解析几何-9.4 直线、圆的位置关系(教案)

第一篇：解析几何-9.4 直线、圆的位置关系(教案)

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第九编 解析几何 主备人 张灵芝 总第46期

§9.4 直线、圆的位置关系

基础自测

1.若直线ax+by=1与圆x+y=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为.答案 在圆外

2.若直线4x-3y-2=0与圆x+y-2ax+4y+a-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是.答案-6＜a＜4 3.两圆x+y-6x+16y-48=0与x+y+4x-8y-44=0的公切线条数为.答案 2 4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+答案 512,3422222

22224x2有两个不同的交点，则k的取值范围是.5.(2008·重庆理，15)直线l与圆x+y+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为.答案 x-y+1=0 22例题精讲

例1 已知圆x+y-6mx-2（m-1）y+10m-2m-24=0（m∈R）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x-3m）+［y-(m-1)］=25，设圆心为（x，y），则l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=

3m3(m1)b10

2222

2x3mym1，消去m得

=

3b10.∵圆的半径为r=5，∴当d＜r，即-5

10-3＜b＜

510-3时，直线与圆相交；

289 当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；-3或b＞5

-3时，直线与圆相离.3b10当d＞r，即b＜-51010（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2r2d2且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.2

2例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=率k反=3b33b3,根据光的反射定律，反射光线的斜.∴反射光线所在直线的方程为y=

3b3(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1, 6(b3)23b9(b3)222∴=1,解得b1=-34,b2=1.∴kAB=-43或kAB=-34.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.5k5122222设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k+25k+12=0.22k∴k1=-43，k2=-34.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，b33kkk且后者与已知圆相切.∴2k2b121k,消去b得

5k51k21.即12k+25k+12=0,∴k1=-243,k2=-34.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.290 例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？

解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1:(x-m)+(y+2)=9;C2:(x+1)+(y-m)=4.222

2222222（1）如果C1与C2外切，则有2(m1)(m2)=3+2.(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；（2）如果C1与C2内含，则有

22(m1)(m2)＜3-2.(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0，222得-2＜m＜-1, ∴当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.例4 已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一 如图所示，AB=422

3，求l的方程；

3，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2

3，圆x+y+4x-12y+24=0可化为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.2k65k2由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=

34.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.(1)2又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.则y-12y+24=0,∴y1=6+2∴y2-y1=

3,y2=6-2

3, 3,故x=0满足题意.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 291 联立直线与圆的方程ykx5x2y2,消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

①

4x12y240设方程①的两根为

2k4xx1221kx1,x2,由根与系数的关系得xx111221k2 ②

由弦长公式得1k|x1-x2|=(1k)[(x1x2)224x1x2]=4

3,将②式代入，解得k=

34，此时直线的方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即CD·PD=0，（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x+y+2x-11y+30=0.2

2巩固练习

1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x+y=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=

m222

5, 圆心到直线2x-y+m=0的距离d==

2m5，(1)∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即

m5＞

5,∴m＞5或m＜-5.故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r-d=1，即5-∴当m=±2222m52=1.得m=±25, 5时，直线被圆截得的弦长为2.（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，292 ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d=22r，即522m522·5,解得m=±

522.故当m=±22时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.解 已知圆C的方程为(x-2)+(y-3)=1.∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1.如图所示，连结PC，CT.由平面几何知，|PT|=|PC|-|CT|=（a-2）+（b-3）-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|=|PO|，即（a-2）+（b-3）-1=a+b.化简得2a+3b-6=0.得|PT|=a+b=12***2

22222

192（13a-24a+36）.12136132当a=时，|PT|min=6131313()2436=,13.|PT|的最小值为，此时点P的坐标是12131813.3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，23n2C（-1，3），则m11122(m1)(n2)2

222因为圆C：x+y+2x-6y+5=0的圆心为22，(m4)2(n1)2r解得m=3,n=1,r=5,所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.22方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为x+y+2x-6y+5+(2x-y)=0, 因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，解得=-4, 所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.293 22224.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=3422时,求AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.解（1）当=34时，kAB=-1，001222直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d=12=，从而弦长|AB|=28=30.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.x2y28,11由22x2y28,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，∴kAB=12y1y2x1x212.∴直线l的方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0.回顾总结 知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.（2008·辽宁理）若圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为.22答案(-3,3)2

2222.（2008·重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是.答案 相交

3.已知圆C：（x-a）+(y-2)=4(a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2则a=.答案 222

3时，-1 294 4.（2008·全国Ⅰ文）若直线答案 1a2xayb1与圆x+y=1有公共点，则

1a21b2与1的大小关系是.1b2≥1 225.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为

.答案（-35，-5）∪（5，35）

26.（2008·湖北理）过点A（11，2）作圆x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条.答案 32 7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2答案 0 8.（2008·湖南文，14）将圆x+y=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是.2222

223，则a=.答案（x-1）+y=1

二、解答题 33或-33

9.已知圆C：x+y+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得 2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0.或2x+2(c-1)x+(c-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b-3)］-4×2×（b-4b+3)=-b+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,即［2(c-1)］-4×2×(c-4c+3)=-c+6c-5=0.∴c=5或1, 当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0.k21k2

2222

222

222由=2，得k=2±6,∴y=(2±

6)x.故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±

295

6)x.10.已知曲线C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.（1）证明 曲线C的方程可变形为(x+y-20)+(-4x+2y+20)a=0，22xy2002

222由4x2y200,解得x4y2，点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）.（2）证明 原方程配方得(x-2a)+(y+a)=5(a-2), ∵a≠2时，5(a-2)＞0,∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是设圆心坐标为（x,y），则有（3）解 由题意得222222

5|a-2|的圆.12x2aya,消去a得y=-52512x,故圆心必在直线y=-x上.5|a-2|=|a|,解得a=.11.已知圆C：x+y-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）+(y+2)=9,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即Nm1m1,2222

2,以AB为直径的圆经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

12m2，∴|AN|=

9(3m)2.又|ON|=(m12)2(m12)2，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.12.设O为坐标原点，曲线x+y+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP22·OQ=0.22（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解（1）曲线方程为（x+1）+(y-3)=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.296 ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x+2(4-b)x+b-6b+1=0.Δ=4(4-b)-4×2×(b-6b+1)＞0,得2-322

2＜b＜2+3

22.2由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),x1·x2=

b6b12.y1·y2=b-b(x1+x2)+x1·x2=

b26b12+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0,解得b=1∈(2-3∴所求的直线方程为y=-x+1.2,2+3

2)，297

第二篇：直线与圆的位置关系教案

《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行讨论.讨论中引导学生体会

（1）如何从解决过的问题中生发出新问题.（2）新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，探索其解法.重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

（1）圆心到直线的距离

（2）判别式法

2、回顾予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

（1）为何这样编题.（2）能否解决自编题目.（3）分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.二、探讨过程：

教师引导学生要注重的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.3、将圆变为相关曲线.备选题

1、求过点P（-3，-2）且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.备选题

2、已知P(x, y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求（1）（2）2x+3y=b的取值范围.备选题

3、实数k取何值时，直线L：y=kx+2k-1与曲线: y=两个公共点；没有公共点.三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

（1）变常数为常数，改系数.（2）变曲线整体为部分.有一个公共点；=m的最大、最小值.（3）变定曲线为动曲线.2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新”与“旧”的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧”的方法去解决.自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圆外一点，求过P点的圆的两切线的夹角如何计算？

②P（x0, y0）是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.③圆过A点（4，1），且与y=x相切，求切线方程.④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B两点，且OA⊥OB，求圆方程？

⑤P是x2+y2=25上一点，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圆方程x2+y2=4，直线过点（-3，-1），且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.⑧圆O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圆一点，求过P点弦长最短的直线方程？

⑨求y=的最值.圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1．利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，体现用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2．根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3．探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生探索的兴趣。

4．掌握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻找所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回顾圆锥曲线定义，确定点、直线（切线）与曲线的位置关系。

1．由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2．点与圆锥曲线的位置关系。

3．过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1．设椭圆+=1(a>b>0)，F1、F2是其左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任意一点。

（1）写出|PF1|、|PF2|的表达式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及对应的P点位置。

（2）过F1作不与x轴重合的直线L，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于L对称。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是椭圆上三点，且x1, x2, x3成等差，求证|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2，求证：ΔPF1F2的面积S=btg

（5）当a=2, b=最小值。

时，定点A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知双曲线-=1，F1、F2是其左、右焦点。

（1）设P(x0, y0)是双曲线上一点，求|PF1|、|PF2|的表达式。

（2）设P(x0, y0)在双曲线右支上，求证以|PF1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

（3）当b=1时，椭圆求ΔQF1F2的面积。

+y=1 恰与双曲线有共同的焦点，Q是两曲线的一个公共点，2例3．已知AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F为焦点，求证：

（1）以|AB|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD长4p, 则CD弦中点到y轴的最小距离为

2（4）+为定值。

（5）当p=2时，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4．判断方程=1表示的曲线类型。

例5．以点F（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的2

2圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。

第三篇：直线与圆的位置关系教案

教学目标：

1．使学生理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。

2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙O相交 d＜r

（2）直线l与⊙O相切d=r

（3）直线l与⊙O相离d＞r

三．例题分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。

①当r= 时，圆与AB相切。

②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？

③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？

④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？

四．小结（学生完成）

五、随堂练习：

（1）直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。

（2）已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。

①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；

②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；

③当d=6。5cm时，直线L与圆的位置关系是；

（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）

（3）⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L 与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

（A）d=3（B）d≤3（C）d<3 d="">

3（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）

（4）⊙O半径=3cm。点P在直线L上，若OP=5 cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交

（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）

想一想：

在平面直角坐标系中有一点A（—3，—4），以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。（有五种情况）

六、作业：P100—

2、3

第四篇：优质课教案直线与圆的位置关系

《直线与圆的位置关系》

教材：华东师大版实验教材九年级上册

一、教材分析： 教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。

过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。

情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。教学重、难点

重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系；

难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。

二、教法与学法分析

教无定法，教学有法，贵在得法。数学是一门培养人的思维、发展人的思维的基础学科。在教学过程中，不仅要对学生传授数学知识，更重要的应该是对他们传授数学思想、数学方法。初三学生虽然有一定的理解力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象，所以我以参与式探究教学法为主，整堂课紧紧围绕“情景问题——学生体验——合作交流”的模式，并发挥微机的直观、形象功能辅助演示直线与圆的位置关系，激励学生积极参与、观察、发现其知识的内在联系，使每个学生都能积极思维。这样，一方面可激发学生学习的兴趣，提高学生的学习效率，另一方面拓展学生的思维空间，培养学生用创造性思维去学会学习。

三、教学过程：

我的教学流程设计是：

创设情景、孕育新知；

2、启发诱导、探索新知；

3、讲练结合、巩固新知；

4、知识拓展、深化提高

5、小结新知，画龙点睛

6、布置作业，复习巩固 教学环节

教学过程

教师活动

学生活动 设计意图

（一）创设情景，孕育新知，引入新课

1、微机演示唐朝诗人王维《使至塞上》： 单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。大漠孤烟直，长河落日圆。萧关逢候骑，都护在燕然。

第三句以出色的描写，道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感。“荒芜人烟的戈壁滩上只有烽火台的浓烟直冲天空”，如果我们从数学的角度看到的将是这样一幅几何图形：一条直线垂直于一个平面。那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢？请同学们猜想并动手画一画。借助微机展示“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”的动画图片从而展现直线与圆的三种位置关系。

3、引入课题——直线与圆的位置关系

提出问题，引导学生思考和探索；深入学生，了解学生探究情况 展示动画但不明示学生三种位置关系的名称 教师板书题目

观察思考，动手探究，交流发现

通过直观画面展示问题情景，学生大胆猜想，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求。

（二）启发诱导、讲解新知，探索结论；

1、提出问题（让学生带着问题去学习）：（1）、概括直线与圆的有哪几种位置关系，你是怎样区分这几种位置关系的？（2）如何用语言描述三种位置关系？（3）回顾点与圆的位置关系，你能不能探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。（小组交流合作）

2、讲解新知：利用直线与圆的交点情况，引导学生分析、小结三种位置关系：（1）直线与圆没有交点，称为直线与圆相离

（2）直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点。

（3）直线与圆有两个交点，称为直线与圆相交。此时这条直线叫做圆的割线。大胆猜想，探索结论：

微机演示三个图形，观察圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。（当d›r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离； 当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切； 当d‹r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交）即：d›r

直线与圆相离

d=r

直线与圆相切 d‹r

直线与圆相交

反之：若直线与圆相离，有d›r吗？ 若直线与圆相切，有d=r吗？ 若直线与圆相交，有d‹r吗？ 总结：

d›r

直线与圆相离

d=r

直线与圆相切 d‹r

直线与圆相交

教师层层设问，让学生思维自然发展，教学有序的进入实质部分。在第（1）个问题中，学生如果回答“从直线与圆的交点个数上来进行区分”，则顺利地进行后面的学习；如果回答“类比点与圆的位置关系比较圆半径r与圆心到直线的距离d的大小进行区分”，则在补充交点个数多少的区分方法。

教师引导小组合作、组织学生完成 教师板书讲解内容并总结：可利用直线与圆的交点个数判断直线与圆的三种位置关系。特别强调“只有一个交点”的含义

教师重复演示引导学生探索，学生归纳总结之后教师对提出的问题给予肯定回答，并强调：利用圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系也可以判断直线与圆的三种位置关系。

观察、思考、猜测、概括 学生回答问题，概括定义

学生观察图形，积极思考，归纳总结，获得直线与圆的位置关系的两种判断方法

通过学生概括定义，培养学生归纳概括能力。由点与圆的位置关系的性质与判定，迁移到直线与圆的位置关系，学生较容易想到画图、测量等实验方法，小组交流合作，教师适时指导，探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。

在本环节中教师应关注如下几点：

1、学生是否有独自的见解；

2、学生能否理解“互逆”的关系。如有需要，教师应在课中或课后加以解释。

（三）讲练结合，应用新知，巩固新知

已知圆的直径为10cm，圆心到直线l的距离是：（1）3cm ；（2）5cm ；（3）7cm。直线和圆有几个公共点？为什么？

已知Rt△ABC的斜AB=6cm，直角边AC=3cm。圆心为A，半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线BC有怎样的位置关系？半径r多长时，BC与⊙A相切？ 变式训练

1、在上题中，“圆心为C，半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线AB有怎样的位置关系？半径r多长时，直线AB与⊙C相切？

变式训练

2、在上题中，若将直线AB改为边AB，⊙C与边AB相交，则圆半径r应取怎样的值？

组织学生完成，引导学生探索

教师加强个别指导，收集信息评估回授，充分发挥教学评价的激励、调控功能，及时采取补救措施，使全体学生即使是学习有困难的学生都达到基本的学习目标，获得成功感。

观察分析，独立完成，同桌点评，自我修正 观察分析 积极思考，小组交流 合作

本环节的练习难度层层加大，其目的是让学生加强对新知的理解和应用，培养学生解决问题的能力；基础题目和变式题目的结合既面向全体学生，也考虑到了学有余力的学生的学习，体现了因材施教的教学原则。

在本环节中，一定要充分教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能。

（四）知识拓展、深化提高

在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0），B（6，0），C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。求 圆形区域的面积（取3.14）

某时刻海面上出现一渔船A，在观察点O测得A位于北偏东45，同时在观测点B测得A位于北偏东30，那么当渔船A向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？

帮助学生理清思路，规范解题格式；让学生明白解此题的关键是：圆半径的大小、点A的坐标。学会将实际问题转化为数学问题，把“渔船A向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区”的问题转化为直线与圆的位置关系的几何问题。

分组讨论，理解数学建模思想和转化化归思想。

这一阶段是学生形成技能、技巧，发展智力的重要阶段，但也是学生因疲劳而注意力易分散的时期。如果教师此时教学设计得当、选题新颖，由于学生前面已尝到成功的甜蜜，则会乘胜追击，破解难题；否则学生会就此罢休，无法达到预期目的。同时向学生渗透数学建模思想和转化化归的数学思想，也适时进行环保教育。

（五）小结新知，画龙点睛

一、填表：直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置

相交

相切

相离

公共点的个数

圆心到直线距离d与半径r的关系

无

直线名称

无

二、直线与圆的位置关系的两种判断方法： 直线与圆的交点个数的多少

圆心到直线距离d与半径r的大小关系

教师提问，注意数学语言的简洁、准确

学生回答，同时反思不足

通过提问方式进行小结，交流收获与不足，让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，同时明确本节课的学习目标，巩固学习效果。

（六）布置作业，复习巩固

阅读教材55、56页 P56练习1.2.3 提高练习：台风是一种在沿海地区较为常见的自然灾害，它在以台风中心为圆心的数十千米乃至数百千米范围内肆虐，房屋、庄稼、汽车等将遭到极强破坏。2006年8月7日，台湾省的东南方向距台湾省500公里处有一名叫“桑美”的台风中心形成。其中心最大风力为14级，每离开台风中心30km风力将降低一级。若此台风中心沿着北偏西15的方向以15km/h的速度移动，且台风中心风力不变。若城市所受到的台风风力为不小于4级，则称为受台风影响

台湾省会受到“桑美”台风的影响吗？

若会受影响，那会台风将会影响台湾省多长时间呢？最大风力将会是几级呢？

本环节的设计：一方面让学生养成课后复习阅读的良好习惯并通过适量的练习复习巩固课堂知识，另一方面设计提高练习，旨在培优，体现了分层教学的原则和因材施教的原则，同时渗透爱国注意教育。

教案设计说明：

本节课的设计体现了“学会学习，为终身学习作准备”的理念，让学生在“数学活动”中获得学习的方法、能力和数学的思想，同时获得对数学学习的积极情感。

教师是教学工作的服务者，教师的责任是为学生的发展创造一个和谐、开放、富有情趣的学习新知识的探究氛围。本课引用唐朝诗人王维的千古绝唱“大漠孤烟直，长河落日圆”配以美伦美奂的景色，营造了探索问题的氛围；例题和提高练习的选用，让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有，让学生感受到“生活处处不数学”，从而在生活中主动发觉问题加以解决，达到“乐学”的目的；把实际问题与数学知识紧密联系，逐步渗透数学建模的思想方法，让学生掌握到更多的技能技巧。

课前设问，呈现本课知识目标。课前的3个设问，直奔主题，学生对本课应掌握的知识一目了然，重点分明。

变式训练，把学生置于创新思维的深入培养过程之中。众所周知，实施素质教育的突破口是创新教育，要培养学生的创新能力，就要有让学生进行创新思维的问题，而变式训练就是让学生展开创新思维的主阵地。教师在教学活动中应努力的去挖掘教材，有意识的去训练学生的思维，从而使学生逐渐形成良好的个性思维品质和良好的数学学习习惯。

第五篇：3.1直线与圆的位置关系教案

3.1直线与圆的位置关系（2）

教学目标：

1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；

2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；

3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。教学重点：圆的切线的判定定理

教学难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。

教学过程：

一、回顾与思考

投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：

OdT(1)rOdlT(2)rrOdlT(3)l（1）在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？

（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？ 教师指出：根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法。（板书课题）

二、探索判定定理

1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA。思考：（可与同伴交流）

（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现了什么？

o启发学生得出结论：由于圆心O到直线l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切。

请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的？它满足哪些条件？

①经过半径的外端；②垂直于这条半径。

从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O相切？（）

OOOO

A llAlA lABCD小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端 ②垂直于这条半径。

（2）课本第52页课内练习第1题（3）课本第51页做一做

小结：过圆上一点作圆的切线分两步：①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线。过圆上一点画圆的切线有且只有一条。

三、应用定理，强化训练

例

1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上一点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端点，因此只要证明OC⊥AB，因为OA=OB，CA=CB，易证OC⊥AB。

O学生口述，教师板书

证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB

A∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一性质）BC∴直线AB是⊙O的切线。

例

2、如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米。求证：AB与⊙O相切。

分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C，只需证明OC等于⊙O的O半径3厘米即可。

证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C，A∵OA=OB=5厘米，AB=8厘米 BC∴AC=BC=4厘米

∴在Rt△AOC中，OCOA2AC252423厘米，又∵⊙O的直径长为6厘米，∴OC的长等于⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线。

完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的添加法是否相同？有什么规律吗？ 在学生回答的基础上，师生一起归纳出一下规律：

（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直。

（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径。练习1：判断下列命题是否正确

（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；

（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由。

练习

2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦 AB=83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆。

求证：小圆与直线 AB相切。

练习

3、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。

O求证：直线DC是⊙O的切线。

CA

C

D BOA

练习2、3请两名学生板演，教师巡视，个别辅导。

四、小结：

1、切线的判定定理：经过 并且垂直于 的直线是圆的切线。

2、到目前为止，判定一条直线是圆的切线有三种方法，分别是：

（1）根据切线的定义判定：即与圆有 公共点的直线是圆的切线。

（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。

3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：（1）如果已知直线过圆上某一点，则作，后证明。（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则，后证明。

五、布置作业

古林镇中学 沈海波

B 2010-7-2