位时间内流入闭合面内的电磁场能量=场对电荷系统所作的功率+与面相对应的体积V内场能量的增加率。

9．电磁能量的传输问题

电磁能量的传输不管是有电路情形还是无电路情形，都是通过场来传输的。在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导线周围空间中的电磁场能量。在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热；在负载电阻上，电磁能量从场中流入电阻内，供给负载所消耗的能量。（参见郭硕鸿书（第二版）P43例题）

三、例题

1．有一内外半径分别为

和的空心介质球，介质的电容率为ε。

使介质内均匀带静止自由电荷，求

（1）

空间各点的电场；

（2）

极化体电荷和极化面电荷分布。

解：（1）根据介质中的高斯定理：

可得：

由真空中的高斯定理：

（2）

极化面电荷密度：

考虑外球壳时，从介质1指向介质2（即从介质指向真空），所以

对于内球壳，2．内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为µ，求磁感应强度和磁化电流。

解：对于稳恒电流，安培环路定理为

当时，故。

当时，当时，磁化面电流，从介质1指向介质2。在内表面上，故

在外表面上，当时，3．试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线

总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡

导体内。

而且，所有，故垂直于导体表面。

（2）导体中通过恒定电流时，导体表面，所有导体外，即。而且，即：，所以。

导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。

第二章

静电场

这章把电磁场的基本理论应用于最简单的情况：电荷是静止的，相应的电场不随时间变化。当给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，怎样求解静电场。通常将静电场引入标势，使得问题变得稍微容易些。

一、内容提要

1．静电场的标势

而。称为标势，只有差值才有物理意义。标势与参考点的选择有关，当电荷分布于有限区域时，选择无限远作为电势零参考点；当电荷分布于无限区域时，常选空间某一点的电势为零，则整个空间的电势就单值地确定了。

点电荷：

电荷连续分布情况：

2．静电标势的微分方程

或者

为自由电荷密度。这个方程称为泊松方程。只要给定势的边界条件就可以求出的分布。

3．标势的边值关系

从介质1指向介质2。是分界面上的自由电荷面密度。对于导体有：

常数（可以是给定的，也可以是待定的）

当界面无自由电荷分布时，两种介质的分界面电势的边值关系为

4．静电场的能量

5．静电问题的唯一性定理

情况1：设区域内给定自由电荷分布，在的边界上给定电势或电势的法向导数，则内的电场唯一地确定。

情况2：设区域内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷以及的边界上的或值，则内的电场唯一地确定。

6．拉普拉斯方程的解

球坐标下轴对称情况下电势的通解为：

为勒让德函数，和是任意常数，由边界条件确定。

7．镜象法

研究对象：导体球和点电荷系统；导体平面和点电荷系统

方法：用一个或若干个假想电荷来代替导体面上的感应电荷分布。

条件：（1）假想电荷的引入要不改变空间原来的电荷分布，即要满足边界条件；

（2）假想电荷要放在求解区域之外。

常用公式：（1）导体球的象电荷及位置：，是球的半径，为点电荷到球心的距离。（2）导体平面的象电荷：，位置距离平面为。

8．电多极展开

（相当于原点的点电荷）

（电偶极矩）

（电四极矩）

9．电荷体系在外电场中的能量

电偶极子在外电场中所受的力和力矩是

二、基本概念

1．两种各向同性的均匀介质分界面两侧电势相等，即电势在界面处是连续的，与界面有没有净电荷无关。

2．导体的静电条件可归纳为：（1）导体内部没有净电荷，电荷只能分布于其表面上；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。

3．均匀电场电势的零点问题，可以在电场中选取坐标原点，并将原点作为电势的参考点，电势可表示为：。

4．唯一性定理告诉我们：只要给定区域V内的电荷分布，并给定区域边界上的电势或电势的法向导数，则该区域内的电场分布是唯一的。这样，在给定边界条件下泊松方程的解，就是实际问题唯一的场分布形式。

5．用这个公式可以表示静电场的总能量，积分只对有电荷分布的地方才有贡献，这里并不表示场的能量密度，场的能量密度应为。

6．边值关系与边界条件这两个概念是有区别的，边值关系指两种介质的分界面所形成的两边的场量之间的联系与衔接，如：两绝缘介质界面上，电势满足

这就是边值关系。边界条件一般指系统的“边缘”场所满足的条件，如：位于均匀电场中的中性导体球，（有限），（均匀场的势）。有些问题，边值关系与边界条件区分并不明显，比如：一个半径为的带电为导体球，由于静电平衡，整个球是个等势体，而边界条件是：（有限）。边值关系是：

（待定常数），待定常数可由公式来确定。由无穷远处是电势的零参考点，球心与球面具有相同的电势，可省去边界条件部分的陈述，故对导体球边值关系就可称为边界条件。

7．为何要讨论电势的多极展开？这是因为：（1）在许多物理问题中电荷分布于一个小区域内，而求解的场点又很远；（2）通过积分法直接计算场的分布有一定的困难。多极展开能给出场分布的各级近似值。

三、例题

1．半径为的导体球壳，放入均匀电场中。设想这个球壳被垂直于的平面分割成两个（相等的）半球壳，为了使这两个半球壳不至于分开，需要加多大的外力？

解：已知球壳内部电场强度为0，球外电势满足的定解问题为：

由于问题有轴对称性，设球壳外的电势为

当时，由边界条件有

比较上式两边可得：

因此，球壳外的电势可表示为

当时，由边界条件可得：

比较等式两边，可得

由此可解得：

球外的电势为

式中的常数可由下式来确定：

（因为球是中性的）

最后电势可表示为

球壳上的电荷面密度为

球外的电场强度为

在球面上，电场强度是：

由于球壳内部电场强度为0，作用在球壳上电荷的电场为

那么，电场作用在一个半球壳上的力

考虑到对称性，我们有

2．有一个半径为的薄导体球壳，带电量为。壳内距中心为处有一点电荷。求同上的电荷分布。

解：定解问题是

由高斯定理

可得：

或

球外的场相当于位于球心的点电荷所激发，因此，球外的电势就是点电荷所激发，则

对于球内的电势，可用电像法求得。考虑到导体球面上电势处处相等，由电像法可假定球外距离球心为处有一电量的点电荷。

球壳本身带电，其上电势并不为0，球内电势由三部分组成：球壳外表面的电荷贡献+球壳内表面感应电荷的贡献+球内点电荷的贡献。

球壳外表面电荷对球内电势的贡献为：

球壳内表面感应电荷的贡献+球内点电荷的贡献：

所以球内的电势为：

当时，满足边界条件。球壳上的电荷分布为：

第三章

静磁场

在恒定情况下，电场和磁场不发生直接的联系，故可分开处理。磁场的矢势和标势是重要的概念。在量子物理中，矢势是一个可观测的物理效应。

一、内容提要

1．矢势

称为矢势。矢势沿某一回路的环量等于磁通量：

2．用矢势来描述磁感应强度是不唯一的这两个矢势都对应于一个磁感强度。对可选择合适的规范条件：。这样矢量场就被确定下来。

3．矢势微分方程

或

式中是源点，是场点，是源点到场点的距离。

4．矢势的边值关系

5．静磁场的能量

相互作用能

6．磁标势

引入条件：某一区域内的任何回路都不被电流所链环，即该区域内是没有自由电流分布的单连通区域。用数学式子表示为

为假想的磁荷密度。

7．磁偶极矩

相应的标势为

8．在外场中的能量

势能：

相互作用能：

这里是外场。力矩：，力

9．A-B效应

矢势在量子物理中所处的地位要比经典电动力学重要得多。A-B效应表明：尽用描述磁场是不够的。

二、基本概念

1．矢势的物理意义

矢势的物理意义是：它沿着任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。这一点在量子物理中得到直接的体现。

2．矢势的不唯一性

由矢势可以确定，但由并不能唯一地确定。

3．引入磁标势的条件

在要研究的磁场分布区域内，我们所作的任何回路都不被电流所链环，即从数学上来说，回路是单连通的。

例如，要研究自由电流I的电流圈的磁场分布，要同时除去电流所占空间和电流所围的曲面，这样才能用磁标势计算剩余空间的磁场，保证该区域是单连通的。

4．没有磁单极

矢势的多极展开式的第一项为磁单极项，第二项为磁偶极项，第三项为磁四极子项。第一项可表示为：

（一个闭合的电流管）

表明磁场展开式不含磁单极项。

5．超导体的两个主要电磁性质

（1）

超导电性（或零电阻效应）：当样品的温度下降到某一临界温度时，电阻突然变为零的性质，称为超导电性。

（2）

迈斯纳效应（或完全抗磁性）：超导体内部的磁感应强度为零，与超导体所经过的历史无关。

三、例题

1．设半空间充满磁导率为的均匀介质，空间为真空，今有线电流沿轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。

解:假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作

其满足边界条件：。在介质中，而

在的介质中，则，取积分路径为的半圆。

段积分为零。

由，可得

（沿轴）

2．有一个均匀带电的薄导体壳，其半径为，总电荷为，今使球壳绕自身某一直径以

角速度ω转动，求球内外的磁场。

解：利用磁标势法，取球体自转轴为轴，建立坐标系，定解问题为：

其中

是球壳表面自由面电流密度。

解得满足自然边界条件的解为：

代入衔接条件：

解得：

其中。

第四章

电磁波的传播

在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。本章主要研究电磁波在无界空间的传播特性，在介质界面上的反射和折射以及在导体中的传播问题。

一、内容提要

1．真空中的波动方程

无电荷电流的自由空间：

2．完备性方程

3．平面电磁波

特性：（1）横波，；（2）三者互相垂直，；（3）和同相，振幅比为；（4）对每一个，和有两个独立的偏振方向。

4．能量和能流

能量密度：

平均值：

能流密度：

平均值：

5．折射和反射定律

6．布儒斯特角

7．良导体的条件：

8．导体中的电磁波：

二、基本概念

1．介质的色散

介质的电容率和磁导率随电磁波正弦振动频率的变化关系，称介质的色散。对不同的频率，或是不同的。对单一频率的正弦波来说，在线性介质中有关系

对非正弦波。

2．平面电磁波

若电磁波沿轴方向传播，其场强在与轴正交的平面上各点具有相同的值，即和仅与有关，而与无关。这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面为与轴正交的平面。

3．或有两个独立的偏振波

由可知，电场可在垂直于的任意方向上振动。电场的取向称为偏振方向。可以选取与垂直的任意两个互相正交的方向作为的两个独立偏振方向。

4．电磁波的相速

一个沿轴方向传播的平面波，其相速度为

在真空的无界空间中，电磁波的相速与能量传播速度是相同的，但在一般情况下，相速与能量传播速度是两个不同的概念。在某种情况下，相速可以超过光速，而能量传播的速度不能大于光速。

5．全反射

当时，光从光密到光疏介质，而折射角随着入射角的增大，变为，折射波沿界面掠过。若入射角再增大，则不能定义实数的折射角。这种情况下，反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，电磁波能量被全部反射出去，这现象称全反射。

三、例题

1．一平面电磁波以

从真空入射到的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。

解：设为界面法向单位矢量，分别为入射波，反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数和折射系数定义为：

又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得：

又根据反射定律和折射定律

由题意。

2．平面电磁波垂直入射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。

证明：设在z>0的空间中是金属导体，电磁波由z<0的空间中垂直于导体表面入射。

已知导体中电磁波的电场部分表达式是：

于是由z

=0的表面，单位面积进入导体的能量为：

其中

平均值为：

在导体内部，所以金属导体单位面积内消耗的焦耳热的平均值为：

作积分：

此为单位面积对应的导体中消耗的平均焦耳热。又因为，所以，原题得证。

3．有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z

轴传播，一个波沿x

方向偏振，另一个沿y

方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。反之一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？

解：偏振方向在x

轴上的波可记为

在y轴上的波可记为：

合成得轨迹方程为：

所以合成的振动是一个圆频率为的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。反之，一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为的线偏振的合成。

第五章

电磁波的辐射

电磁波是由运动电荷辐射出来的，例如原子内部电子跃迁运动产生电磁辐射，构成原子发射光谱。通常有电偶极辐射，电四极辐射和磁偶极辐射（这两者具有相同的数量级）等。

一、内容提要

1．用势描述电磁场

2．库仑规范和洛仑兹规范

3．达朗贝尔方程

4．推迟势

达朗贝尔方程在无界空间的解

5．电偶极辐射的电磁场计算公式

6．平均能流与辐射功率

7．电磁场的动量

动量密度：

平均动量密度：

与能流密度的关系：

对平面电磁波：；

二、基本概念

1．规范、规范变换和规范不变性

用矢势和标势描述电磁场，每一组称为一种规范；从一组规范变换到另一组规范称为规范变换；当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变，这种不变性称为规范不变性。对电磁场来说，不同的规范可以对应着同一的和。

2．推迟势的意义

物理意义：反映了电磁相互作用具有一定的传播速度。空间某点在某时刻的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻的电荷电流分布。场点的状态要比源点的状态推迟的时间。

3．电偶极辐射的方向性

在的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向（）没有辐射。

4．动量守恒定律

在全空间中，电荷的动量变化率与电磁场动量的变化率之和为零，即

这个式子称为电磁场动量守恒定律。

三、例题

1．证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势表示，其中，垂直于z轴方向。

证：对于沿z轴传播的任意一平面电磁波，可写作：

满足：1）均垂直于传播方向；2）相互垂直，沿方向；3）同相，振幅比为（真空中为）。故不妨取：

（1）

（2）

可见，如果令，表达式（1）（2）可表示的波正是符合条件的平面波，所以命题得证。

2．设和是满足洛仑兹规范的矢势和标势。

（1）

引入一个矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。

（2）

若令证明满足方程，写出在真空中的推迟解。

（3）

证明可通过用下列公式表出。

1）

证：和满足洛仑兹规范，故有

代入洛仑兹规范，有：，即

2）

证：因为标势在满足洛仑兹规范的条件下有方程：

而，故：

代入原方程得：

令，则上式化为：

即：

比较矢势在洛仑兹规范下的波动方程，可得推迟势解为：

3），代入，有：

同理可得：

第六章

狭义相对论

一、内容提要

1．相对论的基本原理

1）

相对性原理

2）

光速不变原理

2．间隔不变性

或

3．洛仑兹变换

4．运动时钟的延缓

5．运动尺度的缩短

6．速度相加公式，7．

四维速度，8．

四维波矢量

9．四维电流密度矢量

10．四维势矢量

11．四维动量

不变量

二、基本概念

1．同时的相对性

同地同时是绝对的，异地同时是相对的。

2．时钟延缓与长度收缩是相关的时间延缓与长度缩短效应都是运动着的物质相互之间的时空关系的反映，并不是主观感觉的产物。

3．麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的，而牛顿定律在伽利略变换下是协变的。

4．根据相对论，做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生“压缩”，这时在电荷的运动方向上电场与库仑场相比较会发生减弱。

5．横向多普勒效应：在垂直于光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率，这种现象称为横向多普勒效应。用公式表示为：

三、例题

1．静止长度为

l0的车厢，以速度v

相对于地面s

运行，车厢的后壁以速度

u0向前推出一

个小球，求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间。

解：根据题意，取地面为参考系S，车厢为参考系S′

于是相对于地面参考系S，车长：

车速：

球速：

故在地面参考系S中观察，小球在此后，由车后壁到车前壁

2．在坐标系S中有两个物体都以速度

u

沿

x

轴运动，在S

系看来，它们一直保持距离

l

不

变。今有一观察者以速度v

沿x

轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？

解：根据题意，系取固着于观察者上的参考系

又取固着于A，B

两物体的参考系为系

在S中，A，B以速度u沿x轴运动，相距为l,在系中，A，B静止相距为，有：

又系相对于S以速度v沿x轴运动，系相对于S系以速度u沿x轴运动，由速度合成公式，系相对于系以速度

沿x轴运动

所以在系中看以两物体相距为

3．质量为M的静止粒子衰变为两个粒子和，求粒子的动量和能量。

解：衰变前粒子的动量为，能量为。衰变后设两粒子动量为，能量分别为

由动量守恒和能量守恒得：

（1）

（2）

由（1）得代入（2）解得

粒子的能量为